高中数学-以二项分布为命题背景的概率问题练习及答案
【高考数学三轮复习冲刺模型通关训练】二项分布为背景的概率模型的解析思路(原卷版)(新高考专用)
二项分布为背景的概率模型的解析思路第一步：根据题意设出随机变量.第二步：分析随机变量服从二项分布.第三步：找到参数n，p.第四步：写出二项分布的概率表达式.第五步：求解相关概率.【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．【典例】（2022·陕西高三模拟）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X的分布列及()E X．二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).1．【与五育并举融合】2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是15，若未成功，仍有14的概率获得B档门票的模拟训练方法总结机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为1，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一2张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．.2．【与频率分布直方图融合】为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为X，求X的分布列与数学期望.3．【决策问题】某学校在50年校庆到来之际，举行了一次趣味运动项目比赛，比赛由传统运动项目和新增运动项目组成，每位参赛运动员共需要完成3个运动项目．对于每一个传统运动项目，若没有完成，得0分，若完成了，得30分．对于新增运动项目，若没有完成，得0分，若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分．最后得分越多者，获得的资金越多．现有两种参赛的方案供运动员选择．方案一：只参加3个传统运动项目．方案二：先参加1个传统运动项目，再参加2个新增运动项目．已知甲、乙两位运动员能完成每个传()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++）6．【结构不良问题】甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为12.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的分布列；(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）7．【与条形图融合】第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X ，求X的分布列（频率当作概率使用）．8．【与分层抽样融合】今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员25,50内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为中随机选取了年龄（单位：岁）在[]样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：年龄（单位：岁）频数[)25,3030[)30,3520[)35,4025[)40,4515[]45,5010(1)求频率分布直方图中a的值：25,35内的女医务人员中抽取8人，从年龄在(2)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在[)[)25,35内的男医务人员中抽取5人．记这13人中年龄在[)30,35内的医务人员有m人，再从这m人中随机抽取2人，求这2人是异性的概率：40,50内的男医务人员中随机抽取(3)将上述样本频率视为概率，从所有驰援上海的年龄在[]45,50内的人数，求X的数学期望及方差．8人，用X表示抽到年龄在[]9．【与对立事件融合】已知某机床的控制芯片由()n n *∈N 个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p ，且每个单元正常工作与否相互独立.（1）若14,3n p ==，求至少有3个单元正常工作的概率； （2）若12p =，并且n 个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为()P n .①求()7P 的值；②若()12P n =，求n 的值.10．【与折线图融合】2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率。
【必刷题】2024高二数学下册概率分布应用专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学下册概率分布应用专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知随机变量X服从二项分布，若P(X=1)=0.2，P(X=0)=0.8，则X的数学期望E(X)等于（）A. 0.2B. 0.8C. 1D. 22. 在一次试验中，事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，且A、B相互独立，则P(A∩B)等于（）A. 0.12B. 0.24C. 0.3D. 0.43. 投掷一枚均匀的骰子，设X为出现的点数，Y为出现的点数平方，则D(X)与D(Y)的关系是（）A. D(X) = D(Y)B. D(X) > D(Y)C. D(X) < D(Y)D. 无法确定4. 已知随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ^2)，且μ=60，σ=10，则P(50<ξ<70)等于（）A. 0.6826B. 0.3174C. 0.4772D. 0.34135. 某班有50名学生，其中有30名喜欢打篮球，20名喜欢打乒乓球，10名既喜欢打篮球又喜欢打乒乓球，则至少喜欢一项运动的学生人数为（）A. 40B. 45C. 50D. 556. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.87. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.3，X=2的概率为0.5，X=3的概率为0.2，则E(X^2)等于（）A. 1.9B. 2.1C. 2.3D. 2.58. 在一次抽奖活动中，设中奖的概率为0.1，不中奖的概率为0.9，某人连续抽奖3次，恰好中奖2次的概率是（）A. 0.027B. 0.0729C. 0.243D. 0.29169. 已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=2)等于（）A. F(2) F(1)B. F(2) F(2)C. F(2+) F(2)D. F(2+) F(1)10. 一批产品中有10%的次品，随机抽取10件产品，恰好有2件次品的概率是（）A. 0.1937B. 0.3874C. 0.341D. 0.0678二、判断题：1. 随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)都是其分布的特征数。
高中数学二项分布例题
高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。
若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。
解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。
根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。
恰好8件合格的概率约为19.37%。
例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。
若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。
解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。
P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
专题14 二项分布(解析版)
