空间思维训练

空间思维训练：

华罗庚先生说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。

1.善于数中思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息

一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。

例1：①若a+b<0,且b>0,则a,b,-a,-b的大小?

解析：利用数轴很直观。

②观察下列关于a 和b 的二次式：（1）2222

2,44

a a

b b a ab b

++++

（2）2222

23,252

a a

b b a ab b

++++

注：此二次式能分解成两个一次因式的乘积, 且各项系数都是正整数；

利用下列给出的长方形和正方形卡片，尝试拼成一个矩形，试讨论矩形的代数意义。

例2:计算1111111

....... 2481632644096 +++++++

（1）如果从代数角度进行分解与组合可得：

原式=

1111111 (1)()()......()

2244820484096

-+-+-+-，

=

1

1

4096

-=

4095

4096

（2）如果把“数”变换成“形”来思考可得：（如图1）

把一个面积为1 的正方形等分成两个面积为1

2

的长方形，

再把一个面积为1

2

的长方形分成两个面积为

1

4

的正方形，图1

如此进行下去，从而可以利用图形揭示的规律，同样可以解决问题．

跟踪练习：求1+2+3+4+……+n的值,n是正整数。

解析：对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法也是可以解决的。但若用数形结合的方法,就非常的直观方案如下:斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别是1,2,3,….,n个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+……+n的值。

为求式子的值,现把左边三角形倒于斜线的右边,

与原先三角形组成一个平行四边形。此时,组成平行

四边形的小圆圈共有n行,每行有(n+1)个小圆圈,

所以组成平行四边形的小圆圈的个数为n(n+1)个,

因此,组成一个三角形小圆圈的个数为n(n+1)/2

也就是1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2

练习1：剪来剪去看整体

长方形ABCD的内部有100个点，以长方形的顶点和内部的点为顶点，将它剪成一些三角形，一共可以剪成多少个三角形？共需要剪多少刀？

解析：我们从整体分析，计算所有三角形的内角和，汇聚在长方体内一点的所有三角形的角之和为360 ，而长方体的内角和也是360 ，共有360 ⨯100+360 ，从而三角形的个数为（360 ⨯100+360 ）÷180 =202个。每个三角形有三条边，首先长方形的四条边不用剪，其余的边，因为两个三角形有公共的边，一剪刀下来有两条边，所以共剪的刀数是（202⨯3-4）÷2=301.

2.学会形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系

例1：将一张长方形的纸对折（如下图）可得一条折痕。继续对折，对折时每次折

痕与上次的保持平行，连续对折三次后，可以得到七条折痕，那么对折

四次，可以得______条折痕。如果对折n 次，可以得到______条折痕。

解析：第一次对折成 2 层纸，折痕一条；第二次对折，有22=4 层纸，

折痕1+2=22－1=3（条）；第三次对折，有32=8 层纸，折痕1+2+22

=32－1=7（条）；故可归纳出通用结论：

对折n 次的折痕数为2n －1(条)。

故当 n=4 时，折痕条数是42－1=15 条。

跟踪练习：

设正方形 ABCD 的边长为1，如右图，

以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，

再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH

照此规律作下去：

（1）设正方形ABCD 的边长为1a ， 1a =1，按上述方法所作的正方形的边长依

次为123,,......n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；

（2）根据第（1）的规律写出第n 个正方形边长n a 表达式。

[答案：(1) 123234,2,a a a =====

(2)1n n a -=(1n ≥的正整数)

例题2：将一个棱长为4的正方体的所有面涂满油漆，再把它切割成为一个个棱长为1的小正方体，被涂油漆的小正方体中最多有 个面被涂了油漆，这样的小立方体有多少个？有 个小正方体没有被涂油漆，其中只有一个面被涂上油漆的有 个。

分析：首先：正方体一共被分割成了44464⨯⨯=块小正方体，

最多有3个面被涂了油漆，分别是大正方体八个角上的小正方体，一共8个； 被涂了2个面的小正方体有一条棱原来位于正方体的棱上，每条棱上有两个，那么一共有21224⨯=个；只被涂了一个面的小正方体有：4624⨯=个；从而没有

被涂油漆的只有：2228

⨯⨯=。

⨯⨯的立方体结论又是如何?

探讨：同样的问题，对于n n n

跟踪练习：下图是连接在一起的两个正方形, 大正方形的边长是小正方形边长的2倍. 问: 若只许剪两刀, 应如何裁剪, 使之能拼成一个新的大正方形?

解析：对这一问题, 学生往往采取实验的方法, 这里裁一刀, 那里试一剪, 但却极少有人能在短时间内拼凑好. 如果对题目认真加以分析, 我们不难发现, 从已知到结论，图形虽然变了, 但其中却还有没变的东西：面积. 若设小正方形的

面积为1则其边长就是1. 这样一来,

剪即可, 而图中这样的线段没有几条, 于是很快就能找到答案( 如图)。

综合练习：下面两张图，左图是一个棱长全都相等的正三棱锥，它有四个面，每个面都是相等的正三角形；右图是一个所有棱长都相等的正四棱锥，它有五个面，侧面是相等的正三角形，底面是同边长的正方形。