5.2分式的基本性质(2)
分式的基本性质
分式的概念和性质【要点梳理】要点一：分式的概念★一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母,0≠B ,例如：x a ，x S ，yx b a ++，…都是分式. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 【例1】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．【变式1.1】指出下列各式中的整式与分式：x 12，y x +1，2b a +，πx ，132-x ，32-，223y +-，x x 2，42y ． 【变式1.2】在-3x ，x y ，23x 2y ，-7xy 2，-32,,855x a b y -+中属于分式的是_______．【变式1.3】下列代数式属于分式的是（ ）A ．2xB ．)(31y x +C ．12.4x yD π-要点二：求分式的值★将给定字母的值代入分式可求得分式的值，分支的值是由字母的取值确定的，分式的值分式中字母取值的变化二变化.要点三：分式有意义，无意义或等于零的条件★分式有意义的条件：分母不等于零. ★分式无意义的条件：分母等于零.★分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 【例2】下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．【变式2.1】若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【变式2.2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．【变式2.3】当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？（1）12+x x ；（2）25x x -；（3）5102--x x ．要点四：分式的基本性质★分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.【例3】写出下列等式中未知的分子或分母 （1）ba ab b a 2)(=+；（2）) (1)(=-y x x x .【变式3.1】不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-； （2）11341123x yx y +-． 【变式3.2】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【变式3.3】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 要点五：分式的符号法则★分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中的任意两个，分式的值不变.改变其中任何一个或三个，分式的值为原分式值的相反数. ★式子表示B A B A B A B A --=--=--=或BAB A B A B A -=-=---=- 要点诠释：（1）分子、分母是多项式时，分子、分母的符号是整个多项式的符号，应注意加括号，特别注意，不要把多项式中第一项的符号当成整个分子或分母的符号. （2）根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.【例4】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c--．典型例题题型一：分式的定义【练习1.1】在π1、21、πxy 3、y x y x 3232+-、512+x 、abn m 7-中，分式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.2】代数式x -，y x -4，yx +，π22+x ，y y 372，a b 55，x -89中是分式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个yx x232-y x ,【练习1.3】式子31，x 1，y x +2，πxy 2，232+x 中，分式的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【练习1.4】在下列式子：x 5-，b a +1，222121ba -，mb a 10+，22+π中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.5】下列各式中，分式的个数有（ ）83+x ，32+a b ，132++πy x ，21--m ，22)()(y x y x +-x12- A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.6】在代数式22+π，51x +，21x x +-，22-x 中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.7】下列各代数式x 2，y x 221，422b a -，51+a ，5am +中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.8】在式子a 1，πxy 2，4332c b a ，x +55，87y x +，xx 2中，分式的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【练习1.9】下列式子x 1，212+x ，πba +，y x 13+，m m 22中，是分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.10】下列式子：x 5-，b a +1，222121ba -，m 103，π2，其中分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.11】下列式子中：x 3，π23-a ，25320+b ，32y x ，m n-，分式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.12】下列各式n m 2，y x xy +，32y x -，a b a -2，y x x xy ++2，，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.13】在y x 2，π52ab ，103xy ，m n m +，acb +-5中，分式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.14】在式子a 1，πxyz 2，5423c b a ，x +65，87y x +，xyyx 3中，分式的个数是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【练习1.15】在58，n m 3，3y x +，x 1，ba +3中，分式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：分式有意义的条件 【练习2.1】要使分式21+x 有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．2-=xB ．2≠xC ．2-＞xD ．2-≠x【练习2.2】无论a 取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）A ．221a a +B ．21aa +C ．112+-a aD ．