高中数学-以二项分布为命题背景的概率问题练习及答案

高中数学-以二项分布为命题背景的概率问题练习

1、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求ξ的期望。

2、如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD

中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为

m

S n

，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；

（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．

附表：1000010000

()0.250.75k

t

t t t P k C

-==

⨯⨯∑

k

2424 2425 2574 2575

()P k

0.0403

0.0423

0.9570

0.9590

解：每个点落入M 中的概率均为14p =

．依题意知1~100004X B ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，．

（Ⅰ）1

1000025004

EX =⨯

=． （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫

-<

⨯-< ⎪⎝

⎭

，

0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫

-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭

D C B

A

M

2574

1000010000

24260.250.75t

t t t C

-==

⨯⨯∑

2574

24251000010000110000

100002426

0.250.75

0.250.75t

t t

t

t t t C

C --===

⨯⨯-⨯⨯∑∑

0.95700.04230.9147=-=．

3、 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

【参考答案】

4、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.

5、某射手每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛⎫

⎪⎝⎭

.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

22

252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯⨯-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则

123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++

=32323

21121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=8

81

所以ξ的分布列是

6、现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.

16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为2

3.设“这4个

人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫2

34－i .

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24

⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827

. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，

由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19

. 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1

9. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.

由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝40

81

，

P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝17

.所以ξ的分布列是

ξ 0 2 4

P 827 错误!

1781

随机变量ξ的数学期望E ξ＝0×27＋2×81＋4×81＝81.