人寿保险趸缴纯保费的厘定培训课件(ppt 43页)
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寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费
《寿险精算数学》
人寿保险的分类
--02趸缴纯保费
• 受益金额是否恒定 • 保障标的的不同 定额受益保险 – 人寿保险（狭义） 变额受益保险 – 生存保险 • 保单签约日和保障期期始日 – 两全保险 是否同时进行 • 保障期是否有限 – 非延期保险 – 定期寿险 – 延期保险 – 终身寿险
《寿险精算数学》
《寿险精算数学》
0． 1． 2．
--02趸缴纯保费
3. 4. …… n. …… y．
x岁
x 1
x2
xn
↑
x y岁
S
图 4-5
0．
1．
x 1
2．
x2
3．
x3
×
x y
↑
4．
x4
……
n．
x岁
xn岁
S
图 4-6
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费
2.1.2 两全保险
• n年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险 组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保 险，则其有关函数为：
《寿险精算数学》 定期寿险
• 则其有关函数为：
未来寿命 K(x) 给付数额 B 贴现系数 V 给付现值 Z 给付概率 p
--02趸缴纯保费
0 1
1 1
2 1
… …
n-1 1
v1
v2
v3
… … …
n 1
vn
v1
v2
1|
v3
2|
vn
n 1|
qx
qx
qx
qx
•
则其趸缴纯保费为： A
1 x:n
E ( z ) v k 1 k px qx k
CH2 年末支付趸交纯保费.ppt
当 S ＝1 时，即单位保险金对应的定期两全保险的给付预期现值(期限为 n ，年龄为 x )，称之为定期两全保险的单位预期现值，用 A 表示(注意没有上标“1”)。我
x: n
们可以根据给付现值及其概率表得到：
n2
A ＝ x: n
m | qx v m1 ＋ v n n1 p x
m0
(4.6)
由 n1 p x ＝ n1| q x ＋ n p x ，得：
m0
m0
令V ＝ v 2 ，如定期寿险的形式一样，对定期两全保险，其方差为：
2A －(A )2
x: n
x: n
这里如 4.5 一样，左上方的“2”表明，它应按 2i i2 作为利率来计算。
习题1：
设一个35岁的人投保5年期的两全保险，保险 金额为10000元，保险金在死亡的保单年度 末给付。按中国人寿保险业经验生命表 （1990-1993）（男女混合），年利率为6%， 计算其趸缴净保费。
8790.04
10000A20：5 2.5%
10000(A1 20:5 2.5%
A ) 1 20：5 2.5%
8841.58
（2）10000A 9431.99 20:5 6%
（3）10000A 8881.34 60:5 2.5%
（4）10000A 9404.59 60:5 6%
4. 延期寿险的趸缴纯保费
图 4-4 假定 y 处于第 3 年和第 4 年之间：即（ x ）字的人死于 x 3 岁和 x 4 岁 之间，寿险公司将在 x 4 岁年初（ x 3 岁末）支付保险金。
我们已经知道， K x 表示（ x ）的未来生存时间的整数部分，即（ x ）将在 K x 和 K x 1 之间死亡。在死亡年末给付的定期寿险可以描述为：若 K x ＜ n ，则在 K x 1 时给付 S ；若 K x ≥n，则没有给付（ K x 表示的（ x ）死亡之年年初，所以保险金 给付在 K x 1 时，而不在 K x 时；在图 4-4 中， K x ＝ 3，保险金在 4 时候给付）。 那么保险金给付现值可如下表示：
寿险的培训资料5.ppt43PPT43页
29
Loss 不买才会损失
请问您觉得将来每月多少养老金才好呢？
30
Obligation 承担自身责任
陈先生，我们来研究一下，不买保险与买保险的理由好吗？
不买的理由
每月要花300元的保费
要买的理由
每三年一次旅游基金
几万元的家庭保障
住院医疗费用
意外的巨额保障
不用再储蓄就有给子女的遗产
（根据所推荐的险种来列）
6
分组研讨
每组研讨3个具体促成话术。 时间：10分钟 要求：所有成员积极参与；
研讨结果要代表本小组全体成员的意思