112+-a a 【练习2.3】若代数式4+x x有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0=x B.4=xC ．0≠xD ．4-≠x【练习2.4】若分式21+x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2 B ．x ＜﹣2C ．x ＝﹣2D ．x ≠﹣2【练习2.5】若代数式31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3 B ．x ＞3C ．x ≠3D ．x ＝3【练习2.6】分式)2)(1(3-+-x x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≠2B ．x ≠2且x ≠3C ．x ≠﹣1或x ≠2D ．x ≠﹣1且x ≠2【练习2.7】若代数式41-a 在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＝4B ．a ＞4C ．a ＜4D ．a ≠4【练习2.8】使分式23+x x有意义的x 的取值范围为（ ） A ．x ≠﹣2B ．x ≠2C ．x ≠0D ．x ≠±2【练习2.9】分式)1)(2(42-+-x x x 有意义的条件是（ ）A ．x ≠﹣2或x ≠1B ．x ≠﹣2且x ≠1C ．x ≠﹣2D ．x ≠1【练习2.10】如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是 ． 【练习2.11】要使分式21+x 有意义，则x 的取值范围为 ．【练习2.12】若分式121-x 有意义，则x 的取值范围是 ．【练习2.13】使分式22-x 有意义的x 的取值范围是 ．【练习2.14】若式子0)4(3-+-x x x 有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【练习2.15】若分式21-+x x 无意义，则x ＝ ． 【练习2.16】要使分式x-23有意义，则x 的取值范围是 ．题型三：分式的值为0的条件【练习3.1】若分式112--x x 的值为零，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【练习3.2】如果分式11+-x x 丨丨的值为0，那么x 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．1或0【练习3.3】若分式112+-x x 的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【练习3.4】若分式4242--x x 的值为零，则x 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．0【练习3.5】分式33+-x x 丨丨的值为零，则x 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．任意实数【练习3.6】若分式3312+-x x 的值为0，则x 应满足的条件是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ≠﹣1C ．x ＝±1D ．x ＝1【练习3.7】如果分式xx x 222+-丨丨的值等于0，则x 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．2或0【练习3.8】已知分式3312+-x x 的值等于零，则x 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．﹣1D ．12【练习3.9】分式24+-x x 的值为0，则（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝0【练习3.10】能使分式122--x xx 的值为0的所有x 的值是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝0或x ＝1D ．x ＝0或x ＝±1【练习3.11】若分式)1)(2(1+--x x x 丨丨的值为0，则x 等于（ ）A ．﹣1B ．﹣1或2C ．﹣1或1D ．1【练习3.12】要使分式9392+-x x 的值为0，你认为x 可取得数是（ ）A ．9B ．±3C ．﹣3D ．3【练习3.13】使分式112+-x x 的值为0，这时x 应为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝1C ．x ＝1 且 x ≠﹣1D ．x 的值不确定【练习3.14】若分式xx 42-的值为0，则x 的值是（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．0【练习3.18】若分式33+-x x 丨丨的值为零，则x 的值为 ． 【练习3.25】若式子)2)(1(12+--x x x 的值为零，则x 的值为 ．【练习3.26】当x ＝ 时，分式325+-x x 的值为零． 【练习3.29】若a ，b 为实数，且0416)2(22=+-+-b b a 丨丨，求3a ﹣b 的值． 题型四：分式的值 【练习4.1】若分式211=-y x ，则分式yxy x y xy x ---+3454的值等于（ ） A ．−35B ．35C ．−45D ．45【练习4.2】已知0432=--x x ，则代数式42--x x x的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．13D ．12【练习4.3】已知211=+y x ，则xyy x xy 32-+的值为（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣2【练习4.4】若411=-y x ，则分式yxy x y xy x ---+2232的值是（ ） A ．112B ．56C ．32D ．2【练习4.5】已知ab b a 622=+，，且ab ≠0，则abb a 2)(+的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【练习4.6】若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【练习4.7】横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，函数1236-+=x x y 的图象上的整点的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【练习4.8】若分式5122+-x x 的值为正数，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞12B ．x ＜12C ．x ≥12D ．x 取任意实数【练习4.9】如果m 为整数，那么使分式12+m 的值为整数的m 的值有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习4.10】若x 是整数，则使分式1228-+x x 的值为整数的x 值有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【练习4.11】若31=+x x，则=++1242x x x ． 【练习4.12】若x 31=+x x ，则12++x x x的值是 ． 【练习4.13】若211=+n m ，则分式nm mnn m ---+255的值为 ．