大学数学——微积分 上 答案与提示
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
大学数学微积分练习题及答案
大学数学微积分练习题及答案本文为大学数学微积分练习题及答案的整理，旨在帮助读者巩固和提高微积分的知识和技能。
以下是一些常见的微积分练习题及其解答，供读者参考。
1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解答：我们可以使用导数的定义来求解。
根据定义，导数f'(x)为函数在任意一点x处的斜率，可以通过求极限得到。
根据导数的性质，多项式的导数等于各项的导数之和。
因此，我们可以按照导数的定义，先求出各项的导数，然后相加得到f'(x)。
f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)'= 6x - 2所以，函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数为f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。
解答：根据指数函数e^x的积分规则，不定积分∫e^xdx等于e^x再乘上一个常数C。
因此，∫e^xdx = e^x + C3. 求函数f(x) = sin(x)的定积分∫(0 to π/2)sinx dx。
解答：我们可以利用定积分的定义来求解。
根据定积分的定义，∫(0 to π/2)sinx dx表示在区间[0, π/2]上sinx的面积。
因为sinx在[0, π/2]上是正值，所以∫(0 to π/2)sinx dx等于sinx在[0, π/2]上的图像所围成的面积。
又因为sinx在[0, π/2]上是递增的，所以面积等于∫(0 to π/2)sinx dx等于单位圆上π/2对应的弧长，即π/2。
所以，∫(0 to π/2)sinx dx = π/2。
4. 求函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值。
解答：函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值可以通过计算积分的平均值得到。
根据积分的定义，函数在区间[1, 2]上的平均值等于函数在该区间上的积分除以区间的长度。
平均值= ∫(1 to 2)x^3 dx / (2 - 1)= [1/4*x^4] (1 to 2) / 1= (2^4-1^4) / 4= (16-1) / 4= 15/4所以，函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值为15/4。
浙江大学浙大卢兴江版微积分答案
6 定积分及其应用习题6.11. （1）e 1- （2）13 （3）122. （1）24R p （2）72（3）03. （1）1201d 1x x +ò （2）10ò （3）（i ）10d ()x a b a x +-ò 或 11d b ax b a x-ò （ii ）[]1ln ()d e a b a x x +-ò 或 1ln d e ba x xb a -ò 习题6.21. （1）112300d d x x x x >蝌 （2）553233(ln )d (ln )d x x x x >蝌 （3）222200sinsin d d xx x x x pp >蝌 2. （1[]222,0,1x x ?（2）提示：分析函数2()1xf x x=+在[]0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x = 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.5. 提示：令()()F x xf x =对()F x 在10,2轾犏犏臌上用罗尔定理。
6. 提示：证明在[]0,p 内至少存在两点12,x x 使12()()0f f x x ==.习题6.31. （1）(2)sin 2x x - （2）6233e cos()x x x -（3）[][]sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x -+-+ （4）2221()d 2()x f t t x f x +ò（5）1()d xf t t ò2. （1）23（2）1 （3）1 （4）24p （5）13. 提示：利用夹逼定理.4. 4()sin 21f x x p =--. 5. 提示：2()y f x ⅱ= 6. 提示：利用2[()()]d 0baf x tg x x -?ò，其中t 为任意常数.7.（1）741)1)33p -++ （2）2 （3）143p - （4）26p （5）14 （6）12（7）24e --8. 提示：利用泰勒公式()()22a b a b f x f f x x 骣骣++¢琪琪=+-琪琪桫桫，x 位于x 与2a b+之间. 习题6.41. （1）15 （2）2 （3）16 （4）p （53p（6）121e骣琪-琪桫 （7）24p （8）34 （9）352e 2727- （10）1ln 32- （11）3p -（12）8p（13）43p - （14）(ln 2-+ （15）()3e 15p - （16）13（提示：222101110111xx x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）4π（提示：作变换2x t π=-） （19）2 （20）13（21）34p （22）当n 为偶数时：131222n n n n p ---g g L g g ；当n 为奇数时：131123n n n n ---g g L g g （23）ln 28p2. 713e-3. 提示：22()d ()d ()d a bbb a b aaf x x f x x f x x ++=+蝌?，对2()d ba b f x x +ò作变换()x a b t =+-.4. 若f 是连续偶函数，()()d xaF x f t t =ò不一定为奇函数. 例如：2311()d 13x F x x x x ==-ò5.1n （提示：对10()d x n n n t f x t t --ò作变换n nx t u -=，用洛必达法则或导数的定义.） 6. ()1cos113-（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f =. 9.（1）2101, 1321d , 103231, 023p p p p x x p x p p p ì骣ï琪-+<-琪ï桫ïï+=-++-?íïïï+?ïïîò （2）411,01()221, 12x x x F x x x ì-+-?ï=íï-＃î10. 提示：利用()tan f x x =在0,4p 轾犏犏臌的单调性. 习题6.51.（1）2565 （2）1 （3）2p（4）163 （5）12442,633S S p p =+=- （6）92 （7）238a p （8）1ln 22 （9）1122.（1）a （2）43p3.（1）2R p （2）1ln(224+ （3）6a （4）22p 4. 1ln 32-5. 4 7. 3163a 8. （1）22x V p =，22y V p = （2）56p （3）24p （4）,33p p（5）23332325,6,7x y y a V a V a V a p p p ==== 9.2p10. 44815p11. （1）21)p （2）33211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫⎢ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12. 22arcsin a a 骣+ 13. 2560g r （焦） 14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.22503h pr （焦） 18. ()343R H R H p w w +- 19. 212Mgh mgh +（焦）20.21.222k ph R k p ++ 22.