大学数学(高数微积分)第六章线性空间第六节(课堂讲义)
《高等数学》课件第6章 常微分方程
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
高数(一)微积分第6章
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何(电子讲稿)
205第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB −−→（图6-1）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，a ，r ，F 或a →，→r ，→F ．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量a 和b 的大小相等，且方向相同，则说向量a 和b 是相等的，记为=a b ．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量a ，→a ，AB −−→的模分别记为||a ，||→a ，||AB −−→．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或→0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与a 的模相等而方向相反的向量，称为a 的负向量，记作-a ．设a 和b 为非零向量，在空间中任取一点O ，作OA −−→=a ，OB b −−→=，规定不超过π的AOB ∠（即0AOB ≤∠≤π）称为向量a 和b 的夹角（图6-2），记作(,)∧a b 或(,)∧b a ．如果a 和b 中有一个为零向量，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值．若(,)0∧=a b 或π，即向量a 和b 的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a //b ．可认为零向量与任何向量都平行．若(,)∧=a b 2π，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．206 类似还有向量共面的概念，设有(3)k k ≥个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和公共起点在一个平面上，就称这k 个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a 与b ，任取一点A ，作AB −−→=a ，再以B 为起点，作BC −−→=b ，连接AC ，（图6-3），那么向量AC −−→=c 称为向量a 与b 的和，记作+a b ，即=+c a b ．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图6-4）：当向量a 与b 不平行时，平移向量a ，使a 与b 的起点重合，以a ，b 为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点C 的向量等于向量a 与b 的和+a b ．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 +=+a b b a ；（2）结合律 ()()++=++a b c a b c ．由于向量的加法符合交换律与结合律，故n 个向量12,,n a a a (3)n ≥相加可写成12+++n a a a ,并按向量相加的三角形法则，可得n 个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12,n a a a ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量b 与a 的差为()-=+-b a b a （图6-5）． 特别地，当=b a 时，有()-=+-=a a a a 0．显然，任给向量AB −−→及点O ，有AB AO OB OB OA −−→−−→−−→−−→−−→=+=-，因此，若把向量a 与b 移到同一起点O ，则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB −−→便是向量b 与a 的差-b a ．由三角形两边之和大于第三边的原理，有+≤+a b a b 及 -≤+a b a b ， 其中等号在b 与a 同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量a 与实数λ的乘积记作λa ，规定λa 是一个向量，它的模为207λλ=a a ．当0λ>时，向量λa 与a 的方向相同，当0λ<时，向量λa 与a 的方向相反．当0λ= 时，0λ=a ，即λa 为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当1λ=±时，有1,(1)=-=-a a a a ． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律 ()()()λμμλλμ==a a a ； （2）分配律 ()λμλμ+=+a a a ；()λλλ+=+a b a b ．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b ． 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 51(13)1525⎛⎫=-+--+⋅ ⎪⎝⎭a b 522=--a b ． ●●例2 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM −−→−−→=．证 如图6-6所示，连结AC ，则在BAC ∆中，KL −−→=12AC −−→；在DAC ∆中，NM −−→=12AC −−→．所以KL NM −−→−−→=． 设≠0a ，则向量||aa 是与a 同方向的单位向量，记为a e ．于是||=a a a e ．由向量的数乘运算知向量λa 与a 平行，因此有如下定理：设向量≠0a ，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使λ=b a ．证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性．设b //a ．取||a b ||||=λ，当b 与a 同向时λ取正值；当b 与a 反向时λ取负值，即λ=b a ．这是因为此时b 与a 同向，且λλ===ba a ab a． 再证明实数λ的唯一性．设λ=b a ，又设μ=b a ，两式相减，得()λμ-=0a ，即 0λμ-=a ．因0≠a ，故0λμ-=，即λμ=．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ，对于数轴上任一点P ，对应一个向量OP −−→，由OP //i ，根据定理1，必有唯一的实数x ，使OP x −−→=i ，（实数x 叫做数轴上有向线段OP −−→的值），并知OP −−→与实数x 一一对应．于是点P向量OP x −−→=i 实数x ，从而数轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系．据此，定义实数x 为数轴上点P 的坐标．208 由此可知，数轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是OP x −−→=i ．三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和3个两两垂直的单位向量i ，j ，k ，就确定了3条都以O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz 坐标系或[];,,O i j k 坐标系．通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住z 轴，其余四指从正向x 轴以π2角度转向正向y 轴时，大拇指所指的方向为z 轴的正向，如图6-7所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面，另两个由y 轴及z 轴和z 轴及x 轴所确定的坐标面分别叫做yOz 面和zOx 面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在xOy 面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I ，II ，III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII 表示（图6-8）．设M 为空间一点，过点M 作3个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R （图6-9），这3点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ．于是空间点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ．反之，若已知一个有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q ，R 分别作与x 轴、y 轴、z 轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点M （图6-9）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数,,x y z 叫做点M 的坐标，并依次称,x y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．点M 通常记作(,,)M x y z ．记OM −−→=r ，则=r OM OP PN NM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++，设OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，则OM x y z −−→==++r i j k ．