高中数学-数列总复习教案

高中数学-数列总复习教案下册第五章数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课 数列的概念 【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

【基础练习】1.已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。

分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知:数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a =，则1a =____2__.4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：（1）由27085n n =-+得：13n =或5n =-所以70是这个数列中的项，是第13项。

（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10-----；（图象略）（3）由函数2()85f x x x =-+的单调性：(,4)-∞是减区间，(4,)+∞是增区间， 所以当4n =时，n a 最小，即4a 最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。

例2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数y ＝3x －2的图像上,求数列{}n a 的通项公式。

分析：根据题目的条件利用n S 与n a 的关系： n a =1(1)(2)n S n S n =⎧⎨≥⎩当时当时，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列{}n a 的通项。

解：依题意得，32,n n nS =-即232n n n S =-。

当n ≥2时，()22(32)312(1)651n a n n n n n n n S S ⎡⎤==-----=--⎣⎦-;当n=1时，111a S == 所以*65()n a n n N =-∈。

例3．已知数列｛a n ｝满足11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1).()n n b b b b n a n N ---=+∈,证明：{}n b 是等差数列;分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。

解：（I ）*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈（II ）1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+12(...)42.n n b b b n nb +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③ ∴21(1)20.n n nb n b ++-++= ④③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

【反馈演练】1．若数列{}n a 前8项的值各异，且8n n a a +=对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为 （2） 。

（1）{}21k a + （2）{}31k a + （3）{}41k a + （4）{}61k a +2．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且S n =n 2，则{}n a 是 等差数列，但不是等比数列 。

3．设f （n ）=nn n n 21312111+---++++++（n ∈N ），那么f （n +1）－f （n ）等于221121+-+n n 。

4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。

5．在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = 505 。

6．数列{}n a 中，已知21()3n n n a n N ++-=∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？解：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 21010110933+-==， 1n a +()()221113133n n nn +++-++==，2n a ()222421133n n n n +-+-==； （2）令2793213n n +-=，解方程得15,16n n ==-或，∵n N +∈，∴15n =， 即2793为该数列的第15项。

第2课 等差、等比数列 【考点导读】1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3．注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，首项a 1= -2 ，公差d = 3 。

2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是163，第2项是 8 。

3．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=105。

4．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。

（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

解：（1）答案：13 法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又1()3902n n a a += ∴n ＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48， ∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8， 把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B.点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。

例2．（1）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312<-+---+-+-+nn a a a a a a分析：（1）借助.9,331==a a 通过等差数列的定义求出数列))}1({log *2N n a n ∈-的公差，再求出数列}{n a 的通项公式，（2）求和还是要先求出数列}1{1nn a a -+的通项公式，再利用通项公式进行求和。

解：（1）设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d ，由,8log 2log )2(log 2:9,322231+=+==d a a 得 即d =1。

所以,1)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a （II ）证明：因为nn n n n a a 21221111=-=-++， 所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-+---+-+-+L.1211211212121<-=-⨯-=n n 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。

例3．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。