直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
平行的判定与性质含练习答案
平行的判定与性质知识点一：直线与平面平行的判定及性质直线与平面平行的判断判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线．知识点二：平面与平面平行的判定及性质平面与平面平行的判定判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三如果两个平面平行，那么其中一图形条件α∥β β∩γ＝b α∩γ＝aα∥β a ⊂β结论 a ∥b a ∥α例2 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG .如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?课堂练习：1．直线a ∥平面α，则a 平行于平面α内的( )D．无穷多条平行直线2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内3．下列说法正确的是( )A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线l在平面α外，则l∥αC．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线4．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( )A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交能力提升5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是( )A．两两相交于三条交线B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C．两两相交于同一条直线D．B中情况或C中情况都可能发生6．[2011·威海质检] 已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．[2011·泰安模拟] 设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )9．[2010·福建卷] 如图K39－1，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( ) A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台10(10分)如图K39－3，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD；图K39－3 11(13分)[2011·九江七校联考] 如图K39－4所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．求证：PA∥平面EFG；图K39－4课后练习：1、下列命题中正确的是（）（A）平行于同一个平面的两条直线平行（B）垂直于同一条直线的两条直线平行（C）若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α（D）若一条直线平行两个平面的交线，则这条直线至少平行两个平面中的一个2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是（A）c与a，b都异面（B）c与a，b都相交（C）c至少与a，b中的一条相交（D）c与a，b都平行3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）（A）DD1（B）A1D1（C）C1D1（D）A1D4．下列四个命题：（1）存在与两条异面直线都平行的平面；（2）过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；（3）过平面外一点可作无数条直线与平面平行；（4）过直线外一点可作无数个平面与直线平行；其中正确的命题是（）（A）（1），（3）（B）（2），（4）（C）（1），（3），（4）（D）（2），（3），（4）5．若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a与α的关系为。
(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2022高三总复习数学 直线、平面平行的判定与性质(含解析)
直线、平面平行的判定与性质A 级——基础达标1．(2021·宁夏大学高三模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”得“m ∥β且n ∥β ”，根据面面平行的判定定理得“m ∥β且n ∥β ”不能得到“α∥β ”，所以“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的充分不必要条件．故选A ．2．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CF FB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .3．下列四个正方体中，A ，B ，C 为所在棱的中点，则能得出平面ABC ∥平面DEF 的是( )解析：选B 在B 中，如图，连接MN ，PN ，∵A ，B ，C 为正方体所在棱的中点，∴AB ∥MN ，AC ∥PN ，∵MN ∥DE ，PN ∥EF ，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB＝A′B′，∴A′B′∥A B．∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎫A′B′AB2＝425，故选D.5．(多选)(2021·山东济南质检)下列四个命题中正确的是()A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析：选BC A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C 正确；D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行，故D错误．故选B、C．6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1解析：选AC连接AD1、A1C1(图略)，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A项正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B项错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C项正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG 与平面BC1D1相交，故D项错误．故选A、C．7.(2021·浙江省镇海中学高三模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC．又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.答案： 28．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形9．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③10．在正四面体S -ABC 中，M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，当点P 在线段EF 上运动时，直线MP 与平面SBC 的位置关系是________．解析：连接ME ，MF (图略)，因为M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，所以ME ∥SB ，MF ∥SC ，而ME ∩MF ＝M ，SB ∩SC ＝S ，ME ，MF ⊂平面MEF ，SB ，SC ⊂平面SBC ，所以平面MEF ∥平面SBC ，又点P 在线段EF 上，即MP 在平面MEF 内，所以由面面平行的性质定理可得MP ∥平面SBC ，故直线MP 与平面SBC 的位置关系是平行．答案：平行11.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图所示，四棱锥A -BCDE 中，BE ∥CD ，BE ⊥平面ABC ，CD＝32BE ，点F 在线段AD 上． (1)若AF ＝2FD ，求证：EF ∥平面ABC ；(2)若△ABC 为等边三角形，CD ＝AC ＝3，求四棱锥A -BCDE 的体积．解：(1)证明：取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF .因为AG AC ＝AF AD ＝23， 则GF ＝23CD ＝BE . 而GF ∥CD ，BE ∥CD ，故GF ∥BE .故四边形BGFE 为平行四边形，故EF ∥BG .因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC ．(2)因为BE ⊥平面ABC ，BE ⊂平面BCDE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高．易求得BC 边上的高为32×3＝332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V ＝13×12×(2＋3)×3×332＝1534. B 级——综合应用13．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 则以上说法中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C连接PM(图略)，因为M，P分别为AB，CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P，故①正确．显然A1M与B1Q为异面直线，故②错误．由①知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故③④正确．则正确说法的个数为3，故选C．14．(多选)(2021·高密市高三模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个选项，其中正确的为() A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个B．若PD＝3，则点P的轨迹是一段圆弧C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝3，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4解析：选ABD如图，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，∴B1D1＝22，又侧棱AA1＝1，∴DB1＝(22)2＋12＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故A正确；∵PD＝3∈(1,3)，DD1＝1，则PD1＝2，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为(2)2＋12＝3，故C错误；由C知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222＋22＋12＝32，面积为9π4，故D正确．故选A、B、D.15．(2021·烟台模拟)如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN(图略)，设MN与AB交于点G.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下：当点F，A，D共线时，如题图，∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥D B．又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD，∴MN∥FD.当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD 总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．若要使FD与MN共面，连接FM(图略)，只要FM与DN相交即可．∵FM⊂平面ABEF，DN⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足．由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面．∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FDA，∴MN∥FD.C级——迁移创新16.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选C过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵MQ AQ ＝DD1AD＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C．。
