2019-2020学年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }，B={2，3}，则A ∩B=（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{2} C ．{﹣1，0，1，2} D ．∅
2．（5分）“x ＞0”是“x +1＞0”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知tan （）=，则tanα的值为（ ） A ．
B ．
C ．3
D ．﹣3
4．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱所在直线与直线BA 1是异面直线的条
数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．（5分）定义在R 上的函数f （x ）=﹣x 3+m 与函数g （x ）=f （x ）﹣kx 在[﹣1，
1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，﹣3]
C ．[﹣3，+∞）
D ．[0，+∞）
6．（5分）函数y=xln |x |的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C
．
D ．
7．（5分）设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．α∥β，a ⊂α，则a ∥β
B ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b
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C ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β
D ．a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α 8．（5分）已知函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos （2x +φ）
的图象（ ） A ．关于点（，0）对称 B ．关于点（，0）对称 C ．关于直线x=
对称 D ．关于直线x=
对称
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在
同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．36π C ．48π D ．24π 10．（5分）已知函数f （x ）=x （2x ），若f （x ﹣1）＞f （x ），则x 的取值范
围是（ ） A ．（
） B ．（
） C ．（
） D ．（
）
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（5分）函数f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln2 B ．ln2﹣1 C ．﹣ln2 D ．﹣ln2﹣1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ．
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14．（5分）设函数f （x ）=，若f （a ）=9，则a 的值 ．
15．（5分）如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为30°，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为45°，则此山的高CD= m ．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a 的最大值为
．
（1）求a 的值；
（2）求f （x ）≥0使成立的x 的集合．
18．（12分）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．
（1）求证：曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线过定点；
（2）若函数f （x ）在（0，
）上存在极值，求实数a 的取值范围．
19．（12分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA=2sin （A +B ），它的面积S=c 2．
（1）求sinB 的值；
（2）若D 是BC 边上的一点，cos
，求
的值．
20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC=90°，
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AD=SD ，BC=CD=，侧面SAD ⊥底面ABCD ．
（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；
（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为
，求侧面△SAB 的面积．
21．（12分）已知函数f （x ）=﹣ax +alnx ．
（Ⅰ）当a ＜0时，论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2，且
x 1＜x 2．证明x 1＜．
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的
长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为
=3，曲线C 的
极坐标方程为ρ=4acosθ（a ＞0）．
（1）设t 为参数，若y=﹣2
，求直线l 参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ，设M （0，
），且|PQ |2=|MP |•|MQ |，
求实数a 的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）=|a ﹣3x |﹣|2+x |． （1）若a=2，解不等式f （x ）≤3；
（2）若存在实数a ，使得不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立，求实数a 的取值范围．
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四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }，B={2，3}，则A ∩B=（ ）
A ．{0，1，2，3}
B ．{2}
C ．{﹣1，0，1，2}
D ．∅
【解答】解：∵集合A={x |﹣1＜x ≤2，x ∈N }={0，1，2}，B={2，3}， ∴A ∩B={2}． 故选：B ．
2．（5分）“x ＞0”是“x +1＞0”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：“x +1＞0”⇔“x ＞﹣1”，
故“x ＞0”是“x +1＞0”的充分不必要条件，
故选：B ．
3．（5分）已知tan （
）=，则tanα的值为（ ） A ． B ． C ．3
D ．﹣3
【解答】解：由tan （
）=，得
，
∴，解得tanα=
．
故选：A ．
4．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱所在直线与直线BA 1是异面直线的条数为（ ）
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A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解答】解：由右边的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 直线CD ，C 1D 1，C 1C ，D 1D ，B 1C 1，AD ， 共有6条直线与直线BA 1是异面直线， 故选：C ．
5．（5分）定义在R 上的函数f （x ）=﹣x 3+m 与函数g （x ）=f （x ）﹣kx 在[﹣1，
1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，0]
B ．（﹣∞，﹣3]
C ．[﹣3，+∞）
D ．[0，+∞）
【解答】解：f′（x ）=﹣3x 2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f （x ）在[﹣1，1]递减， 结合题意g （x ）=﹣x 3+m ﹣kx 在[﹣1，1]递减， 故g′（x ）=﹣3x 2﹣k ≤0在[﹣1，1]恒成立， 故k ≥﹣3x 2在[﹣1，1]恒成立，故k ≥0， 故选：D ．
