高中数学必修四 1.1.1任意角 课件
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【高中数学必修四】1.1.1任意角PPT教学课件
={β| β=90°+180° 的奇数倍}
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
90°+K∙360°
Y
S=S1∪S2 ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90°+180° 的奇数倍}
X O
={β| β=90°+180° 的整数倍}
={β| 2020/12/11 β=90°+K∙180° ，K∈Z}
2020/12/11
16
1.“区间角”问 （终边在某范围内）
(1)：题第:一象限角的集合:
{ |k 3 6 0 0 9 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z }
第二象限角的集合:
{ |9 0 0 k 3 6 0 0 1 8 0 0 k 3 6 0 0 , k Z }
第三象限角的集合:
270°+k∙360° 13
练习: 写出终边落在x轴上的角的集合。
180°+k∙360°
Y
X K∙360° O
{β| β=K∙180° ，K∈Z}
2020/12/11
14
例3 写出与45°角终边相同的角的集合，并把 该集合中适合不等式-1080°≤β＜-360°的元 素求出来。
解 ： S { | 4 5 k 3 6 0 , k Z } .
相同的角是129048′角，它是第二象限角.
2020/12/11
11
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
• 终边落在坐标轴上的情形 90°+K·360°
y
180°+K·360°
2020/12/11
x 0°+K·360°
o
270°+K·360°
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
90°+K∙360°
Y
S=S1∪S2 ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90°+180° 的奇数倍}
X O
={β| β=90°+180° 的整数倍}
={β| 2020/12/11 β=90°+K∙180° ，K∈Z}
2020/12/11
16
1.“区间角”问 （终边在某范围内）
(1)：题第:一象限角的集合:
{ |k 3 6 0 0 9 0 0 k 3 6 0 0 ,k Z }
第二象限角的集合:
{ |9 0 0 k 3 6 0 0 1 8 0 0 k 3 6 0 0 , k Z }
第三象限角的集合:
270°+k∙360° 13
练习: 写出终边落在x轴上的角的集合。
180°+k∙360°
Y
X K∙360° O
{β| β=K∙180° ，K∈Z}
2020/12/11
14
例3 写出与45°角终边相同的角的集合，并把 该集合中适合不等式-1080°≤β＜-360°的元 素求出来。
解 ： S { | 4 5 k 3 6 0 , k Z } .
相同的角是129048′角，它是第二象限角.
2020/12/11
11
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
• 终边落在坐标轴上的情形 90°+K·360°
y
180°+K·360°
2020/12/11
x 0°+K·360°
o
270°+K·360°
1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
高中数学人教版必修四课件：1.1.1任意角 (共20张PPT)
定义 : 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
1.1.1任意角课件
B α
始边
O A
终边
顶点
思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 思考3 在齿轮传动中， 是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 是按相反方向旋转的.一般地， 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 绕其端点旋转， 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 也可以按顺时针方向旋转. 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 所形成的角，与按顺时针方向旋转60 形成的角是否相等？ 形成的角是否相等？
思考8 一个角的始边与终边可以重合吗？ 思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，请列举几个这样的角， 如果可以，请列举几个这样的角，这样 的角的大小有什么特点？ 的角的大小有什么特点？ 360° k∈Z） k·360°（k∈Z） 360
知识探究（ ）：象限角 知识探究（二）：象限角 思考1 为了进一步研究角的需要， 思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角， 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角， 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ 可能落在哪些位置？ y o x
3.过去我们学习了0°～360°范围的角， 3.过去我们学习了0 360°范围的角， 过去我们学习了 但在实际问题中还会遇到其他角．如在 但在实际问题中还会遇到其他角． 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 常常听到“转体10800”、“转体12600” 常常听到“转体1080 转体1260 这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺 这样的解说．再如钟表的指针、 丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照 丝的扳手、机器上的轮盘等， 不同方向旋转所成的角，不全是0°～ 不同方向旋转所成的角，不全是0 3600范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角.因此，仅有0 360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的 范围内的角是不够的， 概念进行推广. 概念进行推广.
