2019版文数人教版a版练习：第八章 第六节 双曲线 含解析
2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第8章 第6节 双
第六节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第139页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[知识拓展]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1 D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第140页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．[跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) 【导学号：97190291】A ．14 B ．13 C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程. (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( )A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________. 【导学号：97190292】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。
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解:化为标准方程为 x2 y2 1
实轴长: 2a 6 9 16
虚轴长: 2b 8
焦点坐标: (5,0),(5,0)
顶点坐标: (3, 0), (3, 0)
离心率:
e c 5 a3
渐近线方程:
y4x 3
解：
y2 x2 =1
9 16
实轴长: 2a 6 虚轴长: 2b 8
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知识 再现
类比 研究
探究 论证
Байду номын сангаас
例题 解析
巩固 练习
课堂 小结
1.双曲线的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率，渐近线）
(1)由双曲线的标准方程得出双曲线的几何性质；
(2)由几何性质求双曲线的标准方程，要注意先确定焦点所在的 位置。
2.数学思想：类比思想和数形结合思想.
y a x b
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（必做）习题2.3A组3,4题 （选做）思考题1,2题
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人教A版（2019）双曲线课件PPT1 人教A版（2019）双曲线课件PPT1
离心率可以刻画 椭圆的扁平程度，双 曲线的离心率刻画双 曲线的什么几何特征？
y
B2
b
A1
a A2
o
x
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
B1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
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知识 再现
类比 研究
探究 论证
图形
y
2019版一轮文数(人教版A版)课件：第八章 第六节 双曲线
[答案]
(1)D (2)B
解析 答案
考点一
考点二
考点三
[易错提醒] 应用双曲线定义时要注意 (1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支． (2)2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在． (3)求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则 x2 与 y2 的系数会错． (4)注意 a、b、c 的关系易错易混(c>a>0，c>b>0)．
x2 y2 2．若双曲线 E： － ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2， 9 16 点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( B ) A．11 C． 5 B．9 D． 3
x2 y2 3. － ＝－1 表示双曲线，则 m 的范围为 2＋m m＋1
(－∞，－2)∪(－1，＋∞) ． _________________________
顶点 性质
(0，－a) (－a,0)，顶点坐标： 顶点坐标： A1_______ A1________ ，
(a,0) A2______
b ± y＝______ ax
A2 (0，a)
渐近线 离心率
a ± x b y＝______
c (1，＋∞) e＝a，e∈__________
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 性质
|PF2|－|PF1|＝2a，① 可得 |QF2|－|QF1|＝2a， ②
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a， ∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
答案：B
解析
答案
考点一
考点二
考点三
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 3.2双曲线(含解析)
3.2 双曲线1、双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)假设a <c ，那么集合P 为双曲线； (2)假设a ＝c ，那么集合P 为两条射线； (3)假设a >c ，那么集合P 为空集. 2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图 形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长度|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 23、注意：〔1〕过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.知识梳理〔2〕离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2 〔3〕等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.题型一 轨迹问题例1 到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为〔 〕 A ．椭圆 B ．两条射线C ．双曲线D ．线段【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接得轨迹为两条射线． 【详解】∵到两定点F 1〔﹣3，0〕、F 2〔3，0〕的距离之差的绝对值等于6， 而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 应选B ．点(3,0)(3,0)(1,0)M N B -、、，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M N 、与圆C 相切的两直线〔非坐标轴〕相交于点P ，那么点P 的轨迹方程为〔 〕A ．221(1)8y x x -=≠±B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>【答案】A 【解析】知识典例稳固练习【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，那么由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可〔要注意x的取值范围〕．【详解】由题意画图如下可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=〔|PA|+|MA|〕﹣〔|PD|+|ND|〕=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支〔右顶点除外〕，当如以下图时，那么|PN|﹣|PM|=〔|PB|-|NB|〕﹣〔|PA|-|AM|〕=|MA|﹣|NB|=4﹣2=2＜|MN|，又2a=2，c=3，那么a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为221(1)8yx x-=≠±．应选A．题型二双曲线标准方程例2顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x=±的双曲线的标准方程为________.【答案】22194y x-=或2218194x y-=.【解析】【分析】先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程．【详解】由题意2a=6，∴a=3．当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为32y x =±,∴39,. 322 bb=∴=∴方程为2218194x y-=；当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为32y x =±，∴33, 2.2bb=∴=∴方程为221 94y x-=．故双曲线的标准方程为：22194y x-=或2218194x y-=.双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为12y x =±，那么该双曲线的标准方程为____________________. 【答案】2214x y -=【解析】 【分析】 【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=. 点(4,3)M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故此题正确答案是2214x y -=.