【练习4.14】若c b a 432==，且0≠abc ，则bc ba 2-+的值是 ．【练习4.15】已知：0142=-+x x ，则1242++x x x 的值为 ．【练习4.16】已知572z y x ==，则代数式zx zy x +-+32的值是 ． 【练习4.17】若代数式112++x x 的值为整数，则满足条件的整数x 为 ．【练习4.18】分式3322-++x x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ．【练习4.19】已知x 为整数，且分式1)1(22-+x x 的值为整数，则x 可取的所有值为 ．【练习4.20】已知072=++z y x ，032=--z y x （0≠xyz ），则=+-++zy x zy x ．【练习4.21】若分式326+-x 的值为负数，则x 的取值范围是 ．【练习4.22】若分式2)5(4-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ． 【练习4.23】若分式1222--x x 的值为整数，则整数x ＝ ．【练习4.25】已知32=-yxx y ，则=---22222623x y y xy x ． 【练习4.26】已知2=ba，则ab a b a --222的值 ．【练习4.27】已知023=--z y x ，082=-+z y x ，则=+-+yzxy z y x 222 ． 【练习4.28】阅读下面的解题过程：已知3112=+x x ，求142+x x 的值． 解：由3112=+x x ，知0≠x ，所以312=+x x ，即31=+x x 所以72312)1(11222224=-=•-+=+=+x x x x x x x x 所以142+x x 的值为71说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目：已知：4222=--x x x．求（1）xx 2-的值；（2）46242+-x x x 的值．【练习4.29】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：21123+=． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像21-+x x ，22+x x ，…，这样的分式是假分式；像21-x ，12-x x，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：23123)2(21-+=-+-=-+x x x x x ；24224)2)(2(22++-=++-+=+x x x x x x x ． 解决下列问题： （1）将分式32+-x x 化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） （2）如果分式322++x xx 的值为整数，求x 的整数值．【练习4.30】已知：代数式14-m ． （1）当m 为何值时，式子有意义？ （2）当m 为何值时，该式的值大于零？ （3）当m 为何整数时，该式的值为正整数？ 题型五：分式的基本性质 【练习5.1】若分式yx yx 232-的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．缩小到原分式值的101 C ．缩小到原分式值的1001D ．缩小到原分式值的10001【练习5.2】如果分式ba a +2中的a ，b 都同时扩大2倍，那么该分式的值（ ）A ．不变B ．缩小2倍C ．扩大2倍D ．扩大4倍【练习5.3】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A ．322322323.02.0a a aa a a a a --=--B ．yx x y x x --=-+-11C ．263631211+-=+-a a a aD ．b a ba ab -=+-22 【练习5.4】根据分式的基本性质，分式ba a--可变形为（ ） A ．ba a--B ．ba a + C ．ba a--D ．ba a +-【练习5.5】分式x-22可变形为（ ） A ．x +22 B ．x +-22 C ．22-x D ．22--x【练习5.6】如果把分式abba 623-中的a 、b 同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值（ ）A ．不变B ．缩小到原来的21C ．扩大为原来的2倍D ．扩大为原来的4倍【练习5.7】如果把分式xyyx +中的x ，y 同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的21 D ．缩小为原来的41 【练习5.8】如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍【练习5.9】下列变形从左到右一定正确的是（ ）A ．22--=b a b aB ．bcac b a =C ．22ba b a =D ．ba bx ax = 【练习5.10】如果把分式nm n-3中的m 和n 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大3倍C ．缩小3倍D ．扩大9倍【练习5.11】化简3422222++••-n nn ，得（ ）A ．8121-+n B ．12+-nC ．87D ．47 【练习5.12】若分式ba a+2中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的101 D ．不变【练习5.13】如果把分式yx x232-中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大2倍【练习5.15】下列各式中，正确的是（ ） A ．212+=+a b a b B ．22++=a b a b C ．cb ac b a +-=+- D ．22)2(422--=-+a a a a 【练习5.16】把分式xyyx 33-中的x 、y 的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的一半【练习5.17】若c b a 543==，则分式=+++-222c b a ac bc ab ． 【练习5.18】已知432zy x ==，则=+--+z y x z y x 232 ． 【练习5.19】如果分式22532y x x+的值为9，把式中的x ，y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．【练习5.22】我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：121121112111-+=-+--=-+-=-+x x x x x x x x ． （1）请写出分式的基本性质 ； （2）下列分式中，属于真分式的是 ；A .12-x xB .11+-x xC ．123--x D .1122-+x x （3）将假分式132++m m ，化成整式和真分式的形式．【练习5.23】（1）yxy x 3532=（） （2）（）x x x -=--121。
九年级数学上人教版《 分式的基本性质》课堂笔记
《分式的基本性质》课堂笔记
一、分式的定义
分式是两个整式相除的商式，其中分子和分母都是整式，且分母中至少含有一个字母。
二、分式的基本性质
分式的基本性质是分式约分和通分的依据，也是解决分式问题的前提和基础。
分式的基本性质可以表述为：如果分式的分子和分母同时乘以（或除以）同
一个不等于零的整式，那么分式的值不变。
用式子表示为：（c≠0）