始边
O A
终边
顶点
思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 思考3 在齿轮传动中， 是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 是按相反方向旋转的.一般地， 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 绕其端点旋转， 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 也可以按顺时针方向旋转. 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 所形成的角，与按顺时针方向旋转60 形成的角是否相等？ 形成的角是否相等？
思考8 一个角的始边与终边可以重合吗？ 思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，请列举几个这样的角， 如果可以，请列举几个这样的角，这样 的角的大小有什么特点？ 的角的大小有什么特点？ 360° k∈Z） k·360°（k∈Z） 360
知识探究（ ）：象限角 知识探究（二）：象限角 思考1 为了进一步研究角的需要， 思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角， 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角， 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ 可能落在哪些位置？ y o x
3.过去我们学习了0°～360°范围的角， 3.过去我们学习了0 360°范围的角， 过去我们学习了 但在实际问题中还会遇到其他角．如在 但在实际问题中还会遇到其他角． 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 常常听到“转体10800”、“转体12600” 常常听到“转体1080 转体1260 这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺 这样的解说．再如钟表的指针、 丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照 丝的扳手、机器上的轮盘等， 不同方向旋转所成的角，不全是0°～ 不同方向旋转所成的角，不全是0 3600范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角.因此，仅有0 360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的 范围内的角是不够的， 概念进行推广. 概念进行推广.
苏教版高中数学必修4《任意角》参考课件1
330 30 360 390 30 (1) • 360
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
30 --3245K24 • 360 K Z
| 30 k • 360 , k Z
象限角的表示
第一象限 | k 360 90 k 360, k Z
第二象限
| 90 k 360 180 k 360 , k Z
| 225 k • 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n •180 , n Z
写出终边在直线Y=X上的角的集合
Y
X O
写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k • 360 , k Z | 225 k • 360 , k Z
1.1.1 任意角
在初中阶段我们是如何定义 角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的 图形----角的静态定义
学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
角与角度值
周角
从旋转的角度描述一下怎样可以得到一个角？
旋转游戏
1.初始时面朝的方向相同吗？
2.终止时面朝的方向怎样？
3.旋转的圈数不同有没有区别？
| 90 n •180 , n Z
终边在直线Y=X上的角的集合
| 45 n •180 , n Z
Y
O
X
Y X
O
写出终边在坐标轴上的角的集合
| 0 n • 90, n Z | n • 90, n Z
Y
X O
可以写出其它与-30 角的终边相同的角吗？
角图形
角的大小
实数
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k • 360 , k Z | 90 2k •180 , k Z
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
2021版高中数学人教A必修4课件：1.1.1 任意角
名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而 第一象限的角不全是锐角,如-350°,730°都是第一象限角,但它们都 不是锐角.
-15-
1.1.1 任意角
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
-19-
1.1.1 任意角
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例2】 若角α的终边在函数y=-x的图象上,试写出角α的集合. 分析:(思路一)函数y=-x的图象是第二、四象限的平分线,可以先 在0°~360°范围内找出满足条件的角,再写出满足条件的所有角,并 化简. (思路二)结合图形,α与135°相差180°的整数倍,由此写出集合. 解法一:因为y=-x的图象是第二、四象限的平分线,所以在 0°~360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合 为S={α|α=k·360°+135°或 α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°或 α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z},即S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,并 指出它们是第几象限角:
(1)908°28'; (2)-734°.
解:(1)908°28'=188°28'+2×360°,则188°28'即为所求角.因为 188°28'是第三象限角,所以908°28'也是第三象限角;
-15-
1.1.1 任意角
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
-19-
1.1.1 任意角
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例2】 若角α的终边在函数y=-x的图象上,试写出角α的集合. 分析:(思路一)函数y=-x的图象是第二、四象限的平分线,可以先 在0°~360°范围内找出满足条件的角,再写出满足条件的所有角,并 化简. (思路二)结合图形,α与135°相差180°的整数倍,由此写出集合. 解法一:因为y=-x的图象是第二、四象限的平分线,所以在 0°~360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合 为S={α|α=k·360°+135°或 α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°或 α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z},即S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,并 指出它们是第几象限角:
(1)908°28'; (2)-734°.
