32.二叉树与最优二叉树

教师：田检
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即最佳前缀码为：{10，010，111，110，001， 0111，0001，0110，00000，00001}。
(2) (2×20%+3×(10%+15%+10%+10%)+4×(5%+1 0%+10%)+5×(5%+5%))×10000=32500 即传输10000个数字需32500个二进制码。 （3）因为用等长码传输10个数字码长为4，即 用等长的码传10000个数字需40000个二进制 码，故用最佳前缀码传节省了7500个二进制码。
( 2)在w1 w2 , w3 ,, wm中选出两个最小的权， 连接它们对应的顶点， 得分支点及对应的权
(3)重复(2)，直到形成m 1个分支点，m片树叶为止
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例题1：求带权为 1,3,4,5,6的最优二叉树
19
8
11
4 1
4
5 3
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6
17
例题2：求带权为 1,2， 3,4,6的最优二叉树
(m-1)i＝t-１ 证明: 由假设知， 该树有 i+t 个结点， 所以， 该树边数为 i+t -１。 因为所有结点出度之和等于边数,所以根据完全
m叉树的定义知， mi＝ i+t -１
即 (m-1)i＝t-１
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• 【例 7.7.2】假设有一台计算机， 它有 一条加法指令， 可计算 3 个数之和。 如果要求 9 个数x1， x2， …， x9之和， 问至少要执行几次加法指令？ • 解: 用 3 个结点表示 3 个数， 把 9 个数看成树叶， 将表示 3 数之和的结点 作为它们的父亲结点。 这样本问题可理 解为求一个完全三叉树的分枝点的个数 问题。
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在根树中，从树根到任 意顶点v的通路的长度 称为v的层数
层数最大的顶点的层数 称为树高
v1的层次为０， v2、 v3的层次为１， 其余结点
的层次均为２。树高2层。
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• m叉树 • 在树的实际应用中， 我们经常研究完 全m 叉树。 • 定义 在根树中， 若结点的最大出度 等于 m ， 则称这棵树为 m 叉树。 如果每 个结点的出度恰好等于０或 m ， 则称这 棵 树 为 完 全 m 叉 树 。 二 叉 树 (binary tree ) 的每个结点 v 至多有两棵子树， 分别称为v的左子树和右子树。
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【例7.7.4】 8 枚硬币问题。 若有 8 枚硬币a， b， c， d， e， f， g， h， 其中 7 枚重量相等， 只有 1 枚稍轻。 现要求以天平为工具， 用最少 的比较次数挑出轻币来。 解: 可用图7.7.6所示的树表示判断过程。 从图中可知， 只需称 2 次即可挑出轻币。 这种用于描述判断过程的树叫判定树。
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在所有的m 叉树中，二叉树居重要地位，对计 算机来说，二叉树最容易处理，因此常将有序树 转化为二叉树，步骤如下：
（1）对于每个顶点只保留左儿子。
（2）兄弟间从左到右连接。
（3）对于每个分支点，保留的左儿子仍做左儿 子，右边邻接的顶点做作为兄弟的右儿子。
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例如，图（a）是棵有序树，图（b）是表示图（ a）的一棵
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• 由定理7.7.1知， 有 (３-１)i＝９-１ i＝４ 所以要执行 4 次加法指令。 图7.7.5表示了两种可能的顺序。
得
图 7.6.5
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【例 7.7.3】设有 28 盏灯，拟公用一个电源，则 至少需要多少个4插头的接线板 ? 解:把 28盏灯看成树叶， 将4插头的接线板看 成分枝点, 这样本问题可理解为求一个完全四 叉树的分枝点的个数 i的问题。 由定理7.7.1知， 有 (4-１)i＝28-1 得 i＝9 所以至少需要9个4插头的接线板 。
如果传输过程中所有字 母出现的频率大致相等 ，等长 码是一种好方法。但是 往往频率是不一样的， 因此要 寻求一种用较短的字符 串表示频率高的字母， 以提高 传输效率的方法。
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设 1 2 n1 n为长度是n的符号串，称其子串 1 ,
1 2 ,, 1 2 n1分别为的长度为 1,2,, n 1的前缀


c
b
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a
d
e
练习 3：用二叉树表示算式
((a (b c )) d b) (c d )
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前 缀 码 的 设 计 ——最优二叉树的应用
在远程通信中，常用 5位二进制码来表示一个 英文字母(24 26 25 )。
发送端发送一条0和1组成的字符串，接收端 将其 分成长度为 5的序列就得到了相应信 息。这种传输 信息的方法称为等长码 方法。
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练习 4：在通信中八进制数出 现的频率如下：
0 1 2 3 4 5 30% 20％ 15% 10％ 10％ 5% 6 5% 7 5％
求传输它们的最佳前缀 码。
参考答案： 0 01 1 11 2 3 4 5 6 7 1001
001 101 0000 0001 1000
