三种求关键路径算法的比较_史玉敏
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1 三种算法之比较
通常我们所用的求解关键路径的方法是参考文 献[1]上 所 述 的 , 在 这 里 我 们 再 引 入 文 献[2][3]上 的 两 种 方 法 进 行 比 较 。我 们 借 助 一 个 简 单 的 例 题 看 一 下 三 种算法的优劣。
例:
图 1 初始图
( 1) 方法一: 用参考文献[1]的方法求解 这种方法大家都比较熟悉, 这里不再累述, 只给 出求解的最终结果, 见表 1。
表 4 D[4]=6
④D[2]=2, 修改 S[2]=1, 用 D[2]修正矩阵 P 第 3 行 得值, 并根据 P 第 3 行的值重新修正 D 的值, 结果见 表 5。
表 5 D[2]=2
⑤D[1]=max{D[i]|S[i]=0}=1, 修改 S[1]=1, 用 D[1]修 正矩阵 P 第 2 行得值, 并根据 P 第 2 行的值重新修正 D 的值, 结果见表 6。
⑤计 算 W=U Mi 且 只 保 留 发 点 到 终 点 的 最 长 路 径项得: W={<125,6>}和{<145,6>}
关键路径为: v1v2v5 和 v1v4v5, 长度为 6。 ( 3) 方法 3: 用参考文献[3]上的方法求解步骤 ①初始化 P、D、S, 见表 2。
表 2 初始表
变, 只修改 D, S 的值, 结果见表 4。
③删去 M1 中除第一行之外的所有行和第一列得 到的新矩阵记为 M1:
M1=( {<12,1>} {<13,2>} {<14,4>} Ψ)
④根据公式 Mk=Mk-1* M, 构造秩为 k 的基本 P 矩 阵 Mk(k=2,…,n- 1)且 只 保 留 各 顶 点 之 间 的 最 长 路 径 项, 得:
参考文献 [1]严蔚敏, 吴伟民. 数据结构( C 语言版) . 北京: 清华大学出
版社, 2002:183 ̄186 [2]徐凤生. 一种新的关键路径求解算法. 计算机应用与软
件, 2005, 22( 6) : 97 ̄99 [3]徐凤生. 一种求关键路径的新算法. 计算机工程与应用,
2005, 41( 24) : 82 ̄84 ( 收稿日期: 2005- 11- 16)
Key words : E_Auto_Market; Web Services; J2EE
MO D E R N C OMP U T E R 2006.2
现 代 计 算 机 (总 第 二 二 九 期
!"# )
表 1 AOE- 网中顶点和活动的时间
关键路径为 v1v2v5 和 v1v4v5, 长度为 6。
图 2 关键路径图
( 2) 方法 2: 用参考文献[2]的方法求解步骤
现
①构造 M1
代
计
!ψ {<12,1>} {<13,2>} {<14,4>} ψ $
"ψ ψ ψ
ψ {<25,5>}%
M1=""ψ
ψ
ψ
M2=(Ψ Ψ Ψ {<125,6>} {<145,6>} ) M3=M4=M5=(Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ)
可以注意到 M1, M 都有四列, 而 M2, M3, M4, M5 都 是由五列。这是因为在由 M1 到 M2 的计算过程中, 在 第四列同时出现了两个最长路经, 所以为其多开辟出 一列, 从而不会丢失任意一条关键路径。
Abs tract: This text has analysed three algorithms for finding the critical paths from several respects separately, such as complexity of the algorithm, the structure form of the data and easy degree.