()kmM a a l +，其中k 为万有引力常数 23. 22ln 12kM al a l骣琪+琪+桫，其中k 为万有引力常数 习题6.61.211=-ò用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n = 2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算120d 1xx +ò）3. 周长204l p q =ò，用抛物线公式计算(16)n =深其近似值为22.1035.习题6.71. （1）收敛，13 （2）发散 （3）收敛，1ln 242p +（4（5 （6312p -（7）收敛，12（8）收敛，238- （9）收敛，2（10）收敛，83 （11）收敛，p （12）发散（13）收敛，79 （14）收敛，p （15）收敛，(ln 22p+（16）当1k £时发散，当1k >时，收敛于1(ln 2)1kk--2. 提示：作积分变换1xt = 3. 2a b ==- 4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛 （7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当1p <且1q <时收敛，其他发散. （11）收敛 （12）收敛 （13）当1n m >+时收敛，当1n m ?时发散 （14）当12p <<时收敛，其他发散 （15）当3m <时收敛，当3m ³时发散 （16）当12n <<时收敛，其他发散. 5.（1）11(1)n n p +G + （2）(1)p G +6.（1）1!2m （2）12122m +⎛⎫Γ=⎪⎝⎭ （3）(1)!3m m m -g 7. （1）130（2）111,22B n 骣琪+琪桫 = 12!(21)!!n n n +⋅+。
卢兴江版微积分(上册)参考答案(4)
4 微分中值定理及导数应用习题4.11.（1）4373，()f 为最小值。
（2）,()2f 为最大值。
（3）1，()f 为最大值。
2.（1）(1)1f ，(2)4f ，3(2)(1)()()3221f f f f ；（2）(0)30,(0)0,()0363ff ff ff；（3）()14f ，()14f，()()444()(arccos)2()44f f f f ；（4）(1)(1)(1)1,(1)1,()(0)01(1)f f f f f f .3.2. 4. 提示：利用Lagrange 定理. 5. 提示：用反证法.6. 提示：利用Rolle 定理.7. 提示：对()()1f x F x x在0,1上用罗尔定理 8. 提示：利用Lagrange 定理. 9. 提示：f 在,a b 上有界. 10. 提示：证明()0f x .11.（1）不能，理由见（2）; （2）112，233，323. 12. 4.13. （1）提示：利用“()0f x 则()f x C （常数）”的结论。
（2）提示：令22()1tan sec f x x x ，证明()0f x .14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理; （2）提示：利用Lagrange 定理.习题4.21. 提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。
2.（1）单调减少. （2）单调增加. （3）单调增加. （4）单调增加.3.（1）在1(,)2内单调增加，在1(,)2内单调减少；（2）在,1或1,内单调减少， 在1,1内单调增加；（3）当0时，f 单调减少；当0α>时，f 在(0,)单调增加，在(,)单调减少；（4）在,1或0,1内单调减少，在1,0或1,内单调增加.4. 提示：设()()F x xf x ，证明F 在12(,)x x 内必取到F 在12,x x 上的最小值或者最大值.5.（3）提示：令()n f x x ，在,b a 上用拉格朗日定理。
微积分习题答案
习题1-1１．(1) ［－３，３］；（２）（－∞，０）∪（２，＋∞）；（３）（－２，１）；（４）（－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）２．（１）［－１，０）∪（０，１）；（２）（１，２］；（３）［－６，１）．３．（１）（－∞，１）∪（１，２］，f(0)=0,f（２)＝１．当a＜０时，f(a)=1a,当0≤a≤1时，f(a)=2a,当１＜a≤2时，f(a)=1．(2) (-2，2)，f(0)=1,f((-a)２，当1＜a＜2时，f(a)=a２－１．４． 1．５．（１）偶函数；(2) 非奇非偶函数；(3) 奇函数．８．(1) y=13arcsinx2；(2) y=log２x1-x(3) f－１（x）=１２（x＋１），－１≤x≤1，2-2-x， 1＜x≤2．９．（１）y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２）y=sinxln２，（－∞，＋∞）；（３）y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．习题1-2１． (1) y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２）y=u３，u=sinv,v=lnx;（３）y=au,u=tanv,v=x2;（４）y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3２．（１）［－１，１］，（２）［２kπ，（２k＋１）π］，k∈Z;(3) ［－a，１－a］；（４）（－∞，－１］．３． (1) φ（x)=6+x-x2;(2) g(x)=(1+x)2+(1+x)+1;(3) f(x)=x2-2．习题1-3１． R(x)=4x-12x2．２．R(x)≈１３０x，１１７x＋９１００，０≤x≤７００，７００＜x≤１０００．３．Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ．习题2-1略．习题2-2２．f(x)=-1,１，x≤０x＞０，则limx→０f(x)=1，但limx→０－f(x)=-1，limx→０＋f(x)=1，故limx→０f(x)不存在．３．limx→０(x２＋a）＝a,limx→０-e１x＝０，a=0．２．，，，，，，，．３．(1)无穷大量．(2) x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．（３）x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．(4) 无穷小量．（５）无穷小量．(6) 无穷小量．习题2-4５．（１）３/５；（２）０；（３）∞； (4) 1/3；(5) 4/3６．（１） 16；(2) ∞；（３）３；（４）－２２；（５）３x２．（６）４３；（７）n（n＋１）２；（８）１；（９）１；（１０）－１；（１１）０．习题2-5１．53；2．２５；３．１；４．２２；５．２１２；６．e－１；７．e３；８．lna；９．２lna；１０．０；１１．e－１2；１２．１；１３．１；１４．１；１５．e１e；１６．e－１．习题2-6３． tanx－sinx=O（x３）４．(1) ab；(2) k２２；(3) 2；(4) 24；(5) 1；(6) 1；(7) 49；(8) 3．习题2-7４． (1) x=1(可去)，定义f(1)=2;x=2(第二类)；(2) x=0(可去)，定义f(0)=1;x=kπ，k≠0，为整数(第二类)；(3) x=0(第一类；(4) x=2(第二类)；x=-2(可去)，定义f(-2)=0;(5) x=0(可去)，定义f(0)=0．６．f(x)=sgnx，x=0（第一类)，f(x)∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］７．（１）１２；（２）３；（３）０；（４）π3；(5) 1．习题3-1１．２９．２．－１x２０．３．４x-y-4=0,8x-y-16=0４．（１）-f′(x0);(2) -f′(x0);(3) 2f′(x0)５．