直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质

1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;

②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③

3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n

④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .

其中真命题的个数是 . 答案 0

5. 直线a //平面M ,直线b ⊂

/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要

6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂

D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =

7. 如果直线a 平行于平面α,则

A.平面α内有且只有一直线与a 平行

B.平面α内无数条直线与a 平行

C.平面α内不存在与a 平行的直线

D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b 9. 下列命题正确的个数是

10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α

（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行

（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行

（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是

A.b与α内的一条直线不相交

B.b与α内的两条直线不相交

C.b与α内的无数条直线不相交

D.b与α内的所有直线不相交

12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系

A.b∥α

B.b与α相交

C.b⊂α

D.b∥α或b与α相交

13.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上

的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.

解SG∥平面DEF，证明如下：

方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB.

在△ACG中，D是AC的中点，

且DH∥AG.

∴H为CG的中点.

∴FH是△SCG的中位线，

∴FH∥SG.

又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，

∴SG∥平面DEF.

方法二：平面平行的性质

∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.

∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，

∴EF∥平面SAB.

同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.

14.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明平行四边形的性质，平行线的传递性

（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

∴HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.

（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 2

1DC ， 又D 1G 2

1DC ，∴OE

D 1G ，

∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .

（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .

15. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1C.

证明 方法一：平行四边形的性质 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =2

1B 1C 1，

又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点， ∴NF MC ，

∴四边形NFCM 为平行四边形. ∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接AM 交C 1C 于点P ，连接A 1P ， ∵M 是BC 的中点，且MC ∥B 1C 1， ∴M 是B 1P 的中点， 又∵N 为A 1B 1中点，

∴MN ∥A 1P ，又A 1P ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法三：平面平行的性质

设B 1C 1中点为Q ，连接NQ ，MQ ， ∵M 、Q 是BC 、B 1C 1的中点，

∴MQ CC 1，又CC 1⊂平面AA 1C 1C ， MQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MQ ∥平面AA 1C 1C .

∵N 、Q 是A 1B 1、B 1C 1的中点，

∴NQ A 1C 1，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，NQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴NQ ∥平面AA 1C 1C .

又∵MQ ∩NQ=B ，∴平面MNQ ∥平面AA 1C 1C ， 又MN ⊂平面MNQ ∴MN ∥平面AA 1C 1C.

16. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别

有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .