福建省厦门市高一数学上学期期末试卷(含解析)

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厦门市高一(上)期末数学试卷

福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．904．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e26．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．288．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1610．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则∁U A={1，2，5}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：A．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．90【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，组距是14，∵第2段中编号为20的学生被抽中，∴第5组抽取的为20+3×14=62号，故选B．4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，故选D．5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e2【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），∴|lna﹣|=|lnb﹣|，∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，即lna=lnb或ln（ab）=1，解得a=b（舍）或ab=e．∴ab=e．故选：C．6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9 共5种密码，最多输入2次就能开锁的频率是p=，故选：C．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．28【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，a←7=14﹣7，则a=b=7，因此输出的a为7．故选：B．8．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），函数y=x a的图象为：所以A不正确；y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．所以B不正确；y=log a x，是减函数，所以选项C不正确；y=log a（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．故选：D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1故选：B．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由S0=2，S n+1=S n+×（n+2），∴S9=2+++＞1320，故选：C．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为85．【解答】解：由茎叶图得：学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：76，81，84，86，87，90，∴这些成绩的中位数为：．故答案为：85．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为36．【解答】解：=2015，=64，故64=﹣14×2015+a，解得：a=14×2015+64，故2017年1月份该地区的平均AQI为：y=﹣14×2017+14×2015+64=36，故答案为：36．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是{x|x＞} ．【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，则不等式f（ax）＞f（a﹣x），即x＞1﹣x，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|x＞}，故答案为：{x|x＞}．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，∴x≤﹣1．∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，∴a+1＜﹣2或a≥0，解得a＜﹣3或a≥0．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．【解答】本题满分（12分）．解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，∴其图象如图所示：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），∴m+1≤0或m≥2或，∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6 种，所以方案一中奖的概率为，所以顾客的想法是错误的．（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，所以方案二中奖的概率为，所以应该选择方案一．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6，频率是=0.15；[67.0，71.0）的频数是11，频率是=0.275，补齐频率分布表如下；计算a==0.05625，b==0.04375；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】本小题满分（12分）．解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．。

福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题(含答案解析)

福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题（含答案解析）1 已知集合，，则A∩B=（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2 已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得.【详解】因为函数的定义域为,所以要使有意义,只需 ,解得:或,所以函数的定义域为.故选C.【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.3 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（）A. 2B. －2C. 4D. －4【答案解析】 A【分析】由题意可得，根据，求得的值，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，所以为第三象限角.又是角终边上一点，所以，再根据（为坐标原点），所以，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4 某工厂前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案解析】 C【分析】根据图中表示工厂前年的总产量与之间的关系，得出平均产量的几何意义是原点与该点连线的斜率，从而得出答案．【详解】解：∵工厂前年的总产量与在图中对应点，∴前年的年平均产量即为直线的斜率，由图得，当时，直线的斜率最大，即前5年的年平均产量最高，故选：C．【点睛】本题考查了函数图象的应用问题，也考查了统计中的散点图的应用问题，解题的关键是正确分析出平均产量的几何意义是什么．5 的值为（）A -1 B. C. 3 D. -5【答案解析】 A【分析】进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可．【详解】原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．故选A．【点睛】本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题．6 已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可．【详解】依题意，，故选D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.7 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案解析】 B∵，则，故选B.8 已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，，，，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，，再结合对勾函数的性质，从而得解；【详解】解：结合与的图象可知：，，，故，，由对勾函数的图象可知函数在单调递增，当时，所以，故，故选：B．【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题9 （多选题）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（）A. 设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”B. 函数的充要条件是有最大值和最小值C. 若函数，的定义域相同，且，，则D. 若函数有最大值，则【答案解析】 ACD【分析】A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.【详解】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符；假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题．故选ACD.10 （多选题）已知为平面上两两不重合的四点，且，则（）．A. 当且仅当时，在的外部B. 当且仅当时，C. 当且仅当时，为的重心D. 当且仅当时，三点共线【答案解析】 CD【详解】当时，为的重心，在的内部，所以选项A不正确；当时，，，所以时也有，所以选项B错误；对于选项C重心的几何意义不难得出是正确的：可化为，由于，所以当且仅当时，三点共线，所以选项D正确.11 计算：_____．【答案解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.12 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_______.【答案解析】【分析】若则A⊆B，根据集合，集合，即可得出实数的取值范围.【详解】若则A⊆B，又集合，集合，所以.故答案为【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题.13 在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．【答案解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，从而求得的值．【详解】解：∵平面直角坐标系中，角终边过点，∴，，，∴，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14 在平面内，点A是定点，动点B，C满足，，则集合所表示的区域的面积是________.【答案解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.15 某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为___．【答案解析】【分析】先利用时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.16 偶函数满足，在时，．若存在，，…，满足，且，则最小值为__________．【答案解析】 1012【分析】由函数是最小正周期为6的偶函数可知函数的值域为，，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后可得的最小值．【详解】解：∵偶函数满足，∴，∴函数是最小正周期为6的偶函数，且在时，，∴函数的值域为，对任意，（，），都有，∵时，单调递减，根据偶函数的对称性可知时，单调递增，∵，，要使取最小值，尽可能多让取最高点与最低点，满足，且，∵，∴，则最小值为1012，故答案为：1012．【点睛】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题.17 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若为第二象限角且，求的值.【答案解析】 (1) ;(2) . 【详解】试题分析：（1）根据图象可得周期，故．再根据图象过点可得．最后根据函数的图象过点可求得，从而可得解析式．（2）由题意可得，进而可求得和，再按照两角和的正弦公式可求得的值．试题解析：(1)由图可知，周期，∴又函数的图象过点，∴，∴，∴，∵，∴．∴,∵函数图象过点，∴，∴，所以.（2）∵为第二象限角且，∴,∴，，∴18 已知函数．（1）写出f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）已知f(x)在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案解析】（1）（2）为奇函数．（3）【分析】（1）根据函数成立的条件即可求出的定义域；（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；（3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．【详解】解：（1）∵，恒成立，∴，即的定义域为．（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，∴，∴为奇函数．（3）∵对任意的，不等式恒成立，∴，又∵是奇函数，∴又∵在定义域内为单调减函数．∴，即对任意恒成立，∴得即为所求．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质． 19 △ABC是边长为3的等边三角形，,,过点F作交AC边于点D，交BA的延长线于点E．（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．【答案解析】（1）；（2）【详解】（1）由题意可知：，且，，故，（2）由题意，，，当时，有最大值．20 如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于M，轴于N．（1）比较与的大小，并说明理由；（2）的两边交矩形的边于A、B两点，且，求的取值范围．【答案解析】（1），见解析（2）【分析】（1）记，可求，，由，可得结论；（2）设，，，记，分，两种情况进行讨论，表示出，根据其单调性及端点处函数值可求得范围；【详解】解：（1）记，连接，则，依题意，∴；（2）设，，，记，①当时，，，∴②当时，，，∴综上，，在增函数，在是减函数，在是增函数，∵，，，，∴．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．21 如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系xOy则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．（1）求的值．（2）现准备建一座桥MN，其中M,N分别在上，且，的横坐标为t．写出桥MN的长l关于t的函数关系式，并标明定义域；当t为何值时，l取到最小值？最小值是多少？【答案解析】（1），.（2）；当时取到最小值，为【分析】（1）计算，，，，将点代入直线方程计算得到答案.（2）计算，得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意得：，，∴，，，，把，代入得，解得：，把，代入得，解得.（2）由（1）得：点在上，∴，①桥的长为到直线的距离，故；②由①得：，而，∴，当且仅当时即“=”成立，∴.【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.22 设f(x)是定义在上的函数，若存在，使得f(x)在单调递增，在上单调递减，则称f(x)为上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；（2）若函数是[1,2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f(x)是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．【答案解析】（1）见解析（2）（3）证明见解析；【分析】（1）画出四个函数图像，根据图像集合单峰函数的定义进行判断.（2）利用的导函数的零点在区间列不等式，解不等式求得的取值范围.（3）分成、两种情况进行分类讨论，利用反证法证得结论成立.根据含峰区间的长度的概念列不等式，由此确定满足的条件.【详解】（1）①图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；②的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；③的图像如下图所示，根据图像可知，不是上的单峰函数；④的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为.（2）函数是上的单峰函数，令，解得，故时，递增，时，递减，所以，解得，故的取值范围是.（3）设为的峰点，则由单峰函数定义可知，在上递增，在上递减.当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.在所得的含峰区间内选取，由与或与，确定一个新的含峰区间，对先选择的，，①，在第一次确定的含峰区间为的情况下，的取值应满足②，由①②可得，当时，含峰区间的长度为.由条件，得，从而.因此确定的含峰区间的长度不大于，只要取.【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查反证法，综合性很强，属于难题.。