6．（5分）函数y=xln |x |的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C
．
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D ．
【解答】解：令f （x ）=xln |x |，易知f （﹣x ）=﹣xln |﹣x |=﹣xln |x |=﹣f （x ），所以该函数是奇函数，排除选项B ；
又x ＞0时，f （x ）=xlnx ，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D 选项；
令f （x ）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x ＞0时，函数图象与x 轴只有一个交点，所以C 选项满足题意． 故选：C ．
7．（5分）设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确
的是（ ）
A ．α∥β，a ⊂α，则a ∥β
B ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b
C ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β
D ．a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α
【解答】解：由a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在A 中，α∥β，a ⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得a ∥β，故A 正确；在B 中，a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故B 错误；
在C 中，a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，故D 错误．故选：A ．
8．（5分）已知函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos （2x +φ）
的图象（ ） A ．关于点（，0）对称 B ．关于点（，0）对称
C ．关于直线x=
对称 D ．关于直线x=
对称
【解答】解：∵函数y=sin （2x +φ）在x=处取得最大值，∴sin （
+φ）=1，
∴cos （
+φ）=0，∴函数y=cos （2x +φ）的图象关于点（
，0）对称，
故选：A ．
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9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在
同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．36π C ．48π D ．24π 【解答】解：设球的半径为R ， 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=
，
∴R 2=（R ﹣h ）2+r 2，即R 2=（R ﹣5）2+5， 解得：R=3，
故该球的表面积S=4πR 2=36π， 故选：B
10．（5分）已知函数f （x ）=x （2x ），若f （x ﹣1）＞f （x ），则x 的取值范
围是（ ） A ．（
） B ．（
） C ．（
） D ．（
）
【解答】解：x ＞0时，f （x ）在（0，+∞）递增， 而f （﹣x ）=f （x ），f （x ）是偶函数，
故f （x ）在（﹣∞，0）递减，
若f （x ﹣1）＞f （x ），
则|x ﹣1|＞|x |，即（x ﹣1）2＞x 2，
解得：x ＜，
故选：A ．
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
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A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：， 半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π， 故组合体的体积V=+π， 故选：D
12．（5分）函数f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln2
B ．ln2﹣1
C ．﹣ln2
D ．﹣ln2﹣1
【解答】解：令f （x ）=x ﹣ln （x +2）+e x ﹣a +4e a ﹣x ，
令g （x ）=x ﹣ln （x +2），g′（x ）=1﹣
=
，
故g （x ）=x ﹣ln （x +2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，g （x ）有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，
（当且仅当e x ﹣
a =4e a ﹣
x ，即x=a +ln2时，等号成立）； 故f （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a +ln2=﹣1， 即a=﹣1﹣ln2． 故选：D ．
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二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ﹣ ． 【解答】解：∵sinα+cosα=， ∴（sinα+cosα）2=， ∴1+2sinαcosα=， 解得sinαcosα=﹣， 故答案为：﹣．
14．（5分）设函数f （x ）=
，若f （a ）=9，则a 的值 3 ．
【解答】解：若a ＞2，由f （a ）=9，得2a +1=9，得a=3，
若0＜a ≤2，由f （a ）=9，得log 2a +4=9，得a=32，舍去．
综上a=3，
故答案为：3．
15．（5分）如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为30°，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为45°，则此山的高CD= 150
m ．
【解答】解：设此山高h （m ），由题意在点A 处时测得点D 的仰角为30°，得AC=
h ，
在△ABC 中，∠CBA=90°，测得点D 的仰角为45°， ∴BC=h ，AB=300．
根据勾股定理得，3h 2=h 2+90000，
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∴h=150． 即CD=150
m ．
故答案为：150
．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 （，） ．
【解答】解：长方体ABCD ﹣EFGH ，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ；
而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；
所以液体体积必须大于三棱柱G ﹣EHD 的体积，
并且小于长方体ABCD ﹣EFGH 体积﹣三棱柱B ﹣AFC 体积1﹣=， 故答案为：（，）．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a 的最大值为．
（1）求a 的值；
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（2）求f （x ）≥0使成立的x 的集合． 【解答】解：（1）∵f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +a=
=， ∴=，
∴a=；
（2）由（1）知，f （x ）=，
由f （x ）≥0，得≥0，
即，k ∈Z ． ∴
，k ∈Z ．
∴f （x ）≥0成立的x 的集合为[]，k ∈Z ．
18．（12分）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．
（1）求证：曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线过定点； （2）若函数f （x ）在（0，
）上存在极值，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）设f （x ）=ae x ﹣cosx ，其中a ∈R ．可得f′（x ）=ae x +sinx ，f′（0）
