人教版初三数学上册初中数学《-中考二次函数压轴题》教学设计
数学人教版九年级上册初中数学《-中考二次函数压轴题》教学设计
初中数学《中考二次函数压轴题》教学设计一、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》九年级下册第二十六章“二次函数复习”。
二、内容解析《二次函数复习》是在学完二次函数整章知识后所进行的一节复习课。
本节课教学设计的基本思路是从一个简单问题入手，经过一系列的问题串把本部分关于二次函数的概念、平移、图象及性质串到一起，层层递进。
另外，其中蕴含的类比、归纳、数形结合的思想方法，对学生今后研究、解决函数问题，以及终身的发展都是非常有益的。
因此，本节课的教学重点定为：二次函数的图象及性质的灵活应用。
三、学情分析通过之前的学习，学生已经了解了二次函数的概念及内涵，掌握了二次函数的相关基础知识。
但对于知识的灵活应用还存在一定的困难。
遇到问题不知道如何解决，感到函数难学，学习的信心不足。
因此本节课的难点是：利用数形结合的思想解决二次函数有关的问题。
为了让学生突破难点，通过采用学案导学式的课堂教学模式及小组合作交流、拓展提高相结合的学习方式，内化、巩固复习内容。
四、教学目标知识目标：1.理解二次函数的意义及概念。
2.掌握各类二次函数之间的关系、图象及性质，并能用来解决一些简单的实际问题。
能力目标：进一步体会函数是刻画变化规律的重要数学模型，并进一步体会数形结合的思想。
情感目标：培养学生的小组合作意识；敢于发表自己的观点；尊重和理解他人的见解；能从交流中获益。
五、教学过程设计1.复习导入，出示课题：师：前面我们学习了二次函数的基础知识，这节课我们就来一起复习一下（出示课题）。
2.知识梳理，建知识树（所学二次函数的内容）。
生：一小组展示整理的知识树，其他小组补充完善。
师：展示整理的知识树，做重点强调。
设计意图：让学生对所学过的二次函数的有关知识进行知识梳理，使其纳入所属的知识体系，使知识系统化，并做好知识的前后衔接。
3.典例解析，变式应用。
设计意图：让学生在说一说、画一画中对二次函数的相应基础知识进行复习，层层递进，为后面的拓展练习的设计、解决奠定基础。
人教版九年级数学上册《二次函数复习》教学设计
二次函数复习教学设计一、教材分析二次函数是中考的重点内容之一，二次函数的应用是培养学生数学建模和数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。
本部分包括了初中代数的所有数学思想和方法，复习时必须高度重视。
二次函数在学习函数内容上起着承上启下的作用，与前面学习的二次三项式、一元二次方程有着密切联系，为今后学习高中的函数和不等式打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。
通过对二次函数的复习，加深学生对函数知识的理解和应用。
复习目标：1、理解二次函数的意义，会画二次函数的图象，会求二次函数的解析式。
2、会用配方法把二次函数的表达式化为顶点式，并能利用性质解决简单的实际问题，体会模型思想。
3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
复习重点：二次函数的图象、性质和应用。
复习难点：二次函数的应用和图象法解一元二次方程。
二、教材处理针对初三复习时间紧、任务重的实际情况，我决定利用以题代纲的复习方法，以问题组的形式展开复习，每一道题让学生说出知识点和考点及其解题的思路，每一部分在整个知识体系中的位置等等，刚开始学生说不全，其他同学再补充，时间长了，学生就能掌握。
在复习时将二次函数部分分为四个模块，（一）二次函数的图象和性质（二）二次函数的平移（三）二次函数解析式的求法（四）二次函数的应用。
对学生容易出错的知识点，可进行形式多样的变式练习，以提高学生运用知识分析问题、解决实际问题的能力。
三、学情分析二次函数部分在年前学习时由于时间比较紧，大部分同学掌握不好，有的学生二次函数的顶点坐标公式都忘了；再者，函数是初中数学的难点，学生理解和学习起来有一定的难度，所以，基础比较差一些。
现在学生已经复习了一次函数和反比例函数，对函数的认识有了一定程度的加深，复习起来应该比讲新授课时要顺利的多。
在复习时要针对学生的实际，先掌握基础知识，再让学生构建二次函数的知识体系，然后通过一些应用性的题目提升学生的能力。
一轮复习一定要注重基础，要注重实效。
二次函数压轴题教学设计(一)
二次函数压轴题教学设计(一)二次函数压轴题教学设计教学目标1.了解二次函数压轴题的概念和特点。
2.掌握解决二次函数压轴题的方法。
3.能够独立解答并应用二次函数压轴题。
教学步骤1.引入导入：–引入二次函数压轴题的概念和背景，解释其在数学中的重要性和运用场景。
–提问学生对于二次函数压轴题的理解和经验。
2.概念解释：–解释二次函数压轴题的定义：指给定二次函数f(x)的顶点坐标和一个额外的点，要求通过计算得出该二次函数的表达式。
–强调压轴线对于二次函数的重要性和作用。
3.解题方法：–列举常用的解题思路和步骤，如：1.确定顶点坐标：利用给定的信息，计算出二次函数的顶点坐标。
2.列方程：利用顶点坐标，构建二次函数的一般式或顶点式方程。
3.代入额外点坐标：将额外点的坐标代入二次函数方程，得出方程的另一个未知数。
4.求解：利用已知信息计算出方程的另一个未知数。
5.整理得出答案：根据所得出的方程解答，整理出二次函数的表达式。
4.示例演练：–给出一个具体的二次函数压轴题例子，并指导学生按照上述解题方法进行操作。
–强调步骤的重要性，引导学生注意解题过程中的细节和注意事项。
5.练习题：–分发练习题让学生进行独立解答，并提供适当的时间。
–可在练习过程中给予部分提示和指导，帮助学生明确解题思路。
6.讨论与总结：–对练习题进行讨论，解析难点和易错点。