2022-2023学年福建省厦门市高一上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年福建省厦门市高一上册期末考试数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N ⋂=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,3【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再利用集合交集的定义求解即可.【详解】由223(3)(1)0x x x x --=-+<解得13x -<<，所以{|13}M x x =-<<，所以{0,1,2}M N ⋂=，故选：A.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠【答案】B【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B3．下列命题中真命题的个数有（）①x ∀∈R ，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③命题“0R x ∃∈，0e 0x ≤”是真命题；④22x x y -=-是奇函数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】运用不等式的性质，指数对数函数的性质，逐个判断选项.【详解】对于①，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以①正确；对于②，当102x =>时，1ln 0,0ln x x <<，所以1ln 2ln x x+≤成立，所以②正确；对于③，e 0x >恒成立，③错误；对于④，令()22x x f x -=-，函数定义域为R ，则()()2222()x x x xf x f x ---=-=--=-，所以22x x y -=-是奇函数，所以④正确.故选：C.4．已知tan 2α=，则sin cos αα=（）A ．25-B ．52-C ．52D ．25【答案】D【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin cos αα的值.【详解】因为tan 2α=，则222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故选：D.5．已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在[0,)+∞上是增函数，若1()02f =，则不等式()4log 0f x >的解集为（）A ．{x |x >2}B ．1{|0}2x x <<C ．{1|02x x <<或x >2}D ．{1|12x x <<或x >2}【答案】C【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性将不等式等价为41log 2x >，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式()()441log 0log 2f x f x f ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭，又()f x 在[)0,∞+上是增函数，所以41log 2x >，即41log 2x <-或41log 2x >，解得102x <<或2x >.故选：C.6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．a<0B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据已知条件得2-和3是方程20ax bx c ++=的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得,6b a c a =-=-，根据,6b a c a =-=-且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.【详解】由已知可得－2，3是方程20ax bx c ++=的两根，则由根与系数的关系可得2323,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且a<0，解得,6b a c a =-=-，所以A 正确；对于B ，0ax c +>化简为60x -<，解得6x <，B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，C 正确；对于D ，20cx bx a -+<化简为：2610x x --<，解得1132x -<<，D 错误．故选：D.7．已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，利用函数()2xf x e x =+的单调性可得a b >．反之不一定成立，例如取100a =，1b =．即可得出其不成立．【详解】解：若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，∴22a b e a e b +>+，又当0x >时，()2xf x e x =+单调递增，∴a b >．反之不一定成立，“a b >”不一定得出“23a b e a e b +=+”，例如取100a =，1b =．则“100220033a b e a e e e b +=+>+=+”．∴“a b >”是“23a b e a e b +=+”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．8．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)(]0,11,2x ∈ 时，()21x f x x -=-，则函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】D【分析】分析可知21x y x -=-关于点()1,1中心对称，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称，作出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象，利用对称性与周期性可求得结果.【详解】由于()()2f x f x +=，所以函数()f x 为周期函数，且周期为2.令()21x h x x -=-，则()21111111x x h x x x x ---===----，对任意的1x ≠，()()112112121h x h x x x +-=-+-=---，所以函数21x y x -=-关于点()1,1中心对称.设()2sin π1g x x =+，则()()()22sin π12sin π21g x g x x x +-=++-+⎡⎤⎣⎦()2sin π2sin 2ππ22x x =+-+=，所以，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称.画出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象如下图所示，由图可知，函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象有四个交点，不妨设这四个交点分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 、()44,x y ，设1234x x x x <<<，由图可知，点()11,x y 与点()44,x y 关于点()1,1对称，点()22,x y 与点()33,x y 关于点()1,1对称，所以()()422131348x x x x y y y y +++++++=.同理可知，函数()f x 与函数()2sin π124y x x =+≤≤的图象也有四个交点，设这四个交点分别为()55,x y 、()66,x y 、()77,x y 、()88,x y ，由两函数周期都为2，两函数关于点(1,1)对称，故这四个点关于点(3,1)对称，可得()()5678567816x x x x y y y y +++++++=，所以，函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于81624+=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查两函数交点横坐标与纵坐标之和，解题的关键在于分析出两函数的对称性，然后利用图形找出两函数图象的交点个数，结合对称性来计算.二、多选题9．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A ．2a b+≥()0,0a b >>B ．222a b ab +≥()0,0a b >>C 211a b ≥+()0,0a b >>D ．2222a b a b ++≥()0,0a b ≥>【答案】AC【分析】分别在Rt ADB 和Rt OCD △中，利用射影定理和OD CD ≥、CD DE ≥判定选项A 、C 正确.【详解】AC a =Q ，BC b =，2ADB π∠=根据图形，在Rt ADB 中，由射影定理得2CD AC CB =⋅，所以2CD ab =，由OD CD ≥，且22AB a b OD +==，得：2a b+≥（0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即A 正确；在Rt OCD △中，同理得2CD DE OD =⋅，所以22CD abDE a b OD ==+，又CD DE ≥2211ab a b a b≥=++（0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即C 正确；故选：AC.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则1m =或2m =C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件D ．函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,1【答案】ABC【分析】根据充分条件与必要条件的定义可判断A ，C ；利用幂函数的定义和性质，求得m 的值，可判断B ；根据指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)即可判断D ．【详解】由“3x >”不能推出“5x >”，比如4x =；而由“5x >”可以推出“3x >”，所以“3x >”是“5x >”的必要不充分条件，故A 正确：若幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2m =，故B 正确；若0ac <，则21240,0cb ac x x a∆=->=，所以一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根；若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根，则120cx x a=<，则0ac <，故C 正确；指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)，∴函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,2，故D 错误．故选：ABC ．11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令{|10,}M x x x Q =<∈，{|10,}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =∈，{|}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =≤∈，{}10,N x x x Q =>∈，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．18【答案】ABD【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩可知()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，所以()f x 在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()144f x f x =+，所以()f x 在[]2,0-上的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：18a ≥；当a<0时，()g x 为减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，解得：14a -≤；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{}1，不符合题意；综上：a 的取值范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.则ABD 满足题意.故选：ABD三、填空题13．函数()lg 2y x =-的定义域为______．【答案】()1,2-【分析】解不等式组1020x x +>⎧⎨->⎩可求出结果.【详解】由函数()lg 2y x =+-有意义得1020x x +>⎧⎨->⎩，解得12x -<<，所以函数()lg 2y x =-的定义域为()1,2-.故答案为：()1,2-14．已知函数()24,122,1x ax x f x ax x ⎧-+<-=⎨+≥-⎩，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围为______．【答案】[)1,0-【分析】由题意可得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩,即201a a a ≥-⎧⎪<⎨⎪≥-⎩，解得：10a -≤<．所以a 的取值范围为[)1,0-.故答案为：[)1,0-.15．函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间（区间长度为1）___________.【答案】()2,3【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调递增，且()()20,30f f <>，由零点存在性定理得到答案.【详解】()2ln f x x x=-的定义域为()0,∞+，且()2120f x x x '=+>恒成立，故()2ln f x x x=-在()0,∞+上连续且单调递增，()2ln 210f =-<，()223ln 3ln e 033f =->->，故()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是()2,3.故答案为：()2,316．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，若不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____【答案】1[,1)4【分析】先求出()f x 在0x >的解析式，不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，转化为22log 0a x x -≤在(0,2x ∈上恒成立，分为1a >和01a <<讨论即可．【详解】函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，∴()()f x f x -=-，设0x >，则0x -<，∴()()2f x x x -=---∴()2f x x x =-，∵不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的]2x ∈恒成立，∴22log a x x x x -+≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，∴22log a x x ≤，即22log 0a x x -≤，当1a >时，20x >，而2log 0a x <，故1a >时不合题意；当01a <<时，令()22log a g x x x =-，当]2x ∈时，函数()g x 单调递增，∴22log 0222a g ⎛⎛⎛=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22log 22a ⎛⎛≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11log log 22a a =≤，12≥，解得1a 4≥，此时1 14a ≤<，综上所述a 的取值范围为1[,1)4．故答案为1[,1)4.【点睛】本题主要考查恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知()()()()()πsin 2πcos πcos 2cos 2π3πcos πcos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅ ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】(1)()sin cos f ααα=+(2)3-【分析】（1）利用诱导公式可化简()f α的表达式；（2）由已知可得出sin cos αα+=sin cos αα的值，进而可计算得出11sin cos αα+的值.【详解】（1）解：()()sin cos sin cos sin cos cos sin f ααααααααα⋅-⋅=+=+-⋅.（2）解：因为()5f α=，所以sin cos 5αα+=，两边平方得()22sin cos 5αα+=，所以222sin cos 2sin cos 5αααα++⋅⋅=，所以212sin cos 5αα+⋅⋅=，所以3sin cos 10αα⋅=-，所以11cos sin 253sin cos sin cos 310αααααα++==-⋅-.18．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+．（1）当3a =时，求A 和()R A B ⋃ð；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37R A B x x ⋃=-≤≤ð；（2）2a <-或6a >.【解析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ⋃ð；(2)由题意知B A Ü，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >，则{}|34R A x x =-≤≤ð，所以(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤ð.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A Ü，当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >；综上所得：2a <-或6a >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知22m n +=，且1m >-，0n >.(1)求121m n++的最小值；(2)求224221m n n m +++的最小值.【答案】(1)3；(2)45.【分析】（1）由已知推得()1213m n ++=，将121m n++变形为()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭，展开用基本不等式，即可求得121m n++的最小值；（2）原式可变形为9169122m n +-++，进而求出()()12215m n +++=，用“1”的代换将9169122m n +-++变形为()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-，展开用基本不等式，即可求得224221m n n m +++的最小值.【详解】（1）因为123m n ++=，()1213m n ++=，所以()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++24(1)1452412333n m m n ++++++=≥=，当且仅当()41212m nm n+=+，且22m n +=，即0m =，1n =时等号成立，则121m n++的最小值为3.（2）()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++()892181611n m n m =++-+++-++98911m n =+-++9169122m n =+-++，因为1225m n +++=，所以()()12215m n +++=，所以原式()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-()()92216191612295n m m n +++++++=-，9≥494955=-=当且仅当()()922161122n m m n ++=++，且22m n +=，即87m =，37n =时等号成立，则224221m n n m +++的最小值为45.20．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），b y a x =⋅（0a >，0b >且1b ≠），y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据:lg 20.30≈，lg 30.48≈）【答案】(1)应选择的函数模型是0,01)(xy a b a b b =⋅>>≠且；315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)2028年底【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且，由待定系数法即可求得函数关系式；（2）由题意列式求出每年下降得百分比，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得结果.【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且由题意得011502250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得.()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9xx y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg 3lg 3lg 222lg 315x x +->+-，解得2lg 38.0913lg 3lg 255x ->≈+-，故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.21．已知函数()()log 1(0xa f x a bx a =+->且1,R)ab ≠∈是偶函数，函数()(0x g x a a =>且1)a ≠.(1)求实数b 的值.(2)当2a =时，①求()f x 的值域.②若()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12b =(2)①[)1,+∞；②3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数的奇偶性得到()()f x f x -=，从而求得b 的值；（2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得221222xx +≥，从而由对数函数的单调性求得()1f x ≥，据此得解；②将问题转化为()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，从而得到2221x xm +⋅>在()1,+∞上恒成立，利用换元法再次将问题转化为1m t t>-恒成立，从而得解.【详解】（1）由题意得()()f x f x -=，即()()log 1log 1x xa a a bx a bx -++=+-，所以()()12log 1log 1log log 1x xxx a a a a x x a bx a aa a --+=+-+=+==，则()210x b -=，由于x 不恒为0，所以210b -=，故12b =，经检验，当12b =时，()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，满足题意，所以12b =.（2）①由（1）及2a =得()()22221log 21log 222x xxxf x ⎛⎫ ⎪=+-=+ ⎪⎝⎭，由于指数函数220xxm ==>在x ∈R 上单调递增，对勾函数1n m m=+在()0,1m ∈上单调递减，()1,m ∈+∞上单调递增，所以当1m =时，n 取得最小值min 2n =，即221222x x n =+≥，又2log y n =在[)2,n ∞∈+上单调递增，所以()2222log l 12g 12o 2x xf x ⎛⎫⎪+≥⎝=⎭=⎪，故()f x 的值域为[)1,+∞；②由题意得()2xg x =，因为()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，所以()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，()()()11222g x mg x f x +>恒成立，则()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，由①易得当2R x ∈时，22R x ∈，()2min 21f x =，所以()()1121g x mg x +>恒成立，因为()()2222x xg x mg x m +=+⋅，所以2221x x m +⋅>在()1,+∞上恒成立，令2x t =，因为1x >，所以1222x t =>=，则21t mt +>在()2,+∞上恒成立，即1m t t>-在()2,+∞上恒成立，令1y t t =-，易知1y t t =-在()2,+∞上单调递减，所以113222y t t =-<-=-，所以32m ≥-，即3,2m ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()lg (,0)1a f x b a b a x ⎛⎫=+>≠⎪+⎝⎭的图像关于原点对称.(1)求实数a ，b 的值；(2)求不等式()()()lg 20f f x f +>的解集；(3)若函数2(),11()1,11f x x h x kx x x -<<⎧=⎨+≤-≥⎩或其中0k ≤，讨论函数()()2y h h x =-的零点个数.【答案】(1)2,1a b ==-(2)19,311⎛⎫⎪⎝⎭(3)答案见解析【分析】（1）()f x 为奇函数，利用()()0f x f x -+=解实数a ，b 的值；（2）利用函数的单调性和奇偶性解不等式；（3）作出函数图像，数形结合讨论零点的个数.【详解】（1）由题意知()f x 为奇函数，有()()lg lg 011a a f x f x b b x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++=⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，整理得lg 011bx a b bx a b x x -++++⎛⎫⨯= ⎪-++⎝⎭，即()22221a b b x x +-=-，对于定义域内任意x 都成立，所以()2211a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，因为a b >，所以21a b =⎧⎨=-⎩；（2）要使()1lg 1x f x x -=+有意义，只需10101x x x+≠⎧⎪-⎨>⎪+⎩，解得11x -<<，故定义域为(1,1)-，()f x 为奇函数，又()2lg 11f x x ⎛⎫=-++⎝⎭在()1,1x ∈-时是减函数，故不等式()()()lg 20f f x f +>等价于()()()()lg 2lg 2f f x f f >-=-，即()11lg 2f x -<<，即11lglg 1021lg 1x x -+<<，∴1111012x x -<<+，又11x -<<，解得19311x <<，故不等式()()()lg 20f f x f +>的解集为19,311⎛⎫⎪⎝⎭.（3）由()20y h h x ⎡⎤=-=⎣⎦，得()2h h x ⎡⎤=⎣⎦，令()t h x =，则()2h t =，作出()h x图像如图所示：由图可知，①当0k <时，由于211y kx =+≤，所以由()2h t =得2lg 121t ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得99101t =-，当2000101k -≤<时，991101k +≥-，对应有3个零点；当200101k <-时，991101k +<-，对应有1个零点；②当0k =时，只有当10t -<<时，对应有1个零点；综上所述，当200101k <-或0k =时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦只有1个零点；当2000101k -≤<时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦有3个零点.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