（１）１２x；（２）－２３x－５３；（３）１６x－５6．６．连续但不可导．８．（１）f′(2) f′12，f′９．f′(x)＝cosx，１，x＜０，x≥０．１０．a=2,b=-1．１１．（１）在x=0处连续，不可导；(2) 在x=0处连续且可导；(3) 在x=1必连续，不可导．１３．(1) -０．７８m/s；(2) 10-gt;(3) 10g（s)．１４． dＱdtt=t0．１５．（１）limΔＴ→０Q(T＋ΔＴ）－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２）a＋２bＴ．习题3-2１．(1) 3t；(2) xx+12xlnx；(3) 2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin２x．(4) 1-sinx-cosx(1-cosx)2；(5) sec2x；（６）xsecxtanx-secxx2-3secx·tanx；(7) １x１－２ln10＋３ln２；(8) －1+2x(1+x+x2)2．２．（１）２４１＋π２；（２）f′(0)=３２５，f′（２）＝１７１５；（３）f′（１）＝５．３．略．４．(1) 3e3x；(2) 2x1+x4；(3) 12x+1e2x+1；(4) 2xln(x+1+x２）＋１＋x２；(5) ２x·sin１x２－２xcos１x２；(6) －3ax２sin２ax３；(7) xx２·x２－１；(8) ２arcsinx２４－x２；(9) lnxx·1+ln２x；(10) nsinn-1x·cos(n+1)x;(11) １1-x2+1-x２；(12) －１（1+x）２x(1-x)；(13) -thx；（１４）a２-x2．５．１３．６．2x+3y-3=0; 3x-2y+2=0; x=-1; y=0．７． (1) 2xf′(x2);(2) sin2x［f′（sin２x）-f′(cos2x)］．８．（１）-x2-ayy2-ax；(2) 1-yx(lnx+lny+1)；(3) -ey+yexxey+ex;(4)x+yx-y；(5) ex+y－yx-ex+y．９．（１）x+2(3-x)4(x+1)512(x+2)－43-x-5x+1；(2) sinxcosxcos２xsinx-sinxln sinx；(3) e2x(x+3)(x+5)(x-4)2+1x+1-12(x+5)-12(x-4)．１０．（１）sinat+cosbtcosat-sinbt;(2) cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．１１．３－２．习题3-3１． f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n．２． y(n)=(-1)n·an·n!·(ax+b)-(n+1)．f(n)(x)=(-1)n2·n!·1(x-1)n+1-1(x+1)n+1３． (1) 0;(2) 4e,8e;(3) 7200,720．４． (1) -b4a2y3;(2) e2y(3-y)(2-y)3;(3) -2csc2(x+y)cot3(x+y);(4) 2x2y［3(y2+1)2+2x4(1-y2)］(y2+1)3．５． (1) -1a(1-cost)2;(2) 1f″(t)．６． (1) 4x２f″(x2)+2f′(x2);(2) f″(x)f(x)-［f′(x)］2f．习题3-4１．(1) sint;(2) －１ωcosωt;(3) ln(1+x);(4) -12e-2x;(5) 2x;(6) 13tanx;(7) ln2x2;(8) -1-x2．２．（１）０．２１，０．２，０．０１；（２）０．０２０１，０．０２，０．０００１．３．（１）（x+1)exdx;(2) 1-lnx〖〗x2dx;(3) -12xsinxdx;(4) 2ln5·5ln tanx·1sin2xdx;(5) -12cscx2dx;(6) 8［xx(1+lnx)-12e2x］dx;(7) 121-x2arcsinx+2arctanx1+x2dx．４．(1) ey1-xeydx;(2)-b2xa2ydx;(3) 22-cosyds;(4)1-y21+2y·1-y2dx．５．(1) ２．００８３；（２）－０．０１；（３）０．７９５４．习题3-5１．（１）１．１；（２）６５０；（３）６５０－５０１２９．２．（１）９６．５６；（２）是，提高2．３．（１）a,axax+b,aax+b;(2) abebx,bx,b;(3) axa-1,a,ax．４．提高8%；提高16%．５．５．９．习题4-1１．ξ＝π２．２．（１）满足，有ξ＝０；（２）不满足第二个条件，没有；(3) 不满足第一和第三个条件，有ξ＝π２．３．有分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内的三个根．４．ξ＝３３．习题4-2１．（１）－３５；（２）１２；（３）mnam-n；（４）１a（５）０；（６）０；（７）1；(8) 32；(9) e；（１０）e－２π；（１１）１e；（１２）∞（１３）１３；（１４）e－１２．２．m=-4,n=3４．f″（x）；习题4-3１． xex=x+x2+x32!+…+xn(n-1)!+1(n+1)!(n+1+θx)eθxxn+1（０＜θ＜１）．２．1x=-1-(x+1)-(x+1)2-…-(x+1)n+(-1)n+1(x+1)n+1［-1+θ(x+1)］n+2（０＜θ＜１）．３．f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4．４．(1) １６(提示：只要将sinx展开成三次多项式即可)．(2) 12(提示：令u=１x，再将ln(1+u)展开成二次多项式）．习题4-4１．（１）(-∞，-1)和(3，+∞)为增区间，(-1，3)为减区间，f(-1)=3为极大值，f(3)=-61为极小值．(2) (1，+∞)为增区间，(0，1)为减区间，f(1)=1为极小值．（３）（－∞，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=1为极大值．（４）（－∞，０）和(0，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=-4为极大值．５．当a=2时，f(x)在x=π３取极大值3．习题4-5１． 15元２．x=αcPQ１１－α３．（１）Ｑ＝３；（２）ＭＣ＝＝６４．(1) 1000件；(2) ６０００件５． (1) ４３１．３２５吨(2) 12次(3) ３０．４５２天(4) 13６６４３．９元６．α＝２３（３－６）π．７．t=１４r２．８．v=３２００００≈２７．１４（km/h）习题4-6１．（１）在-∞，１３下凸，１３，＋∞上凸，拐点13，227；(2) 在(-∞，－１）上凸，(-1，1)下凸，(1，+∞)上凸，拐点(-1，ln２)及(1，ln ２）；（３）在(-∞，－２)上凸，(-2，+∞)下凸，拐点(-2，-2e－２)；（４）在(-∞，+∞)下凸，无拐点；(5) 在(-∞，-3)上凸，(-3，6)上凸，(6，+∞)下凸，拐点6，227；(6) 在-∞，12上凸，12，+∞下凸，拐点12，earctan１２．３．a=-32，b=９２．４．（１）垂直渐近线x=0;(2) 水平渐近线y=0;(3) 水平渐近线y=0，垂直渐近线x＝3；(4) 垂直渐近线x=12，斜渐近线y=12x+1〖〗4．５．（１）定义域(-∞，+∞)，极大值f(1)=12，极小值f(-1)=-12,拐点3，34，-3，-34，渐近线y=0；(2) 定义域(-∞，+∞)，极大值f(-1)=π2-1，极小值f(1)=1-π２，拐点(0，0)，渐近线y=x+π,y=x-π;(3) 定义域(0，+∞)，极大值f(1)=2e，拐点，２，４e2，渐近线y=0．习题5-1１．（１）２７x７〖〗２-103x3２+C；(2) 2x-43x3２+25x5２+C；(3) 3xex１＋ln３＋Ｃ；（４）x＋sinx２＋Ｃ；（５）２x－５２３xln２－ln３＋C；（６）－（cotx＋tanx）＋C．２．（１）y＝x2-2x+1;(2) cosx+C;(3) x-sinx;(4) Q=1000１３Ｐ习题5-2１．