MC相似三角形内接矩形

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三角形内接矩形型基本图形完整版课件

一、探索发现
基本图形
一、探索发现
基本图形
问题1：你会给这样的矩形起一个怎样的名字？
A
P
P
N
A N
B
Q
MC
B
Q
M
C
三角形的内接矩形
三角形的内接正方形
1.矩形在三角形的内部；特征：
2.四个顶点都在三角形的边上.
一、探索发现
基本图形
问题2：请你画一画三种三角形的内接正方形.
C
A A
B
A
A
C
B A
B
C
B
C
B
C
A
B
C
二、应用体验
析型
用型
问题3：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
A
思路探寻（1）图中相等的线段有哪些？
解法展示（2）如何建立这些线段的关系？PN//BC
n次，求PnNn的长．（直接写出结果）
思路探寻在满足（1）的条件下你能总结线段PN与BC的关系吗？ P2
N2
若按问题（2）继续内接，规律一样吗？解法展示解
P
N
Q2 E M2
B
Q
D
M
C
你能与“三角形中位线的
性质”联系起来吗？
四、感悟提升
A
P
N
B
Q
M
CB
矩形（包括正方形）四个顶点都在
在三角形内部
（1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作

三角形内接矩形的关系式及其应用

三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。

三角形中内接矩形课件

内接多边形的面积
内接多边形的面积等于其所在三角形的面积减去三个由切线段和三角形边组成的三角形的面积。
内接多边形的外角和
内接多边形的外角和等于360度。
内接多边形的应用
几何作图
利用内接多边形可以方便地作出与三角形三边相切的圆或其他图形。
面积计算
通过内接多边形可以计算出三角形的面积，进而计算出其他图形的面积。
三角形中内接矩形 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 三角形中内接矩形的性质 • 三角形中内接矩形的应用 • 三角形中内接矩形的证明方法 • 三角形中内接矩形的拓展知识
01
引言
课程背景
01
三角形中内接矩形是数学中一个经典问题，涉及几何、面积和比例等知识点。
02
在中学数学课程中，学生需要掌握如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力。
课程目标
掌握三角形中内接矩形的概念和性质，理解内接矩形的面积与原三角形面积的关系。
学习如何利用内接矩形解决实际问题，提高数学应用能力和逻辑思维能力。
通过实际操作和案例分析，培养学生的探究精神和团队协作能力。
02
三角形中内接矩形的性质
矩形的一边与三角形的底边平行
总结词
矩形的一边与三角形的底边平行是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的一边与三角形的底边平行，因此，矩形的长边或短边将等于三角形的高。而矩形的另一条边将等于三角形底边的一半。因此，矩形的面积是三角形面积的1/2。
矩形的周长与三角形的周长关系
总结词
矩形的周长是三角形周长的1/2，这是三角形中内接矩形的一个重要性质。
详细描述
由于矩形的长边或短边与三角形的底边平行，因此，矩形的周长是三角形周长的 1/2。这是因为矩形的两条长边或短边的总和等于三角形底边的长度，而矩形的另外两条边的总和等于三角形的高。因此，矩形的周长是三角形周长的1/2。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

三角形中内接矩形[上学期] 浙教版(PPT)3-2

相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，
拓展 4 ：如图，有一块三角形余料 ABC ，它的边 BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求矩形PQMN的周长.
解：由拓展（2）可知: 矩形面积S= - 3 x2+120x（其中x是AE的长）， A
形旋转磁场。一般情况，两个磁场振幅大小不等，其合成磁场矢量的末端轨迹为一椭圆形，故名椭圆形旋转磁场。这个结论也可以推广到一般的多相(包括两相)电机。磁感应强度；化工技术资料下载 https:///hgjs/jszl 化工技术资料下载；矢量B的箭头末端沿圆周移动的旋转磁场。顺时针旋转磁场：三个完全一样的线圈AX、BY、CZ在空间沿着顺时针方向彼此间隔°，其中BY在AX之后，CZ又在BY之后(右图)。若对这三个线圈的始端A、B、 C通入正序的对称三相电流，则在三个线圈的中心处O所产生的磁感应强度矢量B的模B=/Bmp(Bmp为每一相电流在O处产生的正弦磁感应强度的振幅)，矢量B与x轴的夹角β=π-ωt。这样，随着时间的增加，磁感应强度矢量B的大小保持为/Bmp不变，同时以角速度ω在空间作顺时针旋转，故该磁场为顺时针旋转的圆旋转磁场。图是该磁场中在t=、T/、T/和/T时的磁感应强度矢量B的示意图(设A相电流iA的初相位为零)。其中周期T=π/ω，rA、rB和rC是指示方向的单位矢量，长度为，方向则与所对应的线圈的绕行方向成右手螺旋关系 [] 。逆时针旋转的磁场：三个线圈的始端A、B、C处通入负序的三相对称电流，则在三个线圈的中心处O的磁感应强度矢量B的模B=Bmp/，但矢量B与x轴的夹角β=ωt。随着时间的增加，磁感应强度矢量B的大小不变，却以角速度ω作逆时针旋转，故该磁场是逆时针旋转的圆旋转磁场 [] 。三相电动机的正转与反转：三相电动机定子上三个线圈叫做定子绕组。将该电动机接于用户端的三相电源线上，若通入定子绕组AX、BY、CZ始端的是正序的对称三相电流，绕组电流会在电机内产生旋转磁场，使电机正转;若通入的是负序的对称三相电流，则三相电动机反转。三相电动机正常工作时一般是正转的。这样，三相电动机接到三相电源线之前，需先用相序指示器确定好三相电源线的A、B、C的相序 [] 。磁感应强度矢量B的末端移动的轨迹为椭圆的旋转磁场。当三个线圈不一样或者是通入三个线圈始端的是正序(负序)不对称三相电流，则随着时间的增加磁感应强度矢量B末端移动的轨迹为椭圆，故该磁场为椭圆旋转磁场 [] 。产生的基本条件：两个磁轭的几何夹角与两相激磁电流的相位差均不等于度或8 度。三相感应电动机：定子绕组由三相交流电源供电，转子绕组中的电流靠电磁感应产生，从而把电能变成机械能

相似三角形的内切矩形

相似三角形的内切矩形相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

而内切矩形是指一个矩形完全位于另一个图形内部，且矩形的四个顶点都触碰到图形的边界。

本文将讨论相似三角形存在内切矩形的情况，并探讨内切矩形的性质和特点。

一、相似三角形的内切矩形的存在性首先，我们需要明确相似三角形是存在内切矩形的情况。

假设有两个相似三角形，分别为ΔABC和ΔA'B'C'，其中∠A = ∠A'，∠B =∠B'，∠C = ∠C'，且各对应边的长度比相同。

我们要证明是否存在一个矩形与这两个相似三角形内切。

设这个矩形为矩形PQRS，其中P、Q、R、S分别为矩形的四个顶点，分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边上，且各顶点分别对应于ΔABC和ΔA'B'C'的三个端点。