2022-2023学年福建省厦门市思明区夏门一中数学高一上期末联考试题含解析

所以的单调递减区间为
要求函数的对称中心，只需，解得 .
所以的对称中心为 .
21、 (1)答案见解析；(2) 或 .
【解析】(1)利用赋值法计算可得，设，则，
利用拆项：即可证得：当时，；
(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或 .
7、C
【解析】关于平面对称的点坐标相反，另两个坐标相同，因此结论为
8、C
【解析】求出长后可得，再由弧长公式计算可得
【详解】由题意，解得，所以，，
所以弧的长为
故选：C
9、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
1．函数y=log2 的定义域
A.（，3）B.（，+∞）
C.（，3）D.[ ，3]
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
3．下列函数中，既是偶函数，在上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（）
故选：A
5、C
【解析】由为第二象限角，可得，再结合，化简即可.
【详解】由题意，，
因为为第二象限角，所以，
所以 .
故选：C.
6、D
【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.
详解：∵ ，，
∴ ．故选D
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.

厦门市2022-2023高一上学期期末数学试卷+答案

厦门市2022—2023学年度第一学期高一年级质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

答在试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}32|{++∈∈=N n n n x N x A ，的公倍数与是，}6|{+∈==N n n x x B 且，，则下列选项正确的是A．BA ⊇B．BA ⊆C．B A =D．∅2.设实数x 满足0＜x ，则函数1132-++=x x y 的最大值是A．221-B．225+C．221+D．225-3.下列选项正确的是A． 2.11.2 2.15＜B．-1.120.81.1＜-C．2)3(3243＜D．-25.1 1.77.1＜-4.若角α的终边过点()0)5,(≠-a a B ，则下列选项正确的是A．0sin ＞αB．0cos ＞αC．0tan ＞αD．0cos ＜α5.函数[]ππ,-cos sin )(2在x x xx x f ++=的图象大致是A BCD6.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。

该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1,B1,C1,田忌也有上中下三匹马A2,B2,C2,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B 表示A 马与B 马比赛,A 马获胜）。

一天，齐王找田忌赛马,约定：每匹马都出场比赛一局,共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。

福建省厦门市2021_2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

厦门市2021-2021学年度第一学期高一年级质量检测
数学试题
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可求出A∩B．
【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}．
故选A．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题.
2.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
使函数有意义的x满足解不等式组即得解.
【详解】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.
故选B.
【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.
3.已知角的终边经过点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】。

福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)

集合 A 是由小于 3 的自然数组成，0 A ， 1 A，只有 C 正确，
故选：C．
2．D
【分析】
利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题 p 为特称命题，该命题的否定为： x 0， x ex .
故选：D.
3．A
【分析】
利用对数函数的单调性得出 c 0 ，利用指数函数单调性可得出 a 、b 、 0 的大小关系，综合
绝密★启用前
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A x N x 3 ，则（）
A． 0 A
B． 1 A
C．0 A
D．1 A
2．设命题 p ： x 0 ， x ex ，则 p 的否定为（）
主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比
答案第 3 页，共 14 页
商
9．ABD
【分析】
由诱导公式和商数关系可得．
【详解】
∵ tan 3sin ，∴ sin 3sin ，
cos 若 sin 0 ，则 cos 1或 1，若 sin 0 ，则 cos 1 ．
p2
2 p1 p2 p1 p2
p1 p2 2 4 p1 p2 2 p1 p2
p1 p2 2 2 p1 p2
0 ，所以，
p1 2
p2
2 p1 p2 p1 p2
.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的

2023-2024学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{x |0≤x ≤1}，则A ∩B ＝（） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知log x 8＝2，则x ＝（） A ．2B ．2√2C ．3D ．43．已知sin α=35，且α为第二象限角，则tan α的值为（）A ．−34B ．34C ．43D ．−434．已知a ＝30.2，b ＝30.1，c ＝50.2，则（） A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c5．若命题：∃x ∈R ，x 2+ax +1＝0是假命题，则（） A ．﹣2＜a ＜2B ．a ＜2C ．a ≤﹣2或a ≥2D ．a ≥26．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足①f （2）＝0；②∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，x 2f(x 2)−x 1f(x 1)x 2−x 1＞0，则f(x)x＞0的解集为（）A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）7．已知函数f （x ）＝x 2+2x +c （c ＞0），若f （t ）＜0，则（） A ．f （t ﹣1）＞0B ．f （t +1）＜0C ．f （t ﹣2）＜0D ．f （t +2）＞08．已知函数f （x ）＝x 2﹣4|x ﹣a |+4a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．{0，1}B ．{0，12}C ．[−12，1]D ．[14，12]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

福建省厦门市厦门第一中学2023届数学高一上期末综合测试试题含解析

解，得到答案
【详解】由题意，函数 f x ln 1 x2 x 1，
f
lg2
f
lg
1 2
ln
1 (lg2)2 lg2
ln
1
(lg
1)2 2
lg
1 2
2
ln 1 (lg2)2 lg2 ln 1 (lg2)2 lg2 2 ln1 2 2
故选 C 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重
A.1
B. 1
C. 3 2
D.
1 2
8．已知命题 p：x 为自然数，命题 q：x 为整数，则 p 是 q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9．已知函数 f x ln
1 x2 x
1，则1 2
A.1
B. lg2
C.2 10．已知函数
D.0
，则
（）
A.5
B.2
C.0
D.1
11．下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A. y x 1
B. y tan x
C. y x3
D. y 2 x
12．已知向量 a (1, 2) ， b (x,3y 5) ，且 a / /b ，若 x ， y 均为正数，则 xy 的最大值是
故 D 正确. 故选：D. 2、C 【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【详解】∵由已知可得 r 12 22 22 3 ，
而|AB| (1 2)2 (2 2)2 (2 1)2 3 2 ，
∴|AB| 2 r