(1) 1a；(2) 17；(3)110；(4) -12；(5) 112；(6) 12；(7) -2；(8) 15；(9) -1；(10) -1；(11) 13；(12) 12；(13) -1；(14) 32．２．（１）１５e５t＋Ｃ；（２）－１８（３－２x）４＋Ｃ；（３）－１２ln１－２x＋Ｃ；（４）－１２（２－３x）２３＋Ｃ；（５）－２cost＋Ｃ；（６）lnlnlnx＋Ｃ；（７）１１１tan１１x＋Ｃ；（８）－１２e-x２＋Ｃ；（９）lntanx＋Ｃ；（１０）－lncos１＋x２＋Ｃ；（１１）arctanex＋Ｃ；（１２）－１３（２－３x２）１２＋Ｃ；（１３）－３４ln１－x４＋Ｃ；（１４）１２cos２x＋Ｃ；（１５）１２arcsin２x３＋１４９－４x２＋Ｃ；（１６）x２２－９２ln（x２＋９）＋Ｃ；（１７）１２２ln2x-12x+1+C；(18) 13lnx-2x+1+C；(19) t2+14ωsin２（ωt＋φ）＋Ｃ；（２０）－１３ωcos３（ωt＋φ）＋Ｃ；（２１）１２cosx－１１０cos５x＋Ｃ；（２２）１３sin３x２＋sinx２＋Ｃ；（２３）１４sin２x－１２４sin１２x＋Ｃ；（２４）１３sec３x－secx＋Ｃ；（２５）（arctanx）２＋Ｃ；（２６）－１arcsinx＋Ｃ；（２７）１２（lntanx）２＋Ｃ；（２８）－1xlnx＋Ｃ；（２９）a２２（arcsinxa－xa２a２－x２）＋Ｃ；（３０）x１＋x２＋Ｃ；（３１）x９－９－３arccos３x＋Ｃ；（３２）１２（arcsinx＋lnx＋１－x２）＋Ｃ；（３３）arcsinx－x１＋１-x２＋Ｃ；（３４）arcsinxa－a２－x２＋Ｃ；（３５）－４－x２x－arcsinx２＋Ｃ；（３６）ln１＋x＋x２＋２x－２xx２＋２x＋Ｃ；（３７）－１１＋tanx+Ｃ；（３８）x＋lnx１＋xex＋Ｃ．习题5-3１．（１）-xcosx+sinx+C;(2) -(x+1)e－x +C;(3) xarcsinx+１－x２+C;(4) sinx-cosx2e-x+C;(5) -217e-2xx2＋4sinx2+C;(6) -12x2+xtanx+lncosx+C;(7) -t2+14e－2t+C;(8) x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+C;(9) 12-15sin2x-110cos2x）ex+C;(10) 3e3x(３x2-23x+2+C;(11) x2(coslnx+sinlnx)+C;(12) -12x2-32cos2x+x2sin2x+C;(13) 12（x２-1)ln(x-1)-14x2-12x+C;(14) x36+12x2sinx+xcosx-sinx+C;(15) -1x(ln3x+3ln2x+6lnx+6)+C;(16) -14xcos2x+18sin2x+C;(17) -12xcot2x-12x-12cotx+C;(18) 12x2ex2+C;(19) xlnlnx+C;(20) (1+ex)ln(1+ex)-ex+C;(21) 12tanxsecx-12lnsecx+tanx+C;(22) -ln(x+1+x22(1+x2)+x22+x2+C;(23) ex1+x+C;(24) x-121+x2earctanx+C．习题5-4(1) lnx+1x2-x+1+3arctan2x-13+C;(2) x3３+x２2+x+8lnx-3lnx-1-4lnx+1+C；（３） x-tanx+secx+C；（４）14lntanx2-18tan2x2+C．习题6-1１．１３（b3-a3)+b-a．２．（１）１；（２）14πa2．３．(1) ∫10x2dx较大；(2) ∫10exdx较大．４．(1) 6≤∫41(x2+1)dx≤51;(2)π9≤∫3１3xarctanxdx≤23π；(3) 2ae－a2＜∫a-ae-x2dx＜2a；(4)-2e2≤∫02ex2-xdx≤-2e-1〖〗4．习题6-2１．（１）２x１+x4;(2) x5e-3x;(3) (sinx-cosx)cos(πsin2x);(4) sinx-xcosxx2．2．(1) -12;(2) 6;(3) 2．３．cosxsinx-1．4．当x=0时．5．(1) 23(8-33);(2) 16;(3) 1+π8；(4) 203．６．－３２．习题6-3１．（１）０；（２）５１５１２；（３）１６；（４）１４；（５）π６-３８；（６）２（３－１）；（７）２－２３３；（８）π２；（９）１２ln３２；（１０）ln２－１３ln５；（１１）７ln２－６ln（６２＋１）；（１２）４３．２．（１）０；（２）０；（３）３２π．习题6-4２．（１）１－２e;(2) 14（e２+1);(3) 4(2ln2-1);(4) 14-133π+12ln32;(5) 15(eπ-2);(6) 2-34ln2；(7) π3６－π4；(8) 12(esin1-ecos1+1);(9) ln2-12;(10) 12-38ln3．３．０．习题6-5１．（１）１；（２）２；（３）４３；（４）７６；（５）１２＋ln２；（６）１６；（７）e＋１e-２；（８）b-a．２．（１）Vy=2π;(2) Vx=1287π,Vy=12．8π;(3) Vy=310π;(4) Vx=pa2π;(5)Vy=4π2．３．（１） a=1e，(x0,y0)=(e2,1);(2) S=16e2-12．4． 12ln2提示：f(x)=0,x1+x2, x≥０x＜０．5． a=-4,b=6,c=0．６． 50;100．7． (1) Q=2．5,L=6．25;(2) 0．25．８．９６．７３习题6-6１．（１）１３；（２）发散；(3) １a；（４）发散；(5) 发散；(6) π；（７）８３；（８）１；（９）π２；（１０）－１；（１１）发散；(12) 1．２．当k＞１时收敛于1(k-1)(ln2)12-1；当k≤1时发散；当k＝１－１lnln２时取得最小值．３．n!．４．（１）π4；(2) π2５．In=-(2n)!!(2n+1)!!=22n(n!)2〖〗(2n+1)!(n=0,1,2,…）．６．（１）1nΓ1n;(2) Γ(α+1);(3) 1nΓm+1n;(4) 12Γn+12．习题7-1１．略．２．(1) (a,b,-c),(-a,b,c),(a,-b,c);(2) (a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c);(3) (-a,-b,-c)．３．坐标面： (x0,y0,0),(0,y0,z0),(x0,0,z0)；坐标轴： (x0,0,0),(0,y0,0),(0,0,z0)．４．x轴： 34， y轴： 41， z轴： 5．５．（０，１，－２）．６．略．习题7-2１．ＭＡ→＝－１２（a+b);MB→＝１２（a-b);MC→=12(a+b);MD→=12(b-a)．２．略．３．（２，１，１）．４．（１６，０，－２０）．５．Ｍ１Ｍ２→＝（１，－２，－２），Ｍ１Ｍ２→＝３．１３，－２３，－２３或－１３，２３，２３．习题7-3１．（１）１；（２）４；（３）２８．２．（１）３，５i+j+7k;(2) -18，10i+2j+14k；(3) -10i－２j－１４k．３．－３２．４．±（６２，８２，０）．５．１４．６．略．７．４５j－３５k或－４５j＋３５k．８．∠Ａ＝７６°２２′，∠Ｂ＝７９°２′，∠Ｃ＝２４°３６′．习题7-4１．３x-2y+5z-22=0．２．2x+9y-6z=121．３．略．４．x+z-1=0．５．x+y+z-2=0．６．2x+3y+z-6=0．７．(1) x=2；(2) x+3y=0；(3) x-y=0．８．１３，２３，－２３．９．（１）互相垂直；(2) 互相平行；(3) 斜交(相交但不垂直)．习题7-51．（１）x-23=y-31=z-11；(2) x-31=y-4２=z+4-1；(3) x-21＝y-20=z+1〖〗0；(4) x2=y-31=z+23．２．x+3-5=y=z-25，[JB(｛〗x=-3-5t，y=t，z=2+5t．３．x-2＝y-23=z-4〖〗1．４．x-21=y+22=z3．５．x-10=y+37=z+2〖〗16．６．４６１，６６１，－３６１．７．Ｂ＝１，Ｄ＝－９．８．