题型三 双曲线的概念及应用例 3 双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是12,F F ，点P 是C 的右支上的一点〔不是顶点〕，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，那么||MO =〔 〕 A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，由几何知识可知，()1121122MO DF PF PF a ==-=，即可求出． 【详解】如下图：延长F 2M 交PF 1于D稳固练习由几何知识可知，PM 垂直平分2DF ，而4a =， 所以()11211422MO DF PF PF a ==-==． 应选：C ．定点12(2,0),(2,0),F F N -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，那么点P 的轨迹方程是〔 〕A ．2213y x +=B ．2213y x -=C ．2213x y +=D ．2213x y -=【答案】B 【解析】 【分析】由N 是圆22:1O x y +=上任意一点,可得||1ON =-，N 为1MF 的中点可求2MF ，结合垂直平分线的性质可得1||PF PM =，从而可得212PF PF -=为定值，由双曲线的定义即可得结果.【详解】如图，当点P 在y 轴左侧时，连接ON ，1PF ，那么21||12ON F M ==，所以22F M =． 结合PN 为线段1MF 的垂直平分线，可得1222||2PF PM PF F M PF ==-=-， 所以211224PF PF F F -=<=．同理，当点P 在y 轴右侧时，121224PF PF F F -=<=．故点P 的轨迹是双曲线，其方程为2213y x -=．稳固练习应选：B题型四渐近线问题例4设双曲线C经过点(2)2，，且与2214yx-=具有相同渐近线，那么C的方程为__；渐近线方程为__________．【答案】221312x y-=2y x=±【解析】【分析】设双曲线C的方程为224yxλ-=，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程；【详解】解：设双曲线C的方程为224yxλ-=，将点(2,2)代入上式，得3λ=-，C∴的方程为221312x y-=，其渐近线方程为2y x=±．故答案为：221312x y-=；2y x=±双曲线的两条渐近线的夹角为60°，那么其离心率为．稳固练习【答案】2或233【解析】试题分析：将焦点在x 轴时2222222111423tan3033333b bc a c e a a a a -==∴=∴=∴=∴= 当焦点在y 轴时22222221tan3033423a b c a c e b aa a -==∴=∴=∴=∴=题型五 离心率例 5 F 为双曲线22221x y a b-=的一个焦点，B 为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，那么双曲线的离心率为〔 〕. A 6B 2C 3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求出直线BF 的方程，利用点到线的距离公式，得到a 、b 、c 的方程，即可求出离心率． 【详解】由题意，设(),0F c ，()0,B b ，那么直线BF 的方程为：1x yc b+=， 因为以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，故原点到直线BF 的距离为2c ，即222bc c b c-=+两边同时平方得222224b c c b c =+ 222c b a =+223b c ∴= ()2223c a c ∴-=2223c a ∴=6e ∴=故答案为A设F 为双曲线C ：22221x y a b-=〔a >0，b >0〕的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．假设|PQ |=|OF |，那么C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，应选A ．题型六 焦点三角形例 6 设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，假设1F ，2F ，()0,2P b 是正三角形的三个顶点，那么双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．32C ．52D ．3【答案】A 【解析】稳固练习试题分析：如图，()2222211tan 6034343PO PO b c c a c FO FO =∴=∴=∴-=222442c a e e ∴=∴=∴=设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=〔〕的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．假设16PF OP =，那么C 的离心率为 A ．5 B ．3C ．2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==()2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=稳固练习题型七 直线与双曲线例 7 假设直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是( )A ．1515,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．150,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．15,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．15,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由直线与双曲线联立得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()22221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得153-＜k ＜－1.设A ，B 分别为双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；稳固练习(2)直线y－2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．【答案】〔1〕221123y x -=；〔2〕t ＝4，点D 的坐标为3). 【解析】 【分析】〔1〕由双曲线的实轴长得a〔2〕设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由向量坐标化可得：x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，再由直线与双曲线联立得x 2－＋84＝0，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知a ＝∴一条渐近线为y，即bx －＝0.又c 2＝a 2＋b 2＝12＋b 2，∴解得b 2＝3.∴双曲线的方程为221123x y -=.(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2－＋84＝0. 那么x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝12.∴0022003 1.123x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴00 3.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由OM ON tOD +=，得12)＝3t )． ∴t ＝4，点D 的坐标为3)．题型八 数形结合法例 8 假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =有交点，那么其离心率的取值范围是〔 〕A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(2,)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比3y x =的斜率大，找到a b 、的关系，再求离心率的范围. 【详解】双曲线的焦点在x 轴，一条渐近线方程为by x a=， 这条渐近线比直线3y x =的斜率大，即3b a >，21()2be a=+>． 应选：C.假设直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A ．(2,1)-- B ．(1,2)C ．(2,2)-D ．(1,1)-【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.【详解】当直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的渐近线y x =±平行时，1k =±， 此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如下图：稳固练习因为直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点， 所以k 的取值范围为(1,1)-， 应选：D .题型九 极限法例 9 点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H两点，假设GHE △是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是〔 〕 A ．()1,+∞ B ．()1,2C ．(212, D ．(1,12【答案】B 【解析】 【分析】确定45GEF ∠<︒，在直角GEF △中得到2022a c +ac >-，即22<0e e --，计算得到答案. 【详解】假设GHE ∆是锐角三角形，那么45GEF ∠<︒在直角GEF ∆中，2b GF a=，EF a c =+，GF EF <即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e 应选：B1、方程22111x y k k-=+-表示双曲线，那么k 的取值范围是〔 〕A ．(1,1)-B ．(0,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据方程22111x y k k-=+-表示双曲线，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，方程22111x y k k-=+-表示双曲线，那么满足(1)(1)0k k +->，即(1)(1)0k k -+<，解得11k -<<，即k 的取值范围是(1,1)-. 