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，且，则（）{}9,3A m ={}2,9B m =A B =m =A. 0B. 3C. D. 3或03±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（）1rad 5A. B. 1C. 2D. 4123. “”是“”的（）1a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，，，则（）ln x π=51log 3y =12z e -=A. B. C. D. x y z<<z x y<<z y x<<y z x<<5. 函数①；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（）A 0B. 1C. 2D. 36. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值是（）A. -1B. -2C -4D. -87. 已知函数则的大致图像是（）(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()2y f x =-A.B.C.D.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω）A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,2]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（）θ5π3-θA. B. C. D. 7π3-1π34π313π310. 下列说法错误的是（）A. 函数与函数表示同一个函数xy x =1y =B. 若是一次函数，且，则()f x ()()165=+f f x x ()41f x x =-C. 函数的图象与y 轴最多有一个交点()f x D. 函数在上是单调递减函数11y x =+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A. B.C.D.cos 2y x=sin y x=cos y x=tan y x=12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A. 7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数()7f x +C.在上为减函数()f x ()6,8D. 方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数的零点为______.()32x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是23208kx kx ++>___________．16. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则()()22211x f x x +=+[]2023,2023-M m ______．M m +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为钝角，且.α4cos 5α=-（1）求，的值；sin αtan α（2）求的值sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.R ()f x 0x ≥()()3x f x a a =-∈R ()326f -=（1）求的值；a （2）求函数的解析式；()f x （3）解不等式：.()2f x >20. 已知函数.π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；()f x （2）当时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时()()00nG L n L Dn =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学()102L =018G =习率衰减为.25（1）求该学习率模型的表达式；（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据1515）lg 20.3010≈22.已知函数．424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．()()f x g x =数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A解析：由得，解得或，A B =23m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.1515l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为或，11a a >⇔<-1a >又时，不能得出；1a <-0a >时，不能得出；0a >1a <-所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1a >0a >故选: D.4. D解析：，，，ln 1π> 51log 03<120e 1-<<.y z x ∴<<故选：D.5. B解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除[]0,2πx ∈②；对于①，，是奇22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③，，是偶函数．sin 2y x=()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D解析：因为幂函数的图像过点，所以，得，()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭155α=1α=-所以，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A解析：函数，则(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合1x <()2f x -故选：A.8. C解析：由题意得，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π24422k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =πππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩3124ω-≤≤0ω>104ω<≤当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ω2,Z k k ≥∈ω故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD解析：依题意，5π2π,3k k θ=-+∈Z 当时，，1k =π3θ=当时，，3k =13π3θ=所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD解析：A ：函数的定义域为，函数的定义域为R ，xy x =(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；B ：设，则，()(0)f x kx b k =+≠2(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩453k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以或，故B 符合题意；()41f x x =+5()43f x x =--C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；D ：函数在上是单调递减函数，故D 符合题意.11y x =+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD11. BD解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；cos 2y x =作函数图象，如图2，故B 正确；sin y x=作函数图象，如图3，故C 错误；cos y x=作函数图象，如图4，故D 正确.tan y x=故选：BD 12. BD 解析：因为为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为为奇函数，所以，()1f x -()()11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令，得，()(2)f x f x =-+72x =7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在中，令，得，()()11f x f x -=---12x =-3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以，从而为奇()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以在上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；()f x ()7,8()6,8因为为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.()lg 0f x x +=故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；x 故答案为：二14. 3log 2解析：令，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32x f x =-3log 2故答案为：3log 215. {}03k k <<解：因为不等式为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠又一元二次不等式对一切实数x 都成立，23208kx kx ++>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．{}03k k <<16. 4解析：因为，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，()()()()224411x x g x g x x x ---===-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）解：因为为钝角，α所以，3sin 5α===故.3sin 35tan 4cos 45ααα===--（2）原式.sin cos sin tan αααα-+=-+将，，代入，3sin 5α=4cos 5α=-3tan 4α=-得原式.342855332754--==--18. （1）∵，，，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy （2）∵，则，28x y xy +=281y x +=又∵，，0x >0y >∴，2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. （1）因为是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326f f =-=3326a -=解得.1a =（2）当时，，0x ≥()31x f x =-设，则，则，0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x->得，得，解得或，33x >1x >1x <-1x >故的解集是.()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -≤+≤故当，即时，；ππ236x +=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.ππ232x +=π12x =max ()2f x =即，此时；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >，()()452lglg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，410x ->04x <<()f x (0,4)而，4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有()()f x g x=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，故在上有解．41x ax -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．41a x x +=-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，4y x =y x =-(0,4)所以函数在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．04x <<4xx -(3,)-+∞令，解得．13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．(4,)-+∞法二：，即，()()f xg x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)整理得到在上有解，2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。

福建省厦门市高一上学期人教A版数学期末测试试卷(附答案)

A. 48
B. 62
C. 76
D. 90
4. 如图所示为某城市去年风向频率图，图中 A 点表示该城市去年有 20% 的天数吹北风，点 B 表示该城市去年有 10% 的天数吹东南风，下面叙述不正确的是 ( ) A. 去年吹西北风和吹东风的频率接近 B. 去年几乎不吹西风 C. 去年吹东北风的天数超过 100 天 D. 去年吹西南风的频率为 15% 左右
3
)
4
10. 已知函数 f (x) = x − t sin x (0 < t ⩽ 1)，若 f (log2 m) > −f (−1)，则实数 m 的取值范围是 ( )
A. (0, 2)
B. (0, 1)
C. (2, +∞)
D. (1, +∞)
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11. 某学习小组 6 名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为
17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有 4 个红球和 2 个白球的不透明箱中，随机摸出 2 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷 2 颗骰子，如果出现的点数至少有一个为 4 则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同） (1) 有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于 1 ．你认为正确吗? 2 请说明理由；
人教版高一上学期期末考试试卷
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福建省厦门市厦门一中2022年高一上数学期末统考试题含解析

二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13、 1 4
【解析】当 a 1时，有 a2 4, a1 m ，此时 a 2, m 1 ，此时 g(x) x 为减函数， 2
不合题意.若 0 a 1，则 a1 4, a2 m ，故 a 1 , m 1 ，检验知符合题意 4 16
15．幂函数 f (x) x 的图像经过点
，则 f ( 1 ) 的值为____ 4
16．已知函数 f (x) ln(x2 2x 2) m 有两个零点 x1, x2 ，则 x1 x2 ___________
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
5．设
a
log 1
2
3, b
log 1
2
1 3
,
c
1 2
0.3
，则
A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. b a c
6．已知点
P
sin
3 4
, cos
3 4
落在角
的终边上，且
∈[0，2π)，则
的值为（）
3
A
B.
4
4
5
C. 4
7 D.
4
7．已知函数 f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为 8，则实数 a 的取值属于以下哪个范围( )
A.(5，6)
B.(7，8)
C.(8，9)
D.(9，10)
8．函数 y =|x2-1|与 y =a 的图象有 4 个交点，则实数 a 的取值范围是