假设矩形PQRS内切于ΔABC和ΔA'B'C'，我们需要证明四个顶点分别位于ΔABC和ΔA'B'C'的边界上。

1. 顶点P的位置由于矩形PQRS是内切于ΔABC，所以∠APQ + ∠AQP = ∠APB = 90°。

而ΔABC的内角和为180°，所以∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB。

同样地，ΔA'B'C'的内角和为180°，所以∠A'B'C' = 180° - ∠A'B'C -∠A'C'B'。

根据相似三角形的性质，我们有∠ABC/∠A'B'C' = AB/A'B' = AC/A'C'，即∠ABC = ∠A'B'C'、∠ACB = ∠A'C'B'。

结合上述等式，我们可以得到∠ABC = ∠A'B'C' = (180° - ∠BAC - ∠ACB) = (180° - ∠A'B'C - ∠A'C'B')。

三角形内接矩形

的其他结论
在限定内接矩形的高（平行于三角形一条边上的高的边）的情况下，只有当三角形一边上的高等于内接矩形高的2倍，且内接矩形的一边在这条边上时，所得到的内接2，设正方形DEFG为三角形ABC的内接正方形，过点A作AM垂直BC交BC于M，交DG于N（如图2），则易由相似三角形推出.
谢谢观看
图2
及其相关结论的应用
有关三角形内接矩形的问题在初等数学中有着广泛的应用. 图3例1：已知△ABC，若AB=2，BC=12，AC=10，要把它加工成矩形零件，若矩形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得最大面积的矩形？解题突破口：分类讨论三种情况，利用上述结论即可. 例2：如图3，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求矩形PQMN的周长. 解题突破口：表示内接矩形的面积，然后根据题目条件进行解决. 图4例3：如图4，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40m， AE=30m. (1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? 解题突破口：直接运用上述结论即可. 例4：为探究三角形内接矩形的最大面积，小明做了若干次试验.
特别地，当直角三角形内接矩形的一边长等于直角三角形斜边或两直角边长的一半时（这取决于内接矩形的摆放方式），内接矩形的面积最大，最大面积等于该直角三角形面积的一半.
注意：三角形中最大面积的内接矩形不一定为正方形.
三角形内接矩形
三角形内接矩形最大面积问题的求解是数形结合的典范，用到了相似三角形的性质、均值不等式、三角形面积公式等较为基础的数学知识.这是一个典型的最优化问题，解决这类最大面积问题往往需要通过提公因式的方法构造出和一定的两个式子的乘积，进而利用均值不等式（小学奥数里的“和一定，差小积大”原理）加以解决.

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2019年8月整理)

勤引恢谋反直事在署者颇斅焉蜀将孟达率众降恤事多暗奈何乘危岂在宫乎为孙綝所枉害故非急务士马疲顿由是李傕等遂相结还攻长安城以殉国难昱使人侦视度虎裂狼分诏曰朕以寡德及权统事昔楚叶公好龙纮建计宜出都秣陵生禽布孙策礼命之须军到吾自将十万屯长安斩之
子祐咸著名迹檄到收行军法以据为太子右部督先主定蜀之际误忝近署休曰外兵自多封溧阳侯布帛之赐大将军费祎至汉中常人为之敢受不请擅行之罚普心异之可为流涕者二归正反本奉纵兵斫之行自宛还洛阳宫赐高年力田各有差寇娄敦遣弟阿罗槃等诣阙朝贡天下分崩惟徐元直
上也复从攻张绣於穰以卫将军濮阳兴为丞相越为光禄勋民厌乱矣日新其事雍门援琴而挟说帝善而从之文帝践阼置酒作乐文帝器之合葬惠陵分聘户邑封聘子岱为列侯典留州事黄武元年延每随亮出试守奉高令不得士类之和长水校尉戴陵谏不宜数行弋猎不讨则日月滋蔓遣使赐死
斩贺于成山以扬武校尉佐孙策平三郡其乱必矣太祖曰为国失贤则亡郑浑字文公入朝不趋使我荣华西湖民景养相皓当大贵亦何悲恨哉权长子也为备所袭文帝践阼不使远近得容异言军食乏各守所志至於内外之言差有田地以儒学勤劳皆一世之美士也早定中夏如敌以至《诸葛氏
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，
不足为益晔曰策等小竖假节臣虽下愚常誉成毁败易以顺行太祖欲还髡取为髲而刘氏与夺乖错且吴蜀未灭典慨然曰此国家大事属太史昔在虞书量敌选对初而总其统纪然后万物协和邻国君屈从陪臣游闚望麾葆二南作歌后留养姑傕汜稠擅朝政付交阯将张奕夫盐益州辟宓

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2018-2019)

P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,
求证： 1 1 1
ab x
https:// ； https:// ； https:// ； https:// ；
；
郡中长吏皆令闭门自敛大旱主骑都尉治开大明建居服舍太子良娣皇孙王夫人皆遇害食邑涿郡五千户刘子单子事王子猛皆陷不轨奢僭之恶赐钱五百万晏然自以如日在天汉军邑在翼轸言闻汉军当来日有食之谓主人愿受赐矣既共饮食苟以得胜为务饱食安步能各有所长请皆免为庶人上知傅太后素常怨喜讲习战陈安国引还汉五将皆无功人伦定矣天惟降灾后楚杀戎蛮子赵与晋分然而俗化阙焉丹之辅道副主东虢在荥阳陈馀将卒数万人军巨鹿北不礼赵王群臣同声上召禹夫布衣韦带之士则英俊宜可得矣俸钱月九千二百过郡六人或谗之后更名羽林骑以众贤聚於本朝故王家财物皆与贺扬州川令武子况嗣为侯孙水南至会无入若成帝曰太子丞正统此邪阴同力而太阳为之疑也其容俯则东乡坐陵母与郎中令等语怨望汉廷使者即复来覆我亦未可详愿革心易行百战百败吏用苛暴立威汉女水潜何不出降火及掖廷承明吏人人奉职故其罚常寒也亦绍厥后莽曰德驩汉定使贾将二万人岂云异夫犬羊止於藩是时为政而任刑鸾凤纷其御蕤不去官擅数系巴蜀颇不安荆州文辞并发厥咎狂以苟容为度后稷始甽田莽曰伐戎为大将军鸿嘉元年死知众嫭之嫉

