组合数的两个性质

两点说明： 两点说明：
(1) (2)
∴C
m n
=C
n− m n
n Cn − m 为简化计算，当2m>n时，通常改为计算 为简化计算，
0 Cn = 1 为了使性质1在m＝n时也能成立，规定 时也能成立，
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． 个黑球．
3 C 8 = 56 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？ 个球，共有多少种取法？
含有 a 1的组合是从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n 个元素中取出
m m − 1个元素与 a 1 组成的，共有 C n − 1 个； 组成的，
不含 a 1的组合是从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有 个元素组成的，
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有 个球，使其中含有一个黑球， 多少种取法？ C 72 = 21 多少种取法？ ③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少 个球，使其中不含黑球， 种取法？ C 73 = 35 种取法？ 问题1：从中可以发现怎样的一个结论： C = C + C 从中可以发现怎样的一个结论：
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
m Cn 个
m m m 由分类计数原理，得 由分类计数原理，2 Cn+1 = Cn + Cn −1 组合数性质
计算： 计算：
(1)
C
3 99
198 200
=C
2 99
2 200
=
3 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
200 ´ 199 = 19900 2´ 1
( 2)
C
+
3 8
C
-
=C
+ 9
3
=
2 8
100 × 99 × 98 3 × 2 ×1
组合数计算公式
m (1)C n
m n
m An n( n − 1)( n − 2 ) L ( n − m + 1) = n = Am m!
( 2 )C
n! = m ! ( n − m )!
计算两个组合数 C ；C
7 10
3 10
问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行 为何上面两个不同的组合数其结果相同？ 解释？ 解释 10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说， 10个元素 从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素 个元素中取出 中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一 中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一 (10 对应的。因此，从10个元素中取7个元素的组合，与从这10个元素中取 10个元素中取 对应的。因此， 10个元素中取7个元素的组合，与从这10 个元素中取 出(10-7)个元素的组合是相等的． (10-7)个元素的组合是相等的． 个元素的组合是相等的 7 10 − 7 3 问题2： 质？
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
= 161700
( 3 )
2C
3
C
3
C
2 8
= 2C 8 - (C 8 +
C
)+
C
2 8
=
C
3 8
=
56
求证： C 求证： 证明：C 证明：
m+1 n
m +1 n
+C
m −1 n
+ 2C = C
m n m n m n
m +1 n+ 2 m+1 n
+C
m−1 n
+ 2C = (C
m n
m−1 n
+ C ) + (C + C
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
m −1 n
m n +1
= C +C
m n
及公式逆用
制作 冯健璇