2021-2022学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．若集合{}21,A x x n n Z ==+∈，则下列选项正确的是（） A ．2A ∈ B ．4A -∈C ．{}3A ⊆D ．{}0,3A ⊆【答案】C【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断. 【详解】因为集合{}21,A x x n n Z ==+∈是奇数集，所以2A ∉，4A -∉，{}3A ⊆，{}0,3 A ，故选：C2．已知命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，则p 的否定是（）A ．0,2x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭，tan x x >B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan x x ≤C ．0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x >D ．0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x ≤【答案】D【分析】由否定的定义写出即可.【详解】p 的否定是0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x ≤.故选：D3．下列选项正确的是（） A ． 2.530.60.6> B ．11321.7 1.7--<C ． 1.5 2.11.10.7<D ．113223>【答案】A【分析】根据指数函数的性质一一判断可得；【详解】解：对于A ：0.6x y =在定义域R 上单调递减，所以 2.530.60.6>，故A 正确；对于B ： 1.7x y =在定义域R 上单调递增，所以11321.7 1.7-->，故B 错误；对于C ：因为 1.501.1 1.11>=， 2.1000.70.71<<=，所以 1.5 2.11.10.7>，故C 错误；对于D ：因为6123228⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123339⎛⎫== ⎪⎝⎭，即61132623⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，故D 错误；故选：A4．如图，一质点在半径为1的圆O 上以点31,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为/6rad s π，5s 时到达点()00,M x y ，则0x =（）A ．-1B ．3C ．12-D ．12【答案】C【分析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出0x .【详解】设单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，则1sin ,26AOP AOP π∠=∠=，所以56MOP π∠=，52663AOM πππ∠=-=，故021cos cos cos 3332x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（） A ．{}33x x -<< B ．{1x x <-或}5x > C ．{3x x <-或}3x > D ．{5x x <-或}1x >【答案】B【分析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为(2)(3)f x f ->，再由其单调性可得23x ->，解不等式可得答案【详解】因为()30f =，则()20f x ->，所以(2)(3)f x f ->，因为()f x 为偶函数，所以(2)(3)f x f ->，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以23x ->，解得1x <-或5x >，所以不等式的解集为{1x x <-或}5x >，6．心理学家有时用函数()()1e ktL t A -=-测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为（ln0.90.105≈-，ln 0.1 2.303≈-） A ．0.021 B ．0.221 C ．0.461 D ．0.661【答案】A【分析】由题意得出()552001e20,e 0.9kk ---==，再取对数得出k 的值. 【详解】由题意可知()552001e20,e 0.9kk ---==，所以5ln e ln 0.90.105k -=≈-，解得0.021k ≈故选：A7．C ，S 分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对(),C S 取值的是（） A ．()3,1 B ．()5,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】B【分析】设扇形半径为r ，弧长为l ，2l r π≤则2C r l =+，12S lr =，根据选项代入数据一一检验即可．【详解】设扇形半径为r ，弧长为l ，2l r π≤则2C r l =+，12S lr =当123,12C r l S lr =+===，有22320,94220r r -+=∆=-⨯⨯<，则r 无解，故A 错；当125,12C r l S lr =+===，有22520,r r -+=得2,1r l ==，故B 正确；当124,22C r l S lr =+===，有2220,4420r r -+=∆=-⨯<，则r 无解，故C 错；当124,32C r l S lr =+===，有2230,4430r r -+=∆=-⨯<，则r 无解，故D 错；故选：B8．已知函数()()()12,1,1e ,1x x a x a x f x a x x -⎧--<⎪=⎨-+≥⎪⎩恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,0,12⎡⎫-∞⋃⎪⎢⎣⎭【分析】由()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，分类讨论0a =，0a >，0a <三种情况，根据零点个数求出实数a 的取值范围.【详解】函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，且方程()()20x a x a --=的两根为,2a a . 若0a =时，由()0f x =解得0x =或1x =，满足题意.若0a >时，2a a <，(1)0f a =>，当x →+∞时，()0f x <，即函数()f x 在区间[1,)+∞上只有一个零点，因为函数()f x 恰有2个零点，所以21a 且01a <<. 当0a <时，20a a <<，(1)0f a =<，此时函数()f x 有两个零点，满足题意. 综上，1(,0],12a ⎡⎫∈-∞⋃⎪⎢⎣⎭故选：D 二、多选题9．已知1sin 23α=，则()sin 45α+︒的值可能是（）A ．B ．CD 【答案】AD【分析】由倍角公式确定sin ,cos αα同号，进由()sin 54α+︒=即可.【详解】1sin 22sin cos 3ααα==，则sin ,cos αα同号，由于()sin 45cos )ααα︒+=+，所以()sin 54α+︒===故选：AD10．已知a R ∈，关于x 的不等式()10a x x a->-的解集可能是（） A ．()1,aB ．()(),1,a -∞⋃+∞C ．()(),1,a -∞⋃+∞D ．∅【答案】BCD【分析】分0a <，0a =，01a <<，1a =，1a >，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式等价于()210x ->，解得1x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <. 故选：BCD11．已知a ，b R ∈，则1≥ab 的必要不充分条件可以是（） A ．2a b a ≥ B ．338a b ≥C ．221a b ≥D ．222a b +≥【答案】CD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由2a b a ≥，即20a b a -≥，即()10ab a -≥，所以01a ab ≥⎧⎨≥⎩或01a ab ≤⎧⎨≤⎩，故充分性不成立，由1≥ab ，若0a <时，则2a b a ≤，故必要性不成立，故A 错误；对于B ：由338a b ≥，可得2ab ≥，由2ab ≥推得出1≥ab ，故充分性成立，故B 错误；对于C ：由221a b≥可得221a b ≥，所以1≥ab 或1ab ≤-，故充分性不成立，反之当1≥ab 时，可得221a b ≥，所以221a b ≥，故必要性成立，故C 正确；对于D ：由222a b +≥得不到1≥ab ，如2a =，0b =满足222a b +≥但0ab =，即充分性不成立，反之当1≥ab 时可得2222a b ab +≥≥故必要性成立，即222a b +≥是1≥ab 的必要不充分条件，故D 正确；故选：CD12．函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，该结论可以推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数()()202x g x m m=>+．（） A ．若1m =，则函数()1y g x =-为奇函数B ．若1m =，则()()()()10991020g g g g -+-+⋅⋅⋅++=C ．函数()g x 的图象必有对称中心D ．x R ∀∈，()()222log 2log 2g m x g m x m++-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 【答案】ACD形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．对于AB 选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C ，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D ，不等式恒成立问题，根据()g x 的函数性质证明即可.【详解】对于选项A ，记()()12112xxh x g x -=-=+．因为()()12211221x x xx h x h x -----===-++，所以()h x 为奇函数，故选项A 正确；对于选项B ，由选项A 可知()()0h x h x -+=，从而()()2g x g x -+=，所以()()()()()g 109910210021g g g g -+-+⋅⋅⋅++=⨯+=，故选项B 错误；对于选项C ，记()()p x g x a b =+-．若()p x 为奇函数，则x R ∀∈，()()0p x p x -+=，即()()2g x a g x a b -+++=，所以22222x a x ab mm-+++=++，即()()22222x a x a x a x a m b m m -++-++++=++．上式化简得x R ∀∈，()()22122240a x x abm m bm b --++--⋅=．则必有22(1)0240a abm m bm b ⎧-=⎨--⋅=⎩，解得，2log 1a mb m =⎧⎪⎨=⎪⎩因此当0m >时，()g x 的图象必关于点21log ,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确；对于选项D ，由选项C 可知，()()222log log g m x g m x m ++-=．当0m >时，()g x 是减函数，()222log 21log log m m m =+>，所以()()()()22222log 2log 2log log g m x g m x g m x g m x m++-<++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．写出一个在区间[]1,1-上单调递增的幂函数：()f x =______．【答案】x （答案不唯一）【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】因为幂函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以幂函数可以是()f x x =，14．函数()21log 321y x x=-+-的定义域为______．【答案】2,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案【详解】由题意得32010x x ->⎧⎨->⎩，解得213x <<，所以函数的定义域为2,13⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭15．1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn 图，用来直观表示集合之间的关系．全集U =R ，集合{}2220M x x ax =-+<，{}2log 1N x x =≤的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M ，区域Ⅱ，Ⅲ构成N ．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a 的取值范围是______．【答案】39,24⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由122N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则22112202222220a a ⎧⎛⎫-⋅+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⋅+<⎩或22112202222220a a ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⋅+≥⎩解不等式组即可．【详解】由{}21log 122N x x x x ⎧⎫=≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则21122022a ⎧⎛⎫-⋅+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭或21122022a ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎨⎝⎭解得3924a <≤故答案为：39,24⎛⎤⎥⎝⎦四、双空题16．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足()23.4393911sin 0.0172025y x =⋅，则一个回归年对应的天数约为______（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期______．（182.6240.0172025π≈）【答案】 365.25 四【分析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；（2）先计算出4个回归年经过的天数，再根据周期即可求解. 【详解】因为周期22182.6242365.248365.250.0172025T ππω==≈⨯=≈，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.2541461⨯=. 因为146120875=⨯+，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.故答案为：365.25；四. 五、解答题17．已知112a⎛⎫< ⎪⎝⎭，121a <，求1log 12a <，实数a 的取值范围．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，求出实数a 的取值范围．【详解】解：因为112a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01122a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0a >．因为121a <，所以21221a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01a ≤<．又因为0a >，所以01a <<．因为1log 12a<，所以1log log 2a a a <．又因为，所以10a <<．综上，实数a 的取值范围是10,⎛⎫．18．在①()210log 33f =；②函数()f x 为偶函数：③0是函数()2y f x =-的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．问题：已知函数()22xxaf x =+，a R ∈，且______． (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在区间[)0,∞+上的单调性，并用定义证明．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)()122xxf x =+(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）若选条件①，根据()210log 33f =及指数对数恒等式求出a 的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据()()f x f x =-，即可得到()()1220x xa ---=，从而求出a 的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出a 的值，即可求出函数解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；【详解】(1)解：若选条件①．因为()210log 33f =，所以22log 3log 310223a +=，即10333a +=．解得1a =．所以()122xxf x =+．若选条件②．函数()f x 的定义域为R ．因为()f x 为偶函数，所以x R ∀∈，()()f x f x =-，即x R ∀∈，2222x x x x a a --+⋅=+⋅，化简得x R ∀∈，()()1220x xa ---=．所以10a -=，即1a =．所以()122xxf x =+．若选条件③．由题意知，()020f -=，即002202a +-=，解得1a =．所以()122xx f x =+．(2)解：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增．证明如下：1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()12122112121212121222211122222222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x +---⎛⎫-=+-+=-+= ⎪⋅⎝⎭．因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，所以1222x x <，即12220x x -<．又因为120x x +>，所以1221x x +>，即12210x x +->．所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．19．已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()65f α=，求sin α；(2)将函数()f x 的图象先向左平移12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 的单调递增区间．【答案】(1)sin α=(2)()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由平方关系求出cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解即可；（2）由伸缩变换和平移变换得出()g x 的解析式，再由正弦函数的性质得出函数()g x 的单调递增区间．【详解】(1)依题意，3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以27,636πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．从而1sin sin cos 66626ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)将函数()f x 的图象先向左平移12π个单位长度，得到函数2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()2sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．令24z x π=+，2sin y z =的单调递增区间是()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．所以222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以函数()g x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为： x 23 4 5 6 8 y3.5 3.8 44.16 4.3 4.5 根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①2log y a x b =+，②3y x b =-，③2x a y b -=+．(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．【答案】(1)2log y a x b =+，理由见解析；(2)21log 32y x =+，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．【分析】（1）分析可知，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含[)2,+∞；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．对比三个函数模型可得结论；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由5y ≥，解该不等式即可得出结论.【详解】(1)解：依题意，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含[)2,+∞；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．因为函数3y x b =-的定义域为[)3,+∞，2x =时无意义；函数2x a y b -=+随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．函数2log y a x b =+可以同时符合上述条件，所以应该选择函数2log y a x b =+．(2)解：依题意知22log 424log 83 4.5a b a b a b a b +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21log 32y x =+．令21log 352y x =+≥，解得16x ≥．所以，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．21．如图，点,03P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,06Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3R 在函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 图象上的两点()11,M x y ，()22,N x y 满足10,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，213x x π-=，求四边形OMQN 面积的最大值．【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 53π 【分析】（1）由图可求出T π=，从而求得2ω=，由图可知函数15723612x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭处取得最小值，从而可求出ϕ的值，再将点R 的坐标代入函数中可求出A ，进而可求出函数的解析式，（2）由题意求得所以112sin 203y x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，212sin 20y x =-<，而四边形OMQN 的面积为S ，则()121215212S OQ y y y y π=⋅-=-，代入化简利用三角函数的性质可求得结果【详解】(1)由图可知()f x 的周期T 满足52632T πππ=-=，得T π=．又因为0>ω，所以2ππω=，解得2ω=．又()f x 在15723612x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭处取得最小值，即77sin 21212f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以73262k ππϕπ+=+，k Z ∈，解得23k πϕπ=+，k Z ∈．因为2πϕ<，所以3πϕ=．由()0sin 203f A π⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭A =2A =．综上，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (2)当10,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，12,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以112sin 203y x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭．由213x x π-=知213x x π=+．此时()221112sin 22sin 22sin 22sin 20333y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+=-< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．记四边形OMQN 的面积为S ，则()121215212S OQ y y y y π=⋅-=-．又121111112sin 2sin 22sin 22sin 232y y x x x x x π⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭11112cos 2226x x x π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭．因为10,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以152,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当1262x ππ+=，即16x π=时，12y y -取得最大值所以四边形OMQN面积的最大值是512π⨯． 22．已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【答案】(1)(),2-∞(2)1,2⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）分当0x ≥时，当0x <时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；（2）得出分段函数()f x 的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.【详解】(1)解：当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅱ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)解：依题意，()()()2211,11,x a x a x a f x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得3x =．因为函数()g a =()3,+∞上单调递增，所以()332x g >=3101x <<123111x x x ++．所以a 的取值范围是1,2⎛ ⎝⎭．。

