求双曲线标准方程的技巧

求双曲线标准方程的技巧
在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。

下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。

一 双曲线的一般方程
例1 求经过点(3,P ,()
Q -的双曲线标准方程。

分析 双曲线的标准方程有两种形式：22x a －22y b ＝１（a ＞０，b ＞０）或22y a －2
2
x b
＝１（a ＞０，b ＞０），可以讨论解决。

也可以应用下面的方法解决。

解 设双曲线方程为2
Ax ＋2
By ＝１（AB ＜０）。

因为所求双曲线经过点
(
3,P ,()
Q -，所以9281,7249 1.
A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝－175，B ＝125。

故所求双曲
线方程为225y －2
75
x ＝１。

说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax ＋2
By ＝１（AB ＜０），这样可以简化运算。

二 等轴双曲线
例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线x －2y ＝０交于两点A 、B ，
且AB ＝
分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程2
x －2
y ＝2
a （a ＞０），求出a 即可。

解 设等轴双曲线方程为2
x －2
y ＝2
a （a ＞０）。

由222,
20.x y a x y ⎧-=⎨-=⎩
解得交点A 、B
的坐标分别为
、⎛ ⎝。

因为AB 3a ＝
a ＝３。

故所求双曲线方程为2x －2y ＝９。

说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：离心率e ，渐近线方程为y ＝x ±且互相垂直等等。

三 共焦点双曲线
例３
已知过点()
2，且与双曲线2
16
x －24y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方
程。

分析 根据双曲线焦点与2
a 、2
b 的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为2
16x k
-－
2
4y k
+＝１（－４＜k ＜16），求出k 即可。

解 设双曲线方程为216x k -－2
4y k
+＝１（－４＜k ＜16）
，将()
2代入，得k ＝
４。

故所求双曲线方程为2
12
x －28y ＝１。

说明 与双曲线2
2x a －22y b ＝１共焦点的双曲线方程可设为22x a k -－22y b k +＝１（－
2
b ＜k ＜2
a ）。

根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆2
2x a
＋22y b ＝１共焦点的双曲线方程可设
为22x a k -－22y b k
-＝１（2b ＜k ＜2
a ），请注意它们的区别。

四 共渐近线双曲线
例4
求经过点(-，且与双曲线2
9
x －216y ＝１有共同渐近线的双曲线方程。

分析 因为双曲线29x －216y ＝１的两条渐近线方程为双曲线2
9x －216y ＝０，因此与
它共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线2
9
x －216y ＝λ（λ≠０）。

解 设双曲线方程为2
9
x －216y ＝λ（λ≠０），
因为双曲线经过点(-，所以λ
＝
()2
39
-
－
(2
16
＝14。

故所求双曲线方程为29x －216y ＝1
4，即294
x －24y ＝１。

说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程，使解题更合理。

另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲
线叫做原双曲线的共轭双曲线。

显然共轭双曲线有相同的渐近线，因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。

五 同离心率的双曲线
例5 求经过点()2,0，且与双曲线2
64x －216y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方程。

分析 因为一条双曲线和双曲线2
2x a －22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）离心率相同，那么它
的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上。

若焦点在x 轴上，它的方程可设为2
2x a －22y b ＝λ（a
＞0，b ＞0，λ＞０）；若焦点在y 轴上，它的方程可设为22y a －2
2x b
＝λ（a ＞0，b ＞0，
λ＞０）。

解 （1）当所求双曲线的焦点在x 轴上时，它的方程可设为2
64x －216
y ＝λ（λ＞０），
将()2,0代入，得λ＝116。

此时所求双曲线的标准方程为24x －2
y ＝１。

（２）当所求双曲线的焦点在y 轴上时，它的方程可设为264y －2
16
x ＝λ（λ＞０），
将()2,0代入，得λ＝－
1
4
＜０（舍去）。

故所求双曲线的标准方程为24
x －2
y ＝１。

说明 已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。

六 已知双曲线渐近线的双曲线
例６ 求一条渐近线方程为3x ＋4y ＝０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。

分析 由3x ＋4y ＝０，得
4x ＋3
y
＝０，因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所求双曲线方程为2
16
x －29y ＝λ（λ≠０），求出λ即可。

解 根据题意，可设所求双曲线方程为2
16
x －29y ＝λ（λ≠０）。

又因为焦点在x 轴
上，所以λ＞０。

因为c＝４，所以16λ＋9λ＝16，解得λ＝16
25。

故所求双曲线方程为
2
256
25
x
－
2
144
25
y
＝１。

说明渐近线方程为
x
a
±
y
b
＝０或y＝±
b
x
a
的双曲线方程可设为
2
2
x
a
－
2
2
y
b
＝λ
（λ≠０），然后确定λ的值。

因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时，一定要认真审题，弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。