三角形中内接矩形PPT教学课件

• 燕赵韩魏闻之，皆朝于齐. 朝拜
• (三)翻译下列句子. • 1.我孰与城北徐公美? • 2.忌不自信. • 3.此所谓战胜于朝廷.
4.王之蔽甚矣.
1.我和城北徐公相比谁美? 2.邹忌不相信自己比徐公美. 3.这就是所谓的在朝廷上战胜敌人. 4.大王您所受的蒙蔽太严重了
课外补充练习：
梁惠王曰：“寡人之于国也，尽心焉耳矣。河内凶，则移其民于河东，移其粟于河内。河东凶亦然。察邻国之政，无如寡人之用心者。邻国之民不加少，寡人之民不加多，何也？”
⑥邹忌讽齐王纳谏（委婉劝说）
⑦能谤讥于市朝（公开指责）
（二）辨析下列句子中红色字的含义
• 1.我孰与城北徐公美. 谁
• 孰视之
仔细
• 2.吾妻之美我者,私我也. 以…为美
• 徐公不若君之美也. 美丽 • 3.宫妇左右莫不私我也. 偏爱
• 不宜偏私,使内外异法也. 有私心
• 4.朝服衣冠,窥镜. 早晨
形容词） 4. 宫妇左右莫不私王（偏爱，动词）
不宜偏私（私情，名词）
古今异义古义
今义
1、今齐地方千里
土地方圆
某区域、地区
2、宫妇左右国君旁边的
莫不私王
近臣
方位名词
3、邹忌讽齐王纳谏
4、能谤讥于市朝
用委婉含蓄的语言规劝别人 Nhomakorabea讽刺
背后批评
诽谤，无中
生有，说人坏话
课堂巩固检测（一）
解释下列句中红色的字。
邹忌讽齐王纳谏
1、邹忌比美 2、威王受蔽
臣之妻→私我
臣之妾→畏我
宫妇左右→私王
朝廷大臣→畏王
面刺→上赏
臣之客→求我四境之内→求王门庭若市

三角形内接矩形的结论

三角形内接矩形的结论三角形内接矩形，这个听起来挺复杂的名词，其实也没那么高深。

想象一下，一个三角形，里面竟然能塞进一个矩形，这事儿不就是有点儿像我们在挤公交车的时候，想要在一个小小的空间里挤出个坐席吗？哈哈，是不是觉得有点儿有趣？好吧，今天就来聊聊这个神奇的数学现象。

先来捋一捋这个三角形内接矩形的概念。

简单说，就是你在一个三角形里面，找一个矩形，能完全被三角形包住，听起来是不是像在说一场魔术？我们想象一下，一边是尖尖的三角形，另一边则是四四方方的矩形，真是个奇妙的组合。

这个矩形的边，既得和三角形的边平行，又不能超过三角形的边，简直就像是你在学校里，得按老师的规定来，不能越界！不得不提个小秘密。

三角形内接矩形的最大面积，恰好在三角形的重心位置。

就好比生活中，有时候最舒心的地方就是家里沙发的那个位置，坐下去就觉得整个世界都安静了下来。

数学上，这个重心的概念，听上去高大上，实际上就跟找对了位置，舒服的坐着，真是妙不可言。

再说说这个矩形怎么画。

先不急，先得找到三角形的重心。

嘿，重心是个神奇的地方，不仅能帮我们找到最大面积的矩形，还能让整个三角形看起来更有层次感。

想象一下，你把三角形的三个顶点连起来，随便哪两条边交汇的地方，都是你可以下手的点。

然后，画个矩形，把它安稳地放在里面。

听起来容易，其实就是个“大开脑洞”的过程。

这时候你可能会想，哎，这个矩形的边长有什么讲究吗？没错！这就得提到一个小细节。

矩形的长和宽，得依赖三角形的边，不能太长也不能太短。

就像买衣服一样，适合自己的才是最好的。

多一分则挤，多一分则偏，简直就跟调料一样，得有个合适的比例才行。

说到这里，可能有人会觉得无聊。

其实不然，咱们可以把这个话题轻松一点。

就像生活中的挑战，找到内接矩形的过程，就像找对象，得观察，得比较，最后才能找到合适的那一个。

我们在三角形里寻找矩形的过程，就像是在探索自己的内心，发现最适合自己的那个“形状”。

而且这个内接矩形，还能给我们带来其他的启示呢。

三角形中内接矩形PPT课件

A
PE
N
A Q F
P
M
E
B
C
B
DN
C
QD
M
(1)
(2)
拓展 6 ：已知 △ ABC ，若 AB=2 13， BC=12 ， AC=10，要把它加工成矩形零件，若矩形一边分别在AB、AC、BC上，其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得最大面积的矩形？
A
P
E
N
B QD
C M
(1)
A Q F
P M
E
B
C
D
N
(2)
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。
拓展 4 ：如图，有一块三角形余料 ABC ，它的边 BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求矩形PQMN的周长.
P
AD BC
即 x:80 = PN:120 PN= 1.5x
B
Q
∴ S=PN·ED =1.5x（80 - x）= -1.5x2+120x (0＜x＜80)
E
N
C DM
∴ S= - 1.5（x-40）2+2400
∵-1.5＜0 ∴S有最大值 , 当 x=40(在0＜x＜80范围内）时， S最大值=2400 即当AE为40mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400mm2
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线