x-3-1=y-31=z1．９．φ＝arcsin1310．１０．４x-y-2z-1=0．１１．y-z+3=0，x-y-z+1=0．１２．５．１３．（１）垂直，(2) 平行，(3) 重合．习题7-6１．（x+1)2+(y+3)2+(z-2)2=32．２．以点(1，-2，-1)为球心，半径等于6的球面．３．(1) x23+y24+z24=1; x23+y24+z23＝１；(2) x2-y2-z2=1; x2+y2-z2=1．４．（１）母线平行于z轴的椭圆柱面；(2) 母线平行于x轴的抛物柱面；(3) 椭圆锥面；(4) 旋转椭球面；(5) 双叶双曲面；(6) 圆锥面．５．3y2-z2=16, 3x2+2z2=16６．x2+y2+(1-x)2=9，z=0；(1-z)2+y2+z2=9，x=0；x+z=1，y=0．７．（１）椭圆；(2) 双曲线；(3) 抛物线．８．略．习题8-1１．（１）（x,y)x2a2+y2b2≤１；(2) ｛(x,y)x＞y,且x-y≠１｝；(3) (x,y)-1≤yx≤１，且x≠０＝｛x＞０，－x≤y≤x；x＜０，x≤y≤－x｝；（４）｛(x,y)x≥y，x2+y2≤１，y≥０｝．２．（１）３１；（２）１x３－４xy＋１２y２；（３）（x+y）3－２（x２－y２）＋３（x－y）２．３．f(x)＝（x＋２）x，Ｆ（x,y）＝y＋x－１．４．略习题8-2１．（１）不存在，(2) 存在．２．（１）０，（２）１，（３）２，（４）０．３．｛（x,y)y２＝２x，x∈Ｒ｝．习题8-3１．（１）z′x=y(1+x)y-1,z′y=(1+x)yln(1+x);(2) z′x=-yx２cotyx·sec2yx，z′y=1xcotyx·sec2yx；（３）z′x=-yx2+y2，z′y=xx2+y2；(4) u′x=-zlnyx2·yzx，u′y=zx·yzx-1，u′z=１xyzx·lny．２．－１，２．３．１，１＋π６．４．略．５．偏导数存在．６．α＝π４．７．Δz=-0．12,dz=-0．1．８．（１）du＝dx-dy；（２）dz=-xy（x２＋y２）３／２dx＋xy（x２＋y２）３／２dy．习题8-4１．（１）２e2cost＋３t２［３t-sint］；（２）３－４t－３＋３２t１２sec23t+2t2+t32．２．（１）z′u=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv；(2) z′v=-(2xy-y2)usinv,z′y=euvx２+y２（ux+vy）．３．（１）u x=1yf′1，u y＝－xy２f′１＋１zf′２，u z＝－yz２f′２；（２）z x＝２xf′，zy＝２yf′；（３）u x＝f′1+yf′2+yzf′3，u y＝xf′2+xzf′３，u z＝xyf′2．４．略．５．（１）dz=(x２+y２)sin（２x＋y）２sin（２x＋y）x２＋y２（xdx＋yd y）＋cos（２x＋y）ln（x２＋y２）（２dx＋dy）；（２）du＝１f（x２＋y２－z２）dy－yf′（x２＋y２－z２）f（x２＋y２－z２）（２xd x＋２ydy－２zdz）．６．（１）z′x＝ex＋y＋yzez－xy，z′y＝ex＋y＋xzez－xy；（２）z x＝zx＋z，z y＝z２y（x＋z）．７．略．８．z x＝（vcosv－usinv）e－u，z y＝（ucosv+vsinv)e-u．９．dudx＝f′x+y２f′y1-xy+zf′zxz-x．习题8-5１．（１）２z x２＝１２x２－８y２，２z y２＝１２y２－８x２，２z x y＝－１６xy；（２）２z x２＝２xy（x２＋y２）２，２z y２＝－xy（x２＋y２）２，２z xy＝y２－x２（x２＋y２）２；（３）２z x２＝yxln２y，２zy２＝x（x－１）yx-2；２z xy＝yx－１（１＋xlny）；（４）２z x＝１x，２z y２＝－xy２，２z x y＝１y．２．（１）２z x２＝４xf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２），２z y２＝４yf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２）；（２）２z x２＝y２f″１１＋２yf″１２＋f″２２，２z y２＝x２f″１１＋４xf″１２＋４f″２２，２z x y＝xyf″１１＋２yf′１２＋f′1+xf″２１＋２f″２２．３．２z x２＝z（２x－２－z２）x２（z－１）３，２z y２＝z（２z－２－z２）y２（z－１）３，２z x y＝－zxy（z－１）３．习题8-6１．１＋２３．２．２３．３．α＝π４时取得最大值2；α＝５π４时取得最小值-2；α＝７π４时，方向导数为零．习题8-7１．（１）极大值f(0,0)=3；(2) 极小值f１２，－１＝－e２；（３）极大值fa３，a３＝a３２７（a＞０)，极小值fa３，a３＝a３２７（a＜０）．２．极大值z（４，１）＝７，最小值z４３＋２２３，－１≈-１１．６７．３．极小值z(2,2)=4．４．a≥１２，最小距离为a－１４；a≤１２，最小距离为a．５．a的分法是三等分时，乘积最大为a３２７．６．x=100,y=25,f(100,25)=1250．７．x=70,y=30,λ＝－７２，Ｌ＝１４５（万元)．习题8-8１．（１）∫１－１dx∫３－３f(x,y)dy, ∫３－３dy∫１－１f(x,y)dx;（２）∫４０dx∫２xxf(x,y)dy, ∫４０dy∫y１４y２f(x,y)dx;（３）∫r－rdx∫r２－x２０f(x,y)dy, ∫r０dy∫r２－y２－r２－y２f(x,y)dx．２．（１）∫１０dx∫xx２f（x，y）dy；（２）∫a０dy∫a＋a２－y２a－a２－y２f （x，y）dx;（３）∫１０dy∫２－yyf（x，y）dx．３．（１）e－１e２；（２）２９１５；（３）－１２；（４）２３；（５）１－２π；（６）２πＲ２２＋Ｒ３；（７）３６４π２；（８）２－π２．４．５１４４．５．π．６．８π．７．ＳＤ＝１２e－１，ＶＤ＝１２e２－e－１２．习题9-1１．（１）a＞１收敛；0＜a≤１发散；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 发散．２．（１）收敛，s＝３２；（２）收敛，s＝１４；（３）发散；(4) 发散．习题9-2１．（１）收敛；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) a＞１，收敛；0＜a≤１发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 收敛；(9) 发散；(10) 发散；(11) 收敛；(12) 收敛；(13) 收敛；(14) 收敛；(15) 收敛；(16) 收敛．习题9-3１．（１）条件收敛；(2) 绝对收敛；(3) 绝对收敛；(4) 绝对收敛；(5) 绝对收敛；(6) 条件收敛；(7) 绝对收敛；(8) 条件收敛．习题9-4１．（１）（-∞，+∞)；(2) (-e，e）；(3) (-2，2)；(4) (-1，1)；(5) (-4，0)；(6) １２，３〖〗２．２．（１）－ln（１＋x）；x＜１；（２）２x（１－x２）２，x＜１；（３）当x≠０且x＜１时，s(x)＝１＋１x－１ln（１－x）；当x＝０时，s(x)＝０；（４）１＋x（１－x）２，x＜１．３．（１）１５３２；（２）１２ln（１＋２）；（３）１０９；（４）４．习题9-5１．（１）１－x２２·２！＋x４２·４！－…＋（－１）nx２n２·（２n）！＋…（－∞＜x＜＋∞）；（２）∑∞n=1（－１）n-1（２n－１）！x２２n－１（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=1（－１）n-1x2n-1〖〗（n－１）！（－∞＜x＜＋∞）；（４）∑∞n=0x2n, x＜１；（５）２２∑∞n=0（－１）nx2n（2n）！＋x2n+1（２n+1）！（－∞＜x＜＋∞）．２．（１）∑∞n=0１２n+1（x－１）n（－１＜x＜３）；（２）∑∞n=0[ＪＢ（（〗（－１）n２·x－π３２n（２n）！＋（－１）n＋１３２x－π２２n＋１（２n＋１）！