应选：A.2、()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，那么动点P 的轨迹是〔 〕 A ．一条射线 B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 【解析】 【分析】根据PM PN MN -=可得动点P 的轨迹. 【详解】因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线， 其方程为：0,3y x =≥，应选A .3、假设实数k 满足09k <<，那么曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的〔 〕 A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等稳固提升【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】09k <<，那么90k ->，250k ->，双曲线221259x y k -=-的实半轴长为5=双曲线221259x y k -=-3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 应选D.4、假设直线y ＝2x 与双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)有公共点，那么双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1B ．C ．(1D ．【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线2y x =有交点，应有渐近线的斜率2b a > ,再由离心率c e a ==可得结论. 【详解】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为by x a=， 由双曲线与直线2y x =有交点知，应有2ba>，故c e a===> B.5、F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 左支上的一点，且点A 的坐标为(，那么APF 的周长最小为_________，此时其面积为___________．【答案】32 126 【解析】 【分析】作出图形，由双曲线的定义可得12PF PF =+，再由A 、P 、1F 三点共线可求得APF 周长的最小值；求得直线1AF 的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点P 的坐标，由此可求得APF 的面积. 【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线方程2218y x -=可知1a =，3c =，故()3,0F 、()13,0F -.当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+，从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++．因为()2236615AF =+为定值，所以当1AP PF +最小时，APF 的周长最小． 由图可知，此时点P 为线段1AF 与双曲线的交点， 那么APF 的周长为2211221532AP PF AF AO OF +++=++=．由题意可知直线1AF 的方程为2666y x =+．由22666,18y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩消去x ，得266960y +-=，解得26y =86y =-所以111166662612622APFAF FPF FSSS=-=⨯⨯⨯⨯=故答案为：32；126.6、双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．假设1F A AB =，120FB F B ⋅=，那么C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA FA ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 【详解】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥那么1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠， 又OA与OB都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba ==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a ==+=+=．7、假设关于x ,y 的方程22141x y t t +=--表示的是曲线C ,给出以下四个命题:①假设C 为椭圆,那么1<t<4; ②假设C 为双曲线,那么t>4或t<1; ③曲线C 不可能是圆;④假设C 表示椭圆,且长轴在x 轴上,那么312t <<. 其中正确的命题是_____.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 【答案】②【解析】对于①，假设C 为椭圆，那么有401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得14t <<且52t ≠．所以①不正确． 对于②，假设C 为双曲线，那么有()()410t t --<，解得t>4或t<1，所以②正确． 对于③，当52t =时，该曲线方程为2232x y +=，表示圆，所以③不正确． 对于④，假设C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，那么410t t ->->，解得512t <<，所以④不正确． 综上只有②正确． 答案：②8、12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为1【答案】ACD 【解析】 【分析】求出双曲线C 渐近线方程，焦点12,F F ，12PF F ∆的面积即可判断. 【详解】A .代入双曲线渐近线方程得y x =±,正确.B .由题意得12(F F ，那么以12F F 为直径的圆的方程 不是221x y +=，错误.C.1F ，渐近线方程为y x =，距离为1，正确. D .由题意得12(F F ,设00(,)P x y ，根 据120PF PF ⋅=，解得0x =0y = 12PF F ∆的面积为1.正确.应选：ACD.9、在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F，那么其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a =±即0bx ay ±=,bc b c ==所以2b c =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==10、双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为4，且过点(3,-．(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)假设直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) 双曲线方程为2213y x -=，其渐近线方程为y =;〔2〕k =k =【解析】 【分析】(1) 由题意得222249241a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解方程组即得双曲线的方程，再写出其渐近线方程.(2) 由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0得()22230162830k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩,解之即得实数k 的值，再利用数形结合分析得到实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意得222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ,解得2213a b ⎧=⎨=⎩∴双曲线方程为2213y x -=，其渐近线方程为y =.(2)由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0.洪创教育精品文档工作室洪创教育精品文档工作室 由题意得()22230162830k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩ , ∴k 2＝7，∴k＝当3－k 2=0时，直线l 与双曲线C的渐近线y =平行，即k =l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k =k =。
第八章 第六节 双曲线