–总结掌握的知识和技能，强调解答二次函数压轴题的基本思路和步骤。
7.拓展应用：–提供更挑战性的二次函数压轴题，让学生尝试更复杂的解题情景。
–鼓励学生尝试在实际问题中应用二次函数压轴题解决相关的数学建模问题。
教学资源1.教材：包含相关二次函数压轴题的教材章节。
2.练习题：针对二次函数压轴题的练习题集。
3.答案解析：提供学生自主对比和纠错的答案解析。
教学评估1.练习题的答案评估：检查学生对于二次函数压轴题的解题正确率和解题思路的合理性。
2.学生参与度和讨论表现：考察学生在课堂上的积极参与度和对于解答过程的理解。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步学案第05讲二次函数压轴专题训练(原卷版)
第05讲 二次函数压轴专题知识点01 二次函数的图像与系数的关系1. a 与开口方向的关系。
2. 对称轴与b a ，的关系；对称轴在y 轴左边或右边与b a ，的符号的关系；对称轴与±1的关系可得02与b a +以及02与b a -的关系。
3. 函数与y 轴交点坐标与c 的关系。
4. 函数与x 轴的交点个数与ac b 42-的关系。
5. c b a ++是自变量为 的函数值，c b a +-是自变量为 的函数值。
c b a ++24是自变量为 的函数值，c b a +-24是自变量为 的函数值。
c b a ++39是自变量为 的函数值，c b a +-39是自变量为 的函数值。
【即学即练1】1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0；⑤b 2＞4ac ．其中正确的结论的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【即学即练2】2．如图，根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到如下结论：①abc ＞0 ②2a ﹣b ＝0 ③a +b +c ＝0 ④3a +c ＜0 ⑤当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大 ⑥一定存在实数x 0，使得ax +bx 0＞a ﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A ．①②⑤B ．②③④C ．②③⑥D ．③④⑤【即学即练3】3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc ＞0；②2a ﹣b +c ＜0；③4a +2b +c ＝0；④2a ﹣b ＝0；⑤．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（）①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③；④8a+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点02 二次函数的最值问题1.求线段最值问题：2.求图形的面积最值问题：将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》教学设计2
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》是对九年级学生学习二次函数知识的总结和提升。
本节内容主要包括二次函数的图像和性质，以及二次函数的应用。
通过复习，使学生掌握二次函数的基本知识，能够熟练运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解，但部分学生对二次函数的应用还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，有针对性地进行教学，提高学生的学习效果。
三. 教学目标1.了解二次函数的图像和性质，掌握二次函数的基本知识。
2.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.二次函数的图像和性质2.二次函数的应用五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的图像和性质。
2.利用案例教学，让学生通过实际问题，掌握二次函数的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于讲解二次函数的应用。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图像。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，回顾二次函数的基本知识，引导学生进入复习状态。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示二次函数的图像，让学生观察和分析二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器，绘制二次函数的图像，加深对二次函数性质的理解。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些与二次函数有关的实际问题，巩固二次函数的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，进行知识拓展。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次函数的图像和性质，以及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次函数的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容，方便学生复习。