解:(1)908°28'=188°28'+2×360°,则188°28'即为所求角.因为 188°28'是第三象限角,所以908°28'也是第三象限角;
2013高中新课程数学(苏教版必修四)1.1.1任意角 课件
作业:
P6 习题 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 5
小结:
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限
3与终边相同的角组成的集 合： S { k 3600 , k z}
900 +Kx3600 y
• 终边落在坐标轴上的情形
x 1800 +Kx3600 o 或3600＋KX3600 00 +Kx3600
2700 +Kx3600
练习:
1、写出下列关于角的集合 （ 1 ）锐角 （2） 0 到90 的角 （3）第一象限角 （4）小于90 的角
思考:
若角、 满足下列条件， 求它们的关系式？ （ 1 ）终边关于x轴对称 （2）终边关于y轴对称 （3）终边互为反向延长线
2、k的两层含义：
(1)特殊性：对 k每赋一个值就有一个具 体角
（2）一般性：表示了所有 与终边相同的角
例1、在0 到360 范围内，找出与下列角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角. （ 1 ） 120
（2） 640
（3） 950 12
例2
写出终边落在Y轴上的角的集合。
1.1.1 任 意 角
学习目标:
• 1 理解任意角的概念 • 2 知道象限角 • 3 会用集合表示终边相同的角
终边 B
顶 点
o
A
始边
角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形
生活中的例子
1.1.1 任意角 课件
六、终边相同的角的集合 y
-330° 390°
30°
o
30°=30°+0x360° 390° =30°+360°=30° +1x360° -330° =30° -360°=30° -1x360° …, …,
与30°终边相同的角的一般形式为30° ＋K· 360° ，K ∈ Z
x
与 终边相同的角的一般形式为： ＋K · 360° ，K ∈ Z
三、角的分类 逆时针 定义：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：射线不作旋转时形成的角.
记法：角 或 ，可简记为 .
注意：
1.角的正负由旋转方向决定；
2.角可以任意大小，绝对值大小
由旋转次数及终边位置决定.
四、象限角的定义
终边
注意:（1）K ∈ Z；
（2） 是任意角； （3）K·360°与 之间是“+”号，如K·360°-30°, 应看成K·360°+ （-30°）； （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定 相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差360°的 整数倍.
例2
写出终边落在y轴上的角的集合.
+K 360° 90° · y
顶 点 边
边
二、角的定义
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
B 终边
顶 点
A 始边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角的大小都在范围[0º,360º]内吗 ?
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º. 经过1小时时针、分针、秒针转了多少 度？
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
人教高中数学必修四1.1.1-任意角课件
四、终边相同的角及其表示方法
注：所有与角 终边相同的角，连同角
在内，可以构成一个集合
{ | k 360 0, k Z}
即任一与角 终边相同的角，都可以表示
成角 与整数个周角的和。
说明:终边相同 的角不一定相 等,相等的角终
边一定相同
例题分析：
【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下
2)始边重合于X轴的正半轴
Ⅲ Ⅳ
则角的终边落在第几象限就是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上则它不属于任何象限， 这样的角叫做轴上角。
做一做：
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
（1） 30 （2）-120 °（3）-30 °
（4）120 ° （5） 240°（6） 6指90出°它们是第几象限角
列各角终边相同的角，并判定它们是第 几象限角．
（1） 120 ；（2） 6600 ；
（1） 120 ； （2）6600 ；
解：∵ 120 240 (1) 360 ∴与 120 角终边相同的角是 240 角，
它是第三象限的角；
（2）∵ 660 300 1360
∴与660 角终边相同的角是300 角，
一、任意角的概念
角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。记作： , ,...