专题14 二项分布例1．已知随机变量1~(4,)3X B ，那么随机变量X 的均值()(E X = )A ．89B ．43C ．2D ．83【解析】解：随机变量1~(4,)3X B ，14()433E X ∴=⨯=．故选：B ．例2．设随机变量Y 满足1~(4,)2Y B ，则函数2()44f x x x Y =-+无零点的概率是( )A ．1116B ．516C ．3132D ．12【解析】解：因为函数2()44f x x x Y =-+无零点， 所以△2(4)4140Y =--⨯⨯<， 所以1Y >，所以2223344044411111111(1)(2)(3)(4)()()()()()()22222216P Y P Y P Y P Y C C C >==+=+==++=．故选：A ．例3．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，那么()(E Z =)A ．11(1)p p --B ．21p C ．11(1)p p +-D ．21(1)p -【解析】解：11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2k ==，3，⋯，1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，⋯，可得1()E Y p=． 1()(1)k P Y k p p -∴==-，2k =，3，⋯，1()E Y p p=-．那么2211()2(1)2(1)3(1)3(1)(1)(1)k k E Z p p p p p p p p kp p k p p --=-+-+-+-+⋯⋯+-+-+⋯ 2112(1)3(1)(1)k p p p p p k p p p-=-+-+-+⋯⋯+-+⋯． 设2123k k A p p kp -=++⋯⋯+．23123(1)k k k pA p p k p kp -=++⋯⋯+-+． 1231(1)(1)21k k kk k p p p A p p p pkp p kp p---∴-=+++⋯⋯+-=+--．k ∴→+∞时，(1)1k pp A p p-→+-． 11()11(1)p E Z p p p p p p ∴=-++=---． 故选：A ．例4．已知随机变量X ，Y 满足8X Y +=，若~(10,0.6)X B ，则()E Y ，()D Y 分别是( ) A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【解析】解：随机变量X ，Y 满足8X Y +=，~(10,0.6)X B ，()100.66E X ∴=⨯=， ()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=，()(8)8()862E Y E X E X =-=-=-=， ()(8)() 2.4D Y D X D X =-==．故选：B ．例5．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选：A ．例6．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差(D η= )A ．329B ．169 C ．89D ．49【解析】解：23ηξ=+，4D D ηξ∴=，又1284339D ξ==，329D η∴=． 故选：A ．例7．设X 为随机变量，1~(,)3X B n ，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则(2)P X =等于( )A ．80243B ．13243C ．4243D ．1316【解析】解：随机变量X 为随机变量，~X B 1(,)3n ，∴其期望1()23E X np n ===，6n ∴=，22461180(2)()(1)33243P X C ∴==-=． 故选：A ．例8．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【解析】解：由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选：C ．例9．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是( )A ．316 B ．516 C ．716 D ．916【解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C p C == 重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是： 3336115(3)()()2216P X C ===．故选：B ．例10．我国的5G 研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通5G 基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A 和元件B 按如图方式连接而成．已知元件A 至少有一个正常工作，且元件B 正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A 和元件B 正常工作超过10000小时的概率分别为12和45． （Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率；（Ⅱ）某城市5G 基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数．【解析】解：（Ⅰ）元件A 至少有一个正常工作超过10000小时的概率3171()28-=，则该装置正常工作超过10000小时的概率为3147[1()]2510P =-⨯=．（Ⅱ）设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X 台， 则X 服从二项分布7~(1200,)10X B ， ∴这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：7120084010⨯=台． 例11．设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为(p p ，(0,1))q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ． （1）当12p q ==时，求数学期望()E ξ及方差()V ξ； （2）当1p q +=时，将ξ的数学期望()E ξ用p 表示． 【解析】解：（1）每位投球手均独立投球一次，当12p q ==时，每次试验事件发生的概率相等， 1~(3,)2B ξ∴，由二项分布的期望和方差公式得到结果13322E np ξ∴==⨯=，113(1)3(1)224D np p ξ=-=⨯⨯-= （2）ξ的可取值为0，1，2，3． 22(0)(1)(1)P q p pq ξ==--=；21322(1)(1)(1)(1)2P q p q C p p q p q ξ==-+--=+；12232(2)(1)(1)2P qC p p q p pq p ξ==-+-=+；2(3)P qp ξ==．ξ的分布列为23223201(2)2(2)31E pq q p q pq p qp p ξ=⨯+⨯++⨯++⨯=+．例12．某射手每次射击击中目标的概率是45，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率．【解析】解：（1）某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为8821041()()55C ．（2）至少有8次击中目标的概率为8829910101041414()()()()55555C C ++．例13．一个盒子里有2个黑球和m 个白球*(2,)m m N ∈．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中． （Ⅰ）求每次中奖的概率p （用m 表示）； （Ⅱ）若3m =，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为()f p ，当m 为何值时，()f p 取得最大值？ 【解析】解：（Ⅰ）取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率2222222232m m C C m m p C m m ++-+==++； （Ⅱ）若3m =，每次中奖的概率25p =， ∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为1232254(1)55125C -=； （Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为12323()(1)363(01)f p C p p p p p p =-=-+<<， ()3(1)(31)f p p p ∴'=--，()f p ∴在1(0,)3上单调递增，在1(3，1)上单调递减，13p ∴=时，()f p 取得最大值，即2221323m m p m m -+==++ 2m ∴=，即2m =时，()f p 取得最大值．例14．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6:15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为13，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：（1）设学校规定7:20后（含7:20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率； （2）设X 表示该学生上学途中遇到的红灯数，求(2)P X 的值；（3）设Y 表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y 的分布列和数学期望． 【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时， 该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：41121()()33381p =+=． （2）由题意知1~(5,)3X B ，(2)1(0)(1)P X P X P X ∴=-=-=0514552121311()()()333243C C =--=．（3）由题意知0Y =，1，2，3，4，5， 1(0)3P Y ==，212(1)339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ===，3218(3)()3381P Y ===， 42116(4)()33243P Y ===，5232(5)()3243P Y ===， ∴随机变量Y 的分布列：24816324221234592781243243243EY ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例15．