《概率论与数理统计》习题及答案第四章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 四 章

1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为

其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X =======

余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故

1~(3,

).2X B 331

()(),0,1,2,32

k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为

01013818i p ⋅

其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======，

13

313(1,1)(1)(1|1)()128

P X Y P X P Y X C =======⨯=，

余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为

又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1

3

21

{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈

=

--⎰

=32

1

(6)8

x x y dxdy --- =

)落在圆222

()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）222

23

20

1(R x y R C

R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰

⎰

33

3233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣

⎦， ∴3

3

C R π=.

（2）设2

2

2

{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为

322

3

23232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤

=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 求X 和Y 的联合分布函数.

解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。 解(,)X Y 的概率密度为 关于X 和Y 的密度为

1||,||1,

0,.

y y -<⎧=⎨

⎩其他 7．设(,)X Y 的概率密度为 求边缘密度和概率(1)P X Y +≤

解

11

2

12e e --=-+.

8．一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为： （1）问,X Y 是否独立？为什么？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解（1）先求边缘分布函数：

因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，所以,X Y 独立.

（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤

0.050.050.1e e e ---=⋅=.

9．设(,)X Y 的概率密度为 间,X Y 是否独立？ 解边缘密度为

因为(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以,X Y 独立. 10．设(,)X Y 的概率密度为

8,01,(,)0,.

xy x y f x y ≤<<⎧=⎨⎩其他

问,X Y 是否独立. 解边缘密度

因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立。 11．设(,)X Y 的概率密度为

试证明X 与Y 不独立，但2

X 与2

Y 是相互独立的。 证先求,X Y 的联合分布函数(,)F x y 关于X 的边缘分布函数为

关于Y 的边缘分布函数为

因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠⋅，所以,X Y 不独立.

再证2

X 与2

Y 独立：设2

2

,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ，则 关于2

2()X Y 的边缘分布函数分别为

因为221(,)()()X Y F z t F z F t =⋅，所以2

X 与2

Y 独立.

证2利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设2

2

,Z X T Y ==. 函数2z x

=的反函数

为212x x t y =

==的反函数

为

12y y ==

11

1111

,

,

x x z t

J y y z t

∂∂∂∂==

=

∂∂∂∂

，22111221,J J J J ===；

于是2

2

(,)X Y 的概率密度函数为 关于2

X 的边缘密度为

关于2

Y

的边缘密度为201,()0,.Y t f t <<=⎩

其他

因为221(,)()()X Y f z t f z f t =⋅，所以2

2

,X Y 独立.

12．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.

解设(,)1,2,1,2,3.i j ij

P X x Y y p i j =====