直线和平面平行的判定定理

公共点.
(✓)
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平
面平行。
()
（4）若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，
则l //
(百度文库)
（5）如果a、b是两条直线，且a // b，那么a平
行于经过b的任何平面.
()
十、总结提炼
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义；直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理．
b
a
X
a
制作人:张爽
一、知识回顾：
在空间中直线与平面有几 种位置关系？
文字语言
1、直线在平面内
2、直线与平面相交
图形语言
a
α
a
.P α
a
3、直线与平面平行 α
符号语言
a
aI P
a //
二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
正方体ABCD A1B1C1D1中， 证明平面C1BD // 平面AB1D1.
D1
A1
C1 B1
D
A
C
B
正方体ABCD A1B1C1D1中，
证明平面C1BD // 平面AB1D1.
D1
C1
证明：
A1
B1
AB CD C1D1
ABC1D1是平行四边形 BC1 // AD1
D
A
C
B
BC1 平面AB1D1
线线平行
线面平行
关键：在平面内找(作)一条直线与平面外的直 线平行,在寻找平行直线时可以通过三角形的中 位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
平面与平面平行的判定
平面与平面位置关系


a //

a

a a
问题1.两个平面平行,那么其中一
个平面的直线与另一个平面的位 问题2.如果置一关个系平如面内何的? 所有直线,
a

三、线面平行判定定理的探究
（1）分析实例—猜想定理
问题1:在长方体ABCD－ A1
A1B1C1D1中，观察棱CC1 B1
与侧面ABB1A1以及CC1与
BB1、AA1的位置关系,由 A
此你认为保证CC1 //侧面
ABB1A1的条件是什么？
B
D1 C1
D C
线面平行判定定理的探究
（2）动手操作—确认定理
例1 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是
AB，AD的中点．
A
求证：EF//平面BCD． 证明：连接BD. 因为AE=EB,AF=FD,
E
F
B
D C
所以EF//BD（三角形中位线定理）
因为EF 平面BCD ,BD 平面BCD 由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD.
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
都与另一个平面平行,那么这两个平 面的位置关系如何?
（1）若内有一条直线a与平行， 则与平行吗？
a

a

（两平面平行）

（两平面相交）
（2）若内有两条直线a、b分别与平行,
则与平行吗？
1.若a // b时，则与平行吗？

a b

a
b

（两平面平行）

（两平面相交）
2.若a b P时，则与平行吗？
八、变式强化:如图,在空间四面体中,E、F、
M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点
【变式一】
A
（1）四边形EFMN , 是什么四边
形？ 平行四边行
E
F
【变式二】
B
D
（2）直线AC与平面EFMN的
N
M
C
位置关系是什么？为什么？
AC与平面EFMN平行
【变式三】
（3）在这图中，你能找出哪些线面平行关系？
b
Pa

平面与平面平行判定定理: 一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面平行.
判定定理剖析：
1〉两条直线
条件要点：内有2〉相交
b
Pa
3〉分别和平行
符号语言：
a


结论：

//


证题思路：
b

aI
b

P



/
/
a / /

BC1//平面AB1D1
AD1 平面AB1D1
同理C1D//平面AB1D1
BC1 C1D=C1
平面C1DB//平面AB1D1
拓展：如果一个平面 内有两条相交直线与 另一个平面内的两条 相交直线分别平行， 那么这两个平面平行
如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1
b

a
b


a
//


a // b
五、讨论：
判断下列命题是否正确，若不正确， 请用图形语言或模型加以表达
（1）若a , a // b,则a // （2）若a , b ,则a // （3）若b , a // b,则a //
六、理论提升
（1）判定定理的三个条件缺一不可
a
b

a
b


a
//


a // b
简记为：线线平行则线面平行
线线平行 线面平行
（平面化）
（空间问题）
（2）实践：（口答）
如图：长方体ABCD—A′B′C′D′中，
① 与AB平行的平面是 _平_面__A′__B′_C_′_D_′_和_平面DCC′D′ ② 与AA′平行的平面是 _平__面_B_C_C_′ B_′_和__平_面_ DCC′D′ ③ 与AD平行的平面是 _平_面__A_′_B_′_C_′_D′_和__平_面BCC′B′
的中点,求证：平面AMN∥平面EFDB；
N D1
F
C1
A1
M B1 E
D
A
C
B
1．两个平面平行： （1）定义: 平面和平面没有公共点
（2)判定定理: 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想
面面平行 转化 线面平行 转化 线线平行
空间问题
转化
平面问题
线面平行
面面平行
b / /

线不在多，重在相交.

1、下面说法正确吗？
(1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另一
× 个平面,那么这两个平面平行.( )
(2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于另
× 一个平面,那么这两个平面平行.( )
(3)如果一个平面内任意一条直线平行于另一个 平面,那么这两个平面平行.( )
D' A'
C' B'
D A
C B
七、典例精析：
例1 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别
是AB、AD的中点。
A
求证：EF ∥ 平面BCD
E
F
B
D C
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD， 只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可。 EF和面BCD哪一条直线平行呢？连结BD立 刻就清楚了。
①直线BD与平面EFMN
A
②直线AC与平面EFMN ③直线EF与平面BCD ④直线FM与平面ABC ⑤直线MN与平面ABD
E
B N
F
D M C
⑥直线EN与平面ACD
九、演练反馈
判断下列命题是否正确：
（1）一条直线平行于一个平面， 这条直线就
与这个平面内的任意直线平行。
()
（2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个
问题2:翻开课本，封面边缘AB 与CD始
终平行吗？与桌面呢？
问题3:由边缘AB //CD ，翻动过程中边缘
AB与桌面的平行关系，会发生变化吗？
由此你能得到什么结论？ A C
α
B
D
四、规律总结：
直线和平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线和此平面内的 一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行.
a