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：根据表格，解答下面的问题：（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2133405307259646)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）【解析】解：（Ⅰ）幸福感指数在[4，6)，[6，8)内的频数分别为220180400+=和125175300+=， 因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400100020.2÷÷=，300100020.15÷÷=， 据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01210.015230.2250.15270.12529 6.46⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （Ⅱ）男市民幸福的概率是1251250.5500+=， 女市民幸福的概率是1751250.6500+=， 一对夫妇都幸福的概率是0.50.60.3⨯=，故所求的概率为332503070.1323C =．例16．德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E ξ．【解析】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ， 且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++ 322132213211543324332433212=++=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5~(3,)12B ξ， 0337343(0)()121728P C ξ===， 12357735(1)()()12121728P C ξ===， 22357525(2)()()12121728P C ξ===， 3335125(3)()121728P C ξ===， ξ∴的分布列为：5~(3,)12B ξ， 553124E ξ∴=⨯=． 例17．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是23，乙胜的概率是13，不会出现平局．（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率．【解析】解：（1）甲恰好胜2局的概率2213214()339P C ==； 乙至少胜1局的概率322191()327P =-=；（2）打3局：328()327=；打4局：2232128()33327C ⨯⨯⨯=； 打五局：22242124816()()33334381C ⨯⨯⨯==因此甲获胜的概率为6481例18．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的． （Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．【解析】解：（Ⅰ）设成活沙柳的株数为X ，则0X =，1，2，3，4，且有44()(1)(0,1,2,3,4)k kk P X k C p p k -==-=------------------------------（4分）据题意，每种植3株就有2株成活，∴23p =， ∴株数X 的分布列为X∴的期望值188321680123481812781813EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------------------------------------（7分） （Ⅱ）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x ，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳． 据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳83株，因此，共种植成活的沙柳83x 株．-----------------（10分） 据题意，需8240003x ，解得9000x ．所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害． 例19．袋中装有13个红球和n 个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，若从袋中同时取两个球，取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍． （1）试求n 的值；（2）某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值． 【解析】解：（1）记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件A 和B ， 根据题意，得：213213()n C P A C +=，P （B ）1113213n nC C C +=， 令P （A ）3P =（B ），*k N ∈ 即21113132213133n n nC C C C C ++=， 解得2n =．（2）设中奖人数为η，不中奖人数为21η-，奖金为ξ，则1000100(21)ξηη=+-，即9002100ξη=+，每人中奖的概率为P （B ）11132213226105C C C +==， 26~(21,)105B η∴ 2626211055E η∴=⨯=， 26900210067805E ξ=⨯+=． 故此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值为6780元．例20．为备战2012年伦敦奥运会，两家篮球队分轮次进行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为23和(0)P P >假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”()I 若12p =求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率； ()II 设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为ξ，当2E ξ时，求P 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为1P ，则11222221222221121211()()()33232993P C C C C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．（5分） （Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为2P ，则11222222222221284(1)()33399P C C p p C C p p p =⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯=-，（9分） 2~(6,)B P ξ，262E P ξ∴=即2846()299p p -， 24830p p ∴-+0p >， 102p ∴<．（12分） 例21．已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是12．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为X ，对该项目每投资十万元，X 取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．【解析】解：每次调整中价格下降的概率都是12，由题设得1~(2,),2X B p p =， 则X 的概率分布为故收益1X 的概率分布为12EX ∴=10.08DX =．。
【高中】二项分布经典练习题
【高中】二项分布经典练习题问题1假设一枚硬币有50%的概率正面朝上，50%的概率反面朝上。
现在我们投掷这枚硬币10次，问以下问题：1. 正面朝上的次数是多少？2. 反面朝上的次数是多少？问题2某班级有30名学生，其中有60%的学生是女生。
现在我们从这个班级随机选择5名学生，问以下问题：1. 这5名学生中女生的人数是多少？2. 这5名学生中男生的人数是多少？问题3有一个大，里面装有500个小球。
其中有40%的小球是红色的，60%的小球是蓝色的。
现在我们从这个中随机取出20个小球，问以下问题：1. 这20个小球中红色小球的个数是多少？2. 这20个小球中蓝色小球的个数是多少？问题4假设每个人生日的概率是均等的，每年有365天。
现在考虑一个班级有30个学生，问以下问题：1. 这个班级的学生中，至少有两人生日相同的概率是多少？2. 这个班级的学生中，至少有三人生日相同的概率是多少？问题5某公司的质量控制部门进行产品检验，发现其中10%的产品存在缺陷。
现在他们从一个批次中随机选择了100个产品进行检验，问以下问题：1. 这100个产品中存在缺陷的产品数量是多少？2. 这100个产品中没有缺陷的产品数量是多少？问题6假设一个城市的某种传染病的患病率为5%，一天中有1000人去医院就诊。
问以下问题：1. 这1000个人中患有该传染病的数量是多少？2. 这1000个人中没有患有该传染病的数量是多少？以上是关于二项分布的经典练习题，根据题目情况进行分析和计算，可以应用二项分布的知识解决。
高中数学第二章概率4二项分布课后作业含解析北师大版选修2_3