二次函数压轴题教学设计
二次函数压轴题教学设计引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模中经常用到的数学工具。
在教学过程中，我们需要引导学生理解二次函数的基本概念、性质和应用，并通过解决一些具体问题来提高学生的数学建模能力。
本文将围绕着二次函数的压轴题展开教学设计，旨在帮助学生掌握解题方法和技巧。
压轴题的概念解释在考试或竞赛中，通常会将最难的、综合性较强的题目放在最后，称为“压轴题”。
二次函数的压轴题指的是那些结合了二次函数的各种概念、性质和应用的复杂题目，需要学生将多个知识点整合运用，具有较高的难度。
为什么要学习二次函数压轴题？学习二次函数压轴题有以下几个重要的原因： 1. 提高数学建模能力：通过解决二次函数压轴题，学生可以锻炼数学建模的能力，培养将数学知识应用于实际问题的能力。
2. 复习和巩固知识点：二次函数压轴题往往会涉及到多个知识点，学生需要综合运用所学知识才能解决问题，巩固已学的知识点。
3. 培养思维能力：解决二次函数压轴题需要学生进行逻辑推理、分析和综合能力的训练，有助于培养学生的综合思维能力。
教学设计第一部分：复习二次函数的基本概念和性质1.概念回顾：复习二次函数的定义、顶点和对称轴的概念。
2.性质复习：复习二次函数的单调性、最值、零点和导数的性质。
3.例题引入：通过一个简单的例题引入本节的主题。
第二部分：解决一元二次方程1.方程的建立：通过一个实际问题引出一元二次方程。
2.方程的解法：讲解求解一元二次方程的一般方法（配方法、公式法等）。
3.应用拓展：在解决方程的过程中，引导学生思考如何将方程与实际问题相结合，培养学生抽象建模的能力。
4.深化理解：通过多个实例训练，巩固学生对一元二次方程的理解和解题方法。
第三部分：二次函数图像的性质和变换1.基本图像的性质：讲解二次函数图像的开口方向、顶点、对称轴等基本性质。
2.参数对图像的影响：讲解二次函数的参数a、b、c对图像的平移、伸缩和翻转等变换的影响。
中考复习与二次函数有关的常规压轴题教学设计
中考复习与二次函数有关的常规压轴题教学设计作者：石慧分来源：《学校教育研究》2017年第27期教学内容分析：1. 1.函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
.在历届中考试题中，二次函数几乎是压轴题中不可缺少的内容；2.二次函数的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用；3.二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通.中考要求：1.能描述二次函数的特征和由来，明确地阐述二次函数与有关对象之间的区别和联系；2.能在理解的基础上，把二次函数的图象及性质运用到新的情境中；3.参加特定的数学活动，在具体情境中初步认识二次函数的特征，获得一些经验.学情分析：1.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图象及性质等基本知识；2.学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高；3.学生具有一定的自主探究和合作学习能力。
總体设计思路：1.中考压轴题历来是中考区分度的一个至关重点，很多学生包括优等生对这个题基本采取放弃态度，究其原因除了本题第三小题确实需要较高的综合能力之外，更多的是学生从心里上就畏惧此题，可以说对其有心里阴影也不为过。
这对我们学生整体成绩的提升是非常不利的。
本节课试图以一个例题为引，把每小题分拆开来，逐层分析，层层递进，学习“庖丁解牛”的方法，让学生深入到每一小题中去，亲自体验，再总结出相应的解题规律，从而揭开压轴题的神秘面纱，打消学生的畏难心理，能以客观的态度面对压轴题，中考时能得到自己应得的分数，让中考不留遗憾。
2.通过本节课，作者还试图让学生明白，就算是压轴题，实际上它的难度也是成梯度上升的，各个层次的学生都可以做一部分，得一点分。
特别是第一小题特别容易得分，这对学生整体成绩的提升是很有帮助的。
人教版九年级数学中考专题二次函数的综合练习教案
二次函数的综合练习课教学目标(一)培养学生灵活掌握和运用二次函数知识的能力；(二)提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生初步会把二次函数概念和性质综合在一起灵活运用；熟悉数与形的相互联系，相辅相成．难点：善于选择恰当的解法；善于把问题与函数的有关性质联系起来．教学过程设计(一)复习1．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是____．2．函数y＝2x2-12x＋1的最小值是多少？这时的x值是多少？(y＝2(x-3)2-17≥-17．所以x＝3时， y有最小值-17)(二)新课上几节课，我们已学习了二次函数的性质和五个主要问题，那就是：1．y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式．2．y＝ax2＋bx＋c图象的画法．3．用待定系数法求二次函数的解析式．4．图象法解ax2＋bx＋c＞0的几何意义．5．有关二次函数的最大值、最小值问题．本节课是要解决这些主要问题综合在一起的题目，要求同学们善于把二次函数的知识灵活运用．(1)把它配方成y＝a(x＋h)2＋k形式；(2)写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与y轴、x轴的交点坐标；(4)作出函数图象；(5)x取什么值时y＞0，y＜0；(6)设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．