ψ {<35,3>}%%
"ψ ψ
ψபைடு நூலகம்
ψ {<45,2>}%
算 机 (总
#ψ ψ ψ
ψ
ψ&
第
二
②根据 M1 构造 M, 由于这里求关键路径, 所以 M 二
的第一行和第一列可以删去, 将得到的矩阵记为 M: 九
期
MO D E R N C OMP U T E R 2006.2 !"# )
实践与经验
!ψ ψ ψ {<5,5>}$ "ψ ψ ψ {<5,3>}% M=""ψ ψ ψ {<5,2>}%% #ψ ψ ψ ψ &
Re s e a rch of Thre e Algorithms for Finding the Critica l P a ths
SHI Yu- min , ZHAO Qing- zhen
(Institute of Management, Shandong Normal University, Jinan 250014 China)
于是源点 v1 到汇点 v5 的所有关键路径有两条: v1v2v5, v1v4v5,长度都为 6。
2 结语
经用 C 语言程序验证, 三种算法都是有效的、可
靠的, 且三种方法均能一次求出所有关键路径。三种 算法的时间复杂度分别为 O(n+e)、O(n2)、O(n2), 若用于 计算机实现, 方法 1 更快一些, 但从手工执行过程看, 方 法 1 需 要 4 步 ( 依 次 求 出 Ve、Vl、e、l) , 方 法 2 需 要 n 步, 方法 3 需要至少 n+1 步( 例如若原题中 a3=6, 则 需要重新修改 D[4]的值, S[i]再次变为零, 投入新的计 算) 。方法 2 若执行到 i 步 Mi=Φ, 则往下便不必计算, 而方法 3 则要执行完至少 n 步后才能确保 P 矩阵不 再变化, 此方法的解题步骤与求最短路径的 Dijkstra 的求解思想类似。
)
!"# MO D E R N C OMP U T E R 2006.2
⑥根据上面得到的 P、D 和公式 Pre(u)={w|p[w][u] =D[u]且 u≠w}, 求 出 每 个 顶 点 的 前 趋 结 点 组 成 的 集 合 , 则 有 Pre (v5)={v2,v4}; Pre (v4)={v1}; Pre (v3)={v1}; Pre(v2)={v2, v4}; Pre(v1)=Φ。
从数据结构方面看, 方法 1 是列出需衡量的指 标, 然后从图中分别找 Ve、Vl、e、l, 方法 2 只需用矩阵
实践与经验
连接运算, 书写项目少, 而且关键路径在步骤中已得 出, 一目了然, 不必像方法 3 那样还要多一步求前趋 结点, 而且方法 3 则既要随时改变矩阵 P, 又要改变 D[i]S[i], 较麻烦。
实践与经验
三种求关键路径算法的比较
史玉敏 , 赵庆祯
( 山东师范大学管理学院, 济南 250014)
摘 要: 本文分别从算法复杂度、数据结构形式及实现的容易程度等几方面分析了三种求关键路径 算法的优劣。
关键词 : 关键路径; 算法; AOE—网
引言
现实中一项工程是一个完整的系统整体, 都可抽 象 成 一 个 环 环 相 扣 的 AOE- 网 , 即 带 权 的 有 向 无 环 图 , 顶 点 表 示 事 件 ( Event) , 弧 表 示 活 动(Active), 权 表 示活动 持续的时间(Time), 整个工程中只有一个 开 始 点和一个完成点, 故在正常的情况( 无环) 下, 网中只 有一个入度为零的点( 称作源点) 和一个出度为零的 点( 称作汇点) 。为了进行人力、物力的调度和分配, 以 缩短工期, 我们必须找出影响工期进度的关键活动, 若网中有几条关键路径, 那么, 单是提高一条关键路 径上的关键活动的速度还不能导致整个工程缩短工 期, 而必须提高同时在几条关键路径上的活动的速 度, 因此必须求出所有关键路径, 这就是关键路径的 求解问题。
Abs tract: Firstly, this paper discussed the characteristics and the advantages for developing e- business by combining J2EE with Web Service Technology, then a E_Auto_Market based on J2EE and Web Services is proposed. The analysis of requirement, the target of design and the function module in system are explained, Moreover, the application of Web Services in E- Auto- Market takes advantage in dynamic e- business.