第二章 概率 4 二项分布[A 组 基础巩固]1．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B (n ，p )，则( ) A ．n ＝5，p ＝0.1 B ．n ＝10，p ＝0.1 C ．n ＝5，p ＝0.9 D ．n ＝10，p ＝0.9解析：n ＝5，p ＝10100＝0.1.答案：A2．已知小王通过英语听力测试的概率是13，若他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：P ＝C 13(13)×(1－13)2＝49. 答案：D3．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为( )A.13B.23C.14D.25 解析：设此射手射击四次命中次数为ξ， ∴ξ～B (4，p )，依题意可知，P (ξ≥1)＝8081.∴1－P (ξ＝0)＝1－C 04(1－p )4＝8081， ∴(1－p )4＝181，p ＝23.答案：B4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的，则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34. 答案：C5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：由1－C 0n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＞0.9， 得⎝⎛⎭⎫12n＜0.1， ∴n ≥4. 答案：C6．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中概率应为C 34×0.93×0.1.答案：①③7．已知随机变量X ～B (3，34)，则X 的分布列为________．解析：P (X ＝0)＝C 03(14)3＝164， P (X ＝1)＝C 13·(34)·(14)2＝964，P (X ＝2)＝C 23·(34)2·(14)＝2764， P (X ＝3)＝(34)3＝2764.答案：8.下列随机变量X 的分布列不属于二项分布的是________．①某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结果为优秀的概率是0.25.假设每人年度考核是相互独立的，X 为考核结果为优秀的人数；②某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后再进加油站加油的概率是0.12，且每辆车是否加油是相互独立的，某天出汽车总站有50辆汽车，X 为进加油站加油的汽车数；③某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；④某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，X 表示下载n 次数据后电脑被病毒感染的次数．解析：命题①：每人考核结果只有“优秀”“不优秀”两个对立结果，且每人考核结果为优秀是相互独立的，并且概率为常数，所以随机变量X 服从二项分布；命题②：每辆车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个结果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，而且相互独立，所以随机变量X 服从二项分布；命题③：在一次又一次射击中，第一次射中是我们关注的事件A ，随机变量X 表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量X 不服从二项分布；命题④：同命题①②，可判断随机变量X 服从二项分布．答案：③9．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解析：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为p ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125. 10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110P ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为[B 组 能力提升]1．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为( )A.45B.34C.23D.12解析：C 12(12)2C 02(1－q )2＋C 22(12)2(1－q 2)＝736， 解得q ＝23.答案：C2．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝{ －1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135 D ．C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 答案：B3．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝716，则P (Y ＝2)＝________. 解析：716＝P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2，即(1－p )2＝916，p ＝14.故P (Y ＝2)＝C 23(14)2(34)1＝964. 答案：9644．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．解析：可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B (5，13)，即有P (X ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 从而X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P322438024380243402431024312435.如图是高尔顿板的改造装置示意图，小球从入口处自由下落，已知在下落过程中，小球遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋的概率P (A )；(2)在入口处依次放入4个小球，设落入A 袋中的小球个数为ξ，求ξ的分布列． 解析：(1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，记“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝(12)4＋(12)4＝18，从而P (A )＝1－P (B )＝78； (2)ξ可能的取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝C 04(78)0·(18)4＝14 096.P (ξ＝1)＝C 14(78)1·(18)3＝71 024； P (ξ＝2)＝C 24(78)2·(18)2＝1472 048； P (ξ＝3)＝C 34(78)3·(18)1＝3431 024； P (ξ＝4)＝C 44(78)4·(18)0＝2 4014 096. 所以ξ的分布列为：。
(完整版)二项分布专题练习
二项分布专题练习1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P (X ＝2)＝( )． A ．316B ．4243C ．13243D ．802432．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ． 21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．A ．0.6k －1×0.4B ．0.24k －1×0.76C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.244．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 191010k n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1119C 1010kn kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．13B ．25C ．56D ．346．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的， 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．2132参考答案1. 答案：D解析：P (X ＝2)＝24201180C 133243⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 答案：C解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.3. 答案：B解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 4. 答案：C解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为110，不是红球的概率为910，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则概率为11119C 1010k n kk n ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭×110＝1119C 1010k n kk n ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 答案：A解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ， 由题意得1－04C p 0(1－p )4＝6581. 所以1－p ＝23，p ＝13.6. 答案：96625解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：22244196C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：0.947 7解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝1365，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， “两人以上生于元旦”的概率为：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0500501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－1491501364C 365365⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36C ·0.43·0.63≈0.28.(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.。