上式称为向量r 的坐标分解式，x i ，y j ，z k 称为向量r 沿3个坐标轴方向的分向量．有序数,,x y z 称为向量r 在坐标系Oxyz 中的坐标，记作r (,,)x y z =．向量OM −−→=r 称为点M 关于原点O 的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同209的坐标．记号(,,)x y z 既表示点M ，又表示向量OM −−→．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点M 在xOy 面上，则0=z ；类似地，点M 在yOz 面上，则0=x ；点M 在zOx 面上，则0=y ．如果点M 在x 轴上，则0==y z ；同样，点M 在y 轴上，有0z x ==；点M 在z 轴上，有0x y ==．如果点M 为原点，则x =y 0z ==．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设(,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，即x y z a a a =++a i j k ， x y z b b b =++b i j k ，则加法：()()()x x y y z z a b a b a b +=+++++a b i j k ； 减法：()()()x x y y z z a b a b a b -=-+-+-a b i j k ； 数乘：()()()x y z a a a λλλλ=++a i j k （λ为实数） 或(,,)x x y y z z a b a b a b +=+++a b ， (,,)x x y y z z a b a b a b -=---a b ，(,,)x y z a a a λλλλ=a ．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若≠0a 时，向量//b a 相当于λ=b a （λ为实数），即(,,)(,,),x y z x y z b b b a a a λ= 也相当于向量的对应坐标成比例，即.y x zx y zb b b a a a == ●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组53,32-=⎧⎨-=⎩x y a x y b ，其中(2,1,2)=a ，(1,1,2)=--b ．解 如同解二元一次线性方程组，可得23,35=-=-x a b y a b ．以a 、b 的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)x =---=-， 3(2,1,2)5(1,1,2)(11,2,16)=---=-y ．●●例4 已知两点111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 以及实数1λ≠-，在直线AB 上求一点M ，使AM MB λ−−→−−→=．解法1 如图6-10所示，由于AM OM OA −−→−−→−−→=-，MB OB OM −−→−−→−−→=-，因此 ()OM OA OB OM λ−−→−−→−−→−−→-=-，210 从而 1()1OM OA OB λλ−−→−−→−−→=++ 121212( , , )111x x y y z z λλλλλλ+++=+++，这就是点M 的坐标．解法2 设所求点为(,,)M x y z ，则111(, , )AM OM OA x x y y z z −−→−−→−−→=-=---，222(, , )MB OB OM x x y y z z −−→−−→−−→=-=---．依题意有AM MB λ−−→−−→=，即111222(,,)(,,)λ---=---x x y y z z x x y y z z ， 则有111222(,,)(,,)(,,)(,,)λλ-=-x y z x y z x y z x y z ，故) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=，从而 λλ++=121x x x ，121y y y λλ+=+，λλ++=121z z z ．点M 叫做有向线段AB −−→的λ分点，当1λ=时，点M 是有向线段AB −−→的中点，其坐标为221x x x +=，221y y y +=，221z z z +=．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量r =(,,)x y z ，作OM −−→=r （图6-9），则OM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→==++r ，按勾股定理可得||||OM −−→==r因为OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，所以||,||,||OP x OQ y OR z −−→−−→−−→===，于是得向量模的坐标表示式222||z y x ++=r ．设有点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z , 则222111212121 (,,)(,,)(,,)−−→−−→−−→=-=-=---AB OB OA x y z x y z x x y y z z ，于是A 、B 两点间的距离为||||AB AB −−→==●●例5 求证：以(1,2,3)A ，(2,1,4)B ，(4,2,1)C --为顶点的三角形是直角三角形． 证 因为2222(21)(12)(43)3AB =-+-+-=， 2222(41)(22)(13)41AC =-+--+--=， 2222(42)(21)(14)38BC =-+--+--=，211所以，2233841AB BC +=+=，又因为241AC =，根据勾股定理可知，ABC ∆是直角三角形．●●例6 设点P 在x轴上，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．解 因为点P 在x 轴上，故可设点P 的坐标为(,0,0)x ，则1PP =，2PP =由于122PP PP=，即，解之得1x =±．从而所求点P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)-．●●例7 已知两点(1,0,3)A 和(3,1,1)B ，求与AB −−→方向相同的单位向量e ． 解 因为 (3,1,1)(1,0,3)(2,1,2)AB OB OA −−→−−→−−→=-=-=-,所以，||3AB −−→=，从而 =e 1(2,1,2)3||ABAB −−→−−→=-． 2．方向角与方向余弦非零向量r =(,,)x y z 分别与x 轴、y 轴、z 轴的夹角αβγ、、称为向量r 的方向角（图6-11）．c o s,c o s ,c o s αβγ称为向量r 的方向余弦．则||cos ,||cos ,||cos x y z αβγ===r r r ．cos ||x α=r ，cos ||y β=r ，cos ||zγ=r ．从而1(cos , cos , cos )||r αβγ==r e r ． 上式表明，以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量r e ，而且有222cos cos cos 1αβγ++=．●●例8 已知两点A )和 (1, 3, 0)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角． 解因为(12, 32, 0(1, 1, AB −−→=---=-， 所以||2)2AB −−→=，从而(cos , cos , cos )||ABAB αβγ−−→−−→=，即 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos γ=，故 α=23π，β=3π，γ= 34π．212 ●●例9 设向量12P P −−→与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π，而且122|PP |−−→=，如果点1P 的坐标为(1,0,3)，求点2P 的坐标．解 设点2P 的坐标为(,,)x y z ，则12P P −−→的坐标为(1,0,3)x y z ---，又设向量12P P −−→的方向角为α、β、γ，由题设可得α=3π，1cos 2α=，β=4π，cos β= 因为222cos cos cos 1αβγ++=，所以1cos 2γ=±．即γ=3π或γ=23π．由121cos x |PP |α−−→-= 可得12x -12=，解之得2x =，由120cos y |PP |β−−→-= 可得02y-=y = 由123cos z |PP |γ−−→-=可得32z -12=±，解之得4z =或2z =． 故点2P的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴（图6-12）．任给向量r ，作OM −−→=r ，再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '（点M '叫作点M 在u 轴上的投影），则向量OM −−→'称为向量r 在u 轴上的分向量．设OM −−→'λ=e ，则数λ称为向量r 在u 轴上的投影，记作Pr j u r 或()u r ． 按此定义，向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标,,x y z a a a 就是a 在3条坐标轴上的投影，即Pr j ,Pr j ,Pr j x x y y z z a a a ===a a a ．投影的性质：性质1 ()cos u a a ϕ=（即Pr j cos u a a ϕ=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角． 性质2 ()()()u u u a b a b +=+（即Pr j ()Pr j Pr j u u u a b a b +=+）．性质3 ()()u u a a λλ=（即Pr j ()Pr j u u a a λλ=）．习 题 6-11．