7
默 认 法话术
——请问仪琳小姐，您的生日是什么时候？ ——请问仪琳小姐，您的地址是．．．．．．
8
二择一法
——您看您是选择我们的工作人员定期上门服 务还是选择直接从您的银行帐户转帐？
人寿保险又何尝不是如此。准客户先生，您当然不会愿意 让别的什么人来担负这些义务的，是不是？
您在这里签个字，就意味着您为自己和家人担当起应尽的义 务了。
37
Seek the hidden objection 寻找拒绝理
由
陈先生，您尽可以放心，其实没有谁能够逼你买下任何 东西，因为钱在你口袋里，是不是？以我站在您的立场上看， 可能有一些理由让您拒绝保险，您看我说的对不对？
14
行动法话术
——以后再投保只会增加您的保费负担，而且身 体状况也会走下坡路，那时侯可能丧失投保 的资格。
——我们每个人都不知道再过几个月会有什么事 发生，趁现在身体健康时赶快投保才是最明 智的抉择。
15
明
示
法
——田伯光先生，我们已从多方面研究过这
个计划，为了使您能早日获得这份保障，
Loss 不买才会损失
请问您觉得将来每月多少养老金才好呢？
30
Obligation 承担自身责任
陈先生，我们来研究一下，不买保险与买保险的理由好吗？
不买的理由
每月要花300元的保费
要买的理由
每三年一次旅游基金
几万元的家庭保障
住院医疗费用
意外的巨额保障
不用再储蓄就有给子女的遗产
（根据所推荐的险种来列）
6
分组研讨
每组研讨3个具体促成话术。 时间：10分钟 要求：所有成员积极参与；
研讨结果要代表本小组全体成员的意思
7
默 认 法话术
——请问仪琳小姐，您的生日是什么时候？ ——请问仪琳小姐，您的地址是．．．．．．
8
二择一法
——您看您是选择我们的工作人员定期上门服 务还是选择直接从您的银行帐户转帐？
人寿保险又何尝不是如此。准客户先生，您当然不会愿意 让别的什么人来担负这些义务的，是不是？
您在这里签个字，就意味着您为自己和家人担当起应尽的义 务了。
37
Seek the hidden objection 寻找拒绝理
由
陈先生，您尽可以放心，其实没有谁能够逼你买下任何 东西，因为钱在你口袋里，是不是？以我站在您的立场上看， 可能有一些理由让您拒绝保险，您看我说的对不对？
14
行动法话术
——以后再投保只会增加您的保费负担，而且身 体状况也会走下坡路，那时侯可能丧失投保 的资格。
——我们每个人都不知道再过几个月会有什么事 发生，趁现在身体健康时赶快投保才是最明 智的抉择。
15
明
示
法
——田伯光先生，我们已从多方面研究过这
个计划，为了使您能早日获得这份保障，
保险精算第四章趸缴纯保费的计算原理(讲课版) (1)
好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时
值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
一、（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险
26.97887 （元）
（二）终身寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的终身寿险，趸缴纯保 费记号 A
x
bK 1 1
K 0 ,1,2......
Z v k 1
一定会 得到赔 付
K 0, 1,......
Ax E ( Z ) v
保险解释： l x 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的
积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸 缴保费 Ax1 ，还可以为所有在当年去世的被保险人每 人额外补贴 1 Ax1 元的保险成本。
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )
n 1 k 1 k| k 0
A
1 x :n|
E( Z ) v
1 x :n|
qx v
k 0
n 1
k 1 k
px .q x k
lx A
v
k 0
n 1
k 1
请思 考直 观意 义？
.d x k
例4.1
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险额为1000元，保险金额在死亡 年末给付，按中国人寿保险业经验生命（2000-2003）（男）和利率 6%计算趸缴保费。 解：
保险精算第二讲.