高中数学第二章概率2.4二项分布精练含解析北师大版选修2_3041624.doc
§4 二项分布A组1.任意抛掷三枚质地均匀的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为()A. B. C. D.解析:每枚硬币正面朝上的概率为,所以所求概率为.故选B.答案:B2.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002,流星数量为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为()A.3.32×10-5B.3.32×10-9C.6.64×10-5D.6.64×10-9解析:相当于1个流星独立重复10次,其中落在地面有4次的概率,故所求的概率为(0.002)4(1-0.002)6≈3.32×10-9.故应选B.答案:B3.(2016·济南模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A. B.C. D.解析:因为质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为,故选B. 答案:B4.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次射击时,首次击中目标的概率是0.12×0.9;②他第3次射击时,首次击中目标的概率是×0.9×0.12;③他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;④他恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1.其中正确的是()A.①③B.②④C.①④D.②③解析:在他第3次射击时,才击中,说明前两次都没有击中,故其概率为0.12×0.9,故①正确;击中目标的次数服从二项分布,所以恰好击中目标3次的概率为×0.93×0.1,故④正确,故选C.答案:C5.如果X~B,Y~B,那么当X,Y变化时,下列关于P(X=k)=P(Y=j)(k,j=0,1,2, (20)成立的(k,j)的个数为()A.10B.20C.21D.0解析:根据二项分布的特点可知,(k,j)(k,j=0,1,2,…,20)分别为(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,0),共21个,故选C.答案:C6.(2016·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区,上学路上要经过1个路口.假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,则最多1名同学遇到红灯的概率是.解析:P=.答案:7.某同学进行了2次投篮(假定这两次投篮互不影响),每次投中的概率都为p(p≠0),如果最多投中1次的概率不小于至少投中1次的概率,那么p的取值范围为.解析:(1-p)2+p(1-p)≥p(1-p)+p2,解得0<p≤.答案:0<p≤8.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.解(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.∵A,B,C,D互斥,∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.9.导学号43944037现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列.解依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件A k(k=0,1,2,3,4).则P(A k)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3+A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.所以ξ的分布列是B组1.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A.[0.4,1]B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1)解析:∵P(1)≤P(2),∴·p(1-p)3≤p2(1-p)2,∴4(1-p)≤6p,∴0.4≤p≤1.答案:A2.口袋里放有大小、形状、质地都相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{a n},a n=如果S n为数列{a n}的前n项和,那么S7=3的概率为()A. B.C. D.解析:由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.答案:B3.设随机变量X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A. B. C. D.解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.答案:C4.某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元,则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为.解析:依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{a n},则易知a1=40,a n=10n+30,所以S n=.由S n≥390得n2+7n≥78,所以n≥6.所以若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6场.①若比赛共进行了6场,则前5场比赛的比分必为2∶3,且第6场比赛为领先一场的球队获胜,其概率P(6)=;②若比赛共进行了7场,则前6场胜负为3∶3,其概率P(7)=.所以门票收入不少于390万元的概率P=P(6)+P(7)=.答案:5.设在一次试验中事件A发生的概率为p,在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为P k,则P0+P1+…+P n=.解析:P0+P1+…+P n=(1-p)n p0+(1-p)n-1·p1+…+(1-p)0p n=(1-p+p)n=1.答案:16.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分.求乙队得分X的分布列.解(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A,B,C,则P(A)=, P(B)=,P(C)=.(2)X的可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=P(A)+P(B)=,P(X=1)=P(C)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为7.导学号43944038(2016·内蒙古师范大学附属中学高二练习)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列.解(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率P(X=2)=.(2)设“第i次射击击中目标”为事件A i(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(A3A4A5)=.(3)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ=0)=P()=;P(ξ=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=;P(ξ=2)=P(A1A3)=;P(ξ=3)=P(A1A2)+P(A2A3)=;P(ξ=6)=P(A1A2A3)=.所以ξ的分布列是精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中概率分布函数经典习题及答案
高中概率分布函数经典习题及答案一、二项分布1.某电视综艺节目每期设三道竞猜题，每题有两个选项，已知某观众对其中一题的正确率为60%，现在有一位观众对三道题均参与竞猜，求他正确全部竞猜的概率。
解：设他每道题的正确率为p，则每道题的错误率为1-p，他全部竞猜正确的概率为P(X=3)=[C(3,3)]*0.6^3*0.4^0=21.6% 所以，他全部竞猜正确的概率为21.6%。
2.在某加工厂中，总体不合格率为p，从全体产品中任意抽10件产品，以不合格件数X为随机变量，试求不合格件数X的概率分布、期望值及方差。
解：因为是抽10件产品，所以是一个10次伯努利试验，每一次试验中，产品合格的概率为1-p，不合格概率为p，所以该实验的概率分布可以用二项分布表示。