三、分式的约分
分式的约分是为了简化分式的形式，将分子和分母中的公因式约去的一种变形方法。
在进行分式的运算时，通常需要对分子和分母进行约分，使运算更加简便和准确。
四、分式的通分
通分是将几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程。
在进行分式的运算时，通常需要对不同分母的分式进行通分，使运算更加简便和准确。
五、注意点
1.分式的约分和通分都是针对分式的基本性质而言的，其目的是为了简化分
式的形式，使运算更加简便和准确。
2.在进行分式的约分和通分时，要注意分子和分母的公因式和最简公分母的
选择，以及运算的准确性和规范性。
3.分式的约分和通分是解决分式问题的基本技巧和方法，需要在平时的学习
中多加练习和巩固。
《分式的基本性质及约分》教案与反思
一、教案内容1.1 教学目标（1）让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）培养学生运用分式解决实际问题的能力。
（1）提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
1.2 教学重难点（1）分式的基本性质。
（1）分式的约分方法。
1.3 教学准备（1）教师准备PPT，包括分式的基本性质及约分的例题和练习题。
（1）学生准备笔记本，用于记录知识点和做练习题。
1.4 教学过程（1）导入：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
（1）新课讲解：讲解分式的基本性质，如分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
讲解分式的约分方法，如先找到分子分母的公因式，进行约分。
（1）课堂练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导。
（1）总结：对本节课的内容进行总结，强调分式的基本性质和约分方法。
二、教学反思2.1 教学效果（1）学生能理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）学生能运用分式解决实际问题。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力得到提高。
2.2 教学改进（1）在讲解分式的基本性质时，可以多用生活中的例子进行解释，让学生更容易理解。
（1）在课堂练习环节，可以增加一些难度较高的练习题，提高学生的解题能力。
（1）在总结环节，可以让学生分享他们解决问题的过程，促进学生之间的交流。
三、教学评价3.1 学生评价（1）学生对分式的基本性质和约分方法的掌握程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的能力。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力的提升。
3.2 教师评价（1）教师对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、理解力和表达能力。
（1）教师对学生的作业完成情况进行评价，包括正确率和解题思路。
（1）教师对学生的团队协作能力进行评价，包括沟通协作和解决问题能力。
四、教学反馈4.1 学生反馈（1）学生对分式的基本性质和约分方法的理解程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的困难程度。
（1）学生对课堂练习题的满意度。
浙教版七年级数学下册知识点汇总-精品
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）1.平行线1.1.平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如图所示：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.4.平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等)两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5.图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：（1）图形平移不改变图形的形状和大小。
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的因素。
平移图形的画法：（1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点）（2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点（3）按原图将各对应点顺次连接2.二元一次方程组2.1.二元一次方程像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
分式的基本性质ppt课件
【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】 分式的约分的一般方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公 因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的 最低次幂的乘积； （2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因 式并约去.
初二数学下册知识点总结分式的基本性质
初二数学下册知识点总结分式的基本性质在日复一日的学习中，看到知识点，都是先收藏再说吧！知识点就是学习的重点。
想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺整理的初二数学下册知识点总结分式的基本性质，仅供参考，欢迎大家阅读。
尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由为您提供的八年级下册数学知识点分式的基本性质，希望给您带来启发!1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
单项式整式多项项分式AAMAM用式子表示为：B=BM=BM，其中M(M≠0)为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的`整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。
以上就是为大家整理的八年级下册数学知识点：分式的基本性质，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!【初二数学下册知识点总结分式的基本性质】。
浙江省浦江县第四中学七年级数学下册 5.2 分式的基本性质课件 (新版)浙教版
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
a 1 2b 3x 2 2y x 3 2a
2
做一做
1.不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母中各项的系数都化为整数：
（1）
1 x y 3 ; 1 x y 2
（2）
0.2a 0.5b 0.7a b
做一做
x 4 ( x 2)( x 3)
2
2 3
10 与 15
16 8 ； 与 42 21
是否相等?依据是什么?