表 6 D[1]=1
②D[3]=max{D[i]|S[i]=0}=4, 修改 S[3]=1, 用 D[3]修
正矩阵 P 第 4 行得值, 并根据 P 第 4 行的值重新修正
D 的值, 结果见表 3。
现
代
表 3 D[3]=4
计
算
机
(总
第
二
二
九
期
③D[4]=6, 修 改 S[4]=1, 因 为 P[k][i]=0, 所 以 P 不
Key words : Critical Paths; Algorithm; AOE- Network
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
( 上接第 75 页)
Re s e a rch a nd Re a liza tion of E- Auto- Ma rke t S ys te m
ba s e d on J 2EE a nd We b S e rvice s
WEI Wen- hong1 , LI Qing- xia1 , GAO Da- li2
( 1. Nanhai Open University, Foshan 528200 China; 2. Quanzhou Normal University, Quanzhou 362021 China)
通常我们所用的求解关键路径的方法是参考文 献[1]上 所 述 的 , 在 这 里 我 们 再 引 入 文 献[2][3]上 的 两 种 方 法 进 行 比 较 。我 们 借 助 一 个 简 单 的 例 题 看 一 下 三 种算法的优劣。
例:
图 1 初始图
( 1) 方法一: 用参考文献[1]的方法求解 这种方法大家都比较熟悉, 这里不再累述, 只给 出求解的最终结果, 见表 1。
表 4 D[4]=6
④D[2]=2, 修改 S[2]=1, 用 D[2]修正矩阵 P 第 3 行 得值, 并根据 P 第 3 行的值重新修正 D 的值, 结果见 表 5。
表 5 D[2]=2
⑤D[1]=max{D[i]|S[i]=0}=1, 修改 S[1]=1, 用 D[1]修 正矩阵 P 第 2 行得值, 并根据 P 第 2 行的值重新修正 D 的值, 结果见表 6。
⑤计 算 W=U Mi 且 只 保 留 发 点 到 终 点 的 最 长 路 径项得: W={<125,6>}和{<145,6>}
关键路径为: v1v2v5 和 v1v4v5, 长度为 6。 ( 3) 方法 3: 用参考文献[3]上的方法求解步骤 ①初始化 P、D、S, 见表 2。
表 2 初始表
变, 只修改 D, S 的值, 结果见表 4。
③删去 M1 中除第一行之外的所有行和第一列得 到的新矩阵记为 M1:
M1=( {<12,1>} {<13,2>} {<14,4>} Ψ)
④根据公式 Mk=Mk-1* M, 构造秩为 k 的基本 P 矩 阵 Mk(k=2,…,n- 1)且 只 保 留 各 顶 点 之 间 的 最 长 路 径 项, 得:
参考文献 [1]严蔚敏, 吴伟民. 数据结构( C 语言版) . 北京: 清华大学出
版社, 2002:183 ̄186 [2]徐凤生. 一种新的关键路径求解算法. 计算机应用与软
件, 2005, 22( 6) : 97 ̄99 [3]徐凤生. 一种求关键路径的新算法. 计算机工程与应用,
2005, 41( 24) : 82 ̄84 ( 收稿日期: 2005- 11- 16)
Key words : E_Auto_Market; Web Services; J2EE
MO D E R N C OMP U T E R 2006.2
现 代 计 算 机 (总 第 二 二 九 期
!"# )
表 1 AOE- 网中顶点和活动的时间
关键路径为 v1v2v5 和 v1v4v5, 长度为 6。
图 2 关键路径图
( 2) 方法 2: 用参考文献[2]的方法求解步骤
现
①构造 M1
代
计
!ψ {<12,1>} {<13,2>} {<14,4>} ψ $
"ψ ψ ψ
ψ {<25,5>}%
M1=""ψ
ψ
ψ
M2=(Ψ Ψ Ψ {<125,6>} {<145,6>} ) M3=M4=M5=(Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ)
可以注意到 M1, M 都有四列, 而 M2, M3, M4, M5 都 是由五列。这是因为在由 M1 到 M2 的计算过程中, 在 第四列同时出现了两个最长路经, 所以为其多开辟出 一列, 从而不会丢失任意一条关键路径。
Abs tract: This text has analysed three algorithms for finding the critical paths from several respects separately, such as complexity of the algorithm, the structure form of the data and easy degree.