2019-2020学年福建省厦门市高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省厦门市高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．设{}21xA x=>∣，{22}B x x =-≤≤∣，则A B =（）A ．[]0,2B ．(]0,2 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞【答案】D【分析】解出不等式21x >，然后可得答案.【详解】因为{}{}210xA xx x =>=>∣∣，{22}B x x =-≤≤∣ 所以A B =[)2,-+∞故选：D2．已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【分析】先计算b 的坐标，再利用a b ⊥可得0a b ⋅=，即可求解. 【详解】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A3．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=，解得：2R =，故选：C4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（） A ．100N B ．503NC ．50ND ．503N 【答案】D【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可【详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设50AC =，根据向量的平行四边形法则，503tan 30OB AC OA ==⋅︒=故选：D5．已知0.302a =.，20.3b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a >> B ． c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性分析出a 的范围，根据对数函数的单调性分析出,b c 的范围，结合中间值1，即可判断出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.2xy =在R 上单调递减，所以...030002021<<=，所以01a <<，又因为20.3b =且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0.3log 10b =<=，所以0b <，又因为0.3log y x =在()0,∞+上单调递减，所以0.30.3log 0.2log 0.31>=，所以1c >，综上可知：c a b >>，故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法：（1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；（3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小；（4）中间值法：取中间值进行大小比较.6．已知点(),m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（） A ．()22,m nB ．()2, 2m nC ．()2, 1m n ++D ．,12m n ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意可得2log n m =，再依次验证四个选项的正误即可求解. 【详解】因为点(),m n 在函数2log y x =的图象上，所以2log n m =，222log 2log 2m m n ==，故选项A 不正确；22222log log log 1m m n +==+，故选项B 不正确；()2log 21m n +≠+，故选项C 不正确；222log log log 212mm n =-=-，故选项D 正确. 故选：D7．已知函数()sin |sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（） A ．()()f x f x π+= B ．()f x 的值域为[]0,1 C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象关于点(,0)π对称【答案】C【分析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数的图像和性质，从而得出结论.【详解】2sin ,[2,2]()()sin sin 0,(2,22)()x x k k k Z f x x x x k k k Z πππππππ∈+∈⎧=+=⎨∈++∈⎩故函数的周期为2π，即(2)()f x f x π+=，故排除A, 显然函数()f x 的值域为[]0,2，故排除B,在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()2sin f x x =为单调递减，故C 正确，根据函数()f x 的图像特征，可知图像不关于点(,0)π对称，故排除D. 故选：C.【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.8．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞【答案】A【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-，当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤，且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-，故选：A.【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.二、多选题9．如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈且0k ≠，1)a ≠．则下列说法正确的是（）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += 【答案】BCD【分析】由题意结合函数图象可得314ka ka =⎧⎨=⎩，进而可得12t y -=；由函数图象的类型可判断A ；代入6x =可判断B ；代入2y =、64y =可判断C ；代入4y =、6y =、9y =，结合对数的运算法则即可得判断D ；即可得解.【详解】由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（负值舍去）， ∴函数关系式为11222tt y -=⨯=，对于A ，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误；对于B ，当6x =时，523230y ==>，故选项B 正确；对于C ，令2y =得2t =；令64y =得7t =，所以浮萍面积从22m 增加到264m 需要5个月，故选项C 正确；对于D ，令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =；所以1222323log 12log 144log 1222t t t =+===+，故选项D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10．已知函数)()ln 1f x =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 有最小值C ．(2)(1)f x f x +>+D ．方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根【答案】ABD【分析】A ．利用函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性；B ．根据()f x 的奇偶性和单调性确定出()f x 的最小值；C ．根据()f x 的单调性，采用举例的方式进行分析；D ．利用零点的存在性定理判断出()()3g x f x x =+-的零点个数，即可分析出方程()||30f x x +-=的实根个数.【详解】A ．因为)()ln 1f x =的定义域为R 关于原点对称，且()))()ln 1ln1f x f x -===，所以()f x 为R 上的偶函数，故正确；B ．当[)0,x ∈+∞时，1y =单调递增，所以)()ln 1f x =在[)0,+∞单调递增，所以)()ln 1f x =在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0ln 2f x f ==，故正确；C ．因为()f x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，所以()()12f f -<-，所以()()3231f f -+<-+，所以(2)(1)f x f x +>+此时不成立，故错误；D ．记()()3g x f x x =+-，且3y x =-在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，所以()g x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，又3y x =-为偶函数，所以()g x 为偶函数，因为())())1ln120,3ln10g g =-<=>，所以()g x 在[)0,+∞上有一个零点，所以()g x 在(),0-∞上也有一个零点，所以()g x 在R 上有两个零点，所以方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根，故正确，故选：ABD.【点睛】结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的单调性和最值：（1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数；（2）偶函数在对称区间上的最值相等；（3）奇函数在对称区间上的单调性相同；（4）偶函数在对称区间上的单调性相反.三、填空题11．如图，全集*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，则图中阴影部分表示的集合为__________.【答案】{}2,4【分析】根据维恩图可知，求()UA B ∩，根据补集、交集运算即可.【详解】*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，{2,4,6,8}A ∴=，{1,2,3,4}UB =由维恩图可知，阴影部分为(){}2,4U A B =,故答案为：{}2,412．已知函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x =__________.【答案】2x【分析】先求出定点A 的坐标，再代入幂函数()f x x α=，即可求出解析式.【详解】令20x -=可得2x =，此时034y a =+=，所以函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点()2,4A ，设幂函数()f x x α=，则42α=，解得2α=，所以()2f x x =，故答案为：2x【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出()2,4A ，设幂函数()f x x α=，代入即可求得2α=，()2f x x =.13．已知tan α=，32ππα<<，则cos sin αα-=_________.【分析】由条件结合三角函数的同角基本关系可解出1sin 2αα==-，然后可得答案.【详解】因为sin tan cos ααα==32ππα<<，22sin cos 1αα+=所以可解得1sin 22αα=-=-所以cos sin αα-=12-14．在四边形ABCD 中，若0AC CB CD ++=，且||||||4AB AC AD ===，则BCD △的面积为_______.【答案】【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD 为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．【详解】在四边形ABCD 中，0AC CB CD ++=，即为0AB CD +=，即AB DC =，可得四边形ABCD 为平行四边形，又||||||4AB AC AD ===，可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，则BCD △的面积为正ABC 23443=，故答案为：43四、双空题 15．若函数1()1f x x =-，()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(2)f x f x +-=_________；当[]7,7x ∈-时，方程()()f x g x =的所有实数根的和为__________. 【答案】0 4【分析】直接计算11()(2)0121f x f x x x +-=+=---，可以判断1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，所以所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称，数形结合即可求解.【详解】因为1()1f x x =-，所以11()(2)0121f x f x x x +-=+=---，分别作出函数()f x 与()g x 的图象，1()1f x x =-图象的对称中心为()1,0，令()362x k k Z ππππ+=+∈，可得13x k =+，当0k =时，1x =，所以()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为()1,0，所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称，当[]7,7x ∈-时，两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则232x x +=，142x x +=，所以12344x x x x +++=，所以方程()()f x g x =的所有实数根的和为4，故答案为：0，4【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，作出函数图象可知两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2x 和3x 关于()1,0中心对称，1x 和4x 关于()1,0中心对称，所以232x x +=，142x x +=，即可求解.16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 【答案】16 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，当01x ≤<时，5332x -=，即16x =；当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<，综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.五、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，23123f f ππ+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得.【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.所以2251sin sin 23362f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.18．设函数1()f x x x=+，(1,)x ∈+∞. （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）在(1,)+∞上为增函数，证明见解析；（2）510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，作差()()12f x f x -，整理计算判断出正负即可；（2）将关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解转化为1a x x=+在[]2,3上有解，进一步转化为1()f x x x=+在[]2,3上的值域问题，求出值域即可. 【详解】解：（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，()()12121211f x f x x x x x -=+-- ()()()()1212211212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数；（2）由题意，得21ax x =+在[]2,3上有解，即1a x x=+在[]2,3上有解. 由（1）知1()f x x x=+在[]2,3上为增函数，所以510(),23f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以a 的取值范围是510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ，（2）求AE 与AB 夹角的余弦值. 【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）13【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭. （2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =，所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121241||12AE a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=⨯= ⎪. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos 13||||132AE AB AE AB θ-⋅===-，所以在AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，12⎛-⎝⎭B ，12C ⎛ ⎝⎭，(3,0)D . 因为E 是CD 的中点，所以744E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以7,44AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，122AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以71142422AE AB ⎛⎫⋅=⨯-+=- ⎪⎝⎭，227313||44AE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1132cos ||||131AE AB AE AB θ-⋅===-⨯，所以AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线512x π=对称，所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈，因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.21．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时．．开始工作．．．．，设制作画册的工人有x 位，制作完画册所需时间为()g x (小时)，制作完书刊所需时间为()h x (小时).（1）试比较()g x 与()h x 的大小，并写出完成订单所需时间()f x (小时)的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？【答案】（1）当()*117x x ≤≤∈N时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N 时，()()g x h x <；()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N ；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 【分析】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，利用作差法可比较出()g x 与()h x 的大小，然后可得()f x 的表达式；（2）利用反比例函数的知识求出()f x 的最小值即可. 【详解】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，()*149,x x ≤≤∈N所以1001805000280()()50(50)x g x h x x x x x --=-=--，()*149,x x ≤≤∈N . 所以当()*117x x ≤≤∈N 时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N时，()()g x h x <，所以完成订单所需时间()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N . （2）当()*117x x ≤≤∈N 时，()f x 为减函数，此时100()(17)17f x f ≥=；当()*1849x x ≤≤∈N时，()f x 为增函数，此时45()(18)8f x f ≥=. 因为(17)(18)f f >，所以当18x =时，()f x 取得最小值458. 所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 22．已知函数()22x x f x -=-，2()log g x x =.（1）对任意的[0,1]x ∈，()()f x g k >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设()()sin4xh x g x π=+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用()f x 的单调性以及对数函数的单调性，即可求出k 的范围（2）对x 进行分类讨论，分为：2(]0,x ∈和(2,)x ∈+∞，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解【详解】解：（1）因为2x y =是增函数，2x y -=是减函数，所以()22xxf x -=-在[]0,1上单调递增.所以()f x 的最小值为()00f =，所以2()log 0g k k =<，解得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1. （2）函数2()log sin4xh x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin 4xy π=在(]0,2上单调递增，所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为2222221log sin log log 0336323h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭，(1)sin 04h π=>，所以2(1)03h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x =. 所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当(2,)x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=，因为sin14xy π=≥-.所以()1(1)0h x >+-=.所以()h x 在(2,)+∞上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x . 因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x f f x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为1y x x =-在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=，所以05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：对x 进行分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin4xy π=在(]0,2上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当(2,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，所以，()h x 在(2,)+∞上没有零点；最后利用()0020log sin04x h x x π=+=，得到020sinlog 4x x π=-，然后化简可求解。

2022-2023学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量检测练习数学试题(解析版)