（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=0(－１）n１２n＋２－１２２n＋３（x－１）n（－１＜x＜３）；（４）∑∞n=0（－１）n３n＋１（x－３）n（０＜x＜６）．３．（１）２．７１８２８；（２）０．２５０４９．习题10-1１．（１）一阶，(2) 二阶，(3) 三阶，(4) 一阶．２．略．３．y′=y-xx．４．y′＝y－x＋１．习题10-2１．（１）（１－x)(1+y)=Ｃ（Ｃ为任意常数，以下Ｃ，Ｃ１，Ｃ２…均为任意常数)；(2) １－x２＝lny＋Ｃ；（３）y２＝Ｃ（１－x２）－１；（４）secx＋tany＝Ｃ；（５）２y３＋３y２－２x３－３x２＝５；（６）（y＋１）e－y＝１２（１＋x２）；（７）ey＝１２（e２x＋１）．２．Ｔ＝Ｔ０e－kt＋α（１－e－kt）， k为比例系数．３．（１）y+x２+y2=Ｃx2;(2) y=2xarctan(Ｃx);(3) x3+y3=Ｃx2;(4) y=2x1+x2;(5) y=xe1-x;(6) (x+3)２+(y+1)2=Ｃe-arctanyx;(7) x+3y+2ln2-x-y=Ｃ．４．（１）y=Ｃex－12（sinx+cosx);(2) y=xn(Ｃ+ex);(3) x=2(y-1)+Ｃe-y;(4) x=y+Ｃcosy；(5) y=(x+1)ex;(6) y=2(1+x3)3(1+x2);(7) y=2lnx-x+2;(8) y=(1+sinx-xcosx)·e－x2；(9) y3=Ｃx3+3x4;(10) １x2=1-y2+Ｃe-y2．５．y′=３yx2－2·yx，y-x=-x3y．６．x=ab+x0-abe-bt．７．f(x)=-2e-3x-1．８．Ｃ(x)=(x+1)［Ｃ０+ln(x+1)］．９．x＝ab（Ｃ０x０－a）１b＋１·x０．习题10-3１．（１）y=(x-3)ex+12Ｃ1x2+Ｃ2x+Ｃ3;(2) y=xarctanx-12ln（１＋x２）＋C1x＋C2；(3) y=C１arctanx+C2;(4) y=-lnx+c１+c2；(5) 1+C1x2=(C2t+C2)2；（６）lny=C1(y-x)+C2．２．（１）y=16x3lnx-1136(x3-1);（２）y=lnx+12ln２x;(3) y=x．３．C１＋C２ex＋x．４．（１）y=(Ｃ１＋Ｃ２x)e２x；（２）y＝Ｃ１e－x＋Ｃ２e２x；（３）y＝９e－２x－８e－３x；（４）y＝－１３exxcos３x．５．（１）y＝（１－１２x）e－２x＋Ｃ１e－５x＋Ｃ２e２x；（２）y＝（x＋１）２＋Ｃ１e２x＋Ｃ２e４x；（３）y＝１１８cosx＋４sinx－１８cos３x；（４）y＝x＋１２x２e４x．６．f（x）＝２（ex－x）．７．a=-3,b=2,α=-1;y=Ｃ１ex＋Ｃ２e２x＋xex．８．φ（x）＝１２（sinx＋cosx＋ex）．９．y＝２３e２x－２３e－x－xe－x．１０．y＝－７e－２x＋８e－x＋（３x２－６x）e－x．１１．s＝mgkt－m２gk２（１－e－kmt）．习题10-4１．C（x)=3ex（１＋２e３x）－１．２．Ｒ＝abs０（ebt－１），Ｓ（t）＝s０e－bt．３．Ｙ（t）＝Ｙ０eγt，Ｄ（t）＝αＹ０γeγt＋βt＋Ｄ０－αＹ０γ，limt→＋∞Ｄ（t）Ｙ（t）＝α〖〗γ．４．（１）Ｙ（t）＝（Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｙe＝b１－a，μ＝１－aka，Ｃ（t)=a(Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｉ（t)=(1-a)(Ｙ０－Ｙe）eμt；(2) limt→＋∞Ｙ（t）Ｉ（t）＝１１－a．５．y(6)=５０００１＋１１．５e－３（ln１１．５－ln８）．习题11-1１．（３），（４）．２．（１）一阶；(2) 五阶；(3) 三阶；(4) 六阶；(5) 二阶．３．（１）Δ２yt＝２；（２）Δyt＝（e－１）２et；（３）Δ２yt＝６（t＋１），Δ３yt＝６；（４）Δ２yt＝lnt２＋４t＋３t２＋４t＋４．４．略．习题11-2１．yＡ(t)＝Ａ１＋Ａ２t＋１（Ａ１，Ａ２为任意常数．以下A，A１，Ａ２…均为任意常数)．２．a(t)＝－１＋１５，f(t)＝１－１t·２t．３．略．４．（１）yt＝Ａ－１３t＋１；（２）yt＝Ａ－１２t＋７９＋１３t ；（３）yt＝Ａ（－１）t＋１３·２t；（４）yt＝Ａ－１３·２tcosπt．５．（１）yt＝０．１×３８t＋０．１；（２）yt＝１２t－２＋t；（３）yt＝２t－t＋４；（４）yt＝（－４）t＋sinπt．６．yt＝Ａ（－a）t＋b１＋a．７．（１）略；(2) yt＝１y０－bＣ－aaＣt＋bＣ－a）－１，１y０＋bat－１，当Ｃ≠a时，当Ｃ=a时．（３）yt＝１２t＋１＋３２－１．习题11-3１．（１）yＡ(t)＝Ａ１（－１）t＋Ａ２１２t；（２）yＡ（t）＝（３）t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt），tanω＝－２；（３）yＡ（t）＝（Ａ１＋Ａ２t）·４t；（４）yＡ（t）＝Ａ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t；（５）yＡ（t）＝Ａ１（１．８）t＋Ａ２（２．１）t；（６）yＡ（t）＝Ａ１［２（a＋１）＋２a＋１）］t＋Ａ２［２（a＋１）－２a＋１］t．２．（１）yt＝Ａ１５＋１７２t＋Ａ２５－１７２t－１；（２）yt＝２tＡ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t＋１３（a＋bt）；（３）yt＝Ａ１＋Ａ２·２t＋１４×５t；（４）yt＝Ａ１＋Ａ２－１３t＋cosπ２t－２sinπ２t；（５）yt＝Ａ１（－１）t＋Ａ２（－２）t＋t２－t＋３；（６）yt＝Ａ１（－２）tt＋Ａ２·３t·t１１５t－２２５．３．（１）t＝２５t２＋１２５t＋６４１２５＋１８６１２５（－４）t；（２）t＝４t＋４３（－２）t－４３；（３）t＝１９５１３０－２０〖〗１３０（－４）t－９２６１３t；（４）t＝４＋３２１２t＋１２－７２t．习题11-4１．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋Ｙe，Ｙe＝１＋β１－α；Ｃt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋αＩ＋β１－α．２．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）·λt＋Ｙe，其中λ＝１＋r（１－α），Ｙe＝β１－α；Ｃt＝α（Ｙ０－Ｙe)λt＋Ｙe；Ｉt＝（１－α）（Ｙ０－Ｙe）λt．３．Ｙt＝Ｙ０＋βα·λt－βα，其中λ＝δrδr－α；Ｓt＝（αＹ０＋β）·λt；Ｉt＝１δ（αＹ０＋β）·λt．４．Ｄn（t）＝Ａ１λt１＋Ａ２λt２，其中λ１，２＝２［（ab＋１）±１＋２ab］．５．Ｙt＝（β)t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt）＋α１－β，其中ω＝arctan１β－１，０＜ω＜πＵπ＝（β）t＋１［Ａ１cosω（t－１）＋Ａ２sinω（t－１）］＋αβ１－β；Ｓt＝（β）t｛Ａ１［βcosω（t－１）－cosω（t－２）］＋Ａ２［βsinω（t－１）－sinω（t－２）］｝．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ， 设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ， 方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：
微积分答案
第一章 函数与极限1.2-1.3 数列和函数的极限一、 根据数列或函数极限的定义证明下列极限:1. 0)1(lim 2=-∞→n n n ； 2.521532lim =+-∞→n n n ； 3. 224lim 42x x x →--=-+； 4. 0cos lim =+∞→x x x ；5. 证明11lim=-+∞→x x x ，并求正数X ，使得当x X >时，就有01.0|11|<--x x.（X 2=101）二、设}{n x 为一数列.1. 证明：若ax n n =∞→lim ，则||||lim a x n n =∞→；2. 问：(1)的逆命题“若||||lim a x n n =∞→，则ax n n =∞→lim ”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例. （逆命题不成立。
反例：(1)nn x =-。
）三、判断下列命题的正误：1. 若数列}{n x 和}{n y 都收敛，则数列}{n n y x +必收敛； （正确）2. 若数列}{n x 和}{n y 都发散，则数列}{n n y x +必发散； （错误）3. 若数列}{n x 收敛，而数列}{n y 发散，则数列}{n n y x +必发散。
（正确） 四、证明：对任一数列}{n x ，若ax k k =-∞→12lim 且ax k k =∞→2lim ，则ax n n =∞→lim . 五、证明：A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是Ax f x =-∞→)(lim 且Ax f x =+∞→)(lim .六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：1. lim arctan x x π→-∞=-2，lim arctan x x π→+∞=2和lim arctan x x→∞不存在2. lim sgn 1x x →-∞=-，1lim sgn x x →+∞=和lim sgn x x→∞不存在3.lim x x e →-∞=，lim x x e →+∞=+∞和lim xx e →∞不存在七、证明：若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有界.八、证明：函数)(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x +-→→→==⇔=.九、设||)(x x f =，求0lim ()0x f x -→=，0lim ()0x f x +→=和0im ()0l x f x →=.十、设x x f sgn )(=，求0lim (1)x f x -→=-，0lim ()1x f x +→=和0lim ()x f x →不存在1.4 无穷小与无穷大一、填空题1. 当x →∞时，11-x 是无穷小；当1x →时，11-x 是无穷大.2. 当0x -→时，x e 1是无穷小；当0x +→时，xe 1是无穷大.3. 当1x →时，x ln 是无穷小；当0x +→时，x ln 是负无穷大；当x →+∞时，x ln 是正无穷大. 二、选择题当0→x 时，函数x x1cos1是（D ） （A ）无穷小； （B ）无穷大；（C ）有界的，但不是无穷小； （D ）无界的，但不是无穷大.三、证明函数x x x f sin )(=在)0(∞+，内无界，但当+∞→x 时，)(x f 不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性：1. 两个无穷小的和也是无穷小. （正确）2. 两个无穷大的和也是无穷大. （错误）3. 无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （正确）4. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）5. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）6. 无穷大与无穷大的积也是无穷大. （正确） 五、举例说明：1. 两个无穷小的商不一定是无穷小；2. 无限个无穷小的和不一定是无穷小. 六、根据定义证明：1. 当0→x 时，x x x f 1sin)(=为无穷小；2. 当+→0x 时，xe xf 1)(=为无穷大；3. 当-∞→x 时，xe xf =)(为无穷小.1.5 极限运算法则一、计算下列极限:1.22lim(31224)x x x →-+=2. 22131im 21l x x x x →-+=-3. 224im 4l 2x x x →-=-4. 11lim 1n x x n x →-=-（n 是正整数）5. 3131lim()111x x x →-=--6. 0233()lim 3h x h x x h →+-=二、计算下列极限：1. 211lim(3)6)(2x x x →∞-+=2. 2231lim 4134x x x x →∞+=+- 3. 2321lim 510x x x x x →∞++=-+4. 235lim 101x x x x →∞+-=+∞5.2221211lim 2(...)n n n n n →∞-+++=6. 221...lim (||1||1)1.1..1n nn a a a a b b b b b a →∞++++-<<=++++-， 7. 1123lim 2313n n n n n ++→∞+=+ 三、若0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，求b a ,的值. （1,1a b ==-）四、若23)11(lim 21=---→x x x a x ，求a 的值. （2a =）五、计算下列极限：1. 2211lim 2x x x x x →++=+-∞2.2lim(543)x x x →∞--=∞3. 32251lim 465x x x x x →∞-+=++∞.六、计算下列极限： 1.211lim(1)cos10x x x →-=-2.301lim s ni x x x →=3. 2(1)arcta 0n lim x x x x →∞+=. 七、设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，分别求函数)(x f 在1-=x 与1=x 的左极限、右极限和极限.（4,1--，不存在）八、设11lim )(22+-=∞→nn n x x x f ，试求)(x f 的表达式. （1,1()0,11,1x f x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩）1.6 极限存在的两个准则两个重要极限一、利用夹逼定理求下列极限： 1. 222111lim(...)120n n n n n →∞+++=+++2.222111lim(...)120n n n n n n n n →∞+++=++++++3. 21lim (arctan )0x x x →∞=二、证明：332lim =+∞→n n n n .三、设12max{...}m a a a a =，，，(01,2,...,)k a k m >=，，证明：n a=.四、设1>a ，证明0lim=∞→nn a n五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限：1. 12,n x x x ===...；（l i m 2n n x →∞=）2. 11121111111n n n x x x x x x x --==+=+++，，...，，....（lim n n x →∞=） 六、设11x a y b ==，(0)a b <<，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 1. 证明数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少且满足(1,2,...)n n x y n <=； 2. 证明数列}{n x 和}{n y 都收敛，并且有相同的极限.七、计算下列极限:1.0sin 33lim44x x x →=2. 0sin lim (,0)sin x x x ααββαβ→≠=3.lim sinx x xππ→∞=4. sin m1li x xx ππ→=-5.01cos lim arctan 12x x x x →-=6. 0lim x +→=7. 1lim 2s n 30i n n n →∞=.八、计算下列极限:1. 1lim(1)1nn n e→∞+=+2. 522lim(1)x x x e +→∞+=3.1x e →=4. 21lim()211x x x e x →∞-=+5. 2cot 2lim(1tan )x x x e →+=6.21lim(11)nn n →∞-=.九、已知2)1(lim 1=+→xx ax ，求a 的值. （ln 2a =）十、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<=0cos 102sin )(2x x x x xxx f ，，，求(0)(0)f f -+，和)(lim 0x f x →. （2,2,2）十一、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=00tan )(2x x x x xaxx f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求a 的值. （0a =）1.7 无穷小的比较一、比较下列各对无穷小：1. 221,(1)(1)x x x --→ （后者高阶） 2. 321,1(1)x x x --→ （同阶）3.21cos ,(0)x x x -→ （同阶） 4. 2tan sin ,(0)x x x x -→ （前者高阶） 二、证明：当0→x 时，有以下等价无穷小成立：1. arcsin x x ；2.3tan sin 2x x x -. 三、利用等价无穷小代换计算下列极限：1. 20arctan lim sin 1x x x x →=2. 21lim s n 0i x x x →∞=3.lim 12x +→=四、当0x →时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小?A.2x B.1cos x -1 D.tan x x - （D ）五、证明：若α是β的高阶无穷小，则αββ+ 。
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烆１５狓，
狓≥１６００．
１
大 学 数 学 ——— 微 积 分 上
（３）２１０００ 元 ．
习题１３
１．略 ．
２．（１）０． （２）１． （３）１． （４）２． （５）发 散 ．
（６）｜狇｜＜１时，ｌｉｍ狇狀＝０；狇＝１时，ｌｉｍ狇狀＝１；狇＝－１时，ｌｉｍ狇狀 不存在．
狀→ ∞
狀→ ∞
狓狀
＝２狀π
及
狔狀
＝２狀π＋
π ２
．
习题１６
１．（１）－１．
（２）０．
（３）－
１ ２
．
（４）１２
．
（５）３狓２
．
（６）１．
（７）－２．
（８）０．
（９）１６
．
（１０）６４． （１１）－１． （１２）１． （１３）１２ ． （１４）２．
２．（１）∞ ． （２）∞ ．
３．（１）０． （２）１．
２．犽＝２．
习题１８
１．狓２－狓３ 是 高 阶 无 穷 小 ．
２．当 狓→１时，无穷小１－狓 与１－狓３ 同阶，与１－狓３ 等价． ３．略 ．
４．（１）１ ２
． （２）２． （３）－
１ ４
．
５．（１）３ ２ 阶．
（２）４阶．提示：ｓｉｎ２狓－ｔａｎ２狓＝（ｓｉｎ狓－ｔａｎ狓）（ｓｉｎ狓＋ｔａｎ狓），ｓｉｎ狓－ｔａｎ狓 是狓 的３阶无穷小．
４．（１）不 一 定 ． （２）一 定 不 存 在 ． （３）不 一 定 ．
（４）不一定．如取 犳（狓）＝１，犵（狓）在点 狓０ 极限不存在，则ｌｉｍ犳（狓）犵（狓）＝ｌｉｍ犵（狓）极 限 不 存 在．
而
取
犳（狓）＝ｓｉｎ
１ 狓
，犵（狓）＝狓，则ｌｉｍ犳（狓）犵（狓）＝ｌｉｍ狓ｓｉｎ
狓→０
狓→０
（６）狓＝０ 是 第 一 类 间 断 点 ．
３．犪＝ －１．
４．（１）在点 狓０ 处不连续． （２）在点 狓０ 处不连续．
烄狓， ｜狓｜＜１， ５．犳（狓）＝烅 ０， ｜狓｜＝１，狓＝±１为第一类间断点．
答案与提示
答案与提示
习题１１
１．｛０｝，｛１｝，｛２｝，｛０，１｝，｛０，２｝，｛１，２｝，｛０，１，２｝， ．
２．犃∪犅＝ ｛１，２，３，５｝；犃∩犅＝ ｛１，３｝；犃∪犅∪犆＝ ｛１，２，３，４，５，６｝；犃∩犅∩犆＝ ；犃＼犅＝ ｛２｝．
３．犃∪犅＝ ｛－３，－２，－１，０，１，２，４，６，９｝；犃∩犅＝ ｛０，２，４｝，犃＼犅＝ ｛６，９｝．
习题１ ９
１～４．略 ． ５．对给定ε＝０．００１，取δ＝ １５ε＝０．０００２．提示：因为 狓→２，所以｜狓－２｜＜１，即不 妨 设 １＜狓＜３．于
是 ，｜狓２ －４｜＝｜狓＋２｜｜狓－２｜＜５｜狓－２｜．
习题１ １０
１．（１）犳（狓）在 ［０，２］上 连 续 ． （２）犳（狓）在 （－ ∞ ，－１）与 （－１，＋ ∞ ）上 连 续 ，狓＝ －１ 为 跳 跃 间 断 点 ．
３．（１）＋
∞
，狓＝０．
（２）－
∞
，狓＝０．
（３）＋
∞
，狓＝
－
π ２
．
４．（１）０． （２）２π ．
５．狓狀
＝１ ２狀π＋
π ２
时
，犳（狓狀）＝２狀π＋
π ２
→
∞
（狀→
∞
）；狔狀
＝２狀１π时
，犳（狔狀
）＝０
为
无
穷
小
．
由此 犳（狓）在区间（０，１）上既不是无穷大也不是无穷小．
６．提
示
：类
似
于
题
５，取
｛ｅ２狓 ，狓≤０，
４．犳［犵（狓）］＝ ３ｅ狓 ，０＜狓≤ｌｎ２．
５．犳［犳（狓）］＝１，狓∈ （－ ∞ ，＋ ∞ ）．
△６～△７．略 ．
烄９０，
０≤狓≤１００，
△８．（１）狆＝烅９０－０．０１（狓－１００），７５，１００＜狓＜１６００，
烆７５，
狓≥１６００．
烄３０，
０≤狓≤１００，
（２）犔＝ （狆－６０）狓＝烅３１狓－０．０１狓２ ，１００＜狓＜１６００，
１ 狓
＝０
极
限
存
在
．如
犵（狓）为
有
界
函
数 ，而ｌｉｍ犳（狓）＝０，则 一 定 有ｌｉｍ犳（狓）犵（狓）＝０． ５．犪＝１，犫＝ －１．
２
答案与提示
习题１７
１．（１）π． （２）１． （３）３２ ． （４）狓． （５）π． （６）２． （７）１ｅ ． （８）ｅ４． （９）ｅ－狓． （１０）１． （１１）ｅ－１ ． （１２）ｅ．
４．犃∪犅＝犚；犃∩犅＝ ｛狓｜－１≤狓＜３｝；犃＼犅＝ ｛狓｜狓≥３｝．
５．略 ．
６．（１）狓＞ －１． （２）狓≠０ 且 －１≤狓≤１．
７．（１）不 相 同 ． （２）不 相 同 ． （３）不 相 同 ． （４）相 同 ．
８．（１）偶 函 数 ． （２）非 奇 函 数 ，也 非 偶 函 数 ． （３）偶 函 数 ． （４）奇 函 数 ．
（ ） （４）犇＝［１，４］．５３π
，犽＝０，±１，±２，… ．
２．（１）［１，２］． （２）［０，＋ ∞ ）． （３）［２狀π，（２狀＋１）π］（狀＝０，±１，… ）．
（４）若
０＜犪≤
１ ２
，则
犪≤狓≤１－犪；若犪＞
１ ２
，则
函
数
无
处
有
定
义．
３．φ（狓）＝狓狓＋４，φ（狓－１）＝狓狓－＋１３．
狀→ ∞
３．略 ．
习题１４
１．（１）０，狔＝０． （２）０，狔＝０． （３）１，狔＝１． ２．（１）２． （２）１． （３）５． （４）１． ３．犳（０＋ ）＝２，犳（０－ ）＝－１；ｌｉｍ犳（狓）不存在．
狓→０
习题１５
１．略 ． ２．（１）无 穷 小 量 ． （２）无 穷 大 量 ． （３）无 穷 大 量 ． （４）无 穷 小 量 ．
２．（１）狓＝１ 是 函 数 的 第 二 类 无 穷 间 断 点 ．
（２）狓＝ －１ 是 函 数 的 第 一 类 可 去 间 断 点 ；狓＝２ 为 第 二 类 间 断 点 ．
（３）狓＝０
和
狓＝犽π＋
π ２
为
可
去
间
断
点
；狓＝犽π
（犽≠０）为
第
二
类
间断
点
．
（４）狓＝０ 是 第 一 类 间 断 点 ．
（５）狓＝ －４ 是 第 一 类 间 断 点 ．
（５）非 奇 函 数 ，也 非 偶 函 数 ． （６）偶 函 数 ． （７）奇 函 数 ． （８）奇 函 数 ．
９．略 ．
１０．犳（－１）＝２，犳（１）＝１．
１１．略 ．
｛ １２．（１）狔＝狓２－１． （２）狔＝１１－＋狓狓． （３）狔＝
狓＋１，狓＜ －１，
槡３狓， 狓≥０．
习题１２
１．（１）［－２，４］． （２）（－ ∞ ，－１）∪ （１，３）． （３）［－４，－π］∪ ［０，π］．