则不合格件数X的概率分布为P(X=k)=C(10,k)*p^k*(1-p)^(10-k)，其中k取值为0,1,2, (10)其期望值为E(X)=np=10p，方差为D(X)=np(1-p)=10p(1-p)。
二、泊松分布1.某货场在单位时间内平均有6辆货车到达，求：（1）在一个时间段内恰有3辆货车到达的概率。
（2）在一个时间段内不超过4辆货车到达的概率。
解：（1）设单位时间内X辆货车到达的概率服从泊松分布，则X~Poisson(6)，则恰有3辆货车到达的概率为P(X=3)=e^(-6)*6^3/3!=0.0504。
（2）P(X<=4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=e^(-6)*[6^0/0!+6^1/1!+6^2/2!+6^3/3!+6^4/4!]=0.8153。
三、指数分布1.规定20个装配工人在生产线上流水作业，平均每人处理一个产品需要10分钟，且加工时间服从指数分布，求：（1）生产线上平均每分钟加工的产品数量。
（2）任意一个人处理时间小于2分钟的概率。
（3）有3个人处理时间小于2分钟的概率。
解：（1）因为20个装配工人同时流水作业，所以生产线每分钟平均加工的产品数量为20/10=2件。
二项分布答案
4、二项分布答案例1、24380例2、解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3P0.9 0.09 0.009 0.0001说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，5=ξ还有一种算法：即000.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．练习：0.9477例3、解（1）P(X=1)=05820.03200219614≈C C C (2)P(X=1)=()057624.002.0102.02113=-⨯⨯C 当堂检测： 1．A 解析：三处都不停车的概率是P (ABC )＝2560×3560×4560＝35192. 2．B 解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512. 3．C 解析：事件A ，B 中至少有一件发生的概率是1－P (A B )＝1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－16＝712. 4．D 解析：3只灯泡在1 000小时后最多有1只坏了这个事件，也就是3只灯泡中至少有2只灯泡的使用时数在1 000小时以上．相当于3次独立重复试验有2次或3次发生的概率，故P ＝23C ×0.22×(1－0.2)＋33C ×0.23＝0.104.5．A 解析：设A 为“第一次失败”，B 为“第二次成功”，则P (A )＝910，P (B |A )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B |A )＝110. 6.0.008 ()1()10.9920.008P A P A =-=-=7．35 解析：设该队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，解得p ＝35. 8．827解析：前三局中甲获胜2局，第四局甲胜， 则P ＝223222C 1333⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝827. 9．19400解析：停止射击时甲射击了两次，分两种情况：①甲未中、乙未中、甲命中的概率是⎝⎛⎭⎫1－34⎝⎛⎭⎫1－45×34＝380； ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是⎝⎛⎭⎫1－34⎝⎛⎭⎫1－45⎝⎛⎭⎫1－34×45＝1100. 停止射击时甲射击了两次的概率是380＋1100＝19400. 10．解：(1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5.因为事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，所以敌机未被击中的概率为P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)P (A 5)＝(1－0.2)5＝554⎪⎭⎫ ⎝⎛. (2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，由(1)可知敌机被击中的概率为415n⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令415n ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0.9，即45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤110， 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3. ∵n ∈N ＋，∴n ＝11，即至少需要布置11门这样的高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．11．解：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝39＝13. (2)X 的可能取值分别为0,1,2,3.P (X ＝0)＝332C 3⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝827，P(X＝1)＝121312C33⎛⎫⎛⎫⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝49，P(X＝2)＝212312C33⎛⎫⎛⎫⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝29，P(X＝3)＝3331C3⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝127.X的分布列如下：X 012 3P 8274929127。
高二数学二项分布及其应用试题
高二数学二项分布及其应用试题1.设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3）=××=，故选C。
【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，判断X=3表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，是解题的关键。
2.设随机变量的概率分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意得：，所以的值为，故选D。
【考点】本题主要考查概率的计算及分布列的性质，考查考生的计算能力。
点评：思路明确，细心计算。
3. 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k-1个红球，第n次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P=，故选C．【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
点评：本题考查独立重复试验，是一个易错题，解题时注意直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k－1个红球，第n次一定是红球，这个地方容易忽略。
4.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（）A．B．0.24k-1×0.4C．D．【答案】B【解析】∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第K次投中篮球，而乙前k－1次没有投中，根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k-1×0.6k-1×0.4=0.24k-1×0.4；故选B．【考点】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式．点评：是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。
浙江近五年高考数学概率 二项分布等问题真题和答案