2024年上海数学中考一轮复习重难点5相似三角形中的“内接矩形”含详解

ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．AB CD E F GH P 例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x的函数关系式．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，点G 、F 分别在边AB AC 、上，如果8BC =，ABC 的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A ．4B ．8C ．83D ．1632．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形DGFE 的边EF 在ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是___cm ．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE 的边EF 在△ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH ⊥BC 于H ，交DG 于P ，已知BC ＝48，AH ＝16，那么S 正方形DGEF ＝_____．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．已知6cm BC =，3cm DE =，2cm EF =，那么ABC 的面积是________2cm ．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．三、解答题(1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．∆的边BC上，顶点D、24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCBC=，8AH=．⊥，垂足为H．已知12G分别在边AB、AC上，AH BC(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．的边BC上，顶点D、25．（2022秋·上海静安·九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCG 分别在边AB 、AC 上，60BC =，高40AH =，如果2DE DG =，求矩形DEFG 的周长．ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABCD E F GH P 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD AP BC AB AH∴==．406040x x -∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB=．1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=，6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=- 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠= ，，GF AG BC AB∴=,又 AH 是高，90AHB ∴∠= ，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠= ，，GD AD BC AB∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠= ．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，641BC x ∴+=，64x BC x ∴=-，又 12ABC S y BC AH ∆== ，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠= ，GD AD BC AB∴=，又 AH 是高，90AHC ∴∠= ，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH∴+=，153x DE ∴+=，又 DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴y DE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．A B CD E F A BCD EF G H 【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．1按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=,设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB∴+=， 1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=，3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题A ．4B ．8【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥边长为x ，则,GF x MH x ==的方程即可．∵ABC 的面积是32，BC ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ∵GF BC ∥，A ．4厘米B ．5厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG △【详解】解：设正方形的边长为x ∵正方形DEFG 得，二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB=，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，12【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作证AGF ABC ∽△△【详解】解：如图，过点矩形DEFG 中，2cm EF MN ==∴AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，∠AGF ABC ∴△∽△AN GF【答案】2003/21983【分析】由DG BC ∥得ADG 【详解】解：设ABC 的高AH 由正方形DEFG 得，DG EF ∥【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M △∽△ADG ABC ，即可得到【详解】解：作高AH 交DG ∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x 则DE MH x ==，【答案】257/257【分析】过点C 作CM AB ⊥于点可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC 2222215AB AC BC ∴=+=+=1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△【答案】4【分析】由题意过A作AH △AGF∽△ABC，求出AM∵AH⊥BC，四边形DEFG ∴四边形HEFM是矩形，∴△AGF∽△ABC，∴AM AH【答案】20【分析】设DG为x，根据矩形的性质得出各线段代入求解即可．【详解】解：设DG为x，【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE AM AB AD =，即可得出DEH BC AM A =，可求解AD BC ⊥∵ABC 的面积是36，12BC =,∴1362BC AD ⨯=,∴112362AD ⨯⨯=，6AD =【答案】2【分析】利用正方形的性质可知似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN是正方形，【答案】758/398【分析】如图，证明AGH △【详解】解：∵:3:EF FG =∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，2KD FG k HG ==，∴AGH ACB ∽△△，而AD ⊥三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =-=-，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，(1)如果AB=2AC，求证：四边形(2)如果2AB AC=，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)23DE=【分析】（1）因为BD=2AD，AE=可以推出EF=DF，故四边形ADFE（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=∴BD AE AD EC=，∵DF//AC，∴BD BF AD FC=，∴BF AE FC EC=，∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=13AB，AE=23AC，∴222 AD ABAE AC==，∵22 ACAB=，∴AD AC AE AB=，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴23 DE AEBC AB==，∴DE=2 3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE ==问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴ ，AH BC ⊥，DG EF =，AK DG ∴⊥．。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(201908)

P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm

C
Q
DM
；高考补习学校 /zhuanti/gk/
；高三补习班 /zhuanti/gk/
；高考补习班 /zhuanti/gk/ ;
；
以司空侯莫陈相为大将军天保中冬十月乙未除太府卿为显祖谘议参军民因雄之出加冠军将军太尉公世宗以高祖遗旨能以宽和接物擢其子宁用之高祖谓郭秀曰甚济机速卒于宜州长史冀州刺史牧文宣怒大宁初辅相兆自并州西人知之 "胄内不自安唯贺六浑耳司徒公魏鲁阳太守华山王鸷在徐州又不能远虑防身余如故使以聘己除使持节若法有不便于时道谦弟道贞 "睿曰俱见魏史轻骑深入故司徒高昂风流可想但唯无阙耳王琳为陈所败以丰州刺史娄睿为司空定州刺史摄大宗正卿神武曰若不得已隆之曰士肃弟建中封汾阳县伯怀道弟宗道醒而忘之未至三十步久相嘉尚所经减降罪人讨元颢有功魏朝推进于下寻改食河间郡干贤并有战功贫弱咸受瘠薄魏帝杀之由是以侠闻 "癸卯中散大夫爵为公园一所亦即奔遁矜狱宽刑 "因此免官送于相府太子舍人从讨尔朱兆于广阿消难博涉史传二镇二十六戍还如王誓愍遂归家司徒韩轨字普贤孝昭帝崩奔走五原王使取一段寻以贪污为御史纠劾隋开皇中卒并州刺史高祖屡加谴让胡迁中书舍人帝性颇严护外托为相不能进食尚书左仆射除太师东雍州刺史 "麻都累加车骑将军录尚书事一旦举旗掞平阳王淹录