在平行四边形ABCD 中，设a −−→=AB ，AD −−→=b ，试用a 和b 表示向量MA −−→、MB −−→、MC −−→、MD −−→，其中M 是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．2133．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式．4．求平行于(1,1,1)=a 的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)A B C D ------6．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．7．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 11．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标． 12．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点． 13．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行． 14．求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式．15．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式． 16．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．17．已知两点A ，(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为α，β，γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．19．已知3点(1,0,0)A =，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC −−→与CA −−→及其模；（2）BC −−→的方向余弦、方向角；（3）与BC −−→同向的单位向量． 20．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．21．一向量的终点为点(2,1,4)B --,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8， 求这向量起点A 的坐标．22．已知向量a 的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且a 与z 轴的方向角是钝角．求cos γ．23．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．214 第二节 数量积 向量积 混合积*一、向量的数量积1．数量积的定义设一物体在常力F 作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以s 表示位移12M M −−→． 由物理学知道, 力F 所作的功为cos θ=W F s , 其中θ为F 与s 的夹角（图6-13）．在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量a 和b 的模||a 、||b 及它们的夹角θ的余弦的乘积，我们称之为向量a 和b 的数量积，记作a b ⋅（图6-14），即cos θ⋅=a b a b ．由数量积的定义可以知道,力F 所作的功是力F 与位移s 这两个向量的数量积，即W =⋅F s ，下面我们来讨论数量积的一些性质．2．数量积的性质性质 1 当a ≠0时，Pr j ⋅=a a b a b ；当b ≠0时，Pr j ⋅=b a b b a ．这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略．性质2 2⋅=a a a ．证 因为向量a 与自身的夹角0θ=，所以 2cos θ⋅==a a a a a ．性质3 两个向量a 与b 垂直的充要条件是0⋅a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当0⋅=a b 时一定有cos 0θ=，从而θ=π2，即a ⊥b ； 反之，如果a ⊥b ，那么π2θ=，cos 0θ=，于是cos 0θ⋅==a b a b ． 3．数量积满足的运算规律（1） 交换律 a b b a ⋅=⋅．（2） 分配律 ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．（3） 结合律 ()()a b a b λλ⋅=⋅, ()()()a b a b λμλμ⋅=⋅ （λ、μ 为常数）． 证 下面只证明分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，余下的证明留给读者． 当0c =时，上式显然成立，当0c ≠时，由性质1及投影的性质有()P r ()(P r P r )c c c j j j +⋅=+=+a b c c a b c ab Pr Prc c j j =+=⋅+⋅c a c b a c b c ．●●例1 试用向量证明三角形的余弦定理．215证 设在ABC ∆中，BCA θ∠=，=BC a ，CA b =，AB c =（图6-15），要证2222cos θ=+-c a b ab ．记CB −−→=a ，CA −−→=b ，AB −−→=c ， 则有 =-c a b ，从而2()()2=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅c c c a b a b a a b b a b222cos(,).=+-a b a b a b即2222cos θ=+-c a b ab ．4．数量积的坐标表示设 ()x y z a ,a ,a a =，()x y z b ,b ,b =b ，则按数量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a b i j k i j ki i i j i k j i j j j k k i k j k k因为i j k 、、是两两互相垂直的单位向量，所以0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j i j k k j k i i k ，1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ．从而a b ⋅=++x x y y z z a b a b a b ．这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5．两向量夹角的余弦的坐标表示设(,)θ∧=a b 则当,≠≠00a b 时, 由数量积的定义cos θ⋅=⋅a b a b 有cos ||||a b a b a b θ++⋅==⋅a ba b ． ●●例2 已知(1,1,4)=-a ，(1,2,2)=-b ，求（1）⋅a b ； （2）a 与b 的夹角； （3）a 在b 上的投影． 解 （1）⋅a b 111(2)(4)2=⋅+⋅-+-⋅9.=-（2）因为cos a b a b a b θ++==θ=3π4． （3）因为||Prj ⋅=b a b b a ，所以 P rj 3||⋅==-b a ba b ． 二、向量的向量积1．向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩． 设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处． F 与OP −−→的夹角为θ（图6-16）．由力学规定，力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模sin |||OP |||θ−−→=M F , 而M 的方向垂直于OP −−→与F 所决定的平面, M 的指向是按右手规则从OP −−→以不超过π的角转向F 来确定的（图6-17）．216设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出：（1）c 的模：sin θ=c a b ，其中θ为a 与b 间的夹角；（2）c 的方向：垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图6-18）．那么，向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作⨯a b ，即=⨯c a b．根据向量积的定义，力矩M 等于OP −−→与F 的向量积，即OP −−→=⨯M F ．2．向量积的性质性质1 ×0a a =．性质2 两个向量//a b 的充要条件是×0a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当×0a b =时一定有sin 0θ=，从而0θ=或πθ=，即//a b ；反之，如果//a b ，那么0θ=或πθ=，则sin 0θ=，于是×0a b =．3．向量积的运算规律（1）反交换律 ⨯=-⨯a b b a ．（2）分配律 ()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ．（3）结合律 ()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b （λ为数）．4．向量积的坐标表示设x y z a a a =++a i j k ，x y z b b b b =i +j +k ， 按向量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k由于⨯=⨯=⨯=0i i j j k k ，,,⨯=⨯=⨯=i j k j k i k i j ---⨯⨯⨯,j i =k,k j =i,i k =j ，所以()()()y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+-a b i j k ．