(2)开口向下．顶点坐标是M(2，3)．对称轴是x＝2．x＝2时，y最大值＝3；(4)图象见图17；例2 k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3x＋k＋4＞0都成立．分析：当k≠4时(4-k)x2-3x＋k＋4是x的二次函数．设y＝(4-k)x2-3x＋k＋4，题目的意思是问：k取什么值时，当x取任意实数时，y ＞0，转化为图象关系，是问k取什么值时，图象上点的横坐标取任何实数时，点的纵坐标都是正值，也就是说，图象都在x轴上方．我们从上面这四个图可见，图18和图21，都不符合要求，因为图象上点的纵坐标不全是正值，而图20的图象上各点纵坐标全是负值也不符合要求，只有图19符合要求．怎样把这个图象的几何条件转化为数量关系(式子)，然后计算出k值呢？因为这个图是开口向上，并且顶点的纵坐标是正值．所以列式为例3 已知图22是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a-b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在x 轴上方，即c＞0；(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；(7)因为图象上的点的横坐标为(-1)时，点的纵坐标为负值，即a(-1)2＋b(-1)＋c ＜0，故a—b＋c＜0．例4 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象回答以下各问：(1)二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的几何意义是什么？(2)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(3)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(4)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？分析：本题是二次方程图象解法、二次方程根的判别式性质与二次函数图象紧密联系、数与形相互呼应的典型之一．解：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，函数式就变成二次方程ax2＋bx＋c＝0．解这个一元二次方程，也就是要找出使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝0的x值．从图形上看，方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；(2)方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的公共点，如图23或图24．①，②的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；(3)方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点．如图25，图26．＝0．③③式的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；(4)方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点．如图27，图28．即b2-4ac＜0．⑤④，⑤的结论与二次方程根的判别式性质完全一致．例5 方程2x2-4mx＋(5m2-9m-12)＝0的两个实数根为x1，x2．问：当m取什分析：x1，x2是实数，必须满足根的判别式△≥0，即(-4m)2-8(5m2-9m-12)≥0．化简，得m2-3m-4≤0．我们可用图象法来求这个不等式的解．设y＝m2-3m-4．令y＝0，得m1＝-1，m2＝4，又因为二次项系数1＞0，所以开口向上，草图是图29．所以不等式m2-3m-4≤0的解是-1≤m≤4．①由根与系数关系，有请同学们注意，能不能由②式就下结论：这是因为还要结合①式的条件-1≤m≤4．于是本题转化为“自变量在规定范围内求函数的最大值、最小值”，而此前的求函数最大值、最小值是自变量在整个实数范围内．③这个图是示意图，没有按比例尺寸画)图30中的一段实线，是抛物线的自变量m在-1到4时这一段的弧．这段弧的最高点为(4，32)，最低点为(-1，2)．例6 已知抛物线y＝x2-2(k＋2)x＋2(k-1)．(1)试证：k取任意实数时，此抛物线与x 轴有两个交点；(2)k取何值时，这两个交点在y轴的同侧，并且判定它们同在y轴的左侧，还是同在y轴的右侧；(3)如果此二次函数的对称轴是直线x＝3，求此抛物线与x轴的两个交点及顶点所成的三角形的面积．分析：(1)抛物线与x轴有两个交点，相当于二次方程有两个不相等的实根．(2)两个交点在y轴的同侧，相当于方程的两根的正、负号相同．解：(1)因为△＝[-2(k＋2)]2-4×2(k-1)＝4(k＋1)2＋20＞0，所以方程x2-2(k＋2)x ＋2(k-1)＝0有两个不相等的实数根，即有两个实数使函数y＝x2-2(k＋2)x＋2(k-1)的函数值为零．转化为图形来看，即图象上有两点的横坐标可使纵坐标为零，即图象上有两点在x轴上；(2)两交点在y轴同侧，相当于方程x2-2(k＋2)x＋2(k-1)＝0的两根的正、负号相同，由根与系数关系，得x1x2＝2(k-1)＞0，即k＞1．这时两根之和x1＋x2＝2(k＋2)＞6＞0，两根都是正值，所以这两个交点同在y轴的右侧；(三)课堂练习才能使售出的总金额最大？