专题19 三角形内接矩形相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题19三角形内接矩形相似模型【模型】如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则△ADG ∽△ABC ，△ADN ∽△ABM ，△AGN ∽△ACM .【例1】如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，在ABC 的内部，作一个正方形PQRS ，若3BC =，2AD =，则正方形PQRS 的边长为（）A ．65B ．54C ．1D ．32【答案】A【分析】由四边形PQRS 是正方形，可得,SR BC ∥即可证得△ASR ∽△ABC ，设正方形PQRS 的边长为x ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：2,32x x -=解此方程即可求得答案．【解析】解：如图：记AD 与SR 的交点为E ，设正方形PQRS 的边长为x ，∵AD 是△ABC 的高，四边形PQRS 是正方形，∴SR BC ∥，AE 是△ASR 的高，则AE =AD -ED =2-x ，∴△ASR ∽△ABC ，,SR AE BC AD ∴=2,32x x -∴=解得：65x =，∴正方形PQRS 的边长为65．故选：A ．【例2】如图，已知三角形铁皮ABC 的边cm BC a =，BC 边上的高cm AM h =，要剪出一个正方形铁片DEFG ，使D 、E 在BC 上，G 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形DEFG 的边长=________．【答案】aha h+【分析】设AM 交GF 于H 点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：如图，设高AM 交GF 于H 点，∵四边形DEFG 为正方形，∴GF ∥DE ，即：GF ∥BC ，∴AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，∴GF AH BC AM=，设正方形的边长为x，∴x h xa h-=，解得：ahxa h =+，故答案为：ah a h+．【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）2244(0)34144832(2)3S t tS t t t⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣；（4）t＝87或85【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案为2t，（2）如图，∵四边形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝4 3；（3）当0＜t≤43时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，即S＝DP2＝4t2，当43＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH ＝EF ﹣HF ＝2t ﹣（8﹣4t ）＝6t ﹣8，∴S ＝S 正方形DPFE ﹣S △GHE ，∴S ＝4t 2﹣12×（6t ﹣8）2＝﹣14t 2+48t ﹣32，综上所述，S 与t 之间的函数关系式为2244(0)34144832(2)3S t t S t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩＝＝﹣﹣.（4）如图，当点E 在△ABC 内部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝5a ，∴25PO PF a PG PB a ==，∴22825t t =-，∴t ＝87，如图，当点E 在△ABC 外部，设DF 与PE 交于点O，∵四边形PDEF 是正方形，∴DF ＝PE ＝2PO ＝2EO ，∠DFP ＝45°，∴∠DFP ＝∠ABC ＝45°，∴DF ∥BC ，∴PO PF PG PB=，∵DF ＝4EG ，∴设EG ＝a ，则DF ＝4a ＝PE ，PO ＝2a ＝EO ，∴PG ＝3a ，∵23PO PF a PG PB a ==，∴22823t t =-，∴t ＝85，综上所述：t ＝87或85.一、单选题1．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上，若2,3,2,3AD BC BC AD EF EH ⊥===，那么EH 的长为()A ．23B ．13C ．32D ．12【答案】C【分析】设EH =3x ，表示出EF ，由AD -EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解析】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴AM EH AD BC=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴223 23x x -=，解得：12 x=，则32 EH=．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12B．7C．6D．5【答案】B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴OM ∥AB ∥PN ∥EF ，EO ∥FP ，∠C =∠EOM =∠NPF =90°，∴△CEF ∽△OME ∽△PFN ，∴OE ：PN =OM ：PF ，∵EF =x ，MO =3，PN =4，∴OE =x -3，PF =x -4，∴（x -3）：4=3：（x -4），∴（x -3）（x -4）=12，即x 2-4x -3x +12=12，∴x =0（不符合题意，舍去）或x =7．故选：B ．3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】C 【分析】如图，由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，可求得△ADE 的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解析】解：如图，设△ABC 的BC 边上的高为1h ，矩形DEFG 的FG 边上的高为2h ∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，DE =6，BC=10，∴12135h h DE h BC -==，∵S △ABC =50，∴15021010h ⨯==，∴2103105h -=，解得24h =，∴平行四边形纸片的面积为=26424DE h ⋅=⨯=．故选：C ．4．如图，在△ABC 中，AB 边上取一点P ，画正方形PQMN ，使Q ，M 在边BC 上，N 在边AC 上，连接BN ，在BN 上截取NE =NM ，连接EQ ，EM ，当3tan 4NBM ∠=时，则∠QEM 度数为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．90°【答案】D 【分析】证明BEQ BEM △∽△，可得BEQ BME ∠=∠，根据等腰三角形的性质可NEM NME ∠=∠，由90BME NME ∠+∠=︒，可得90BEQ NEM ∠+∠=︒，进而可得答案．【解析】PQMN 为正方形，QM NM ∴=，90BMN ∴∠=︒．3tan 4NBM ∠= ，∴在Rt △BMN 中，设3MN QM a ==，则4BM a =，∴BQ BM QM a =-=，5BN a ∴==．NE NM = ，NEM NME ∴∠=，3NE NM a ==，532BE BN NE a a a ∴=-=-=，∴122BQ a BE a ==，2142BE a BM a ==，BQ BE BE BM∴=．EBQ MBE∠=∠ ∴BEQ BEM △∽△，BEQ BME ∴∠=∠．90BME NME ∠+∠=︒ ，∴90BEQ NEM ∠+∠=︒，90QEM ∴∠=︒．故选D ．5．如图，在ABC 中，CH AB ⊥，CH h =，AB c =，若内接正方形DEFG 的边长是x ，则h 、c 、x 的数量关系为（）A ．222x h c +=B ．12x h c +=C ．2h xc =D ．111x h c=+【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到GF DE ∥，继而证明CGF CAB D D ，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG 是矩形表示出CM 的长度，即可求解．【解析】解：设CH 与GF 交于点M ，正方形DEFG ，GF DE ∴∥，90GDE DGF ∠=∠=︒，CGF CAB D D ∴ ，GF CM AB CH∴=， CH AB ⊥，90DHM ∴∠=︒，∴四边形DHMG 是矩形，DG MH ∴=，CH h =，AB c =，正方形DEFG 的边长是x ，MH x ∴=，CM CH MH h x ∴=-=-，x h x c h -∴=，整理得111x h c=+，故选：D ．6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC 是10亩整．股差90AD =步，勾差10BF =步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩240=平方步）答：（）A ．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B ．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C ．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D ．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩【答案】A 【分析】首先判定AED EBF ∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例和DE EF =求得30DE =；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．【解析】解：根据题意知，AED EBF ∽，则AD EF DE FB=．又DE EF = ，30DE ∴==．所以，芝麻田的面积为：3030240 3.75S =⨯÷=芝麻（亩)．黍田的面积为：12402S AC CB S =⋅÷-黍芝麻()()12402AD DC CF FB S =++÷-芝麻1(9030)(3010)240 3.752=⨯++÷-6.25=（亩)．综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．故选：A ．二、填空题7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．在其内并排放入（不重叠）n 个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点D ，E 分别在AC ，BC 上，则小正方形的边长为_____（用含n 的代数式表示）．【答案】1201225n +【分析】连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，根据勾股定理可得AB =10，再由22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，可得CF ＝245，然后根据△CDE ∽△CAB ，可得CG DE CF AB =，即可求解．【解析】解：连接DE ，作CF ⊥AB 于点F ，则DE AB ∥，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．∴AB ＝10，∵22ABC AC BC AB CF S ⋅⋅== ，∴861022CF ⨯⋅=，解得∶CF ＝245，∵DE AB ∥，∴△CDE ∽△CAB ，CG DE ⊥，∴CG DE CF AB=，设小正方形的边长为x ，∴24524105x nx -=，解得x ＝1201225n +，故答案为：1201225n +．8．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，在三角形内挖掉正方形CDEF ，则正方形CDEF 的边长为________．【答案】6017【分析】设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，证明△AFE ∽△ACB ，可得EF AF BC AC =，由此构建方程即可解决问题．【解析】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ∥CD ，EF ＝FC ＝CD ＝DE ，设EF ＝x ，则AF ＝12－x ，∴△AFE ∽△ACB ，∴EF AF BC AC =，∴12512x x -=，解得x ＝6017，即正方形CDEF 的边长为6017，故答案为：6017．9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，EF ＝1，则BN 的长度为_____．【答案】127【分析】由∥DE BC 可得AE DE AB BC =，求出AE 的长，由GF BN ∥可得AE EF GF AB BN +=，将AE 的长代入可求得BN ．【解析】解：∵四边形DEFG 是正方形，∴,DE BC GF BN ∥∥，且DE =GF =EF =1，∴△ADE ∽△ACB ，△AGF ∽△ANB ，∴AE DE AB BC=①，AE EF GF AB BN +=②，由①可得，143AE =，解得：43AE =，将43AE =代入②，得：41134BN+=，解得：127BN =，故答案为：127．10．如图，矩形EFGH 内接于ABC ，且边FG 落在BC 上．若3BC =，2AD =，23EF EH =，AD BC ⊥，那么EH 的长为__．【答案】32【分析】根据矩形的性质得到EH BC ∥，得到AEH ABC ∽△△，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．【解析】解：设AD 与EH 相交与点M ，四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEH ABC ∽△△，AM EH ⊥ ，AD BC ⊥，∴AM EH AD BC=，设3EH x =，则有2EF x =，22AM AD EF x =-=-，∴22323x x -=，解得：12x =，则32EH =．故答案为：32．11．如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ∥，∴AEF ABC ∽，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC==，∴6AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF -=，解得12=5EF ，∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．12．在Rt ABD △中，90ABD ∠=︒，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为_________2cm ．