分数的基本性质
分数的分子与分母都乘以或除以 同一个不等于零的数，分数的值 不变。
x 1 你认为分式 与 相等吗? 2x 2 b ab 与 2 呢? a a
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
为什么所乘的整式不能为零呢?
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
A AM B BM
A AM B B M
(其中M是不等于零的整式)
动脑筋
想一想
下列等式成立吗?为什么？
分式的符号法则：
a a ; b b
a a a b b b
随堂练习
随堂练习
P119 1.2.3
接纠错练习
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？
作业
P171
1.2.3.4.（必做） 5.6.（选做）
2.不改变分式的值，把下列分式的分子 与分母的最高次项的系数都化为正数：
（1）
2x 1 ; x 1
（2）
5.2分式的基本性质(2)
5.2分式的基本性质(2)课型：新授课 主备人：郏凌琳 审核人：翁琪峰班级： 姓名：【学习目标】1.运用整体思想代入分式化简求值.2.根据分式的基本性质,利用约分进行多项式的除法.3.通过观察式子的特点,让学生体会整体思想的作用. 【学习重难点】重点：利用约分进行多项式的除法运算。
难点：运用整体思想代入分式化简求值。
【学习过程】 一、复习回顾： 1.分式的基本性质.2.如何不改变分式的值,把分式的分子和分母中各项的系数都化为整数?3. 如何不改变分式的值,把分式的分子和分母的最高次项的系数都化为正数?4.分式的约分. 二、新课学习1.运用整体思想代入分式化简求值例1 已知2x-5y=0，求分式 的值。
反思：你还有其他解法吗？例2 已知 ，求 的值。
【操作流程】： 课前先独学，完成知识准备。
课堂对学、群学完成学习过程。
【预设点拨】： 1、本节内容是对分式的基本性质的进一步运用，前提是熟练掌握分式的基本性质。
对于多项式除以多项式是把它转化为分式，然后通过约分化简得结果。
2、整体代入时，若分式的分子、分母中有乘方等运算，要把这个整体添上括号再进行计算。
222254564y x y xy x ++-21=-x x 221xx +2.利用约分进行多项式除法16÷4= ______； 2÷10= _____；_______； _____________.学法指导：多项式的除法：把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商。
例3 计算（1） )32()23(22b a b a ab -÷-（2）)94()9124(223223b a ab b a b a -÷+-（3）)44()168(224++÷+-a a a a反思：你能归纳总结多项式除法的步骤吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
《分式的基本性质》PPT课件
范围是（ ）
【解析】选D.使分式 x有意义的条件是：2x-1≠0,
2x 1
解得 x 1 2
3.（淮安·中考）当x=
时,分式 1 无意义．
x3
【解析】当x=3时，分式的分母为0，分式无意义.
答案：3
（2）
x2 3x 1 x2 3x 1
.
2 x2
x2 2
【跟踪训练】
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解析:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.分式的概念： 形如 A (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的
B 式子，叫做分式.
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不）若分式 1 有意义，则实数x的取值范围 x5
是_______．
解析：由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－ 5≠0，解得x≠5． 答案： x≠5．
2.（东阳·中考）使分式 x 有意义，则x的取值
n
180
,
b ax
.
它们有什么共同特征？类似分数 ,分母中都有字母.
它们与整式有什么不同？ 整式的分母中不含有字母.
2.什么叫分式? 且B中如含果有把字除母法时算，式我A÷们B把写代成数AB式的形AB 叫式做，分其式中，A、其B中都A是叫整做式分,
式的分子，B叫做分式的分母.