第八章 平面解析几何第六节 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ．答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( )A ．3B ．2C ．53D ．54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝ca ＝54． 答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为 ( )A ． 3B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1．答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3．故选A ．答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B ．答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C ．答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________． 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5．答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．答案：x 216－y 29＝19．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，由题意可知：⎩⎨⎧8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎨⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0，5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4，2a ＝8．答案：8B 组 能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4．答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5．答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的 ( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16， 所以△F 1MF 2的面积S ＝12 m ′n sin 60°＝43．答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a．因为M 的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a．答案：a。
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第6讲双曲线课件文新人教版
【针对补偿】
1．(2018·广西第一次质量检测)若以 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)为 焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．
[解析] 依题意，设题中的双曲线方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
则有a42－b12＝1， a2＋b2＝3，
解得 a2＝2，b2＝1.因此该双曲线的标准方程是x22
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (5)若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)与bx22－ay22＝1(a>0，b>0)的离心 率分别是 e1，e2，则e112＋e122＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲 线)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
主，占 5 分左右.
[知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2，(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合 P＝{M||MF1|－|MF2|| ＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a＞0，c＞0： (1)若 a＜c 时，则集合 P 为双曲线； (2)若 a＝c 时，则集合 P 为 两条射线 ； (3)若 a＞c 时，则集合 P 为空集．
则点 P 的轨迹方程为( )
A.x42－y52＝1(y>0)
B.x42－y52＝1(x>0)
C.y42－x52＝1(y>0)
D.y42－x52＝1(x>0)
[解析] 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右 支，设其方程为ax22－by22＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知 c＝3，a＝2， b2＝9－4＝5，所以点 P 的轨迹方程为x42－y52＝1(x>0)．
2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习8.6 双曲线教学设计及答案
第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a ＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4³3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)²(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一 双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4， 4－a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常，且该常必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二 渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一 已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x .答案：C探究二 已知渐近线求离心率2．(2016²海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca＝ 5.答案： 5探究三 由离心率或渐近线求双曲线方程3．(2016²宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.答案：D探究四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a或|m |＝ab讨论． (2)注意形结合思想在处渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三 直线与双曲线的位置关系|(2016²汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝c a＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12 x 1＋1 . 同，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22 x 2＋1 .∴MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 12 x 1＋1 ， NF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 22 x 2＋1 . ∴MF 2→²NF 2→＝94＋9y 1y 24 x 1＋1 x 2＋1＝94＋9y 1y 24 ty 1＋3 ty 2＋3 ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2 ＋9]＝94＋9³93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2³93t 2－1＋3t ³－12t3t 2－1＋9＝94－94＝0，∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015²厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4³23³160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|²|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝c a ＝12.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|²4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴b a＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中， 由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3³3(x －2)2＝3k 2. 简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2362－4³8³ 36＋3k 2 8＝ 9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)，F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015²高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015²高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ²－b 2a c －a ＝－1，整得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015²高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015²高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015²高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pba，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p 22pb a＝4b 2－a 24ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.答案：32。
2019版高考数学(文)第8章 平面解析几何 第6讲双曲线 Word版含答案
第讲双曲线
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点双曲线的概念
平面内与两个定点，(＝>)的距离的差的绝对值为常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合＝{－＝}，＝，其中、为常数且>，>：
()当<时，点的轨迹是双曲线；
()当＝时，点的轨迹是两条射线；
()当>时，点不存在．
考点双曲线的标准方程和几何性质
[必会结论]
双曲线中的几个常用结论
()焦点到渐近线的距离为.