解：设这种服装涨价前每件售价为a，售出服装b件，则涨价后，每件售价为(四)小结1．在解综合题时，问题受各种条件的约束，因此解题时不要疏漏应有的条件，像例5中，m受△≥0的约束，不能忽略．2．某些深层次的数与形的转化，只有在解题实践中才会接触到、得到训练．像例6中的“两个交点在y轴同侧”相当于x1x2＞0这类转化．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c，二次方程ax2＋bx＋c＝0，二次不等式ax2＋bx＋c ＞0，二次三项式ax2＋bx＋c．这四个“二次”是中学数学里的重要学习内容和解题的工具，它们之间有密切的联系，应熟悉这四者之间的相互转换．还应把它们与图象的数形结合灵活运用，这对于寻找解题途径和检验运算的中间过程和运算结果都很有促进作用．(注二次不等式ax2＋bx＋c＞0用二次函数图象法来解)(五)作业1．某男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是：(1)画出函数的图象；(2)观察图象，说出铅球推出的水平距离．2．如图31，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．(1)写出长方形场地面积y(m2)与x(m)的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)观察图象，说出垂直院墙的边长多少时，长方形面积最大．3．如图32有一个半径为R的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径．(1)写出周长y与腰长x的函数关系及自变量x的范围；(2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？4．如果二次函数y＝mx2＋(m-3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．5．已知二次函数y＝(m＋1)x2-2(m-1)x＋3(m-1)．问：m取何值时，图象在x轴上截得的线段长为4？并求出图象与y轴的交点坐标．作业的答案或提示1．(1)找出几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点及它们的轴对称点．得x1=10，x2=-2．所以与x轴交点(10，0)，(-2，0)．把这些点用平滑的曲线连结，得到的图形是图33．由于水平距离实际上不能取负值，所以图象只能画出图中的实(2)铅球的水平距离是10m．2．(1)矩形的另一边长为50-2x，y＝x(50-2x)＝-2x2＋50x，(0＜x＜25)；(2)草图是图34；(没有按比例尺寸画)(2)由①可知当x＝R时，y最大值＝5R．即腰长等于半径时，周长最大值为5R．4．因为y＝mx2＋(m-3)x＋1是二次函数，所以 m≠0，设抛物线y＝mx2＋(m-3)x ＋1与x轴的交点是(x1，0)，(x2，0)，其中x1≤x2，由于x＝0时，y≠0，所以此抛物线不过原点，所以抛物线与x轴的交点至少有一个在原点右侧应有下面两种情况：(1)两个交点分别在原点的两侧，即x1＜0，x2＞0，此时有所以当两个交点分别在原点两侧时，有m＜0；(2)交点都在原点右侧，即0＜x1≤x2，此时有综上所述，当这个二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧时，m 的取值范围是：m＜0，0＜m＜1．5．分析：根据题意，抛物线与x轴应有两个交点，而且这两个交点间距离为4，为此m必须满足以下三个条件：(1)m＋1≠0；(这是保证函数是二次函数)(2)△＝4(m-1)2-12(m＋1)(m-1)＞0；(这是保证抛物线与x轴有两个支点)(3)设两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)，应该有|x1-x2|＝4．解：设方程(m＋1)x2-2(m-1)x＋3(m-1)＝0的两个根为x1，x2，根据题意，有m＋1≠0，①△＝4(m-1)2-12(m＋1)(m-1)＞0．②由①，②，③得方程组m1＝0时，二次函数为y＝x2＋2x-3，它与y轴交点为(0，-3)；。
人教版九年级数学上册《二次函数》教学设计
教师出示问题，学生独立思考，列出关系式，学生回答，全班进行订正.
请3名学生板练
教师提出问题：这三个关系式有什么共同点？
学生充分地发表自己的见解，教师引导学生归纳出特点，得到二次函数的定义.
【分析】这种产品的元产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是
件，即两年后的产量为即：.
【问题4】观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么共同点?
小组交流、讨论得出结论：.
【问题5】什么是二次函数？
形如（）的函数，叫做二次函数.其中是自变量，a,b, c分别是函数解析式的，和.
【小结】二次函数的特征条件：（1）各项均为式；（2）自变量的最高次数为；（3）二次项系数不等于.
22.1.1二次函数
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题.
过程
方法
经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
情感
态度
体会数学与生活的联系，锻炼学生的理性思维，体会通过探究学习新知识的乐趣.
3.当m=时，函数y=(m-2) 是二次函数.
4.已知二次函数y= +px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.
教师出示题组
学生独立思考完成.
