因式分解拓展题及解答(必考题型)
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因式分解拓展题解
板块一:换元法
例1分解因式:2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++
【解析】 将248x x u ++=看成一个字母,可利用十字相乘得
原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++
22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++
例2分解因式:22(52)(53)12x x x x ++++-
【解析】 方法1:将25x x +看作一个整体,设25x x t +=,则
原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2:将252x x ++看作一个整体,设252x x t ++=,则
原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3:将253x x ++看作一个整体,过程略.如果学生的能力到一定的程度,甚至
连换元都不用,直接把25x x +看作一个整体,将原式展开,分组分解即可,
则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.
【巩固】 分解因式:(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++
【解析】
2(2)(6)(810)x x x x ++++
【巩固】 分解因式:22(1)(2)12x x x x ++++-
【解析】
2(1)(2)(5)x x x x -+++
例3证明:四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【解析】 设这四个连续整数为:1x +、2x +、3x +、4x +
(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++
24652
u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++
【巩固】 若x ,y 是整数,求证:()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.
【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++
令2254x xy y u ++=
∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++
即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++
例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---
【解析】 原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=-----
设2215a a x --=,
原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----
2(4)(27)(28)a a a a =-+--
【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-
【解析】 原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-
225y x x =+
原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-
例5分解因式:22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-
【解析】 咋一看,很不好下手,仔细观察发现:222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-, 故可设2231,23x x A x x B --=+-=,则244x x A B +-=+.
故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--
2
2222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦.
【巩固】 分解因式:2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+- 【解析】 由于题中以整体形式出现的式子有两个,共4个地方,故采取换元法后会大大简
化计算过程,不妨设,a b x ab y +==,
【解析】 则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-
222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--
例6分解因式:272)3()1(4
4-+++x x
【解析】 设1322
x x y x +++==+,则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+
22(5)(1)(419)x x x x =+-++ 【巩固】 分解因式:4444(4)a a ++-
【解析】 为方便运算,更加对称起见,我们令2x a =-
4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++
422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+ 板块二:因式定理
因式定理:如果x a =时,多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0,那么x a -是该多项式的一个因式.
有理根:有理根p c q
=的分子p 是常数项0a 的因数,分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式:32252x x x ---
【巩固】 02a =-的因数是1±,2±,2n a =的因数是1±,2±.
因此,原式的有理根只可能是1±,2±(分母为1),12
±. 因为(1)21526f =---=-,(1)21520f -=--+-=, 2323222232125222 35 33 22
x x x x x x x x x x
x x
x --+---+------