2022-2023学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量检测练习数学试题一、单选题1．若集合{A x x +=∈N 是2n 与3n 的公倍数，}n +∈N ，{6B x x n ==，且}n +∈N ，则下列选项正确的是（） A ．A B ⊇ B ．A B ⊆ C ．A B = D ．以上选项均不正确【答案】C【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析即可. 【详解】对于集合A ，当n +∈N 时，x 是2n 与3n 的公倍数，因此x 是6n 的正整数倍，即{A x x +=∈N 是2n 与3n 的公倍数，}{6n x x kn +∈==N ，k +∈N 且}n +∈N ， ∴由集合中元素的互异性，集合A 中元素有6，12，18，24，30，，对于集合B ，当n +∈N 时，6x n =是6的正整数倍， ∴集合B 中元素有6，12，18，24，30，，∴A B =. 故选：C.2．设实数x 满足0x <，则函数1231y x x =++-的最大值是（）A ．1-B ．5+C ．1+D ．5-【答案】D【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值. 【详解】因为0x <，所以10x ->，所以()()111232152155111y x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--++≤-⎢⎥---⎣⎦当且仅当1x = 故选：D.3．若角α的终边过点()(),50B a a -≠，则下列选项正确的是（） A ．sin 0α< B ．cos 0α>C ．tan 0α>D ．cos 0α<【答案】A【分析】根据三角函数的定义逐一判断即可.【详解】因为角α的终边过点()(),50B a a -≠，所以25sin 025a α-=<+，即A 正确；2cos 25a a α=+符号不确定，即BD 不正确；5tan aα-=符号不确定，即C 不正确；故选：A. 4．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．5．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。

福建厦门双十中学2022-2023学年数学高一上期末质量检测试题含解析

7π 2kπ 时， 6
f
x
sin
2x
7 6
，则
f
2
1 2
f
1 ，符合题意，
2
即
f
x
sin
2x
7 6
，
令 2k 3 2x 7 2k 5 ，解得 k x k 2 ，即 f x 的单调递增区间是
2
6
2
6
3
k
6
,
k
2 3
(k
Z)
；故选
C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
由∵平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD，故选 B
【点睛】本题考查公理 3 的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有
点在线上，而线在面上进行证明
8、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，
，函数是增函数，故充分；
当函数是增函数时，则，故不必要；
或
0 0
a b
1 1
，
即“ (b 1) (a 1) 0 ”是“ loga b 0 ”成立必要不充分条件，
故质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.
10、A
【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求解.
【详解】由函数
y
log2 (3
2x)
，则 3 2x
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、B 【解析】先化简集合 N，再进行交集运算即得结果. 【详解】由于 N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以 M∩N＝{x|0≤x＜2} 故选：B. 2、B

福建省厦门市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

因为，
等价于，
等价于，
等价于，
而，
令，
所以，
所以成立，
所以 .
又因在上单调递减，且，所以在上单调递减，
又因为，所以，所以，故B正确；
C．作出函数的图象如下图所示：
由图象可知：关于原点对称，且与相交于，
因为点在函数图象上，所以点在函数的图象上，
所以，
所以当时，存在使得，故C正确；
D．由题意知：有三个根，所以不是单调函数，所以，
厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.【答案】C.集合是由小于3的自然数组成，0 ，，只有C正确，
2.【答案】D.命题为特称命题，该命题的否定为：， .
3.【答案】A. ，，因此， .
因为，所以，又因为，所以，
所以或或，所以或或，
所以方程在的实数解为：或或 .
19.【答案】（1）函数是上的减函数，证明见解析；（2）或．
【详解】（1）函数是上的减函数，证明如下：
设，则，
∵ ，∴ ，即，又，
∴ ，即，
∴ 是上的减函数．
（2）由已知，即为，
又因为，所以，所以，
且，若方程有三个根，则有，所以或，这与矛盾，
所以函数不可能有三个零点，故D错误，
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】2【详解】设
幂函数的图像过点可得:
,故答案为: .

福建省厦门市高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2 B．4 C．6 D．83．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．36．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.512．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2] D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取人．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= ．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60） a 0.08[60，70） 13 0.26[70，80） 16 0.32[80，90） 10 0.20[90，100） b c合计 50 1.00（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．22．设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案．【解答】解：∵f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∴f（3）=2×4=8，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解： ==4， ==35．∴35=4×7+，解得=7．∴回归方程为=7x+7．∴当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，由x=1满足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案．【解答】解：∵log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∴a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】指数函数的图象与性质．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确．【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∴①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∴②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∴③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∴④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论．【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∴=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∴＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∴＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∴他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2] D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．【解答】解：∵关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∴y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选C．【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16 人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16；故答案为16．【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为[2，6] ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；∵x∈[0，3]；∴x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6；∴f（x）的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= 5 ．【考点】进位制．【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图．【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．【解答】解：∵132（k）=42（10），∴k2+3k+2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去），故答案为：5【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据g（x）的值域和g（x）•f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a．【解答】解：f（x0）==，∵x∈[a，+∞），∴f（x0）≤，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：∵对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，∴0＜≤1，解得a≥2．故答案为[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（Ⅰ）若a=2，求出A，∁R B，即可求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊂B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵log2x≥1，∴x≥2，即A=[2，+∞），∵a=2，∴B={x|x＞6}，∴∁R B=（﹣∞，6]，∴A∩（∁R B）=[2，6]；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∴a+4＜2，∴a＜﹣2．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60） a 0.08[60，70） 13 0.26[70，80） 16 0.32[80，90） 10 0.20[90，100） b c合计 50 1.00（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图．（Ⅱ）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数．【解答】解：（Ⅰ）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）．∴4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（Ⅱ）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万，∴x=2010，P==105，∴W≈142．令≥142，∴0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∴未来该地区的人口总数不可能突破142万；（Ⅰ）∵该地区2013年恰好进入老龄化社会，∴10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∴k%≈，∴x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【考点】模拟方法估计概率；几何概型．【专题】应用题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）这种规则不公平，求出甲胜的概率P（A）与乙胜的概率P（B），比较得出结论；（2）根据题意，求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值．【解答】解：（Ⅰ）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∴这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题，求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则，是基础题．22．设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，则f（x）=，进而可得函数的图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得答案．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（Ⅲ）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，难度中档．。