()实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
()双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
()过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
()过双曲线焦点的弦与双曲线交在同支上，则与另一个焦点构。
第8章 第6节 双曲线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
(1)当__a_<_c_|____时，P 点的轨迹是双曲线． (2)当__a_＝_c_____时，P 点的轨迹是两条射线． (3)当__a_>_c_____时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
解析(1)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，
则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2
＝（4 22）×2＋ 4 （2×2 22）2 2－42＝34.故选 C.
[巩固演练] 1．(2)已知 P 是双曲线x92－1y62 ＝1 右支上任意一点，M 是圆(x＋5)2＋y2＝1 上任意一点，设 P 到双曲线的渐近线的 距离为 d，则 d＋|PM|的最小值为___9_____．
►考向三 双曲线的几何性质[多维探究]
命题点 1 与渐近线相关的问题
[例 3－1] 已知 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程
是( A )
故双曲线 C 的标准方程为1x62 －y92＝1.故选 B.
(2)已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的一条渐近线 l 的倾斜角
为π，且 C 的一个焦点到 l 的距离为 3，则双曲线 C 的方程 3
为( D )
A． x2 －y2＝1 12 4
B．x2－ y2 ＝1 4 12
2019版一轮文数人教A版练习：第八章 第六节 双曲线 含解析 精品
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B ．62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B ． 3 C. 5D ．12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以ba ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca ＝ 1＋(ba )2＝2，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D ．x 23－y 24＝1解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1. 答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B ． 3 C ．23＋1D ．3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c 2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D ．x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a×2，解得⎩⎨⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. 答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(3)2b 2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97. 答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即 c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233 B ． 2 C ．2D ．263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D. 答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D ．x 24－y 23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，ba ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1. 答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B ． 3 C ．2D ． 5解析：不妨设B (x ，－ba x )，|OB |＝x 2＋(－ba x )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2. 答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B ．e1＋eC.e 21＋eD ．e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a 2c －c ，则tan θ＝y n －y m 1＋y n ×y m＝m －n mn y ＋y，由m －n ＝c －a >0，得当mny ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n 2mn ＝c －a 2(a 2c －a )(a 2c －c )＝e21＋e ，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a ＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝c a ＝ 2. 答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )， 即y ＝－ab (x －c )．联立可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2c ，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2ab c )，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a 2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。
(金版教程)2019年高考数学总练习第8章第6讲双曲线资料理新人教A版
实虚轴 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做 双曲线的虚半轴长
a、b、c的 关系
c2＝________(c>a>0，c>b>0)
(1)Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的双曲线的条件是什么？ (2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴 长与虚轴长有何关系？
[审题视点] 根据双曲线的焦点、离心率等有关几何性质 求解．
[解析] (1)设双曲线的方程为ax22－by22＝1，抛物线的准线
为 x＝－4，且|AB|＝4 3，故可得 A(－4,2 3)，B(－4，－2 3)，
将点 A 坐标代入双曲线方程得 a2＝4，故 a＝2，故实轴长为
4.
(2)由题意得 e＝
[变式探究] [2013·鞍山模考]已知双曲线 C：ax22－y2＝ 1(a>0)与 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B，l 与 y 轴交 于点 P，若P→A＝152P→B，则 a＝________.