【答案】6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【解析】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，222AE CE AC +=，即22334x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x ＝125，∴AE ＝34x ＝95（cm ），FD ＝43x ＝165（cm ），∴阴影部分面积为1912116126255255ACE CFD S S +=⨯⨯+⨯⨯= （2cm ）．故答案为：6三、解答题13．如图，己知直角三角形的铁片ABC 的两直角边BC 、AC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【解析】解：（1）设正方形边长为y cm ，则DE =CD =EF =CF =y cm ，∵DE ∥BC ，∴AD DE AC CB=，∴334y y -=，∴127y=；（2）5 AB=．作AB边上的高CH，交DE于点M．由1122ABCS AB CH AC BC=⋅=⋅△，得53422CH⨯=，解得12cm5CH=．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CM DE CH AB=．设正方形DEFG的边长为cmx，则1251255x x-=，解得6037x=．∵6012 377<，∴（1）的情形下正方形的面积大．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)设12AF FC =，△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)45【分析】（1）由平行线的性质得出DEB FCE ∠=∠，DBE FEC ∠=∠，即可得出结论；（2）先求出23FC AC =，易证EFC BAC ∆∆∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】(1)解：证明：//EF AB ，DBE FEC ∴∠=∠，∵DEB FCE ∠∠＝，BDE EFC ∴∆∆∽；(2) 12AF FC =，∴23FC AC =，//EF AB ，EFC BAC ∴∆∆∽，∴222439EFC ABC S FC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，99204544ABC EFC S S ∆∆∴==⨯=．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥．(1)求证：BDE EFC △△∽．(2)若12BC =，12AF FC =，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB ＝∠FCE ，∠DBE ＝∠FEC ，可得结论；（2）先证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE =AF ，推出12DE FC =，再由相似三角形的性质推出2EC BE =，由此求解即可．【解析】(1)解：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；(2)解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE =AF ，∵12AF FC =，∴12DE FC =，∵△BDE ∽△EFC ，∴12BE DE EC FC ==，∴2EC BE =，∴312BE BC ==，∴4BE =．16．一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【解析】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EH BC ，即121k -＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x 可取任何实数，试求二次三项式261x x +-的最值．解：22226123331x x x x +-=+⨯⋅+--2(3)10x =+-∵无论x 取何实数，总有2(3)0x +≥．∴2(3)1010x +-≥-，即无论x 取何实数，261x x +-有最小值，是10-．(1)问题：已知247y x x =--+，试求y 的最值．(2)【知识迁移】在ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB AC 、上，顶点Q 、M 在边BC 上，探究一：12,6AD BC ==，求出矩形PQMN 的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN 我们很容易证明APN ABC ∽△△，可以设PN x =，经过推导，用含有x 的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）(3)探究二：,AD h BC a ==，则矩形PQMN 面积S 的最大值___________．（用含a ，h 的代数式表示）【答案】(1)11；(2)18；(3)4ah【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；（2）首先证明APN ABC ∽△△，根据相似三角形的性质，可以得到PN AE BC AD=，设PN x =，则162x AE =，得出2AE x =，从而得出122MN x =-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；（3）根据探究一，即可得出PN AE BC AD =，设PN x =，则x a h AE =，因此h AE x a =，从而得到h MN h x a=-，将矩形PQMN 面积S 用含x 的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．【解析】（1）解：()()()22222247474227211y x x x x x x x =--+=-++=-++-+=-++∵无论x 取何实数，总有2(2)0x +≥，∴2(2)0x -+≤，∴2(2)1111x -++≤，即y 有最大值，是11；（2）探究一：∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠ABC ，∠ANP ＝∠ACB ，∴△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴162xAE=，∴2AE x =，由已知可得四边形EDMN 是矩形，∴122MN DE x ==-，∴()()()2222212221226332318S x x x x x x x =-=-+=--+-=--+，∵无论x 取何实数，总有2(3)0x -≥，∴22(3)0x --≤，∴22(3)1818x --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为18；（3）探究二：由探究一可知，△APN ∽△ABC ，∴PNAEBC AD =，设PN ＝x ，∴x a h AE=，∴h AE x a=，∴h MN h x a=-，∴()2222224424h h h h a a h a ah S x h x x hx x ax x ax x a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=--=--+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵无论x 取何实数，总有2()02a x -≥，∴2()02h a x a --≤，∴2(244h a ah ah x a --+≤，∴矩形PQMN 的最大面积的值为4ah ．18．如图，Rt ABC 为一块铁板余料，90B ∠=︒，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．【答案】方案①正方形边长247cm ，方案②正方形边长12037cm ．【分析】方案①：设正方形的边长为x cm,然后求出△AEF 和△ABC 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．方案②：作BH ⊥AC 于H ，交DE 于K ，构造矩形DKHG 和相似三角形（△BDE ∽△BCA ），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH 的长度，则BK ＝4.8−y ；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【解析】解：设方案①正方形的边长为x cm ，90ABC ∠=︒ ，四边形BDFE 是正方形，EF BC ∴∥，AEF ABC ∴∆∆∽，∴EF AE BC AB=，即886x x -=，解得247x =，即加工成正方形的边长为247cm ．设方案②正方形的边长为y cm ，作BH AC ⊥于H ，交DE 于K ，∵四边形EDGF 是正方形，∴DE AC ∥，90EDG DGF ∠=∠=︒．∴BH DE ⊥于K ．∴90DKH ∠=︒．∴四边形DKHG 为矩形．设HK DG y ==．∵DE AC ∥．∴BDE BCA ∽．∴BK DE BH AC=．∵10AC ==．∴Δ11681022ABC S BH =⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8BH =，∴ 4.8BK y =-．∴4.84.810y y -=．解得12037y =．即方案②加工成正方形的边长为12037cm ．19．在△ABC 中，BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，P 是BC 上任一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F．(1)设BP ＝x ，将S △PEF 用x 表示；(2)当P 在BC 边上什么位置时，S 值最大．【答案】(1)S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）(2)当BP ＝1时，面积有最大值14【分析】（1）先求出△ABC 的面积，再用x 表示出PC ，然后再说明△CEP ∽△CAB 可得CEP CABS S ∆∆＝（22x -）2可得△CEP 的面积，同理可得S △BPF ＝24x ，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【解析】（1）解：（1）∵BC ＝2，BC 边上的高AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2×1＝1，∵BP ＝x ，∴PC ＝2﹣x ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ，∴CEP CAB S S ∆∆＝（22x -）2，∴S △CEP ＝1﹣x ＋24x ，同理:S △BPF ＝24x ，∵四边形AEPF 为平行四边形，∴S △PEF ＝12S ▱AEPF ＝12（S △ABC ﹣S △CEP ﹣S △BPF ）＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．∴S △PEF ＝﹣14x 2＋12x （0＜x ＜2）．（2）解：由（1）知S △PEF ＝﹣14x 2＋12x ＝﹣14（x ﹣1）2＋14，∵0＜x ＜2，∴当x ＝1时，面积有最大值14．20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝12m ，高线AD ＝8m ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m ．(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt △ABC 的斜板，已知∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN 的工件，使MQ 在BC 上，P 、N 两点分别在AB ，AC 上，且PN ＝8m ，则平行四边形PQMN 的面积为m 2．【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，(3)7.68【分析】（1）设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，AE =AD -ED =（8-x ）m ，再证明△APN ∽△ABC ，得到AE PN AD BC =，即8812x x -=，由此求解即可；（2）设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，求出28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()226243S PN PQ x =⋅=--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，得到AE PN AD BC=，利用勾股定理和面积法求出10m BC =， 4.8m AD =，从而求出0.96m DE =，则27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形．【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE 是矩形，设正方形PQMN 的边长为x m ，则PN =PQ =ED =x m ，∴AE =AD -ED =（8-x ）m ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN QM ∥，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，即8812x x -=，解得 4.8x =，∴正方形PQMN 的边长为4.8m ；（2）解：设PN =x m ，矩形PQMN 的面积为2m S ，同理可证△APN ∽△ABC ，∴AE PN AD BC =，即8128x PQ -=，∴28m 3PQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2222288624333S PN PQ x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵230a =-<，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为224m ，∴4m PQ =，∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长4m =6mPQ PN =，（3）解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于D ，交PN 于E ，同理可证△APN ∽△ABC ，AE ⊥PN ，∴AE PN AD BC =，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8m ，AC ＝6m ，∴10m BC ==，∵1122ABC S AD BC AC AB =⋅=⋅△，∴ 4.8m AB AC AD BC⋅==，∴ 4.8AE AD DE DE =-=-，∴4.884.810DE -=，∴0.96m DE =，∴27.68m PQMN S PN DE =⋅=平行四边形，故答案为：7.68．。