直线、平面平行的判定及性质及详细答案
直线、平面平行的判定及性质1．直线和平面平行的判定定理2．直线和平面平行的性质定理3．两个平面平行的判定定理4．两个平面平行的性质定理5．与垂直相关的平行的判定定理例1如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.例2.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.例4如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.练习题：1．(课本习题改编)给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．2．(2014·合肥一检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．(2013·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项中，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D 项中，m也可能平行于β.故选C项．4．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是()A ．α⊥β且m ⊥βB ．α∩β＝n 且m ∥nC ．m ∥n 且n ∥αD ．α∥β且m ⊂β答案 D解析 若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.5．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( )A ．10B ．20C ．8D ．4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .7．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③8. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.9. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案22 3a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.11．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .12．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.14. 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A∥平面EFG；(2)求三棱锥P—EFG的体积．答案(1)略(2)1 6解析(1)如图所示，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G，H分别是BC，AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴P A∥FH.∵P A⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴P A∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2.∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.16. 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?答案当M为AC中点时，BM∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC 于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ. ∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．17. (2013·福建)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)8 3解析 方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2) 取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD .∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2) 取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE∥平面PBC.又在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)同方法一．。
直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。
直线、平面平行的判定及其性质(人教A版)(含答案)
直线、平面平行的判定及其性质（人教A版）一、单选题(共11道，每道8分)1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的性质2.给出下列五个命题：其中正确命题的序号是( )①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行；⑤若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行．A.③⑤B.①②⑤C.②③D.③④⑤答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直线和平面的位置关系3.如果直线a∥平面β，那么下列命题正确的是( )A.平面β内有且只有一条直线与a平行B.平面β内有且只有一条直线与a垂直C.平面β内有无数条直线与a不平行D.平面β内不存在与a垂直的直线答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直线和平面的位置关系4.设a，b为直线，α，β为平面，P是空间一点，下列命题中正确的是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直线和平面的位置关系5.下列能够使平面α∥平面β的条件是( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直线和平面的位置关系6.下列关于互不相同的直线，m，n和平面α，β，γ的命题，其中为真命题的是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间直线和平面的位置关系7.如图，正方体中，截面和直线AC的位置关系是( )A. B.C. D.上述答案均不正确答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定8.如图，在正方体中，M，N分别是，AC的中点，则MN与平面的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定9.在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，则过点B，P，Q的截面是( )A.三角形B.菱形但不是正方形C.正方形D.邻边不等的矩形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面的基本性质及推论、平行公理10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，则下列选项不正确的是( )A.MN与平面CDE相交B.MN∥平面CDEC.AB∥平面CDED.AF∥平面CDE答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定11.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定二、填空题(共1道，每道9分)12.过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有____条．答案：6解题思路：试题难度：知识点：直线与平面平行的判定第11页共11页。
高考专题练习： 直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；(2)忽略线面平行、面面平行的条件．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是()①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A．①③B．②③C．①②③D．②③④【解析】(1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D 选项，选B．线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM ∥＝FC 1， 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE ∥＝D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．角度二 线面平行性质定理的应用如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，过BC的平面交棱FD 于点P ，交棱F A 于点Q .证明：PQ ∥平面ABCD .【证明】 因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ，⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF ＝PQ ⇒BC ∥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是P A ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .证明：方法一：如图，连接AF ，并延长交BC 于点G ，连接PG ，因为BC ∥AD ，所以FG F A ＝FBFD ， 又因为PE EA ＝BFFD ，所以PE EA ＝GFF A ，所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC .方法二：如图，过点F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接EM ，因为FM ∥AD ，AD ∥BC ，所以FM ∥BC ，又因为FM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA ＝BFFD ，又因为PE EA ＝BF FD ，所以PE EA ＝BMMA ，所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ，EM ⊄平面PBC ， 所以EM ∥平面PBC ，因为EM ∩FM ＝M ，EM ，FM ⊂平面EFM ，所以平面EFM∥平面PBC，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN，因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65B．75C．85D．95解析：选C．由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF.即AC AE ＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.2．(一题多解)如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD.证明：平面ABF∥平面DCE.证明：方法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE，CD⊂平面DCE，所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.方法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.方法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．(2021·合肥模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D．若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A．对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 27．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为12×(2＋22)×（5）2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝92.答案：9 28.