解析：因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点，故
知方程组ax22－y2＝1， 有两组不同的实数解，消去 y 并整 x＋y＝1，
[审题视点] (1)对于双曲线中的坐标问题可运用方程思想 解之；(2)求出交点坐标，再应用三角形的面积公式求解；(3)利 用直线与圆相切，求出b的值，将直线方程与双曲线方程联 立，利用数量积的坐标运算、根与系数的关系等知识，以算代 证．
[解] (1)双曲线 C：x12－y2＝1，左焦点 F－ 26，0， 2
(1)已知双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一条渐近线的方程为 y ＝2x，则 b＝________.
(2)若双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于________.
2019年高考数学 第八章 第6课时 双曲线知能演练轻松闯关 新人教A版
2019年高考数学 第八章 第6课时 双曲线知能演练轻松闯关 新人教A版1．(xx·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ．由双曲线C 1知：a 2＝sin 2θ，b 2＝cos 2θ⇒c 2＝1，由双曲线C 2知：a 2＝cos 2θ，b 2＝sin 2θ⇒c 2＝1.2．(xx·福建宁德一模)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a的值为( )A ． 2B ．10C ．4D ．34解析：选C ．因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.3．(xx·辽宁六校联考)已知点P (2，5)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线上的一点，E ，F 分别是双曲线的左，右焦点，若EP →·FP →＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 24－y 25＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选C ．由条件易得b a ＝52，且(2＋c ，5)·(2－c ，5)＝0，联立求得a 2＝4，b 2＝5.4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1A F 2＝90°，且|A F 1|＝3|A F 2|，则双曲线的离心率等于( )A ．52B ．102C ．152D ．5解析：选B ．由⎩⎪⎨⎪⎧|A F 1|－|A F 2|＝2a |A F 1|＝3|A F 2|⇒⎩⎪⎨⎪⎧|A F 1|＝3a |A F 2|＝a ，由∠F 1A F 2＝90°，得|A F 1|2＋|A F 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝102.5．(xx·山西阳泉调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0D ．3x ±y ＝0解析：选C ．易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b ，而b 2c ＝14，所以b ＝12c ，a ＝c 2－b 2＝32c ，∴b a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是x ±3y ＝0. 6．(xx·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y23＝17．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3，0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y216＝18．(xx·浙江杭州调研)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意可知|P A 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a 2＝b 2，则e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.答案：29．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0. 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.[能力提升]1．(xx·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点⎝⎛⎭⎫3a 2p ，2b 2p ，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ．104C ．132D ．264解析：选D ．由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点⎝⎛⎭⎫3a 22c ，2b 22c ，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b 2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2.所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.2．(xx·山西阳泉高三第一次诊断)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．由题意知a ＝1，b ＝1，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，在△PF 1F 2中，由余弦定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2＝8，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，①由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，② ①－②得|PF 1||PF 2|＝4.3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )， P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2 ＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 答案：－24．(xx·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点．若在C上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上．∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ，且∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3C ．又点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2A ．∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋O N →＝tO D →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．6．(选做题)直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB|＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q. 依题意有∠Q PO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.。
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课时规范练 A 组 基础对点练
1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m
D ．3m
解析：双曲线方程为x 23m －y 2
3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.
答案：A
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62 C.52
D ．1
解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3
a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选
D. 答案：D
3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0
D ．y ±4x ＝0
解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 2
14－x 2＝0，即x ±2y
＝0，选A. 答案：A
4．设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝
4
3
|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24
D ．48
解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4
3|PF 2|，
∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1
2×6×8＝24.
答案：C
5．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A ．2 B. 3 C. 2
D.32
解析：由渐近线互相垂直可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·b
a ＝－1，
即a 2
＝b 2
，即c 2
＝2a 2
，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C
6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 2
4
＝1
B.x 2
4－y 2＝1 C.y 2
4
－x 2＝1 D ．y 2
－x 2
4
＝1
解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2
－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.
答案：C
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C
的方程为( )
A.x 24－y 2
3＝1 B.x 29－y 2
16＝1 C.x 216－y 2
9
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 解析：由题意得e ＝
1＋b 2a 2＝5
4
，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y
29
＝1.
答案：C
8．已知双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直
线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 2
4－y 2＝1 B ．x 2
－y 2
4
＝1
C.3x 220－3y 2
5
＝1 D.3x 25－3y 2
20
＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 2
4－y 2＝1.
答案：A
9．双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离
心率是( ) A. 5 B. 2 C ．2
D.52
解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，可得b
a ＝2，
∴e ＝c
a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝ 5.故选A. 答案：A
10．(2018·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的渐近
线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )。