高中数学-数列总复习教案

高中数学-数列总复习教案下册

第五章数列

【知识图解】

【方法点拨】

1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．

2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．

4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．

5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．

第1课 数列的概念 【考点导读】

1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。 【基础练习】

1.已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =3-。

分析:由a 1=0,)(1

331++∈+-=

N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知:

数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a

2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)

()2

n n a S n N -=

∈ ，且454a =，则1a =____2__.

4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)

2

n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】

例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。 解：（1）由27085n n =-+得：13n =或5n =-

所以70是这个数列中的项，是第13项。

（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10-----；（图象略）

（3）由函数2()85f x x x =-+的单调性：(,4)-∞是减区间，(4,)+∞是增区间， 所以当4n =时，n a 最小，即4a 最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。 例2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n

S n n N n

*∈均在函数y ＝3x －2的图像上,求数列{}n a 的通项公式。

分析：根据题目的条件利用n S 与n a 的关系： n a =1(1)(2)

n S n S n =⎧⎨≥⎩当时当时，（要特别注意

讨论n=1的情况）求出数列{}n a 的通项。 解：依题意得，32,n n n

S =-即232n n n S =-。

当n ≥2时，()2

2(32)312(1)651n a n n n n n n n S S ⎡⎤==-----=--⎣⎦

-;

当n=1时，111a S == 所以*65()n a n n N =-∈。 例3．已知数列｛a n ｝满足11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*

44...4(1).()n n b b b b n a n N ---=+∈,证明：{}n b 是等差数

列;

分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。

解：（I ）*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈

（II ）1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+

12(...)42.n n b b b n nb +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③ ∴21(1)20.n n nb n b ++-++= ④

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即

2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 【反馈演练】

1．若数列{}n a 前8项的值各异，且8n n a a +=对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为 （2） 。

（1）{}21k a + （2）{}31k a + （3）{}41k a + （4）

{}61k a +

2．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且S n =n 2，则{}n a 是 等差数列，但不是等比数列 。 3．设f （n ）=n

n n n 21

312111+

---++++++（n ∈N ），那么f （n +1）－f （n ）等于

2

21

121+-

+n n 。 4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量

S n （万件）近似地满足S n =

90

n

（21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。 5．在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = 505 。