浮点数计算实例

浮点数表示法示例

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：

符号位阶码尾数长度

float 1 8 23 32

double 1 11 52 64

通通表示为1.f * 2^n

因为浮点数中的小数部分= x1*1/2 + x2*1/4 + .....+xn*1/(2^n)来近似，所有这就是浮点数的精度问题。

以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数

例一：

已知：double类型38414.4。

求：其对应的二进制表示。

分析：double类型共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：

最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；

62-52位，一共11位是指数位；

51-0位，一共52位是尾数位。

步骤：按照IEEE浮点数表示法，下面先把38414.4转换为十六进制数。

把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:

0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……

实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。隐藏位技术：最高位的1不写入内存（最终保留下来的还是52位）。

如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100 ...... 1100110011001101......

(2)

科学记数法为：1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100，右移了15位，所以指数为15。或者可以如下理解：

1.001011000001110 0110011001100110011001100110011001100×2^15

于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1)，在这里，阶码：15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110；

符号位：因为38414.4为正对应为0；

合在一起（注：尾数二进制最高位的1不要）：

0 1000000 1110 0010 11000001 110 01100 11001100 11001100 11001100 11001100

例二：已知：整数3490593(16进制表示为0x354321)。求：其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。

解法如下：

先求出整数3490593的二进制表示：

H: 3 5 4 3 2 1 （十六进制表示）

B: 0011 0101 0100 0011 0010 0001 （二进制表示）

│←──────21─────→│

即：1.1010101000011001000012×221

可见，从左算起第一个1后有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k=8位，小数域位(尾数)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：

1 0101 0100 0011 0010 0001 00

float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的21位，因此偏置量为127+21=148，就是IEEE浮点数表示标准：

V = (-1)s×M×2E

E = e-Bias

中的e，此前计算Bias=127，刚好验证了E=148-127=21。

将148转为二进制表示为10010100，加上符号位0，最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100，其16进制表示为：

H: 4 A 5 5 0 C 8 4

B: 0100 1010 0101 0101 0000 1100 1000 0100

|←──── 21 ─────→ |

1|←─8 ─→||←───── 23 ─────→ |

这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。

例三：

0.5的二进制形式是0.1

它用浮点数的形式写出来是如下格式

0 01111110 00000000000000000000000

符号位阶码小数位

正数符号位为0，负数符号位为1

阶码是以2为底的指数

小数位表示小数点后面的数字

下面我们来分析一下0.5是如何写成0 01111110 00000000000000000000000

首先0.5是正数所以符号位为0

再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1),所以我们总结出来:

要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数

而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;

即阶码=127+(-1)=126 即 01111110

余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000

由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0 01111110 00000000000000000000000

注：如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.

例四（20.59375）10 =（10100.10011 ）2

首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：

20.59375＝10100.10011

然后移动小数点，使其在第1，2位之间

10100.10011＝1.010010011×2^4 即e＝4

于是得到：

S＝0， E＝4＋127＝131， M＝010010011

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：

0100 1001 1010 0100 1100 0000 0000 0000＝(41A4C000)16