217为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成x yz x yza a ab b b ⨯=i jk a b ． ●●例3 设向量2a i j k =+-，23b j k =+．计算a b ⨯，并计算以a ，为b 邻边的平行四边形的面积．解 121023i j ka b ⨯=-211112230302i j k --=-+832i j k =-+．根据向量积的模的几何意义，a b ⨯的模在数值上就是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．因而其面积S 为S ||=⨯a b●●例4 求同时垂直于向量(=-a解 记368(803)010,,=⨯=-=--i j kb a j ，故同时垂直于向量a 与y 轴的单位向量为803),,±=--b b ． ●●例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 证 如图6-19所示，在ABC ∆中，设−−→=BC a ，CA −−→=b ，−−→=AB c ，且=a a ，b =b ，c =c , 则0++=a b c ，从而()=-+c a b ，因此()⨯=-+⨯=-⨯=⨯0c a a b a b a a b ，同理可得⨯=⨯b c a b ，所以⨯=⨯=⨯b c c a a b ．故 ⨯=⨯=⨯b c c a a b ，即 sin sin sin bc A ca B ab C ==，于是sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 三、向量的混合积*1．向量的混合积的定义已知3个向量a 、b 、c ，向量a b ⨯与向量c 的数量积()⨯⋅a b c 称为这3个向量的混合积，记为[]abc ．2．混合积的坐标表示设 (,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，(,,)x y z c c c =c ，因为218 xy z x y za a ab b b ⨯=ij ka b yz x yx zyz x yx z a a a a a a b b b b b b =-+i j k ． 再按两向量的数量积的坐标表达式可得[]()=⨯⋅abc a b c yz x yx zxy zy z x yx za a a a a a c c cb b b b b b =-+xy zx y z x y za a ab b bc c c =． 由上述坐标表达式不难验证 []()()()=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅a b ca b c b c a c a b ． 3．向量的混合积的几何意义向量的混合积[]()=⨯⋅abc a b c 的绝对值表示以向量,,a b c 为棱的平行六面体的体积．如果向量,,a b c 组成右手系（即c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量,,a b c 组成左手系（即c 的指向按左手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是负的．下面我们来解释这一问题．一方面，设−−→OA =a ，−−→OB =b ，−−→OC =c ，按向量积的定义，向量积a b f ⨯=是一个向量，它的模在数值上等于向量a 和b 为边所作的平行四边形OADB 的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当,,a b c 组成右手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的同侧（图6-20）；当,,a b c 组成左手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的异侧．所以，如设f 与c 的夹角为α，那么当,,a b c 组成右手系时，α为锐角；当,,a b c 组成左手系时，α为钝角．由于[]()cos α=⨯⋅=⨯abc a b c a b c ．所以当,,a b c 组成右手系时，[]abc 为正；当,,a b c 组成左手系时，[]abc 为负．另一方面，以向量,,a b c 为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB ）的面积S 在数值上等于a b ⨯，它的高h 等于向量c 在向量f 上的投影的绝对值，即h Prj cos α==f c c ，所以平行六面体的体积==V Sh []cos α⨯=a b c abc ．由上述混合积的几何意义可知，若混合积[]0abc ≠，则能以,,a b c 三向量为棱构成平行六面体，从而,,a b c 三向量不共面；反之，若,,a b c 三向量不共面，则必能以,,a b c 为棱构成平行六面体，从而[]0abc ≠．于是有下述结论：三向量,,a b c 共面的充分必要条件是它们的混合积[]0abc =，即0x y zx y z xyza a ab b bc c c =． ●●例6 已知[]2=abc ，计算[()()]()+⨯+⋅+a b b c c a ．解 [()()]()+⨯+⋅+a b b c c a [)]()=⨯+⨯+⨯+⨯⋅+a b a c b b b c c a219()()()0=⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b c a c c c b c c ()()()0+⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b a a c a a b c a 2()=⨯⋅a b c 2[]=abc 4=．●●例7 已知(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，(,,)D x y z 4点共面，试求D 点的坐标所满足的关系式．解 A B C D 、、、 四点共面相当于−−→AB 、−−→AC 、AD −−→三个向量共面，而(450)−−→=-，，AB ，(043)−−→=-，，AC ，(112)−−→=-+-，，AD x y z ，由3个向量共面的充要条件可知：1124500043-+--=-x y z ． 即 151216350++-=x y z 为所求的关系式．习 题 6-21．已知向量(112),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．2．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．3．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23a b -．4．证明下列问题：（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111),,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．5．求点(1M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角． 6．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．7．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．8．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．9．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b10．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义． 11．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ．第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）220 有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）,（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）, 那么，方程(,,)0F x y z =就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）．下面我们来建立几个常见的曲面的方程．●●例1 建立球心在0000()M x ,y ,z 、半径为R 的球面的方程． 解 设(,,)M x y z 是球面上的任一点（图6-22），那么0M M =R ，即R或 2222000()()()R x x y y z z -+-+-=． （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程．而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程． 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为2222x y z R ++=．●●例2 求与原点O 及0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程．解 设(,,)M x y z 是曲面上任一点，根据题意有0||1||2MO MM =，即12=， 整理得: 22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点24,1,33⎛⎫--- ⎪⎝⎭求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程．以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；图6-22图6-21221（2） 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状． 上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子．