2020-2021学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题及答案解析

绝密★启用前2020-2021学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}3A x N x =∈<，则（） A ．0A ∉ B ．1A -∈C ．{}0A ⊆D ．{}1A -⊆答案：C根据集合的概念判断．解：集合A 是由小于3的自然数组成，0A ∈，1A -∉，只有C 正确，故选：C ．2．设命题p ：0x ∃>，x x e ≥，则p 的否定为（） A ．0x ∀≤，x x e ≥ B ．0x ∀>，x x e ≥ C ．0x ∀≤，e x x < D ．0x ∀>，e x x <答案：D利用特称命题的否定可得出结论.解：命题p 为特称命题，该命题的否定为：0x ∀>，e x x <. 故选：D.3．已知0.62a =， 1.82b =，0.6log 1.8c =，则（） A ．c a b << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<答案：A利用对数函数的单调性得出0c <，利用指数函数单调性可得出a 、b 、0的大小关系，综合可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 解：1.80.6220>>，0.60.6log 1.8log 10<=，因此，c a b <<.故选：A.4．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A ．45-B ．35C ．35D ．45答案：B先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 解：因为3cos 5α==，且180βα=+︒，所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-，故选：B.点评：结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 5．长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若火箭的最大速度为11.2/km s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：0.0056 1.0056e ≈）（） A ．1.0056 B ．0.5028C ．0.0056D ．0.0028答案：C由2000ln 111.2M v m⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，进而可解得M m 的值. 解：由2000ln 111.2Mv m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得11.2ln 10.00562000Mm ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，0.005610.0056Me m∴=-≈. 故选：C.6．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞答案：B由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．解：∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：（1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为12()()f x f x >，然后由单调性化简．7．在ABC中，cos A =，1tan 3B =，则()tan A B -=（）A ．2-B ．12-C ．12D ．2答案：A根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.解：因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A.点评：关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.8．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（） A ．甲 B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定答案：B分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.解：对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +，平均价格为121222p x p x p p x ++=；对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +，平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B.点评：方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商二、多选题9．已知()tan 3sin θθπ=-，则cos θ=（） A ．1- B ．13-C ．13D ．1答案：ABD由诱导公式和商数关系可得．解：∵()tan 3sin θθπ=-，∴sin 3sin cos θθθ=-，若sin 0θ=，则cos 1θ=或1-，若sin 0θ≠，则1cos 3θ=-．故选：ABD ．10．使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（） A ．1a b >-B ．11a b< C>D ．10.30.3a b -<答案：CD因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出a b >，且a b >无法推出所选的条件，由此逐项判断即可.解：A ．因为1a b >-不能推出a b >，但a b >可以推出1a b >-，所以1a b >-是a b >成立的必要不充分条件，故不满足； B ．因为11a b <不能推出a b >（例如：1,1a b =-=），且a b >也不能推出11a b<（例如：1,1a b ==-），所以11a b<是a b >成立的既不充分也不必要条件，故不满足；C ．>0a b >≥能推出a b >，且a b >>1,1a b ==-），>a b >成立的充分不必要条件，故满足；D ．因为函数0.3xy =在R 上单调递减，所以10.30.3a b -<可以推出1a b ->，即1a b >+，所以10.30.3a b -<可以推出a b >，且a b >不一定能推出10.30.3a b -<（例如：1,1a b ==），所以10.30.3a b -<是a b >成立的充分不必要条件，故满足，故选：CD.点评：结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含.11．关于x 的一元二次不等式220x x a --≤的解集中有且仅有5个整数，则实数a 的值可以是（） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：BC求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a 的不等式，解之，然后判断各选项可得．解：易知440a，即1a ≥-，解原不等式可得11x ≤≤+而解集中只有5个整数，则23≤<，解得38a ≤<，只有BC 满足．故选：BC ．12．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点答案：BCA ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.解：A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21xy x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC.点评：思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点则(4)f =_______．答案：2设幂函数()af x x =,将点(代入函数()y f x =的解析式,即可求得()f x 的解析式,进而求得(4)f . 解：设()af x x =幂函数()y f x =的图像过点∴ ()22a f ==可得:12a =()12f x x ∴=∴ 12(4)42f ==故答案为:2.点评：本题考查幂函数的基本性质,求出幂函数的解析式是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题. 14．已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______. 答案：π根据扇形的弧长公式l r α=直接计算出扇形的弧长. 解：因为扇形的弧长l r α=，所以33l ππ=⨯=，故答案为：π.15．2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos 0.815π≈）答案：13根据题意作出示意图，结合枢纽中心到初始水平面的高度、水面下降的高度、P 刚进入水面时枢纽中心到水面的高度这三者间的关系，列出关于运动时间x 的方程，结合所给数据分析x 的取值即可. 解：设至少经过x 分钟，P 进入水中，如下图P '为刚好进入水中的位置，由条件可知： 1.7, 1.19OP OA '==，P 转过的角度为23015x x ππ⋅=，所以15xP OB ππ'∠=-，因为OA AB OB +=，所以1.170.017 1.7cos 15x x ππ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以70100cos 15x x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（），根据所给数据可知：当12x =时，（）的左边82=，右边81=，此时左边>右边，说明P 还未进入水中，当13x =时，（）的左边83=，右边91=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中，当14x =时，（）的左边84=，右边98=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中，由上可知：x 的取值介于12和13之间，又因为x 的结果取整数，所以13x =，故答案为：13.点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过示意图寻找到枢纽中心到水面的高度与水面下降高度之间的等量关系，通过所给的数据去分析方程的解也是很重要的一步.四、双空题16．某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名. 答案：32 22设参加两项活动的学生人数为x ，根据题意可得出关于x 的不等式（组），由此可求得结果. 解：设参加两项活动的学生人数为x ，由040032x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，可得032x ≤≤.则()()403250x x x -++-≤，解得22x ≥.因此，同时参加两项活动的学生最多有32名，最少有22名. 故答案为：32；22.五、解答题17．已知函数()2f x x bx c =++，且()()2g x f x x =+为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求()f x 的解析式.条件①：函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为5；条件②：函数()0f x ≤的解集为{}1；条件③：方程()0f x =有两根1x ，2x ，且221210x x +=.答案：答案见解析.先根据函数的奇偶性分析出b 的值，若选①：分析()f x 的单调性，确定出()f x 在[]22-,上的最大值，由此求解出c 的值，则()f x 的解析式可求；若选②：根据一元二次不等式解集的特点，分析得到()10440f c ⎧=⎨∆=-=⎩，由此求解出c 的值，则()f x 的解析式可求；若选③：根据韦达定理，结合()2221212122x x x x x x +=+-求解出c 的值，则()f x 的解析式可求.解：因为()()()222g x f x x x b x c =+=+++为偶函数，且定义域为R 关于原点对称，所以()()g x g x =-，所以()()()()2222x b x c x b x c +++=-++-+，所以()220b x +=，又因为x 不恒为0，所以20b +=，所以2b =-，所以()22f x x x c =-+，若选①：因为()()211f x x c =-+-，对称轴为1x =，所以()f x 在[)2,1-上递减，在(]1,2上递增，所以()()(){}max max 2,2f x f f =-，又因为()28f c -=+，()2f c =，所以85c +=，所以3c =-，所以()223f x x x =--；若选②：因为()0f x ≤的解集为{}1，所以220x x c -+≤的解集为{}1，所以21210440c c ⎧-⨯+=⎨∆=-=⎩，所以1c =，所以()221f x x x =-+；若选③：因为220x x c -+=的两根为12,x x ，且221210x x +=，所以12122,x x x x c +==，所以()22122121242102x x x x x x c =+-+=-=，所以3c =-，所以()223f x x x =--.点评：思路点睛：已知函数的奇偶性求解函数解析式中的参数值的思路：（1）根据函数的奇偶性得到对应的表达形式：()()f x f x =-或()()f x f x -=-；（2）将表达式展开，采用合并同类项的方法化简表达式的展开式，若需要约分需要考虑所约去部分是否为零，由此确定出参数的值.18．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 答案：（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π. （1）先根据函数图象确定出()f x 的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式2T ωπ=求解出ω的值，然后代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，从而()f x 的解析式可求；（2）先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后根据()12g x =得到关于x 的方程，结合[]0,x π∈，求解出x 的值即为方程的实数解.解：（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=，所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π，所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π. 点评：思路点睛：根据()sin y A ωx φ=+的图象求解函数解析式的步骤：（1）根据图象的最高点可直接确定出A 的值；（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出ω的值；（3）代入图象中非平衡位置的点，结合ϕ的范围求解出ϕ，则函数解析式可求. 19．已知函数()112xf x =+.（1）判断()f x 的单调性并用定义证明；（2）若()1log 23a f >，求实数a 的取值范围. 答案：（1）函数是R 上的减函数，证明见解析；（2）01a <<或2a >．（1）根据单调性定义证明；（2）由单调性化简不等式后由对数函数性质得出结论．解：（1）函数是R 上的减函数，证明如下：设12x x <，则211212121122()()1212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=++++，∵12x x <，∴2122x x >，即21220x x ->，又12120,120xx +>+>，∴12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， ∴()f x 是R 上的减函数．（2）由已知1(1)3f =，()1log 23a f >即为()log 2(1)a f f >，∵()f x 是R 上的减函数．∴log 21<a ，解得01a <<或2a >． 20．已知函数()2cos cos f x x x x m =++的最小值为3-.（1）求m 的值及()f x 的单调递减区间；（2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 答案：（1）52m =-，单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(,-∞. （1）利用二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，再根据()f x 的最小值列出关于m 的方程，由此求解出m 的值；（2）根据已知条件化简不等式sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，将问题转化为“min 12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈”，再结合基本不等式求解出min 12sin sin x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而a 的取值范围可求.解：（1）因为()211cos cos 2cos 222f x x x x m x x m =++=+++，所以()1sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值，所以()min 1132f x m =-++=-，所以52m =-，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以单调递减区间为：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin sin 2202a x x π⎛⎫++-< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin cos220a x x +-<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 12sin 20a x x +--<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 2sin 1a x x <+对()0,x π∀∈恒成立，又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，所以12sin sin a x x<+对()0,x π∀∈恒成立，所以min12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈，又因为12sin sin x x +≥，取等号时12sin sin sin 0x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩，即2sin 2x ，即4x π=或34x π=，所以(a ∈-∞.点评：方法点睛：一元二次类型的不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值（可借助函数单调性、基本不等式）与参数的大小关系.21．人类已经进入大数据时代，数据量从TB （1TB=1024GB ）级别跃升到PB （1PB=1024TB ），EB （1EB=1024PB ）乃至ZB （1ZB=1024EB ）级别，国际数据公司（IDC ）统计2016-2019年全球年产生的数据量如下：研究发现，从2016年起，可选择函数()()1tf t a p =+来近似刻画全球年产生数据量随时间变化的规律.其中a 表示2016年的数据量，p 表示2017-2019年年增长率的平均值.（第t 年增长率=（第t 年数据量÷第()1t -年数据量）-1，*t N ∈）（1）分别计算2017-2019各年的年增长率，并求()f t .（精确到0.01）.（2）已知2020年中国的数据总量约占全球数据总量的20%，成为数据量最大、数据类型最丰富的国家之一.近年来中国的数据总量年均增长率约为50%，按照这样的增长速度，估计到哪一年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%？参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈，lg1.320.121≈ 答案：（1）2017的增长率为0.44，2018的增长率为0.27，2019的增长率为0.24， ()18 1.32tf t ⨯=；（2）估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%. （1）由表中数据代入公式可得2017、2018、2019的增长率；（2）设x 年后，则有()0.210.50.3 1.32xx =⨯+，指数化为对数式代入数值可得答案.解：（1）2017的增长率2610.4418=-≈，2018的增长率3310.2726=-≈， 2019的增长率4110.2433=-≈，()10.440.270.240.323p =++≈，18a =，所以()()1810.3218 1.32t tf t =⨯=+.（2）设x 年后，则有()0.210.50.3 1.32xx =⨯+，32..51321x x =⨯⨯，所以l l g g 23lg1.5lg1.32x x=++，lg3lg3lg1.32lg3lg lg 2lg 1.322lg1.5lg 2x --==---，代入lg 20.301≈， lg30.477≈，lg1.320.121≈，得 3.2x ≈，估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%.点评：本题考查函数模型的求解问题，关键点是通过所选函数模型，代入数值求得解析式，本题考查学生分析问题解决问题的能力，考查运算求解能力.22．已知函数()()11xf x a a x=->. （1）若()f x 在[]1,2上的最大值为72，求a 的值；（2）若0x 为()f x 的零点，求证：()02000log 220xa x x x a -+-<.答案：（1）2；（2）详见解析. （1）易知函数()1xy aa =>和1y x=-在[]1,2上递增，从而()f x 在[]1,2上递增，根据()f x 在[]1,2上的最大值为72求解. （2）根据0x 为()f x 的零点，得到001x x a =，由零点存在定理知001x <<，然后利用指数和对数互化，将问题转化为20212x x aa -+>，利用基本不等式证明. 解：（1）因为函数()1xy a a =>和1y x=-在[]1,2上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，又因为()f x 在[]1,2上的最大值为72，所以21722a -=，解得2a =；（2）因为0x 为()f x 的零点，所以010x a x -=，即001x x a =，又当0x →+时，()f x →-∞，当 1x =时，()110f a =->，所以001x <<，因为()02000log 220xa x x x a -+-<，等价于()200log 220a x x -+-<，等价于20202x x a --<，等价于20212x x aa -+>，而20021xx aa -+=≥令()20190,224t x ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭=，所以2019241x a⎛⎫-++⎪⎝⎭>，所以2212x x a a-+>成立，所以()02000log 220xa x x x a -+-<.点评：关键点点睛：本题关键是由指数和对数的互化结合001x x a =，将问题转化为证200212x xa a -+>成立.。

福建省厦门市思明区夏门一中2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析

11、B
【解析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角的终边过点，所以，
∴ ，故
故选：B
12、C
【解析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260 ，利用第二档的收费方式计算即可.
【详解】若该用户全年用水量为260 ，
则应缴纳元，
所以该户家庭的全年用水量少于260 ，
则
综上，或
【小问3详解】
由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，
在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得 ,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为
20、 (1) ，；(2) .
【解析】(1)利用诱导公式化简f(α)即可；
(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
19．已知
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴ .
故选：A.
8、C
【解析】画出散点图，根据图形即可判断.
【详解】画出散点图如下，则根据散点图可知，可用正弦型曲线拟合这些数据，故适合.
故选：C.
9、D
【解析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，进而得，再结合对数运算解不等式即可得答案.
【详解】(1)证明：因为为的中点，为的中点，

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