【例 题】
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点【—
初中第二天
数学分式的性质知识要领】在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。
分数的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式
的值不变。
用式子表示为：a/b=(a*c)/(b*c)，a/b=(a÷c)/(b÷c)(a,b,c为整式，且b、
c≠0)。
2.分数缩减：一个分数的分子和分母的公因式的缩减。
这种变形称为分数缩减。
分数
约化的关键是确定分数中分子和分母的公因子。
3.分式的约分步骤：
（1）如果一个分数的分子和分母都是单个项或多个因子的乘积，则减少它们的公因子。
(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式提取方法：系数取分子和分母系数的最大公因式，字母取分子和分母共用
的字母，索引取公因式的最小索引，这是它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.一般分数：将几个不同的分母分数转换成与原始分数相同的分母分数，称为分数的
一般分数。
6.分式的通分步骤：
首先找到所有分数的最简公分母，然后将所有分数的分母转换为最简公分母。
同时，
每个分数根据分母展开的倍数展开其分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数是每个因子系数的最小公倍数、同一字母的最高幂和单个字母的幂的乘积。
分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。
分式的基本性质
1认识分式（2）
教学目标：
1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；
2.了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式.
3.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.
教学过程：
一.情景导入，初步认知
1.分数的基本性质是什么？
2.3/6=1/2的依据是什么？
二.思考探究，获取新知
探究1：分式的基本性质.你认为分式3a/6a与1/2相等吗？m2/mn与n/m呢？
【归纳结论】
分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值
不变.用字母表示为：
探究2：最简分式.化简下列分式：
子.分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师要适当引导.
【归纳结论】
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．
三.运用新知，深化理解
1.下列各式正确的是（）
答案：C
2.填空：
答案：6a2，a-2.
3.下列运算错误的是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：B
5.若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）
A.扩大3倍
B.不变
C.缩小3倍
D.缩小6倍
答案：C
四.师生互动,课堂小结
这节课你有哪些收获？
课后作业：
布置作业:教材“习题5.2”中第1、2题.
教学反思：。
春七年级数学下册5.2分式的基本性质同步练习(新版)浙教版【含解析】
18. 通分： 4a 3c 5b (1) 2 ， ， ； 5b c 10a2 b −2ac2 x x−1 (2) 2 ， 2 ； x −4 (x + 2) 1 2 2x + 5 (3) ， ， 2 ； 2x + 3 3 − 2x 4x − 9 b 1 (4) a − b， ， 2 ． a−b a − b2 19. 通分： 1 2 x (1) 2 ， 2 ， ； x − 3x x −9 9 − 3x 1 1 1 (2) ， ， ． (a − b) (b − c) (c − b) (a − c) (c − a) (b − a) 20. 我们知道，假分数可以化为带分数．例如： 2 2 8 = 2+ = 2 ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子 3 3 3 的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为” 假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为” 真分 2 x−1 x 3 2x 式”．例如： ， 这样的分式就是假分式； ， 2 这样的分式就是真分式．类似的，假分式 x+1 x−1 x+1 x +1 也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式） ． (x + 1) − 2 (x + 1) (x − 1) + 1 x−1 2 x2 x2 − 1 + 1 1 例如： = =1− ； = = =x+1+ ． x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 化为带分式； (1) 将分式 x+2 2x − 1 (2) 若分式 的值为整数，求 x 的整数值； x+1
5.2 分式的基本性质 一、选择题 2x − 1 2M 1. 当 = 时，M 代表的代数式是( ) xy 3 x2 y 3 3 2 A. 3x2 y 2 (2x − 1) B. xy 2 (2x − 1) C. xy 2 (2x − 1) 2 3 1 1 1 ， 2 ， 2 的最简公分母是( ) 2. 分式 2 a − 2a + 1 a −1 a + 2a + 1 A. a4 + 2a2 + 1 B. (a2 − 1) (a2 + 1) C. a4 − 2a2 + 1 a2 − ab + b2 a = 2 ，则 =( ) 3. 如果 b a2 + b2 4 3 A. B. 1 C. 5 5 4. 下列等式成立的是 ( −a + b a+b A. = −b − c b−c ) B.