人教版初中数学九年级上册《二次函数》教学设计
二次函数教学设计（1）一教材分析二次函数的应用本身是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，新课标中要求学生能通过对实际问题的情景的分析确定二次函数的表达式，体会其含义，能根据图像的性质解决简单的实际问题，而最值又是生活中利用二次函数知识解决最常见，最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求利润等问题奠定基础，目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类问题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题，此内容是学习一次函数及其应用的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础二教学目标。
1；知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题2.过程与方法：通过观察图像，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想，函数思想3.情感态度与价值观：通过学生之间的讨论，交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中的广泛应用价值，三教学重点难点教学重点：利用二次函数的图像与性质，求面积的最值问题教学难点：1.正确构建数学模型2.对函数顶点，端点与最值的理解与应用四教学方法“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑为主，必要时加以小组讨论，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的五教学手段多媒体课件六课时安排1课时七教学过程加深巩固布置作业自主评价梳理面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？2.如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。
回答下面的问题：(1)设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym2，请写出用x表示y的函数表达式。
人教版九年级数学上册《二次函数复习课》教学设计
教学过程直接代入解析式y1=ax2+3x求出a值即可2.（2012·海淀一模·25）1. 已知抛物线2y x bx c=++的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式分析：抓住顶点横坐标为1的条件，确定待定系数b 的值，将B点坐标代入即可得c的值，解析式便求出来了析后独立完成自己独立分析先独立完成，有问题的老师辅导数的关系体会二次函数顶点横坐标的作用三、典三、巩固练习⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值分析：第（3）问通过自己画图来分析：利用对称性确定m是C关于x轴的对称点C’与D所在的直线与x轴的交点，利用相似三角形的知识就可以解决了，还可以利用解析法求出直线CD后确定与x轴的交点来解决练1（2012北京中考.23）已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x=++++，在0x=和2x=时的函数值相等，求独立完成（1）（3）分析怎样确定M的位置称性确定第三个点到一只两点间的最短距离的位置会灵活选用几何知识或代数知识解决问题附加：开始又加入了1道小题，启发学生会分析条件，确定待定系数的值：已知抛物线y=ax²-2x+c经过点（1,0）和（0,1），则此抛物线解析式。
强调：（0,1）是个特殊点，见到这样的点立刻确定c的值。
人教版九年级数学上册《中考专题二次函数综合题》教学设计
中考专题之二次函数综合题教学设计学情分析：学生对中考有一定认知，大部分学生具备了解综合题的解题基础，但是总是找不到解题方法，由于综合题型知识面比较广，需要条理清楚，故对这类题型进行分析。
教学目标：1.对二次函数的基础内容进行复习，并掌握；2.对西藏二次函数综合题类型分析、比较，使学生逐步理解考查内容；3.通过例题讲解达到举一反三。
教学重难点：1.二次函数图像中的对称点；2.二次函数中的求面积等。
教学过程：复习练习1．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC ＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．练习2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（点P与F、G不重合），作PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状能否成为菱形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）先根据已知写出各点坐标，再用待定系数法列出方程求解析式；（2）计算BD、CD、BC的长度，利用勾股定理逆定理判断；要使POC 为顶点的三角形为等腰三角形则OC为底或OC为腰，当OC为底时，p 在OC垂直平分线上与AD交点；当OC为腰,则OP=OC,联列利用勾股定理得出；（3）先设P、Q坐标，利用MN=PQ,列方程解出，判断。
人教版九年级数学上册《二次函数专题复习》教学设计
a、b同号时对称轴在y轴侧，
a、b异号时对称轴在y轴侧，
b＝０时对称轴是轴。
c
c决定抛物线与y轴的交点：（上，下）
c＞０时抛物线交于y轴的半轴，
c＝０时抛物线过点，
c＜０时抛物线交于y轴的半轴，
△
△决定抛物线与x轴的交点：△= b2-4ac
3、如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ ）
．
5.已知抛物线y=x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和
二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：
a0,b0,c0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a0,b0,c0.
