几个典型随机过程的模拟及应用

1. 随机面积的计算(Cont)
在上述假定下，问题的意义就确定了，但要用传统的 数学方法来求解，即使不是不可能的，也是极为困难 的。 用随机模拟的方法来解决这个问题；基本思想是在计 算机上模拟每根筷子的“随机倒下”。 具体步骤： 1.确定m根“筷子”的底端的位置，可先假定每格边长为 h。 2.对底端确定的“筷子”确定其落下后，顶端的位置。
3.单服务台排队系统的模拟

顾客到达
排队等待
接受服务
顾客离开

各种随机服务系统具有下面三个部分： 1.输入过程：即顾客按照某种统计规律到达， 准备接受服务； 2.排队规则：即到达的顾客按照一定的次序接 受服务； 3.服务机构：即同一时刻有多少设备可以接纳 顾客，每一设备可接受多少顾客以及每位顾客 接受多长时间的服务； 现考虑单服务台排队系统：只有一个服务员， 计算顾客到达后的平均等待时间。
3.单服务台排队系统的模拟



Step1：调查并收集核和处理所得数据：如记录每个顾客 的到达时刻、等待时间及服务时间等，估计出这些随机 因素的统计规律性，例如顾客到达的时间间隔服从指数 分布（均值为 10 分钟）；每个顾客的服务时间服从区间 [10, 15]上的均匀分布。 Step2：构造模拟模型。 注：本模型中有两个输入因素 —— 顾客的到达间隔时间 和服务时间；排队规则为先到先服务；服务机构只有一 个。 Step3：模拟试验： 本模型包含时间因素，也称之为动态模型。仅考虑服务 系统在8小时工作时间内的运行情况。并给出记录模拟时 间当前值的变量——模拟时钟及模拟时间的推进原则
i 1 n
若考虑吸收壁，设左吸收壁距出发点a步远，右吸收壁 距出发点b步远，则当Sn b或Sn a时，此质点被吸收
2. 随机游动（二维）

二维（格子点）随机游动 平面上，质点从某点 O 向左，向右，向上，向下，移 4 动一步的概率分别为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 pi 1 i 1 并带有吸收壁
2. 随机游动（一维）


一维随机游动 一质点从直线上的某一点出发，每次以概率 p 左移一 步，以概率 q ＝ 1 － p 右移一步。直到碰到某边界点而 停止游动，这样的边界点称为吸收壁。 模拟方法如下：
－2
―1
0
1
2
3
2. 随机游动(Cont)
1.取[0,1]均匀分布上的随机数 ,若 <p,则取r1 =-1; 表示质心左移1步，否则r1 =1,表示质心右移1步； 2.依次取随机数 ,分别与p比较得到每次的随机 游动ri 3.令Sn ri , 则Sn 表示经n步后质心离开出发点的步数。

1. 随机面积的计算(Cont)
由 ~U[0,2 ]，假定底端位置为(x1 , y1 ), 筷子长度为l , 则顶端在 1 x1 cos 随机倒下后的位置(u1 , v1 )满足 1 y1 sin 这样，除了原来的m个底端外，又产生了m个顶端，共 2m个点，坐标(si , ti ),1 i 2m. 问题变成：决定上面2m个点所张成的凸边形的面积即为所求。
Y
P2 P1 P0
0
X
1. 随机面积的计算(Cont)
算法如下： 1.决定最左边的点P0； 2.求P 1，使得 P 0P 1与Y 轴的夹角最小； 3.求P2，使得 P 1P 2与 P 0P 1的夹角最小;求P 3 ,使得 P2 P3与P 1P 2的夹角最小； 直到Pk 与P0重合为止。在此过程中逐步求出P0 P 1P 2， P0 P2 P3 ...的面积，将其相加，即可得到这2m个点所 张成的凸边形的面积。 重复n次，可以得到这随机面积的统计规律。
2. 随机游动(Cont)
模拟方法： 产生随机数 ~ U [0，， 1] 若0 p1 , 左移一步； 若p1 p1 p2 , 右移一步； 若p1 p2 p1 p2 p3 , 上移一步； 若p1 p2 p3 p1 p2 p3 p4 1, 下移一步； 同样根据吸收壁位置，计算质点每次移动后的位置， 如果到达过吸收壁，则被吸收。
3.单服务台排队系统的模拟
xi 第i个顾客到达的时刻( x0 0); ti xi xi 1 第i 1个顾客到第i个顾客的到达时间间隔； si 第i个顾客接受服务的时间； Di 第i个顾客的排队等候时间； Ci xi Si Di 第i个顾客接受服务后离开的时刻。 模拟时钟从T = 0开始，产生指数分布E(10)的随机 数，比如：10,13,8,11,7,15,...即T 10分时，第一 个顾客到达，因没有人排队，马上接受服务，其等 时间D1 = 0分；服务时间S ~ U [10,15], 产生此分布的 随机数比如为:11,13,14,12,...；即第一个顾客接 受服务时间为11分，计算得C = (10 11 0 ) 21分
几个典型随机过程的模拟及应用
Outline
1百度文库 2. 3. 随机面积的计算 随机游动 单服务台排队服务系统
Y
1. 随机面积的计算
○
X
某实际问题（譬如大楼的倒塌）可抽象为：试将一把 筷子先垂直放置于桌子上；放手后，筷子纷纷倒下， 求这些筷子倒下后所张成的面积的分布。 为解题的方便，先做如下几个假设： ①将筷子垂直放置于图中的格子点上。 ②所谓“随机倒下”是指筷子的底端不动，而顶端落下 后，筷子与X轴的夹角～U[0，2π]。 ③假设各筷子是相对独立地随机倒下，而这些筷子所张 成的面积是指包含这些筷子端点的最小凸多边形的面 积。
即第1个顾客在开门后21分离开(即T=21分离开)。第2个 顾客是T=23分=(10+13)分到达的，由于第一个顾客已被 服务完毕离开了，因此也不必等待,D2 =0分，服务时间 S2 13分，所以第2个顾客于C2 (23 13 0) 36分离开。 第3个顾客到达时间是X 3 31分 （ 10 13 8）分，由于 T 31分的时候，第2个顾客正在接受服务，鼓第3个顾 客先要排队，等待时间D3 (36 31) 5分。第2位离开 后第3位接受服务，服务时间S3 14分，第3位离开时刻 C3 (31 14 5) 50分；第4位到达时刻X 4 42分 (10 13 8 11）分；其等待时间D4 (50 42) 8分， 服务时间为S4 12分，离开时刻C4 62分 （42 12 8）分，....,模拟实验的部分结果见下表：