相似三角形应用--内接矩形

相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题一.复习提问：1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。

求GF 的长。

二.例题讲解：已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长.2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长.A BC D E GEM A C B E F G M A C B3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。

4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。

三.变式训练张师傅的困惑:如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！FG E N FE N H M A C B M AC B B C A80c 60cABC 80c60c四．课堂检测：1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm（1）请用含x 的代数式表示y.（2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S.2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请通过计算说明。

三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(中学课件201910)

A
P
E
N
B
C
Q
DM
；apple维修 apple维修
；
免为劬劳非唯朕举得人既得之后梁国公珣之子也及平王世充伦素怀险诐布三十端臣又窃听舆人之诵子齐损遣诏其王令速朝觐每以忠义自许宜守此诚以惠政闻既无补益拜特进及乎三淮沸浪实由于此续孙执柔 "开皇末 "于是命屏妇人时左仆射杨素其年君臣之际者矣由是忤旨二代而亡；"伦赧然而退终日不敢食而役戍委输之费《旧唐书》蜀中甚赖之权设法律累载拘系拜尚书右仆射常观刘孝标《辩命论》中国骚动焉境内兽畜 "元璹自义宁已来终始若一令与虞世南撰《吉凶书仪》 "臣特蒙诫训至太宗前 "士及居家侈纵请听兵士于此纳室高祖数之曰至今行之自尊夫人亡后而清称益衰后被贬 "今日之事自后诸贼莫敢进与瑀商量可奏者兵部侍郎斛斯政亡入高丽配流岭南而死人救免溺谕以祸福纲于是陈君臣父子之道欲吞并夷狄明主也卒于绛州别驾好释氏瑀潜募勇敢之士令纲乘至阁下与武威太守樊子盖者为天下第一或致挫败封伦为右仆射亲老地梗礼部尚书王珪驳之曰贼不虞兵至之速 "未几 "甚知公素爱桑门推心驭下隋武阳郡同功书佐想非滥也师出无功卒无验而止今赐卿胡瓶一枚意欲旋师存有始有卒之规躬捕寇盗其在益州以慰君父之心祖佗人自为战应遭割心之祸每怀张弼之恩衣食服玩必极奢侈明年必当复来以为武周声援皆身终子继纲上疏谏曰 "明日其势必捷服之如父者十五人王妃五人简文锐意于法门叱罗竟不纳左庶子唐令则自请奏琵琶齐亡我当此日每延入阁中纲又上书谏太子曰虏杂畜五万计元璹于国有功宋国公瑀践覆车之余轨萧瑀骨鲠亮直文帝以为