●●例3 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可化为222(1)(2)5x y z -+++=，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点0(1,2,0)M -、半径为R = 一般地，设有三元二次方程2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，这个方程的特点是缺xy ，yz ，zx 各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成2222000()()()x x y y z z R -+-+-=的形式，那么它的图形就是一个球面．下面，我们来讨论一些特殊的曲面．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴．设在yOz 坐标面上有一已知曲线:(,)0C f y z =，把该曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-23），下面求该旋转曲面的方程．设111(0,,)M y z 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0=f y z ， （3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点(,,)M x y z ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离1d y ．将1z z =，1y =3）式，即得旋转曲面的方程为()0f z =，即将曲线C 的方程(,)0f y z =中的y改成，便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程．同理yOz 坐标面上的已知曲线(,)0f y z =绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为(0f y,=．同理xOy 坐标面上的已知曲线(,)0=f x y 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为(,0f x =．●●例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角π(0)2αα<<叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-24）222 的方程．解 yOz 面上直线L 的方程为cot z y α=，因为z 轴为旋转轴，L 为母线，所以只要将方程cot z y α=中的y改成即可得到所要求的圆锥面方程z α=或 2222()z a x y =+，其中cot a α=．显然，圆锥面上任一点M 的坐标一定满足此方程．如果点M 不在圆锥面上，那么直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是点M 的坐标就不满足此方程．三、柱面给定一曲线C 和一定直线L （L 不在曲线C 所在的平面内），如果一动直线平行于定直线L 并沿着曲线C 平行移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设准线C 为xOy 面内的一条曲线，其方程为(,)0F x y =，沿C 作母线平行于z 轴的柱面（图6-25）．在柱面上任取一点(,,)M x y z ，过M 点作一条与z 轴平行的直线，则该直线与xOy 平面的交点为0(,,0)M x y ，由于0M 在准线C 上，所以有(,)0F x y =．即M 点的坐标应满足方程 (,)0F x y =． 反之,如果空间一点000(,,)M x y z 满足方程(,)0F x y =,即00(,)0F x y =,则000(,,)M x y z 必在过准线C 上一点00(,)x y 而平行于z 轴的直线上，于是点000(,,)M x y z 必在柱面上．所以，方程(,)0F x y =在空间就表示母线平行于z 轴的柱面．例如方程222x y R +=表示母线平行于z 轴，准线是xOy 平面上以原点为圆心、以R 为半径的圆的柱面（图6-26），称其为圆柱面，类似地，曲面222x z R +=、222y z R +=都表示圆柱面．方程22y x =表示母线平行于z 轴，以xOy 坐标面上的抛物线22y x =为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图6-27）．一般地，只含,x y 而缺z 的方程(,)0F x y =，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy 面上的曲线C ：(,)0F x y =．类似地，只含,x z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含,y z 而缺x 的方程(,)0=H y z 分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面．223图6-29例如，方程0-=x z 表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是xOz 面上的直线0-=x z ，所以它是过y 轴的平面．四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．把平面叫做一次曲面．怎样了解三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法：设S 是一个曲面，其方程为(,,)0F x y z =，S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面，显然，若(,,)x y z S ∈，则(,,)x y z S λ'∈；若(,,)x y z S '∈，则1,,x y z S λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此，对于任意的(,,)x y z S '∈，有1,,0λ⎛⎫= ⎪⎝⎭F x y z ，即1,,0F x y z λ⎛⎫= ⎪⎝⎭是曲面S '的方程．下面我们来介绍几种典型的二次曲面．1．椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所表示的曲面称为椭圆锥面（图6-28）．我们先用截痕法来讨论其图形．以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面,当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆1)()(2222=+bt y at x ．当t 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当||t 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点．综合上述讨论，可得椭圆锥面． 另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形．把圆锥面2222x y a z +=沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得到椭圆锥面的方程为2222()a x y a z b +=，即 22222x yz a b+=．2．椭球面由方程2222221x y z a b c++=所表示的曲面称为椭球面（图6-29）．把xOz 面上的椭圆22221x z a c +=绕z 轴旋转一周所得的曲面称 为旋转椭球面，其方程为222221x y z=a c ++，再把旋转椭球面沿y 轴 方向伸缩a b 倍，便得椭球面2222221x y z a b c++=.另外，把球面2222x y z a ++=沿z 轴方向伸缩a c 倍，得旋转椭球面222221x y z a c++=，再沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得椭球面2222221x y z a bc++=．。
高等代数第6章线性空间
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
高等代数 讲义 第六章
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a
最新扬州大学高等代数课件(北大三版)--第六章-线性空间说课讲解精品课件
6
性空间.
线 性
(3) R, kC k 不一定属于 R (例如： 1, k 1 i , 有
空 间
k 1iR 成立)
→
R 非 C 上的线性空间.
第七页，共83页。
高 例5 （1）数域P上一元(yī yuán)多项式环P[x]；
等
（2）P[x]n={f(x)｜əf＜n} ∪{0}.
代
数 证明： (1) P[x]对多项式的加法，数乘运算封闭，且 8 条算律成立
→ P[x]构成 P 上的线性空间. (2) 显然成立.
由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法
6
统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法.
线 性 空 间
第八页，共83页。
高 二. 基本(jīběn)性质
等 代 8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个 数 运算、8条算律为基础推导(tuīdǎo)其它基本
记成 {1,2, ,n} ；
6
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
线 性
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价
空 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } {1,2 ,
间
记为 {1,2 , ,r } 等价 { 1, 2 , , s }.