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念形如\（＼frac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母，＼（B≠0\））的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），＼（＼frac{m 1}｛m^2 ＋ 1}＼）等都是分式。
需要注意的是：1、分式的分母中必须含有字母。
2、分母的值不能为零，否则分式无意义。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x}｛y}＼），当\（y≠0\）时，分式有意义。
对于分式\（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），当\（x ＋2≠0\），即\（x≠ 2\）时，分式有意义。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：1、分子为零。
2、分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x 1}｛x ＋ 1}＼），当\（x 1 ＝ 0\）且\（x ＋1≠0\）时，分式的值为零。
解得\（x ＝ 1\）。
四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\（0\）的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C≠0\））例如：＼（＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x×2}｛y×2} ＝＼frac{2x}｛2y}＼）五、约分约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
找公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式\（＼frac{6xy}｛9x^2}＼）进行约分。
先确定系数的最大公因数为\（3\），字母\（x\）的最低次幂为\（1\），＼（y\）的最低次幂为\（1\）。
分式的概念与基本性质
分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开．分式有意义的条件两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】 在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【考点】分式的基本概念【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母，由此可知1t,2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，323a a a +为分式．(2)x x +，5a ,2m ，3x-为整式．【答案】1t，1x -，24x x +,21321x x x +--,3a 为分式(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．【例2】 代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ）A.1个B.1个 C 。
5.2分式的基本性质2公开课教案教学设计课件案例试卷
七年级下册
5.2 分式的基本性质(2)
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零 的整式，分式的值不变．
A AM , A AM B BM B BM
(M 是不等于0的整式)
运用1：符号法则
a a b b
a a a b b b
1.不改变分式的值，使分式的分子与分母都 不含“－”号.
例 计算 （1）(4x2－9)÷(3－2x)
（2）(9a2+6ab+b2)÷(9a2b－b3)
步骤： 1.把两个多项式相除表示成分式形式 2.把分子分母分别进行因式分解 3.约分，用最简分式或整式表示所求的商。
练一练
计算: (1)(3ab2－2a2b )÷(2a－3b).
(2)(4a3b－12a2b＋9ab3)÷(4a2－9b2).
1a 1b
1.先化简，在求值：
6 1 a2
2 3b2
,
3
其中 a 1 ,b 1
3
3
运用4：求值
例2 已知x－3y＝0,求分式 x2 3xy y2 的值. x2 y2
1 5 40 39
3.已知:4x－5y＝0,求分式4xy y2 x2 2xy
的值.
32 5
6
运用5：多项式相除
(3)(a4－8a2＋16)÷(a2＋4a＋4).
4. 如图,圆环与长方形的面积相等,求长方 形的宽.
本课学了哪些数学知识和思想？
1.分式的基本性质的应用： （1）求值 （2）多项式相除 2.等量替换和整体代换思想
要能对已知关系进行适当变形或因式分解.
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例2 已知x－3y＝0, 求分式
x2
3xy x2 y2
y2
的值.Leabharlann 等量替换1.已知3x
4
y
0,
求分式
x2 2xy 3x2 y2
的值
2. 已知a b 2ab,求 2a ab 2b 的值 a 3ab b
分式有意义
1, 2x
a, 2ax
x y 2x(x y)
这几个分式的值相等吗？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于零的
，分式的值不变.
用 公 式 表 示 为:
A AM , A AM . B BM B BM (其 中M是 不 等 于 零 的 整 式)
x y
下列各式中与
已知 1 1 3 ，求分式 2a 3ab 2b 的值。
ab
a ab b
1.分式基本性质的应用 （1）多项式相除 （2）求值
2.等量替换、整体代换的数学思想方法
1. 如图,圆环与长方形的面积相等,求长方形的宽.
1. 如果 x 1 2, 求 x2 的值
x
x4 x2 1
2.已知 x 1 2 ，求 x2 1 的值
x
x2
你能求 x4 x4的值吗？
相等的是:（ ）
x y
(x y) 5
A、
(x y) 5
2x y B、2x y
(x y)2 C、 x2 y 2
x2 y2
D、
x
2
y2
(1)
5 20
xy x2
y
(2)
a2 ab
ab b2
例1：（1） 4x2 9 3 2x
（2） 9a2 6ab b2 9a2b b3