B
终边
α
O
顶点
A
始边
二、角的分类：
说明：零 角的终边 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 与始边重 合
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。
做一做
30° 是第一象限角120° 是第二象限 -120 °是第三象限角2角40° 是第三象限 -30 °是第四象限角角690° 是第四象限
高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》
【例 1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于 90°的角都是锐角。 ①②④ 。 其中错误说法的序号为________Leabharlann 畅言教育人民教育出版社
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
畅言教育
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|必修四
2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
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|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
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2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
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2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
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y
x o －50° o 405°
y
210° x
y
y
y －450° x x o
x
o o －200°
练习（口答）：在直角坐标系中，判断 下列各角是第几象限的角？
⑴ 60°；⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；
演示
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考4：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
3 第二象限角.
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
Y
在0o~360o范围内，终边在y轴上 的角是 90°和270°
O
X
所有与90o角终边相同的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z
所有与270o角终边相同的角的集合
终边在y轴上的角的集合: S＝S1 S2
－120°，450°.
思考5：任意两个角的数量大小可以相加、相 减,如50°＋80°=130°,50°－80°=－30°, 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以 50° 角 的 终 边 为 始 边 ， 逆 时 针 （或顺时针）旋转80°所成的角.
思考6：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，这样的角的大小有什么特点？
o
300
x
思考2：这些角与30°角在数量上相差 多少? 。除了这些角而外还有哪些角与 30°角终边相同？
390°=30°+1×360° 2×360o+30o -2×360o+30o -330°=30°+（-1）×360° o+30o o+30o 3×360 -3×360 1470°=30°+4×360° o+30o o+30o 4×360 -4×360 -1770°=30°+（-5）×360°
高中新课程数学必修④
执教人：伊贞红
新课引入
【新课引入】
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
终边 B
顶o 点
A
始边
2．生活中很多实例会不在 [00 ,3600 ] 这个范围内。
S1 | k 360 , k Z
S 2 | 180 k 360 , k Z
终边在X轴上的角的集合：S=S1∪S2
变式训练
S1 | k 360 , k Z
S1
S | (2k 1) 180 , k Z S＝S1 S2 | k 180 , k Z
S2 | 180 2k 180 k Z | 180 k 360 , k Z
S1 | 180 360 , k Z
2
小结
1、角的定义
| 90 180 k 360 , k Z
S＝S1
| 90 n 180 , n Z S
2
变式训练：写出终边在X轴上的角的集合
解：在0o~360o范围内，终边在X轴上的角是 0o和180o, 所有与0o角终边相同的角构成的集合 所有与180o角终边相同的角构成的集合
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
2、任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
3、象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
4、 终边与 角α相同的角
S { | k 360 , k Z}
0
k· 360°（k∈Z）
演示
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意的角，角的终 边可能落在哪些位置？ y o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角；如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角.那么下 列各角：-50°,405°,210°, -200°, －450°分别是第几象限的角？
作业： 必做题： P5 3，4，5. 选作题：
如果α是第二象限的角，那么2α、 α/2分别是第几象限的角？
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
我们规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角。 即零角的始边和终边重合。
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向, 又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围 就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°， ＝－150°, ＝－660°，你能用图形表 示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
思考5：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一定 是135°吗？
y
x
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1 390 ，330，30 ，1470 ， 1770是第几象限的角？这些角的终边 有什么关系？
y
它们都是第一 象限的角，角 的终边相同
-330o 390o
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}
注意： ⑴ k∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出 与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
－950°12′=129°48′－360°×
……，
……，
相差360o的整数倍
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－ 30°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β= 30° ＋k·360°,
k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α 终边相同的角， 连同角α 在内所构成的集合S可以怎样表示？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}，即任一与 α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和.
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B 1 加以标注.
α O β
B2
A
演示角
思考4：如果你的手表慢了20分钟，或快了 1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才 能将时间校准？
体操运动员转体720º， 跳水运动员向内、向外转体1080º
如：
跳水比赛
转体三周 半指的是多少度？
这些例子所提到的角不仅不在范 围[00 ,3600 ] 内，而且方向不同， 有必要将角的概念推广到任意角，想 想用什么办法才能推广到任意角？
运 动
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.我们将一条射线绕 其端点按逆时针方向旋转600所形成的角， 与按顺时针方向旋转600所形成的角是否 相等？
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z
S 1 | 90 2k 180 , k Z
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 2k 180 , k Z | 90 2k 1 180 , k Z （ ）
x o －50° o 405°
y
210° x
y
y
y －450° x x o
x
o o －200°
练习（口答）：在直角坐标系中，判断 下列各角是第几象限的角？
⑴ 60°；⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；
演示
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考4：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
3 第二象限角.