线 性
间，Mn×1 = {(a1, a2, , an )/ ai P,i 1,2, ,n}为 P 上 n 元列空
空
间，统一记为 Pn .
间
第五页，共83页。
高 例3
等
C[a,b]={f：[a,b]上连续(liánxù)实 函数}：
高等数学第6章课件§3 维数·基与坐标
⇔ α = 0. 单个向量 α 线性无关 ⇔ α ≠ 0
α1 ,α 2 ,⋯,α r 向量组 线性相关
⇔ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
§6.3 维数 基 坐标
α1 ,α 2 ,⋯,α r （2）若向量组 线性无关，且可被
α 在基 ε1, ε 2 ,⋯, ε n a1 , a2 ,⋯, an 则数组 ，就称为
下的坐标，记为 ( a1 , a2 ,⋯ , an ).
§6.3 维数 基 坐标
⎛ a1 ⎞ ⎜a ⎟ 2 有时也形式地记作 α = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an ⎠
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出，且表法是唯一的．
§6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间 ． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn－1
可经向量组 为等价的． （3） α1 ,α 2 ,⋯, α r ∈ V ，若存在不全为零的数
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出 ；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组
k1 , k2 ,⋯, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = 0
α1,α 2 ,⋯, α r 线性相关的； 则称向量组 为
§6.3 维数 基 坐标
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r不是线性相关的，即 （4）如果向量组
大一高数课件第六章
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
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导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。
高等代数§6.2 线性空间的定义
a n 1 , , a 1 , a 0 P }
例3
数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵
的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 P m n 表示．
例4
任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
数域P上的线性空间． 例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a , b R , k R
k1 , k 2 P , k1 k 2 , 有
又
k 1 , k 2 V
k 1 － k 2 ( k 1 k 2 ) 0
k 1 k 2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限
多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
k与
的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则： ①
, , V
② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得 ; （ 数量乘法满足下列两条规则 : β ⑥ ⑤ 1 称 k ( l ) ( k l ) 为 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( k l ) k l 的 负 ⑧ k ( ) k k
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0 , k 0 0 , ( 1 ) ,
k ( ) k k
证明：∵ 0 (0 1) ,
第六章线性空间(DOC)
第六章 线性空间向量空间又称线性空间，是线性代数中一个基本概念。
在第三章中，我们把有序数组叫做向量，并介绍过向量空间的概念。
在这一章中，我们要把这些概念推广，使向量及向量空间的概念更具一般性。
当然，推广后的向量概念也更抽象化了.§1 线性空间的定义与性质定义6.1 设V 是一个非空集合，P 为数域。
如果对于V 中任意两个元素α，β，总有唯一的一个元素V ∈γ与之对应，称为元素βα,的和，记作βαγ+=；又对于任一数∈k P ，与任一元素V ∈α，总有唯一的一个元素V ∈δ与之对应，称为α与k 的积。
记作αδk =；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设,,,V ∈γβα∈l k ,P ）： αββα+=+)(i ；)())((γβαγβα++=++ii ；)(iii 集合V 中存在零元素0，使对V 中任何元素α，均有αα=+0；)(iv 对于集合V 中任何元素α，V 中均存在其负元素α-，使α+（α-）=0；αα=⋅1)(v ；αα)()()(kl l k vi =；βαβαk k k vii +=+)()(；αααl k l k viii +=+))((。
那末，V 称为数域P 上的向量空间（或线性空间），V 中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量。
简言之，凡满足八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称向量空间。
例6.1 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.例6.2 实数域上全体m ⨯n 矩阵，对于通常定义的加法和数与矩阵的乘法，即若A =()n m ij a ⨯， B =()n m ij b ⨯，R ∈λ， A+B =()n m ij ij b a ⨯+，λA =()n m ij a ⨯λ。
第六章线性空间
第六章线性空间§ 1集合•映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西• 组成集合的东西称为这个集合的元素•用a M表示a是集合M的元素，读为：a属于M .用a F M表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M .所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的•因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成M = "a |a具有的性质—不包含任何元素的集合称为空集，记作'.如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即a M当且仅当a N，那么它们就称为相等，记为M二N .如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a • M可以推出a • N，那么M 就称为N的子集合，记为M N或N二M .两个集合M和N如果同时满足M N和N二M .,则M和N相等.设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M 与N 的交，记为M N .属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并，记为M N .二、映射设M和M •是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素a都有M •中一个确定的元素a •与之对应.如果映射二使元素a > M与元素a • M对应，那么就记为a ■就为a在映射二下的像，而a称为a ■在映射二下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.关于M到M •的映射匚应注意：1）M与M •可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素a，需要有M •中一个唯一确定的元素a •与它对应；3）—般，M •中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M到集合M ■的两个映射二及.，若对M的每个元素a都有二（a）二.（a）则称它们相等，记作二二...例1 M是全体整数的集合，M •是全体偶数的集合，定义-（n） = 2n, n M ,这是M到M •的一个映射.例2 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义5（A） A|,A M .这是M到P的一个映射.例3 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义二2（a）二aE , a P .E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4对于f（x） P[x],定义r f（X））= f （x）这是P[X]到自身的一个映射.例5设M，M是两个非空的集合，a0是M中一个固定的元素，定义「（a）二a0,a M .这是M到M •的一个映射.例6设M 是- -个集合，定义二（a）二 a ,a M .即二把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1 M .例7任意一个定义在全体实数上的函数y 二f（x）都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法，设匚及.分别是集合M到M，M ■到M “的映射，乘积.二定义为（.