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i 1 m
其中L( w i )为带权w i的树叶v i的层数
在所有带权w1 , w2 ,, wm的二叉树中， 带权最小的二叉树称为 最优二叉树
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Huffman算法：
给定实数w1 , w2 ,, wm , 且w1 w2 wm
(1)连接w1 , w2为权的两片树叶 , 得一分支点 , 其权为w1 w2
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定理1 任意一颗二叉树的树叶 集合对应一组前缀码。 定理2 任何一组前缀码都对应 一颗二叉树。
0 1 0 1
0 0 0 00 1
1 01
0 10
1 11 0 0 00
0 1
1 01
1
0 01 (a )
0 01 (b )
{000，001，01，10，11}
{000，001，01，1}
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二叉树，图（c）是相应的二叉位置树。
0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 (a a) ) ( 0 8 1 2 3 4 9 4 9 9 10 10 6 7 3 1 2
10 5 6 7 8 (b ) 9 10 (c)
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Fra Baidu bibliotek
最优二叉树
设二叉树T有m 片树叶，分别带权为w1 , w 2 , , w m , 称W (T ) w i L( w i )为T的权
16 16
10 10
最优二叉树不唯一！
6
6
4
6 3
1
3
2
4
6
3
1 2
3
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练习 1：求带权为 2,4,7,8,10,12的最优二叉树 43
25
18
12
13 8
6
7 4
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10
2
19
练习 2：求带权为 1,2,3,5,7,8的最优二叉树
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11
15
5 3
6
7
8
3
2
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1
例题3：用二叉树表示算式: (a b) c (d e)
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例： 假设在通讯中，十进制数字出现的频率是 0：20%； 1：15%； 2：10%； 3：10%； 4：10%； 5：5%； 6：10%； 7：5%； 8：10%； 9：5% （1）求传输它们的最佳前缀码。 （2）用最佳前缀码传输 10000个按上述频率 出现的数字需要多少个二进制码？ （3）它比用等长的二进制码传输 10000个数 字节省多少个二进制码？
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图 7.7.3 教师：田检
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• 【例7.7.1】甲、 乙两人进行球赛， 规定 三局两胜。 图7.7.4表示了比赛可能出现 的各种情况（图中结点标甲者表示甲胜， 标乙者表示乙胜）， 这是一棵完全二叉树。
图7.7.4
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定理 7.7.1 在完全 m 叉树中， 若树叶数为 t ， 分枝点数为 i， 则
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解 （1）令i对应树叶权为wi，wi=100i，则 w0=20；w1=15；
w2=10；w3=10； w4=10；w5=5； w6=10；w7=5； w8=10；w9=5。 构造一棵带权5,5,5,10,10,10,10,10,15, 20的最优二叉树。
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1 00 0 —10 1 —01 0 2 —11 1 3 —11 0 4 —01 11 5 —00 01 6 —01 10 7 —00 00 1 8 —00 1 9 —00 00 0
为一个符号串集合， 设B , , , i , j B, 1 2 m i j , i与 j互不为前缀，则称 B为前缀码。
例如｛ 0, 10 ， 110 ， 1110 ， 1111 ｝是前缀码；
而｛ 00, 001 ， 011 ｝不是前缀码。
60 20 10 15 10 15 0 01 10 5 0 00 1 5 0 00 00 5 0 00 01 0 10 10 0 11 0 10 0 11 1 20 10
40 20
25
35
10 1 11
1 10
图 9.2.11
w0=20； w1=15；w2=10；w3=10； w4=10； w5=5； w6=10； w7=5； w8=10；w9=5。
教师：田检
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本讲内容：
1、二叉树与最优二叉树
2、Huffman算法
教师：田检
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有向树与根树的定义
有向树: 基图为无向树的有向图 根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的 非平凡的有向树 树根: 有向树中入度为0的顶点 树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点 内点: 有向树中入度为1, 出度大于0的顶点 分支点: 树根与内点的总称