2017年浙江8. (2017年浙江)已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1–p i，i=1，2．若0<p1<p2<12，则（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)8. A 【解析】∵E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p1(1-p1)，D(ξ2)=p2(1-p2)，∴D(ξ1)- D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)＜0.故选A．13. (2017年浙江)已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，，则a 4=________，a5=________．13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr 3x r Cm 2·22-m= Cr 3·Cm2·22-m·x r+m，分别取r=0，m=1和r=1，m=0可得a4=4+12=16，取r=m，可得a5=1×22=416. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答16. 660 【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为C4 8×C1 4×C1 3（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4 6×C1 4×C1 3（种）方法，则满足题意的选法有C4 8×C1 4×C1 3- C4 6×C1 4×C1 3=660（种）.2018年浙江7．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小【解答】解：设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是 E （ξ）=0×+1×+2×=p+；方差是D （ξ）=×+×+×=﹣p 2+p+ =﹣+，∴p ∈（0，）时，D （ξ）单调递增； p ∈（，1）时，D （ξ）单调递减； ∴D （ξ）先增大后减小． 故选：D ．【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 14．二项式的展开式的常数项是___________． 解：由=．令=0，得r=2．∴二项式（+）8的展开式的常数项是．故答案为：7．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是 16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法， 从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，81)2x可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数． 故答案为：1260．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4位数中去易错点，是中档题．2019年浙江7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C.()D X 先增大后减小 D.()D X 先减小后增大【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.2020年浙江16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P （ξ＝0）＝；E （ξ）＝ 1 ．【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P （ξ＝0）、P （ξ＝1）和P （ξ＝2），再求E （ξ）的值．解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2； 计算P （ξ＝0）＝+＝；P （ξ＝1）＝+＝；P （ξ＝2）＝+＝；所以E （ξ）＝0×+1×+2×＝1． 故答案为：，1．2017年浙江8. (2017年浙江)已知随机变量ξi 满足P （ξi =1）=p i ，P （ξi =0）=1–p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则（ ）A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)13. (2017年浙江)已知多项式（x+1）3（x+2）2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5，，则a 4=________，a 5=________．16. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答2018年浙江7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小14．二项式的展开式的常数项是___________． 16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)81)2x2019年浙江7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大B. ()D X 减小B. C. ()D X 先增大后减小 D. ()D X 先减小后增大13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______2020年浙江16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P （ξ＝0）＝ ；E （ξ）＝ ．。
二项分布经典例题+练习题
二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k kn k nC p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==kk n k nCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）． （I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.湖北理工学院湖北师范学院99 6507 21 1516171819891258934 60 19. (本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
高考常考基础题10 二项分布(答案版)
高考常考基础题10 二项分布1．（2018全国Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．3【答案】B 【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以10(1) 2.4DX p p =-=，所以0.6p =或0.4p =．由(4)(6)P X P X =<=，得4466641010C (1)C (1)p p p p -<-，即22(1)p p -<，所以0.5p >，所以0.6p =．故选B ．2．（2018浙江理）设01p <<，随机变量ξ的分布列是 ξ0 1 2 P12p - 12 2p 则当p 在(0,1)内增大时，A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小 【答案】D 【解析】由题可得1()2E p ξ=+，所以22111()()422D p p p ξ=-++=--+，所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ先增大后减小．故选D ．3．（2017新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，Χ表示抽到的二等品件数，则DX = ． 【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．4．（2016年四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．【答案】32【解析】实验成功的概率34p =，故3(2,)4X B ，所以33()242E X =⨯=．5．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【解析】试题分析：试题解析：（1）由题意可列分布列：（2） （ⅰ）由题意可得()()110.4a p X αβ==-=-=，()()0120.5b p X αβαβ===-++=，()()110.1c p X αβ===-=此时X 的分布列为：1-1-X (0,1,,8)i p i =i 00p =81p =11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =(1)a P X ==-(0)b P X ==(1)c P X ==0.5α=0.8β=1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =4p 4p故()112111,2,,75210i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，即()1122111,2,,7551010i i i i p p p p i -+-=-=⋅⋅⋅ 化简可得：()()1141,2,,7i i i i p p p p i +--=-=⋅⋅⋅即()1141,2,,7i i i i p p i p p +--==⋅⋅⋅-， 又()112111,2,,75210i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅ 故数列{}()10,1,,7i i p p i +-=⋅⋅⋅为公比为4的等比数列。
高中试卷-专题7.4 二项分布与超几何分布(含答案)
专题7.4 二项分布与超几何分布姓名： 班级：重点二项分布与超几何分布的特征难点二项分布与超几何分布的计算一、超几何分布例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）。
A 、41004901C C -B 、4100390110490010C C C C C ⋅+⋅C 、4100110C CD 、4100390110C C C ⋅【答案】D【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为4100110390C C C ⋅，故选D 。
例1-2．有8名学生，其中有5名男生。
从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为=)(X E （ ）。
A 、2B 、5.2C 、3D 、5.3【答案】B【解析】随机变量X 的所有可能取值为1、2、3、4，141)1(483315=⋅==C C C X P 、73)2(482325=⋅==C C C X P 、73)3(481335=⋅==C C C X P 、141)4(48345=⋅==C C C X P ，X 的分布列为：X1234P1417373141∴2514137337321411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，故选B 。
