高三二诊模拟考试数学试题(理)含答案

成都二诊模拟考试数学试卷(理科)(时间:120分钟,总分:150分)命题人: 刘在廷 审题人: 张世永一.选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.)1.已知集合}2,1,0,1,2{--=A ,}0lg |{≤=x x B ，则B A ＝（ ）A }1{B }1,0{C }2,1,0{D }2,1{2.已知i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则ab 的值是（ ）A －15B －3C 3D 15 3.如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（ ） A π44+ B π48+ C π344+ D π348+ 4.为了得到函数41log 2+=x y 的图像，只需把函数x y 2log =的图象上所有的点（ ）A 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 5. 某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数的最大值为（ ）A 3B 4C 5D 6 6.如图，圆锥的高2=PO ，底面⊙O 的直径2=AB ， C 是圆上一点，且︒=∠30CAB ，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面所成角的正弦值为（ ） A21B 23C 32D 317.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A (33-，3) B (33-，0)∪(0，3)C [33-，33] D (-∞，33-)∪(33，+∞)i PAC 正视图侧视图俯视图OCD8.三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A BCD -的侧面积为S ，则S 的最大值为（ ）A 4B 6C 8D 16 9.已知221)a ex dx π-=⎰，若2017220170122017(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20171222017222b b b +++的值为（ ） A 0 B -1 C 1 D e 10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”，才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M ，N ），下列选项中一定不成立的是（ ）A M 没有最大元素，N 有一个最小元素B M 没有最大元素，N 也没有最小元素C M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D M 有一个最大元素，N 没有最小元素 11.已知函数3211()201732f x mx nx x =+++，其中{2,4,6,8},{1,3,5,7}m n ∈∈，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在(1,(1))f 处的切线相互平行的概率是（ ）A7120B 760C 730 D 以上都不对12.若存在正实数,,x y z 满足 2z x ez ≤≤且ln y z x z =，则ln yx 的取值范围为（ ）A [1,)+∞B [1,1]e -C (,1]e -∞-D 1[1,ln 2]2+二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.) 13. 在中，边、、分别是角、、的对边，若，则=B cos ．14.已知点的坐标满足条件400x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若点为坐标原点，点(1,1)M --，那么OM OP ⋅的最大值等于_________.15.动点(,)M x y 到点(2,0)的距离比到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹方程为_______.16.在△ABC 中，A θ∠=，,D E 分别为,AB AC 的中点，且BE CD ⊥,则cos2θ的最小值为___________.三.解答题(17-21每小题12分, 22或23题10分,共70分.在答题卷上解答,解答应写出文字说(,)P x y O明,证明过程或演算步骤.)17.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nn a -的前n 项和n T ．18. 为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示甲队总得分． （1）求随机变量X 的分布列及其数学期望()E X ； （2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边△//AB C 边长为2，△BCD 中，1,2BD CD BC ===（如图1所示），现将B 与/B ，C 与/C 重合，将△//AB C 向上折起，使得3AD =（如图2所示）.（1）若BC 的中点O ，求证：⊥平面BCD 平面AOD ;（2）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED BCD 与面成30角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由;（3）求三棱锥A BCD -的外接球的表面积.BAD20.已知圆222:2,E x y +=将圆2E按伸缩变换：//2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线1E ， （1）求1E 的方程；（2）过直线2x =上的点M 作圆的两条切线，设切点分别是A ，B ，若直线AB 与交于C ,D 两点，求的取值范围.21.已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--在[1,)+∞单调递增，其中(0,)θπ∈ （1）求θ的值； （2）若221()()x f x g x x -=+，当[1,2]x ∈时，试比较()f x 与/1()2f x +的大小关系（其中/()f x 是()f x 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当0x ≥时，1(1)xe x kg x --≥+恒成立，求k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.2E 1E CDAB22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，又过点(2,4)P --的直线l的参数方程为242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，l 与曲线C 分别交于M ，N.(1)写出曲线C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.成都二诊模拟考试数学试卷(理科参考答案）一、 选择题 1-5：ABDCB 6-10：CBCBC 11-12：BB 二、填空题 13.31 14. 4 15. 28(0)y x x =≥或0(0)y x =< 16.725三、解答题 17 .解：（1）由已知12n n S a a =-有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==. 又∵123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，∴11142(21)a a a +=+，解得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故2nn a =．…………6分（2）由（1）得112n n n n a -=-， 因数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为21，公比为21的等比数列， ∴11[1()](1)1(1)221122212n n n n n n n T -++=-=---．………………12分 18．解：（1）X 的可能取值为0，1，2，3．