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
Y
在0o~360o范围内，终边在y轴上 的角是 90°和270°
O
X
所有与90o角终边相同的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z
所有与270o角终边相同的角的集合
终边在y轴上的角的集合: S＝S1 S2
－120°，450°.
思考5：任意两个角的数量大小可以相加、相 减,如50°＋80°=130°,50°－80°=－30°, 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以 50° 角 的 终 边 为 始 边 ， 逆 时 针 （或顺时针）旋转80°所成的角.
思考6：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，这样的角的大小有什么特点？
o
300
x
思考2：这些角与30°角在数量上相差 多少? 。除了这些角而外还有哪些角与 30°角终边相同？
390°=30°+1×360° 2×360o+30o -2×360o+30o -330°=30°+（-1）×360° o+30o o+30o 3×360 -3×360 1470°=30°+4×360° o+30o o+30o 4×360 -4×360 -1770°=30°+（-5）×360°
高中新课程数学必修④
执教人：伊贞红
新课引入
【新课引入】
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
终边 B
顶o 点
A
始边
2．生活中很多实例会不在 [00 ,3600 ] 这个范围内。
S1 | k 360 , k Z
S 2 | 180 k 360 , k Z
终边在X轴上的角的集合：S=S1∪S2
变式训练
S1 | k 360 , k Z
S1
S | (2k 1) 180 , k Z S＝S1 S2 | k 180 , k Z
S2 | 180 2k 180 k Z | 180 k 360 , k Z
S1 | 180 360 , k Z
2
小结
1、角的定义
| 90 180 k 360 , k Z
S＝S1
| 90 n 180 , n Z S
2
变式训练：写出终边在X轴上的角的集合
解：在0o~360o范围内，终边在X轴上的角是 0o和180o, 所有与0o角终边相同的角构成的集合 所有与180o角终边相同的角构成的集合
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
2、任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
3、象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
4、 终边与 角α相同的角
S { | k 360 , k Z}
0
k· 360°（k∈Z）
演示
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意的角，角的终 边可能落在哪些位置？ y o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角；如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于 任何象限，或称这个角为轴线角.那么下 列各角：-50°,405°,210°, -200°, －450°分别是第几象限的角？
作业： 必做题： P5 3，4，5. 选作题：
如果α是第二象限的角，那么2α、 α/2分别是第几象限的角？
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
我们规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角。 即零角的始边和终边重合。
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向, 又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围 就扩展到了任意大小. 对于α ＝210°， ＝－150°, ＝－660°，你能用图形表 示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
思考5：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一定 是135°吗？
y
x
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1 390 ，330，30 ，1470 ， 1770是第几象限的角？这些角的终边 有什么关系？
y
它们都是第一 象限的角，角 的终边相同
-330o 390o
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}
注意： ⑴ k∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出 与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
－950°12′=129°48′－360°×
……，
……，
相差360o的整数倍
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－ 30°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β= 30° ＋k·360°,
k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α 终边相同的角， 连同角α 在内所构成的集合S可以怎样表示？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}，即任一与 α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和.
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B 1 加以标注.
α O β
B2
A
演示角
思考4：如果你的手表慢了20分钟，或快了 1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才 能将时间校准？
体操运动员转体720º， 跳水运动员向内、向外转体1080º
如：
跳水比赛
转体三周 半指的是多少度？
这些例子所提到的角不仅不在范 围[00 ,3600 ] 内，而且方向不同， 有必要将角的概念推广到任意角，想 想用什么办法才能推广到任意角？
运 动
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.我们将一条射线绕 其端点按逆时针方向旋转600所形成的角， 与按顺时针方向旋转600所形成的角是否 相等？
例2、写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z
S 1 | 90 2k 180 , k Z
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 2k 180 , k Z | 90 2k 1 180 , k Z （ ）