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD ＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝3，所以三棱锥P-ABM的体积V＝V MP AB＝V CP AB＝V PABC＝13×12×1×3×2＝33.10.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .[B 级 综合练]11．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形， 所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确； 由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确； 由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN 与DN 关系不确定，PN ＝MN ， 所以BD 与AC 关系不确定．B 错误．故选B ．12．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点13．(2021·烟台模拟)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，则A 1T ＝1－x ，由面面平行的性质得，PO ∥SR ，TO ∥QR ，TS ∥PQ ， 所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP ＝OD ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12， 所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1RC 1Q ，即1x ＝32C 1Q ，故C 1Q ＝3x2.由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1TA 1S ，即1－3x 21＝1－x 32，解得x ＝25.答案：2514．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积．解：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.[C 级 提升练]15．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝2AD ＝4，侧面P AB 是等腰直角三角形，P A ＝PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ，F 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F -DCE 的体积．解：(1)因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面ABCD ＝CE ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点．因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面P AB ＝EF ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，所以EF ∥P A ，又点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点．综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(2)连接PE ，由题意及(1)知P A ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V F DEC ＝12V P DEC ＝16S △DEC ×PE ＝16×12×2×2×2＝23.。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
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直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b 9. 下列命题正确的个数是10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥αA.0个B.1个C.2个D.3个11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交13.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性质∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.14.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.证明平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 21DC ， 又D 1G 21DC ，∴OED 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .15. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1C.证明 方法一：平行四边形的性质 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点， ∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形. ∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接AM 交C 1C 于点P ，连接A 1P ， ∵M 是BC 的中点，且MC ∥B 1C 1， ∴M 是B 1P 的中点， 又∵N 为A 1B 1中点，∴MN ∥A 1P ，又A 1P ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法三：平面平行的性质设B 1C 1中点为Q ，连接NQ ，MQ ， ∵M 、Q 是BC 、B 1C 1的中点，∴MQ CC 1，又CC 1⊂平面AA 1C 1C ， MQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MQ ∥平面AA 1C 1C .∵N 、Q 是A 1B 1、B 1C 1的中点，∴NQ A 1C 1，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，NQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴NQ ∥平面AA 1C 1C .又∵MQ ∩NQ=B ，∴平面MNQ ∥平面AA 1C 1C ， 又MN ⊂平面MNQ ∴MN ∥平面AA 1C 1C.16. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .方法一：平行四边形的性质过E 作ES ∥BB 1交AB 于S ，过F 作FT ∥BB 1交BC 于T ，连接ST ，则11AE ESAB B B =，且11BF FT BC C C = ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴AE=BF∴11ES FT B B CC =，∴ES=FT 又∵ES ∥B 1B ∥FT ，∴四边形E FTS 为平行四边形.∴EF ∥ST ，又ST ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法二：相似三角形的性质连接B 1F 交BC 于点Q ，连接AQ ， ∵B 1C 1∥BC ，∴1111B F C F B Q C B =∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴1111B E B FB D B Q=∴EF ∥AQ ，又AQ ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法三：平面平行的性质 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .17. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解 面面平行的判定 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形， ∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x .又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.19. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长.（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法① 当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ，平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.方法② 当AB 与CD 异面时， 设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解三角形中位线如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME =21BD =3，MF =21AC =2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF =7或EF =19.20. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE . 证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AEPE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QNAB PM =，∴PM QN ，∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ① 又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QKAQ②由①②得PE AP =QKAQ，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， 即PM ∥平面BCE ，∴PE AP =MBAM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ②由①②得MBAM =BQ DQ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .21. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求线段MN 的长.（1）证明：方法一： 相似三角形的性质 连接AN 并延长交BC 于Q ， 连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ， ∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58， 又∵MA PM =ND BN =85， ∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .方法二：平行四边形的性质如图所示，作MQ ∥AB 交P B 于Q ，作NR ∥AB 交BC 于R ，连接QR.∵MQ ∥AB ∥NR ， ∴PM MQ PAAB=，NR BN DCBD=，又∵PM BNMA ND=，∴MQ NR ， ∴四边形MNRQ 为平行四边形，∴MN ∥QR. 又QR ⊂平面P BC ，MN ⊄平面P BC ， ∴MN ∥平面P BC .方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABP 内，过点M 作MN ∥P B ，交AB 于点O ，连接ON.∵MO ∥P B ，MO ⊄平面P BC ，PB ⊂平面P BC 即MO ∥平面P BC ， ∴AM AP=AO AB又∵MA PM =ND BN =85， ∴AO AB=DN DB,∴NO ∥AD ，∴NO ∥BC ，又∵NO ⊄平面P BC ，BC ⊂平面P BC ∴NO ∥平面P BC . 又∵MO ∩NO=O ，∴平面MNO ∥平面P BC ， MN ⊂平面MNO ，∴MN ∥平面P BC .（2）解 在等边△PBC 中，∠PBC =60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ=132+2865⎪⎭⎫⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ =891， ∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，∴MN =891×138=7.。