例1-3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则==)2(X P 。
【答案】103【解析】X 满足超几何分布，∴103)2(4102723=⋅==C C C X P 。
例1-4．一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望 。
【答案】109【解析】由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0、1、2、3，247)0(3103703=⋅==ξC C C P ，4021)1(3102713=⋅==ξC C C P ，407)2(3101723=⋅==ξC C C P ，1201)3(310733=⋅==ξC C C P ，109120134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
二项分布例题
1、一个篮子里有5个红球和3个蓝球，随机摸取3次（每次摸取后放回），摸到红球的次数服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 均匀分布（答案）B2、某品牌手机的故障率为0.05，若随机抽取100部该品牌手机，故障手机数服从什么分布？A. 指数分布B. 二项分布C. 正态分布D. 卡方分布（答案）B3、一枚硬币投掷5次，正面朝上的次数最可能服从什么分布？A. 二项分布B. 正态分布C. 均匀分布D. t分布（答案）A4、某药品的治愈率为70%，若对100名患者使用该药品，被治愈的患者数服从什么分布？A. F分布B. 二项分布C. 幂律分布D. 对数正态分布（答案）B5、一个骰子投掷3次，出现点数大于4的次数服从什么分布？A. 几何分布B. 二项分布C. 超几何分布D. 瑞利分布（答案）B6、某射击运动员的命中率为80%，若他射击10次，命中的次数服从什么分布？A. 韦布尔分布B. 二项分布C. 柯西分布D. 莱维分布（答案）B7、一箱苹果中有80%是好苹果，随机挑选10个苹果，好苹果的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 伽马分布C. 贝塔分布D. 逻辑斯蒂分布（答案）A8、某网站的用户点击广告的概率为0.1，若随机抽取1000名用户，点击广告的用户数服从什么分布？A. 二项分布B. 古斯-贝叶斯分布C. 帕累托分布D. 威布尔分布（答案）A9、一个班级里有40%的学生是女生，随机抽取10名学生，女生的数量服从什么分布？A. 二项分布B. 三角分布C. 梯形分布D. 半正态分布（答案）A10、某产品的合格率为95%，若随机抽取50件产品，合格的产品数服从什么分布？A. 二项分布B. 伯努利分布C. 拉普拉斯分布D. 瑞利分布（答案）A。
二项分布高考试题
二项分布练习题目：1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为2.加工某种零件需经过三道工序.设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1） 求该种零件的合格率；（2） 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
（Ⅰ）解:9877109810P =⨯⨯=； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得:恰好取到一件合格品的概率为 12373()0.1891010C ⋅⋅=， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=- 解法二：恰好取到一件合格品的概率为12373()0.1891010C ⋅⋅=， 至少取到一件合格品的概率为12223333373737()()()0.973.1010101010C C C ⋅⋅+⋅+=3。
9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ)求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
(Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ)解:3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为.041.0)81(87213=⨯⨯C（Ⅲ）解法一:因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(,所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二:3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C4.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-以二项分布为命题背景的概率问题练习
1、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求ξ的期望。
2、如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD
中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为
m
S n
，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；
（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．
附表：1000010000
()0.250.75k
t
t t t P k C
-==
⨯⨯∑
k
2424 2425 2574 2575
()P k
0.0403
0.0423
0.9570
0.9590
解：每个点落入M 中的概率均为14p =
．依题意知1~100004X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，．
（Ⅰ）1
1000025004
EX =⨯
=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫
-<
⨯-< ⎪⎝
⎭
，
0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫
-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭
D C B
A
M
2574
1000010000
24260.250.75t
t t t C
-==
⨯⨯∑
2574
24251000010000110000
100002426
0.250.75
0.250.75t
t t
t
t t t C
C --===
⨯⨯-⨯⨯∑∑
0.95700.04230.9147=-=．
3、 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；
（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
【参考答案】
4、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
5、某射手每次射击击中目标的概率是
2
3
，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛⎫
⎪⎝⎭
.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
22
252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则
123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++
=32323
21121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=8
81
所以ξ的分布列是
6、现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.
16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为2
3.设“这4个
人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫2
34－i .
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24
⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827
. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，
由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19
. 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1
9. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝40
81
，
P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝17
.所以ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P 827 错误!
1781
随机变量ξ的数学期望E ξ＝0×27＋2×81＋4×81＝81.。