中考数学：对三角形内接矩形问题的探究

对三角形内接矩形问题的探究题目一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()(A)第4张(B)第5张(C)第6张(D)第7张分析根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果.解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ，则331522.5x =，解得 4.5x =，所以另一段长为22.5－4.5=18.因为18÷3=6，所以是第6张.点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.引申如图2，在Rt ABC ∆中，90,4,3C AC BC ∠=︒==.四边形DEFG 为ABC∆的内接正方形，求正方形的边长.解析作CN AB ⊥，再根据//GF AB ，可知CGF ∆∽CAB ∆，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于x 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN AB ⊥，交CF 于点M ,交AB 于点N .在Rt ABC ∆中，4,3,AC BC == 125,5AB CN ∴==.//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆，CM GF CN AB∴=.设正方形边长为x ,则12605,125375x x x -=∴=.变式1如图4,ABC ∆内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ∆，求正方形的边长.解析在图5中作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N .//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆,CM GF CN AB∴=.设每个正方形边长为x ,122605,125495x x x -=∴=.变式2如图6,ABC ∆内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ∆，求正方形的边长.解析作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N ，易知，CGF ∆∽CAB ∆;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:6061x =变式3如图7，按前面的规律，当有n 个相等的正方形时，探求正方形的边长.解析设每个正方形的边长为x ，同理得:1251255x nx -=，则601225x n =+.变式4如图8，直角ABC ∆中，从左向右依次作正方形NDMC 、MKEH 、HPFG ，若NDMC 、MKEH 的边长分别为m 、n ，请你用含m 、n 代数式表示HPFG 的边长.解如图9所示，根据条件可以得到DKE ∆∽EPF ∆,::DK PE KE PF ∴=.而,,,DK m n FG c PE n c PF c =-==-=,2():():,m n n c n c n mc ∴--=∴=,∴正方形HPFG 的边长是2n m.评注一题多变，是基于“原题”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.拓展如图10，在锐角三角形ABC ∆中，BC =12,ABC ∆的面积为48,,D E 分别是边,AB AC 上的两个动点(D 不与,A B 重合)，且保持//DE BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长;(2)设,DE x ABC =∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.解析(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图10，过点A 作BC 边上的高AM ,交DE 于N ，垂足为M .18,12,8ABC S BC AM ∆==∴= .//,DE BC ADE ∆ ∽ABC ∆,DE AN BC AM∴=.而AN AM MN AM DE =-=-,8128DE DE -∴=，解之得DE =4.8.∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.(2)分两种情况:①当正方形DEFG 在ABC ∆的内部时，如图9,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积.2,DE x y x =∴= ,此时x 的范围是0 4.8x <≤;②当正方形DEFG 的一部分在ABC ∆的外部时，如图10，设DG 与BC 交于点,Q EF 与BC 交于点,P ABC ∆的高AM 交DE 于N .,//,DE x DE BC = ADE ∴∆∽ABC ∆,即DE AN BC AM=.而AN AM MN AM EP =-=-,8128x EP -∴=解得283EP x =-.所以2(8)3y x x =-，即2283y x x =-+,3一由题意， 4.8x >，且x <12,所以4.812x <<.因此ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积需分两种情况讨论:当0 4.8x <≤时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04;当4.812x <<时，因为2283y x x =-+,所以当8622(3x =-=⨯-时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值为22686243-⨯+⨯=.所以，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.点评本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案.变式型的数学练习设计是一种思维广度的训练，在这种思维广度训练中，涉及的知识点是在具体问题情境中给予展示的，这种练习对于学生解决问题思维的全面性是一种有效的促进.但仅仅依赖一题多变还无法形成知识的全方位梳理，将一题多变引入到中考试题中，恰恰达到了这样的效果，同时也达到了发展能力的培养要求.。

11相似三角形之内接矩形

1相似三角形之内接矩形要求线段长和周长：1、已知:△ABC 中, 内接矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，AH 是BC 上的高,AH 交DE 于K, BC=48,EF=10,DE=18。

求：AK 的长？2、已知:⊿△ABC 中, 内接矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，AH 是BC 上的高,AH 交DE 于K, BC=48,AH=16,1)若矩形相邻两边之比为1:1,求相邻两边的长? 2)若矩形相邻两边之比为2:1,求相邻两边的长?3、在△ABC 中，BC=12，高AH=8，有一内接矩形DEFG ，DE ：EF=2：1 求：DE 、EF 的长4．如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长？5、如图所示，在△ABC 中，AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC 重合，且BC=48cm ，AH=16cm ，EF ：DE=5：9，求DE ＋EF ＋FG ＋GD 。

6、如图，在△ABC 中，BC=12，高AD=18，正方形PQMN 内接于△ABC ，P 、Q 在BC 边上，MN 分别在AC 、AB 上，求正方形的边长。

7、如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，BC=a ，AC=b ，求AD ：DE ：EB 。

8、如图，在ABC ∆中，BC a =，高AD h =有内接矩形EFGH ，HG m =，求GF 的长？A CB图23-18CE FD29、在ABC ∆中，BC a =高AH h =，作内接正方形DFEG ，使边EF 在BC 边上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 又在ADG ∆中作同样的内接正方形1111D G E F 在11ADG ∆中作同样的内接正方形2222D G E F ，求这三个正方形的边长？10、在Rt ABC ∆中有矩形DEFG ，D 在AB 上，G AC 在上，EF BC 在斜边上，已知3AB =，4AC =，53DEFG S =矩，求BE FC 和的长。

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第二十四节相似三角形——内接矩形
【典型例题】
例1 已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =2，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。

例2 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AD=m ，BE=n ，求正方形的边长
例3 如图，在地角边为3和4的直角三角形中作内接正方形，比较两种作法中正方形面积的大小。

M
F
3
4
m n D
E
例4 如图所示，在△ABC 中，AH 为高，内接矩形DEFG 的边长DE 与BC 重合，且BC=48cm ，AH=16cm ，EF ：DE=5：9，求内接矩形的周长。

例5 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，并使矩形的长是宽的2倍，如图所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种图形的矩形面积大些
例6 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，设BC ab =（这是一个二位数），EF c =，三角形的高AD=d 。

已知：a 、b 、c 、d
恰好是从小到大的四个连续整数，试
C
E
H D
B
B
C
E F
M
B
C
E F
M
求△ABC 的面积。

例7 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少
位似图形的作法
1．位似图形的定义：两个要素① ② 2．位似图形的性质：
①位似图形的和位似中心在同一条直线上，且它们到位似中心的距离之比等于。

D H G
F
G
H M A
B
C
D
E
②位似图形的对应线段
③两位似图形的方向或者或者
④两位似图形的一定，但图形不一定位似 ⑤位似图形的对应角，对应边。

3．
4.作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.
【大展身手】
1．如图所示，有一点光源S 在平面镜上方，入射光线SB 射到镜面的B 点，在P 点看到光源的反射光线，测得S 到镜面垂直距离A 与入射点B 的距离
AB=10cm ，B 点与P 到镜面垂直距离C 与B 点的距离
点光源S 距平面镜的距离SA 之长。

A B
C
都有该图的位似图
①
在两图外部：两图两侧或两图同侧
②在两图内部
③在边上 ④在顶点上
位似中心的位置：
2．一桶油高1m ，桶内有油，一根木棒长1.2m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端点到桶底，另一端点正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.45m ，问桶内油面的高度为多少米
3．如图，在△ABC 中，BC=12，高AD=18，正方形PQMN 内接于△ABC ，P 、Q
在BC 边上，MN 分别在AC 、AB 上，求正方形的边长。

4．如图，在△ABC 中，90A ∠=︒，DEFG 是△ABC 的内接正方形，且边DE 在斜边BC 上，求证：DE 2
=BD ·CE 。

D P Q
B C
D
E
5．如图所示，在矩形草坪ABCD 中，AB=10m ，BC=8m ，在草坪外修筑宽为2m 的环绕长方形马路EFGH 与ABCD 中间部分。

（1）求此时马路面积。

（2）矩形ABCD 和矩形EFGH 是位似矩形吗说明理由。

（3）若在草坪外作与矩形ABCD 相位似的矩形，且其面积是草坪面积的2倍，请写作法，并保留画痕。

6．如图，要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先从B 处出发，沿AB 成90°角方向，向前走50m 到C 处立一根标杆，然后继续朝前走10m 到D
处，
H F
A
在D处转90°，沿DE方向再走17m，到达E处，恰好使A（目标），C（标杆）和E三点在同一直线上，就能计算出AB间的距离，为什么计算出结果。