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
数学人教版九年级上册二次函数复习课(一)教学设计
一、创设情境二、知识梳理三、二次函数概念练一练多媒体播放一幅优美图片，通过生活实例使学生进一步感知二次函数。
引导学生回顾二次函数相关内容。
1、那么什么是二次函数？2、需要我们注意哪些问题？3、除a≠0外，b、c呢？所以二次函数解析式还有哪些形式？（今天所有习题我们以小组抢答形式进行，我们评出表现最差的组下节课为我们表演节目）１、下列函数中，是二次函数的是（）A y=x2-1B y=x2-x(x+1)C y=8/xD y=8/x2学生欣赏图片，并认真观察。
学生齐答：一、二次函数的概念，二、二次函数的图象性质及平移，三、二次函数与方程及系数符号判断，四、二次函数的解析式，五、二次函数实际应用生：形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0﹞的函数叫做二次函数学生齐答：a≠0单独回答: y=ax2y=ax2+cy=ax2+bx学生抢答调动多种感官，创设情境，引出本课主题，使学生感受数学之美，激发学生学习兴趣。
知识框架的梳理，使学生对本节课有了整体认知。
使学生回忆起二次函数的概念，循序渐进的提问与引导，加深学生对概念的理解。
培养学生发散思维，并为研究二次函数图像平移规律做铺垫。
练习的设置，帮助学生进一步理解概念；抢答的形式，提高了学生的参与度。
四、二次函数的图象性质及平移你问我答，同桌之间互相举一例子切磋一下五、二次函数与方程及系数符号判断2、若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）画出以下函数图像，标明顶点，对称轴。
○1 y=2x2 y=-2x2○2y=2x2+1 y=2x2-1③ y=2(x-1)2y=2(x+1)2④ y=2(x+1)2+2y=2x2+4x+4平移规律：1、若把y=2x2抛物线向右平移2个单位,向下平移3个单位,则得到抛物线对应的解析式为_______2、已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线所对应的函数解析式是（）1、a、b、c符号判断2、b2-4ac的符号3、a+b+c的符号练习一（见课件）练习二（见课件）小组抢答上加下减左加右减组内成员相互举例子。
数学人教版九年级上册二次函数复习课教学设计
二次函数复习课教学设计一．教材分析１．本章在教材中的作用二次函数的应用是发展学生应用数学的意识和能力的良好素材．本节内容包含的主要知识有二次函数的最值，用函数思想解决实际问题，其中蕴涵着丰富的数学思想，如建模，函数，转化，数形结合等．学好本节知识，可以帮助我们解决诸如现实生活中的面积最大，距离最短，效益最好等问题．同时还可以培养学生的阅读理解能力，信息迁移能力及数学方法的应用能力等．二次函数的应用是中学数学知识结构中的一个枢纽．本节内容是在学习了二次函数的概念，图象，和性质后进行的，它是一次函数和反比例函数的性质应用，一元二次方程和二次函数等知识的提高和延续，可为高中继续深入学习函数、不等式等知识奠定基础。
2. 重点、难点分析重点：利用二次函数知识解决实际问题及二次函数与一元二次方程的关系。
难点：准确利用函数的性质进行决策。
通过“Z+Z”智能平台，把复杂的问题转化成直观、形象、学生容易接受的浅显易懂的数学模型，并解决问题。
这样能够加深对性质的理解，增强解决问题的意识和能力。
3. 学情分析学生已经学习了一次函数、反比例函数和二次函数，对于函数的意义及应用已经有了较多的知识和经验的积累，形成了利用函数解决问题的一些基本策略。
由于二次函数比其他已经学习过的函数在性质上要复杂和抽象一些，解决实际问题的复杂性和难度也较之以前有所提高，所以通过本节复习可进一步加深学生对函数性质的理解，提高学生的应用意识和推理能力。
二、复习目标1. 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，把实际问题转化为数学问题，正确建立函数关系，并能运用二次函数性质解决实际问题。
2. 通过实例分析增强学生应用数学的意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
三、复习思路设置几个活动单元，通过学生的自主学习、讨论，并利用“Z+Z"的函数图像演示功能操作验证。
本节课以学生自主探究、合作交流、操作验证为主，教师在巡视及参与讨论的过程中加以指导。
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初中数学《中考二次函数压轴题》教学设计
一、教学内容
人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》九年级下册第二十六章“二次函数复习” 。
二、内容解析
《二次函数复习》是在学完二次函数整章知识后所进行的一节复习课。
本节课教学设计的基本思路是从一个简单问题入手，经过一系列的问题串把本部分关于二次函数的概念、平移、图象及性质串到一起，层层递进。
另外，其中蕴含的类比、归纳、数形结合的思想方法，对学生今后研究、解决函数问题，以及终身的发展都是非常有益的。
因此，本节课的教学重点定为：二次函数的图象及性质的灵活应用。
