2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)

2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）
A．B．C．3 D．﹣3
2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）}B．[0，+∞）C．（﹣1，1）D．?
3．（5分）“ｘ＞0”是“（）x＜3”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）
A． B．C．
D．
6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确
的是（）
A．a∥b，b?α，则a∥αB．a?α，b?β，α∥β，则a∥b
C．a?α，b?α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a?α，则a∥β
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）
的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称
C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称
8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正
西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（）
A．150m B．75m C．150m D．300m
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在
同一个球的球面上，则该球的表面积为（）
A．4πB．36πC．48πD．24π
10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，0]D．[﹣3，+∞）
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和
半圆，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若
存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）
A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值．15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范
围是．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部
分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cos（x），其中a＞0．
（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；
（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．
（1）求sinB的值；
（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的
长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．
（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，求实数a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．
2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）A．B．C．3 D．﹣3
【解答】解：由tan（）=，得，
∴，解得tanα＝．
故选：A．
2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．{（﹣1，1）}B．[0，+∞）C．（﹣1，1）D．?
【解答】解：∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R，
B={y|y=x2}={y|y≥0}，
∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．
故选：B．
3．（5分）“ｘ＞0”是“（）x＜3”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“（）x＜3”?“３﹣x＜3”?“﹣x＜1”?“ｘ＞﹣1”，
故“ｘ＞0”是“（）x＜3”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，
可得A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
B1（2，2，2），C1（2，0，2），
由中点坐标公式可得E（2，1，0），F（2，1，2），
则=（2，﹣1，2），=（0，1，﹣2），
则cos＜，＞===﹣，
可得异面直线AF与C1E所成角的余弦值为，
则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=，
可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为，
故选：C．
5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）
A． B．C．
D．
【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；
又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；
令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．
故选：C．
6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确
的是（）
A．a∥b，b?α，则a∥αB．a?α，b?β，α∥β，则a∥b
C．a?α，b?α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a?α，则a∥β
【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在A 中，a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A错误；
在B中，a?α，b?β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，a?α，b?α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，α∥β，a?α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．
故选：D．
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称
C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称
【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，
故选：A．
8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正
西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（）
A．150m B．75m C．150m D．300m
【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，
在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，
∴BC=h，AB=300．
根据勾股定理得，3h2=h2+90000，
∴h=150
故选：C．
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在
同一个球的球面上，则该球的表面积为（）
A．4πB．36πC．48πD．24π
【解答】解：设球的半径为R，
则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，
∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，
解得：R=3，
故该球的表面积S=4πＲ2=36π，
故选：B．
10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，0]D．[﹣3，+∞）
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，∴函数f（x）是单调函数，
令f（x）+x3=t，则f（x）=t﹣x3，
f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，
结合题意g（x）=﹣x3+t﹣kx在[﹣1，1]递减，
故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，
故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，
故选：A．
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和
半圆，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，
半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，
故组合体的体积V=+π，
故选：D．
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）
A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1
【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，
令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，
故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而e x﹣a+4e a﹣x≥4，
（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；
故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln2=﹣1，
即a=﹣1﹣ln2．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为．
【解答】解：f（x）=2cos（+x）=﹣2sinx，函数f（x）为奇函数，
又f（﹣a）=，
∴f（a）=﹣f（﹣a）=．
故答案为：．
14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值3．
【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，
若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．
综上a=3，
故答案为：3．
15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（﹣∞，）．
【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，
而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，
若f（x﹣1）＞f（x），
则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，
解得：x＜，
故答案为：（﹣∞，）．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部
分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（1，5）．
【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，
则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；
而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，
液面的形状都不可能是三角形；
第11页（共19页）。