=a ，
f （0）=a ﹣1，
曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为：y ﹣（a ﹣1）=ax ，即a （x +1）
﹣（y +1）=0，
切线恒过（﹣1，﹣1）点．
（2）由（1）可知：f′（x ）=ae x +sinx=0，函数f （x ）在（0，）上存在极值，
说明方程有解， 可得a=，
令h （x ）=，
h′（x ）=
，x ∈（0，
），
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当x ∈（0，）时，h′（x ）＜0，函数是减函数， 当x ∈（
，
）时，h′（x ）＞0，函数是增函数，
函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h （0）
=0．
所以实数a 的取值范围：[，0）．
19．（12分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA=2sin （A +B ），它的面积S=c 2．
（1）求sinB 的值；
（2）若D 是BC 边上的一点，cos
，求
的值．
【解答】解：（1）∵sinA=2sin （A +B ），
∴sinA=2sinC ，a=2c ，
∴S=sinB•c•2c=
c 2， 故sinB=
；
（2）由（1）sinB=，cos ，
∴cosB=
，sin ∠ADB=
，
∴sin ∠BAD
=sin （B +∠ADB ）
=sinBcos ∠ADB +cosBsin ∠ADB =×+×
=
，
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由=，
得：
=
，解得：BD=c ，
故=3．
20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC=90°，
AD=SD ，BC=CD=，侧面SAD ⊥底面ABCD ．
（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；
（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为
，求侧面△SAB 的面积．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，BC=CD=
，
设BC=a ，则CD=a ，AB=2a ，在直角三角形BCD 中，∠BCD=90°，
可得BD=a ，∠CBD=45°，∠ABD=45°，
由余弦定理可得AD==
a ，
则BD ⊥AD ，
由面SAD ⊥底面ABCD ．可得BD ⊥平面SAD ，
又BD ⊂平面SBD ，可得平面SBD ⊥平面SAD ； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S ﹣BCD 的体积为，
由AD=SD=
a ，
在△SAD 中，可得SA=2SDsin60°=a ，
△SAD 的边AD 上的高SH=SDsin60°=a ，
由SH ⊥平面BCD ，可得 ×
a ××a 2=
，
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解得a=1，
由BD ⊥平面SAD ，可得BD ⊥SD ， SB==
=2a ，
又AB=2a ，
在等腰三角形SBA 中，
边SA 上的高为=a ，
则△SAB 的面积为×SA ×a=a=．
21．（12分）已知函数f （x ）=﹣ax +alnx ．
（Ⅰ）当a ＜0时，论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2，且
x 1＜x 2．证明x 1＜
．
【解答】（Ⅰ）解：函数f （x ）=﹣ax +alnx （a ＞0）的定义域为（0，+∞）
f′（x ）=x ﹣a +=
，（a ＜0），△=a 2﹣4a ．
当a ＜0时，△＞0，f′（x ）=0的根
＜0，
＞0
x ∈（0，x 2）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，x 2）递减，（x 2，+∞）上单调递增， （Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f （x ）=+m （m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，
x 2
⇔方程lnx ﹣x ﹣m=0（m ＜﹣2）有两个相异实根x 1，x 2．
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令g （x ）=lnx ﹣x ﹣m ，定义域为（0，+∞），g′（x ）=﹣1 令g′（x ）＜0得x ＞1，令g′（x ）＞0得0＜x ＜1
所以函数g （x ）=lnx ﹣x ﹣m 的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）， 又lnx 1﹣x 1﹣m=lnx 2﹣x 2﹣m=0， 由题意可知lnx 2﹣x 2=m ＜﹣2＜ln2﹣2，
又可知g （x ）=lnx ﹣x ﹣m 在（1，+∞）递减，故x 2＞2，
令h （x ）=g （x ）﹣g （），（x ＞2）， h （x ）=g （x ）﹣g （）=）=﹣x ++3lnx ﹣ln2（x ＞2），
h′（x ）=﹣
，
当x ＞2时，h′（x ）＜0，h （x ）是减函数，所以h （x ）＜h （2）=2ln2﹣＜0． 所以当x 2＞2 时，g （x 2）﹣g （
）＜0，即g （x 1）＜g （
），
因为g （x ）在（0，1）上单调递增，
所以x 1＜，
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为
=3，曲线C 的
极坐标方程为ρ=4acosθ（a ＞0）． （1）设t 为参数，若y=﹣2
，求直线l 参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ，设M （0，），且|PQ |2=|MP |•|MQ |，
求实数a 的值． 【解答】解：（1）由
=3，即ρcosθcos
﹣ρsinθsin
=3，
直线l 的极坐标方程为ρcosθ﹣
ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x ﹣
y ﹣6=0．
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∵y=﹣2+t ，∴x=y +6=t ，
∴直线l 的参数方程为：（t 为参数）．
（2）曲线C 的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4ax=0．
将（1）中的直线参数方程代x 2+y 2﹣4ax=0，并整理得：t 2﹣2
（1+a ）t +12=0，
又△=12（1+a ）2﹣4×12=12（a 2+2a ﹣3）＞0，解得：a ＞1， 设P 、Q 对应参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=2
（1+a ），t 1•t 2=12，
由t 的几何意义得|PQ |2=|t 1﹣t 2|2=（t 1+t 2）2﹣4t 1•t 2=12（1+a ）2﹣4×12，
|MP |•|MQ |=|t 1|•|t 2|=|t 1t 2|=12，
所以12（1+a ）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，
∴实数a 的值﹣1．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）=|a ﹣3x |﹣|2+x |． （1）若a=2，解不等式f （x ）≤3；
（2）若存在实数a ，使得不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f （x ）=|3x ﹣2|﹣|x +2|≤3， 可得
或
或
，
解得：﹣≤x ≤；
故不等式的解集是[﹣，]；
（2）不等式f （x ）≤1﹣a ﹣4|2+x |成立， 即|3x ﹣a |﹣|3x +6|≤1﹣a ， 由绝对值不等式的性质可得：
||3x ﹣a |﹣|3x +6||≤|（3x ﹣a ）﹣（3x +6）|=|a +6|， 即有f （x ）的最大值为|a +6|，
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高
考
马
到
成
功！
∴或，
解得：a≥﹣．
！
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