1111(0)43224P X ==⨯⨯=, 3111211111(1)4324324324P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,32112131111(2)43243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 3211(3)4324P X ==⨯⨯=,X ∴6分1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………7分 （2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件Ａ，包含“甲队３分且乙队１分”，“甲队2分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：31)32(4131)32(2411)31(3241)(3223213=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C A P ．………………12分 19. 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且O 为中点 ∴,BC AO BC DO ⊥⊥，AO DO O ⋂=，BC AOD ∴⊥平面，又BC ABC ⊂面∴⊥平面BCD 平面AOD………………3分（2）（法1）作,AH DO ⊥交DO 的延长线于H ，则平面BCD ⋂平面,AOD HD =则AH BCD ⊥平面，在Rt BCD ∆中，122OD BC ==， 在Rt ACO ∆中，AO AC ==，在AOD ∆中， DABCOEF H2226cos 2AD OD AO ADO AD OD +-∠==⋅，3sin 3ADO ∴∠=，在Rt ADH ∆中sin 1AH AD ADO =∠=，设(02)CE x x =≤≤，作EF CH F ⊥于，平面AHC ⊥平面BCD ，,EF BCD EDF ∴⊥∠平面就是ED BCD 与面所成的角。

由2,2EF CE EF x AH AC =∴=(※)， 在Rt CDE ∆中，2221DE CE CD x =+=+，要使ED BCD 与面成30角，只需使2212,121xx x =∴=+， 当1CE =时,ED BCD 与面成30角…………9分(法2)在解法1中接（※）,以D 为坐标原点，以直线,DB DC 分别为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 则22(0,0,0),(,1,),22D E x x 22(,1,)DE x x =， 又平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，要使ED BCD 与面成30角，只需使DE n 与成60，只需使cos 60DE n DE n⋅=⋅，即2212,121x x x =∴=+， 当1CE =时ED BCD 与面成30角（法3）将原图补形成正方体（如右图所示），再计算 （3）将原图补形成正方体，则外接球的半径3r = 表面积：3π …………………………12分A HFE BO Cxyz20.解：（1）按伸缩变换：//2x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：/2/2()2()2,x y += 则1E ：2212x y +=…3分 （2）设直线2x =上任意一点M 的坐标是切点A ,B 坐标分别是1122(,),(,)x y x y 则经过A 点的切线斜率是11y x -,方程是，经过B 点的切线方程是，又两条切线A M ，B M 相交于(2,)M t 所以经过A 、B 两点的直线l 的方程是当,当0t ≠时，联立，整理得222(8)16820t x x t +-+-=设C 、D 坐标分别为3344(,),(,)x y x y 则3422342168828x x t tx x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩224)||8t CD t +=+||AB =322||||CD AB ∴=设综上所述，的取值范围是. ………………12分 (2,),,t t R ∈112x x y y +=222x x y y +=112222,22,x ty x ty +=⎧∴⎨+=⎩22x ty+=0,(1,1),(1,1),(1,(1,22t A B C D =--则2,2CD CD AB AB∴==∴=2222,1.2x y t x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩244,t x +=>令11()(0,),4f x u x ==∈又令31()326 1.(0,).4x u u u ϕ=-++∈201()960,4u u b u ϕ'=-+=⇒=1()(0,)4u ϕ∴在1()((0)()4u ϕϕϕ∴∈，）()f x ∴∈CD AB ∴∈CDAB ∴⎫⎪⎣⎭21．解：（1）由题：/1()sin 0g x x θ=-≥恒成立 ∴1sin ([1,))x xθ≥∈+∞恒成立 ∴sin 1θ≥ ∴sin 1θ= ∵(0,)θπ∈ ∴2πθ= ……2分（2）∵222121()()ln 1x f x g x x x x x x -=+=-+-- ∴/23122()1f x x x x =--+∴/23312()()ln 2f x f x x x x x x-=-++-- 令()ln h x x x =-，23312()2H x x x x =+-- ∴/1()10h x x =-≥ ∴()h x 单调递增 则()(1)1h x h ≥=又2/4326()x x H x x--+= 令2()326x x x ϕ=--+ 显然()x ϕ在[1,2]单调递减 且(1)1,(2)10,ϕϕ==-则0(1,2)x ∃∈使得()H x 在0(1,)x 单调增，在0(,2)x 单调递减∴min 1()min{(1),(2)}(2)2H x H H H ===- ∴1()(2)2H x H ≥=-∴/min min 1()()()()()()2f x f x h x H x h x H x -=+≥+= 又两个函数的最小值不同时取得；∴/1()()2f x f x -> 即：/1()()2f x f x >+…………7分（3）1(1)x e x kg x --≥+恒成立， 即：ln(1)(1)10xe k x k x ++-+-≥恒成立，令()ln(1)(1)1xF x e k x k x =++-+-，则/()(1)1x k F x e k x =+-++由（1）得：()(1)g x g ≥ 即ln 10(1)x x x --≥≥，即：1ln(1)1(0)x x x +≥++≥即：ln(1)(0)x x x ≥+≥ ∴1x e x ≥+ ∴/()(1)(1)1kF x x k x ≥++-++ 当1k =时，∵0x ≥ ∴/1()(1)(1)12011k F x x k x x x ≥++-+≥++-≥++∴()F x 单调增，∴()(0)0F x F ≥= 满足 当(0,1)k ∈∵0x ≥ 由对角函数性质/()(1)(1)1(1)01kF x x k k k x ≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增，∴()(0)0F x F ≥= 满足 当0k ≤时，∵0x ≥由函数的单调性知/()(1)(1)1(1)01kF x x k k k x ≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增，∴()(0)0F x F ≥= 满足 当1k >时，//2()(1)xk F x e x =-+ 则//()F x 单调递增，又//(0)10F k =-<且 //,()0x F x →+∞> 则//()F x 在(0,)+∞存在唯一零点0t ，则/()F x 在0(0,)t 单减，在0(,)t +∞单增，∴ 当0(0,)x t ∈时，//()(0)0,F x F <=∴()F x 在0(0,)t 单减， ∴()(0)0F x F <= 不合题意综上：1k ≤…………12分22. 解： (Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax(a ＞0)；直线l 的普通方程为x －y －2＝0． …………4分 (2)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得t 2－2(4＋ t ＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 则|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|．由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋，t 1t 2＝8(4＋a)＞0，则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a ＝1，或a ＝－4．因为a ＞0，所以a ＝1． …………10分23. 解：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =取等，所以()2f x ≥.…………4分 （2）因为(3)5f <，所以1|3||3|5a a ++-<⇔13|3|5a a ++-<⇔1|3|2a a -<-⇔11232a a a-<-<-52a <<.…………10分。