ψ {<35,3>}%%
"ψ ψ
ψபைடு நூலகம்
ψ {<45,2>}%
算 机 (总
#ψ ψ ψ
ψ
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第
二
②根据 M1 构造 M, 由于这里求关键路径, 所以 M 二
的第一行和第一列可以删去, 将得到的矩阵记为 M: 九
期
MO D E R N C OMP U T E R 2006.2 !"# )
实践与经验
!ψ ψ ψ {<5,5>}$ "ψ ψ ψ {<5,3>}% M=""ψ ψ ψ {<5,2>}%% #ψ ψ ψ ψ &
Re s e a rch of Thre e Algorithms for Finding the Critica l P a ths
SHI Yu- min , ZHAO Qing- zhen
(Institute of Management, Shandong Normal University, Jinan 250014 China)
于是源点 v1 到汇点 v5 的所有关键路径有两条: v1v2v5, v1v4v5,长度都为 6。
2 结语
经用 C 语言程序验证, 三种算法都是有效的、可
靠的, 且三种方法均能一次求出所有关键路径。三种 算法的时间复杂度分别为 O(n+e)、O(n2)、O(n2), 若用于 计算机实现, 方法 1 更快一些, 但从手工执行过程看, 方 法 1 需 要 4 步 ( 依 次 求 出 Ve、Vl、e、l) , 方 法 2 需 要 n 步, 方法 3 需要至少 n+1 步( 例如若原题中 a3=6, 则 需要重新修改 D[4]的值, S[i]再次变为零, 投入新的计 算) 。方法 2 若执行到 i 步 Mi=Φ, 则往下便不必计算, 而方法 3 则要执行完至少 n 步后才能确保 P 矩阵不 再变化, 此方法的解题步骤与求最短路径的 Dijkstra 的求解思想类似。
)
!"# MO D E R N C OMP U T E R 2006.2
⑥根据上面得到的 P、D 和公式 Pre(u)={w|p[w][u] =D[u]且 u≠w}, 求 出 每 个 顶 点 的 前 趋 结 点 组 成 的 集 合 , 则 有 Pre (v5)={v2,v4}; Pre (v4)={v1}; Pre (v3)={v1}; Pre(v2)={v2, v4}; Pre(v1)=Φ。
从数据结构方面看, 方法 1 是列出需衡量的指 标, 然后从图中分别找 Ve、Vl、e、l, 方法 2 只需用矩阵
实践与经验
连接运算, 书写项目少, 而且关键路径在步骤中已得 出, 一目了然, 不必像方法 3 那样还要多一步求前趋 结点, 而且方法 3 则既要随时改变矩阵 P, 又要改变 D[i]S[i], 较麻烦。
实践与经验
三种求关键路径算法的比较
史玉敏 , 赵庆祯
( 山东师范大学管理学院, 济南 250014)
摘 要: 本文分别从算法复杂度、数据结构形式及实现的容易程度等几方面分析了三种求关键路径 算法的优劣。
关键词 : 关键路径; 算法; AOE—网
引言
现实中一项工程是一个完整的系统整体, 都可抽 象 成 一 个 环 环 相 扣 的 AOE- 网 , 即 带 权 的 有 向 无 环 图 , 顶 点 表 示 事 件 ( Event) , 弧 表 示 活 动(Active), 权 表 示活动 持续的时间(Time), 整个工程中只有一个 开 始 点和一个完成点, 故在正常的情况( 无环) 下, 网中只 有一个入度为零的点( 称作源点) 和一个出度为零的 点( 称作汇点) 。为了进行人力、物力的调度和分配, 以 缩短工期, 我们必须找出影响工期进度的关键活动, 若网中有几条关键路径, 那么, 单是提高一条关键路 径上的关键活动的速度还不能导致整个工程缩短工 期, 而必须提高同时在几条关键路径上的活动的速 度, 因此必须求出所有关键路径, 这就是关键路径的 求解问题。
Abs tract: Firstly, this paper discussed the characteristics and the advantages for developing e- business by combining J2EE with Web Service Technology, then a E_Auto_Market based on J2EE and Web Services is proposed. The analysis of requirement, the target of design and the function module in system are explained, Moreover, the application of Web Services in E- Auto- Market takes advantage in dynamic e- business.
表 6 D[1]=1
②D[3]=max{D[i]|S[i]=0}=4, 修改 S[3]=1, 用 D[3]修
正矩阵 P 第 4 行得值, 并根据 P 第 4 行的值重新修正
D 的值, 结果见表 3。
现
代
表 3 D[3]=4
计
算
机
(总
第
二
二
九
期
③D[4]=6, 修 改 S[4]=1, 因 为 P[k][i]=0, 所 以 P 不
Key words : Critical Paths; Algorithm; AOE- Network
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Re s e a rch a nd Re a liza tion of E- Auto- Ma rke t S ys te m
ba s e d on J 2EE a nd We b S e rvice s
WEI Wen- hong1 , LI Qing- xia1 , GAO Da- li2
( 1. Nanhai Open University, Foshan 528200 China; 2. Quanzhou Normal University, Quanzhou 362021 China)