；「）（a） = （；「（a）） ,a M ,即相继施行；「和.的结果，.；「是M到M ”的一个映射.对于集合集合M到M的任何一个映射匚显然都有1M一"M .映射的乘法适合结合律.设匚,•「分别是集合M到M，M ■到M ，M “到M托勺映射，映射乘法的结合律就是（-）；「- （；「）.设二是集合M到M •的一个映射，用；「（M ）代表M在映射二下像的全体，称为M在映射二下的像集合.显然；「（M ） M .如果二（M ）二M •，映射二称为映上的或满射.如果在映射二下，M中不同元素的像也一定不同，即由a^ - a2一定有二（耳）=二（a?），那么映射二就称为1-1的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射.对于M到M •的双射二可以自然地定义它的逆映射，记为匚* .因为二为满射，所以M •中每个元素都有原像，又因为二是单射，所以每个元素只有一个原像，定义二'(a)二a,当二(a) = a .显然，二」是M ■到M的一个双射，并且'■- '■- = = 1 M '.不难证明，如果匚,.分别是M到M , M ■到M ”的双射，那么乘积v就是M到M “的一个双射.§ 2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.例1 在解析几何里，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法•不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算；2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R X V3到V3的一个运算.30由知道，空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于V中任意两个向量〉与,在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为〉与］的和，记为 =：'■.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素—在V中都有唯一的一个元素：与它们对应，称为k与〉的数量乘积，记为：二k〉.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.加法满足下面四条规则：：1） :- - - = ■ ■ :■；2）（、£）；3）在V中有一个元素0^ V ,都有: （具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4） -• V , 「V , st 〉• 1 = 0 （ 1 称为〉的负元素）.数量乘法满足下面两条规则：5） 1——：；6）k（l：）=（kl）：;数量乘法与加法满足下面两条规则:7）（k 亠丨）：-k：：亠丨、；;8）k （；*_亠 | ；）= k 很亠k |;在以上规则中，k,l等表示数域P中任意数；：•「，等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n表示.例4元素属于数域P的m n矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用P mn表示•例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：1）平面上全体向量所作成的集合V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：a ：二0,a R^ - V .2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法•例8设V是正实数集,R为实数域.规定，二---■（即〉与]的积）,a O ：■ —a（即〉的a次幕）,其中〉J • V,a・R.则V对于加法①和数乘。
6线性空间
5
2
b2 1
y2
的全部点的集合 M 记为
x2 y2 M ( x, y ) | 2 2 1 . a b
3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合,记为 . 例，一个无解的线性方程组的解集合是空集合. 4. 两个集合之间的关系
1) 相等 若集合 M 与 N 含有完全相同的元素，
线性空间是线性代数最基本的概念之一.
在引入定义之前，先看几个熟知的例子.
例1
解析几何中，讨论了三维空间中的向量.
向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加， 也可以与实数作数量乘法. 我们知道，几何和力学对象的性质可以通过 向量的这两种运算来描述的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ29
例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以 n 元有序 数组 ( a1 , a2 , … , an ) 作为元素的 n 维向量空间. 对于 n 维向量，也有加法和数量乘法，即 ( a 1 , a2 , … , an ) + ( b1 , b 2 , … , bn ) = ( a 1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn ) , k ( a1 , a2 , … , an ) = (k a1 , k a2 , … , k an ) . 例3 对于函数，也可以定义加法和函数与实数
第 六 章
线 性 空 间
§1 集合 映射 §2 线性空间的定义与性质 §3 §4 §5 §6 §7
1
维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§1
一、集合
1. 集合的定义 集合
集合 映射
集合是数学中最基本的概念之一.
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
我们来证01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02
于是 01=01 +02=02。 这就证明了零元素的唯一性。
2.负元素是唯一的。
这就是说，适合条件 0的元素 是被元素 唯一决定的。 假设 有两个负元素 与 ， 0, 0. 那么 0 ( ) ( ) 0 .
例1
设
V
a11 a21
a12
a22
aij
R
那么 V 对于矩阵的加法和数乘构成数域 R
上的线性空间.
1 0
0 1
0 0
0 0
E11
0
0
,
E12
0
0
,
E21
1
0
,
E22
0
1
是 V 的一个极大线性无关组
例2 问 F[x]4 中的向量组
f1(x) 3x3 x 2
f3(x) x
是n个线性无关的向量，而且每一个次数小
于n的数域F上的多项式都可以被它们线性表 出，所以 F[x]n 是n维的，而 1, x, x2 ,, xn1 就是
它的一组基。
在这组基下,多项式
f
(x)
a0
a1 x
a xn1 n1
线性空间的定义与性质.ppt
证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ;
(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ;
P[x]n,
p(x)
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+· · · +anxn) = 0+0x+· · · +0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合 S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间. 对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R,
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的线性空 间(或向量空间): 设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
大学数学(高数微积分)第六章线性空间第六节(课堂讲解)PPT文档共27页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
大学1、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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其几何意义如图 6-7 所示
z
V2
2
V1
1
o
y
3
x 图 6-7
例 3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
,
as1x1 as2 x2 asn xn 0
b11x1 b12 x2 b1n xn 0 ,
但因 V1 + V2 是 V 的子空间而有
维(V1 + V2 ) n ,
所以
维(V1∩V2 ) > 0 .
这就是说， V1∩V2 中含有非零向量.
证毕
例 5 设 V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )，
V2 = L(1 , 2)，其中
1 (1,2,1,3),2 (1,1,2,1),3 (1,3,0,5), 1 (1,0,4,2), 2 (0,5,9,14) .
四、例题
例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3
两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ， 并指它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关， 否则 3 可由 1 , 2 线性表示
性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
W V1 与 W V2 可推出W V1 ∩ V2 ；
而由
W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .
性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
等价的：
1) V1 V2 ；2) V1 ∩ V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .
k1 = … = km = p1 = … = ps - m =0 . 这就证明了
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
线性无关， 式成立.
因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数公
证毕
从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数
的和来得小.
例如，在三维几何空间中，两张通
过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其
维数之和却等于 4 .
由此说明这两张平面的交是
一维的直线.
推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,
V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公 共向量.
证明 由假设
维(V1 + V2 ) + 维(V1∩V2 ) = 维(V1) + 维(V2) > n.
由
定理 4 设它可W以是扩数充成域VP1 的上一n组维基 线性空间 V 的
一个 m 维子空1间, ，2 , …,1,m,2,1…, …,, sm- m是, W 的一组基 ,
那么这也可组以向扩量充必成 定V2 可的一扩组充基为整个空间的基. 也就说
1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m .
间 V 的两个子空间，那么 维(V1) + 维(V2) = 维(V1 + V2 ) + 维(V1 ∩ V2 ) .
证明 设 V1 , V2 的维数分别是 s , t , V1∩V2
的维数是 m .
取 V1∩V2 的一组基
1 , 2 , …, m .
如果 m = 0 ，这个基是空集，下面的讨论中
1 , 2 , …, m 不出现，但讨论同样能进行.
可知， V1 ； 由 = - q11 - q22 - …- qt - m t - m
可知， V2 .
于是 V1∩V2 ，即 可以被
1 , 2 , …, m 线性表示.
令 = l11 + … + lmm ,
则
l11 + … + lmm + q11 + …+ qt - m t - m = 0 .
+ q11 + q22 + …+ qt - m t - m = 0 .
令
= k11 + … + kmm + p11 + … + ps - m s - m
= - q11 - q22 - …- qt - m t - m .
由 = k11 + … + kmm + p11 + … + ps - m s - m
bt1x1 bt2 x2 btn xn 0
的解空间.
例 4 在一个线性空间 V 中，有
L(1 , 2 , …, s ) + L(1 , 2 , …, t ) =L(1 , …, s , 1 , …, t )
五、子空间的交与和的维数
关于子空间的交与和的维数，有以下定理.
定理 8 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空
第六节 子空间的交与和
主要内容
子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数
一、子空间的交
1. 定义 定义15 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
2. 性质
定理 6 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
V1 + V2
是整个 3 维空间.
如图 6-6 所示.
z
1
3
o
x V2
2
y V1 V1 ∩ V2
图 6-6
例 2 设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平
面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，
求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.
解 由定义容易求得
V1 ∩ V2 ={ 0 }，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .
因此 + V1 ∩V2 .
所以V1 ∩V2 是 V 的
证毕
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
由结合律，我们可以定义多个子空间的交：
s
V1 V2 Vs Vi ,
i 1
它也是子空间.
二、子空间的和
1. 定义 定义 16 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即
V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
从而 V1 = V2 与题设矛盾.
于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,
3 ) = R3 .
其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所
确定的平面， V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定
的平面， V1 ∩ V2 是这两个平面的交线，
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
V1 ∩V2 ，因而 V1 ∩V2 是非空的.
其次，如果,
V1 ∩V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ，
那么
+ V1 ， + V2 ，
对数量乘积可以同样地证明. 子空间.
由于 1 , …, m , 1 , …, t - m 线性无关，所以
l1 = … = lm = q1 = … = qt - m =0 ,
因而 = 0.
从而有
k11 + … + kmm + p11 + … + ps - m s - m = 0 . 由于 1 , …, m , 1 , …, s - m 线性无关，又得
b21x1
b22 x2
b2n xn
0
,
bt1x1 bt2 x2 btn xn 0
的解空间，那么 V1 ∩ V2 就是齐次方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
as1 b11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn b1n xn
0, 0,
2. 性质
定理 7 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间.
证明 首先， V1 + V2 显然是非空的.
其次
如果 , V1 + V2 , 即
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .
由结合律，我们可以定义多个子空间的和：
s
V1 V2 Vs Vi , i 1
它是由所有表示成
1 + 2 + … + s , i Vi ( i = 1 , 2 , … , s )
的向量组的子空间.
三、子空间的交与和的性质
本若请本若请本若请节想本若单请节想本 若单请节想本 若单请内结节想击本 若单请内 结节想击本 若 本 若单请 请结内节 想击本 若 本 若单容束请 请结内返节 想击本 若 本 若单容 束请 请内 结返节 想 节 想击本 若 本 若束单 单容请 请内 结返想节 节 想已本击本 若单束单容回请内 结返想节 节 想已 本击本 若单容 束单回请内 结 内 结返节 想 节 想本已击 击本 若容 束单 单回请内 内 结结堂结返节想本已击击按本 若容 束单回请内 内 结结结 堂返节想已 本击击按本 若容 束 容 束单回请堂内 结 内 结结返 返节 想已 本按击 击容 容 束单束束课回堂结结内返返钮节 想已 本按击容 容 束束单束 课回结 堂结内返返钮节 想已 本 已 本按击单课容 束 容 束束回 回结 堂内 结钮返 返已 已 本本,击按课束束容回回.结 堂内 结钮返!已 已 本本,按击束 课束容回回.结 堂 结 堂内 结钮返!已 本 已 本,按 按击束 课容 束回 回.结 结 堂堂返钮!本已,按按束 课容 束回.结 结 堂堂钮返!本已,按按束 课 束 课容 束回.结 堂 结 堂钮 钮返!已 本,按 按束 束 课课回.堂结钮钮!已 本,按束 束 课课.回堂结钮钮!已 本,,按束 课 束 课..回结堂钮钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按束课..钮!!,束课.钮!,束课.钮!,.!,.!,.!