三、学情分析
通过之前的学习，学生已经了解了二次函数的概念及内涵，掌握了二次函数的相关基础知识。
但对于知识的灵活应用还存在一定的困难。
遇到问题不知道如何解决，感到函数难学，学习的信心不足。
因此本节课的难点是：利用数形结合的思想解决二次函数有关的问题。
为了让学生突破难点，通过采用学案导学式的课堂教学模式及小组合作交流、拓展提高相结合的学习方式，内化、巩固复习内容
四、教学目标
知识目标：
1.理解二次函数的意义及概念。
2.掌握各类二次函数之间的关系、图象及性质，并能用来解决一些简单的实际问题。
能力目标：进一步体会函数是刻画变化规律的重要数学模型，并进一步体会数形结合的思想。
情感目标：培养学生的小组合作意识；敢于发表自己的观点；尊重和理解他人的见解；能从交流中获益。
五、教学过程设计
1. 复习导入，出示课题：师：前面我们学习了二次函数的基础知识，这节课我们就来一起复习一下（出示课题）。
2. 知识梳理，建知识树（所学二次函数的内容）。
生：一小组展示整理的知识树，其他小组补充完善。
师：展示整理的知识树，做重点强调。
设计意图：让学生对所学过的二次函数的有关知识进行知识梳理，使其纳入所属的知识体系，使知识系统化，并做好知识的前后衔接
3. 典例解析，变式应用。
1.如图，己知抛物线y-ax 2+bx+c (a*0)的图象经过原 点6 交%轴于点A,負顶点B 的坐标为(3, - V3)
(1) 求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；
(2) 在拋物线上求点P,使S APOA =2S AAOIt :
(3) 在抛物线上是否存在点Q,使AAQO 与△AOB 相计以? 如果存在扌请求岀Q 点的坐标；如果不存在，请说明理
设计意图：让学生在说一说、画一画中对二次函数的相应基础知识 进行复习，层层递进，为后面的拓展练习的设计、解决奠定基础。
活动二:
2.如图，一次函数旷-苏住 分别交y 轴.覽轴于儿
B 两点，拋物线y= - x-+bx+ci±Ax B 两点.
(1) 求这个抛物线的解析式'
(2) 作垂直咒轴的直线笙=4在第一象限交宜线于M, 交这个拋物线于N.求当I 取何值时，有最大值？最大 值是多少？
(3) 住(2)的情况下，以A. ■ U 为顶点作平行 四边形，求第四个顶点D 的坐标.
设计意图：通过《配套练习册》上一个小题的改编，既考察了二次
函数的图象、性质，又进一步通过变式练习层层递进达到发散学生思维、调动学生积极性的目的
3.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点d B分别落在坐标轴上，O为原点，点A的坐标为(b 0). 点B的坐标为S) •动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点W从点A岀发，沿向终点B以每帖个单位的速度运动.当•个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点N运动的时间为t秒(t>0)・(1>当仁3秒时.直接写岀点N的坐标，并求出经过Ck A. hl三点的拋物
线的解析式：
(2)在此运动的过程中，AMNA的面积是否存在最大值* 若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；当t为何值时’AMSA是一个等腰三角形？
B
设计意图：另一方面由特殊到一般，让学生理解数与形的结合，进一步深化研究函数的常用思想方法数形结合的思想。
活动三:
4.如图，在平面直角坐标系中，直线厂±x*2交買轴于
点巴交y轴于点久抛物线y= x2+bx+c S图象过点E
C - 1, 0),井与直线相交于A* B两点+
(1)求抛物线的解析式(关系式)；
(2)过点A作AC丄AB交K轴于点O求点C的坐标卡
(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点袖，使得△IWAB
是直角二角形？若存在，请求出点Ml的半标；若不存在, 请说明理由.
设计意图：使学生感受现实世界二次函数的大量存在，体会用二次函数的知识可以分析和解决实际问题，体会函数建模的数学思想。
4. 总结反馈，达成目标。
（1）课堂小结。
通过本节课对二次函数的复习，你认为还有哪些地方需要提高？在后面的函数学习中，我们还需注意哪些问题？设计意图：在独立思考和合作交流中，进一步引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法的收获，进一步提升学生对数学思想方法的理性认识。
（2）课堂检测：（3）布置作业。
必做：整理笔记本，完善知识树。
选做：根据自己的实际，结合《配套练习册》易错、出错的题目整理到错题本上。
设计意图：必做部分的作业让全体学生重新对所学知识形成知识网络，加深印象，打牢基础。
选做部分作业则让学生根据自己的实际进行深入学习，尊重学生的个性发展。
课后反思：
通过本节课的教学使笔者深深地体会到，新的课堂理念“以生为本” 给数学课堂注入了活力，让学生在编题、变式中交流合作，展示自我，收获自我，增大了课堂容量，提高了课堂效率。
在课堂中，教师只是学习的引导者，学生学习的帮助者。
而我们的数学课堂，也真正成为了学生自主、合作、探究学习的乐园，成为了学生展示自我的舞台。