1
1
n 1
k 0
例3.5
在例3.2中，假设50岁的张某购买的是一份 30年 的两全保险，死亡年年 末给付， 保额为100000 元，求该保单的趸缴净 保费。
例3.5答案
1 100000 A50:30 100000 A50 100000 :30
A
1
50:30
20468 .70 100000 (1.08 ) 30 30 p50 20468 .70 100000 (1.08 ) 24985 .85 (元) 由例3.2,3.3和3.5可以看出： Ax:n Ax
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,
k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
1
n 1
k 0
例3.5
在例3.2中，假设50岁的张某购买的是一份 30年 的两全保险，死亡年年 末给付， 保额为100000 元，求该保单的趸缴净 保费。
例3.5答案
1 100000 A50:30 100000 A50 100000 :30
A
1
50:30
20468 .70 100000 (1.08 ) 30 30 p50 20468 .70 100000 (1.08 ) 24985 .85 (元) 由例3.2,3.3和3.5可以看出： Ax:n Ax
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,
k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
人寿保险趸缴纯保费的厘定培训课件
P
10000
A50
10000
M 50 D50
1,028,986 10000
1,998,744
5148.16（元）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|
k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
成为不容无视的因素。 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险
人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随 机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一 个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。 被保障人群的大数性 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原 理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
2000 M30 1000 M30 M35
D30
D30
622.09
5.2.3 延期的终身寿险
5.2.4 n年生死两全保险
它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。
例：假设20年生死两全保险的保额为1000元， 试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
解: 所求趸缴纯保费
现时值正好等于将来的保险赔付金的期 望现时值。它的实质是在统计意义上的 收支平衡。是在大数场合下，收费期望 现时值等于支出期望现时值
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
《趸缴纯保费》PPT课件_OK
解：
1 Ax
0 zt . fT (t )dt
1 60
60 e t dt
0
1 [ 1
60
e t
/
60 0
]
1 e 60
60
(
0)
9
2Var(Z ) 2 A ( A)2
1 e 120
(1 e60t )2 (
0)
120
60
3P ( Z
0.9 )
P(vT
0.9 )
P(T
ln 0.9 )
为10元的终身寿险，随机变量T的概率密度函数是fT (t) e－t , 0.04, t 0。保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项 基金中按利息力＝0.06计息支付。试计算这项基金在最初（t 0)时
的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人 的死亡给付的概率达到95％。
范围内的死亡，保险人均给付保险金。
➢ 假定：（x)岁的人投保终身寿险，保险金额为1元
bt 1, t 0 vt vt ,t 0
Z bT vT vT ,T 0
终身寿险的趸缴纯保费：
Ax E(Z )
7
Ax E(Z )
0 zt . fT (t )dt
0
v
t
.t
p
x
.
x
t
dt
解：令Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值( j 1,..100)
对每个被保险人都有：
vt
bt 10, t 0 v t , t 0, v e0.06
Z j 10vT
100
令Z Z j j 1
11
Ax
0 zt . fT (t )dt
第三章 人寿保险趸缴净保费的厘定
w
记
2
A = ∫ e−2δt fT (t)dt x
0
w
方差等价公式
Var(zt ) = 2 A −(A )2 x x
投保终身寿险， 例.设(x)投保终身寿险，保险金额为 元。保险金在死亡即 设 投保终身寿险 保险金额为1元 刻赔付,利息力 已知签单时， 的剩余寿命的密度函数为 刻赔付 利息力δ 已知签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
3. n年定期生存险 年定期生存险 定义：被保险人投保后生存至 年期满时 保险人在第n年 年期满时， 定义：被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第 年 末支付生存赔付金的险种。 末支付生存赔付金的险种。
(x 假定： 岁的人，保额1元 假定： )岁的人，保额 元，n年生存险 年生存险
基本函数关系
趸缴净保费的厘定 假定条件: 假定条件 假定一：同性别、同年龄、 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。 寿命是独立同分布的。 假定二： 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进 行拟合。 行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。 将单个被保险人事故转化为一个同质总体的风险事故。
0, t ≤ n 0 , t ≤ n bt = ⇒ zt = bvt = n t 1 , t >n v , t > n
趸缴净保费
A (A ) = E(zt ) = v ⋅n px = e ⋅n px
1 x:n n
1 x:n
−δn
随机变量现值方差
Var(zt ) = E(zt2 ) − E2 (zt ) = v2n ⋅n px −(vn ⋅n px )2
新编第二章 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)资料PPT课件
5、精算现值（Actuarial Present Value）的定义
？ 将保险人未来随机给付“现值”的数学期望，称为精算现值。依据收支相等
（或等价交换）的原则，又将精算现值称为趸缴纯保费。 （指签单时刻）
6、涉及的变量及生命函数：
X ：新生儿寿命， T (x) ： (x) 的余命， K (x) ： (x) 的取整余命，
x
s(x) Pr(X x) ， s(x) e0 sds ，
t px 1 t qx ， fT (t) t pxxt ，
t qx P rT[ x( )t ，]
x
s( x) s(x)
第一节 离散型人寿保险模型
*** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
考虑一个保险计划：被保险人在 x 岁投保，在T (x) 年后 死亡， K(x) [T (x)] ，在死亡的保单年度末给付bK 1 ，则给 付的现值随机变量为： Z K 1bK 1 （离散型随机变量）。 （以下讨论中总假设 bK 1 1，利率不变：1 i e ）
对等
2、从保险人角度看
纯保费（购买） 保险利益（保险金）
收入
- - -毛- 保费
附加保费
费用附加 利润附加 安全附加
支-出- - -
3、从保险人角度看,收入与支出的不确定性
收入的不确定 ---- 缴费年限、是否退保、缴费总额等均不确定。
支出的不确定 ---- 保险金是否给付、给付时间、费用支出等均不确定。
n
t
0
fT
(t)dt
n 0
e t
t
pxxt dt
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
en 2 t
0
fT
(t)dt
第二章 趸缴纯保费-10.8
2 k 0
2( k 1)
k q x
exp (-2 (k 1)) k q x
k 0
Var (Z ) E(Z ) E(Z ) Ax ( Ax )
2 2 2
2
3 、 n 年定期生存保险
• n年定期生存保险定义：
– 被保险人投保后至少生存n年才支付保险金的险 种。
主要讨论按算术数理{n}递增和递减的情形
递增n年定期保险
• 基本函数关系 年龄为x岁的人，投保离散型的按算术数列递增
的 n年定期保险，即被保险人在第k+1个保单年
度内死亡，则给付k+1元的保险金（k=0,1,…n-1）
给付现值函数。相应的有关函数为
bk +1 k +1 vk +1 v k 1 , k 0,1, , n 1 Z bK+1vK+1 (K+1)v K 1
2.1 离散（死亡年末赔付）型 人寿保险趸缴纯保费的厘定
死亡年末赔付
• 死亡年末赔付的含义
– 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保 险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生 的当年年末给予保险赔付。 – 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整 值剩余寿命加1。这正好可以使用以整值年龄为刻 度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔 付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定 的理赔方式。
• 被保障人群的大数性
– 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
趸缴纯保费的厘定
• 假定条件:
2( k 1)
k q x
exp (-2 (k 1)) k q x
k 0
Var (Z ) E(Z ) E(Z ) Ax ( Ax )
2 2 2
2
3 、 n 年定期生存保险
• n年定期生存保险定义：
– 被保险人投保后至少生存n年才支付保险金的险 种。
主要讨论按算术数理{n}递增和递减的情形
递增n年定期保险
• 基本函数关系 年龄为x岁的人，投保离散型的按算术数列递增
的 n年定期保险，即被保险人在第k+1个保单年
度内死亡，则给付k+1元的保险金（k=0,1,…n-1）
给付现值函数。相应的有关函数为
bk +1 k +1 vk +1 v k 1 , k 0,1, , n 1 Z bK+1vK+1 (K+1)v K 1
2.1 离散（死亡年末赔付）型 人寿保险趸缴纯保费的厘定
死亡年末赔付
• 死亡年末赔付的含义
– 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保 险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生 的当年年末给予保险赔付。 – 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整 值剩余寿命加1。这正好可以使用以整值年龄为刻 度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔 付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定 的理赔方式。
• 被保障人群的大数性
– 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
趸缴纯保费的厘定
• 假定条件:
第三章 寿险的趸缴净保费
1
1
延期m年n年两全险
m|
Ax:n
m|
A
1 x:n
m| Ax:n Ax:m Ax m:n
1
1
例.已知: 计算20| Ax
1) 2.5%; 2)死亡力恒定; 3) e x 10.0.
0
7. 递增寿险 假定赔付金额为剩余寿命的线性递增函数 一年递增一次（n年定期寿险）
趸缴净保费
1 x:m
A
1 x:m n
A
1 x m:n
A x:m
1
( x) 岁的人，保额1元，延期m年n年生存险 假定：
T mn 0, ZT bT vT m n v , T mn
趸缴净保费
m|
Ax:n E ( Z ) v
1
mn
m n px A x:m Ax m:n m Ex n Ex m
基本函数关系
0, T n 0 , T n bT ZT bT vT n 1 , T n v , T n 趸缴净保费 1 n n 1
Ax:n ( Ax:n ) E(ZT ) v n px e
n px
随机变量现值方差
Var ( Z ) E ( Z 2 ) E 2 ( Z ) v 2 n n px (v n n px ) 2 v n px n qx A ( A )
净均衡原理 保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出的保险赔付金。 （Arrow:风险转移公平原则） 趸缴纯保费=未来保险金给付的精算现值 死亡赔付方式：（1）死亡即刻赔付；（2）死亡年末赔付。
第一节 连续型寿险的趸缴纯保费
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任 范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予 保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔 方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档
常见概念中英文单词对照(2)
定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险
Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的的不同
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险
保障期是否有限
即期保险 延期保险
人寿保险的特点
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch3
函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
A1 x:n
2
其中：2
A1 x:n
=
v2n
n
px
例3.4
• （30）购买10年定期生存险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
140 ln1.05
（3）对于定期寿险而言，赔付现时值是一个分段函数，因 为 v10=1.0510 0.6139 A310:10，也就是说只要是在10年内发生理赔的 被保险人他们所缴纳的趸缴净保费都小于赔付现时值，他们 保费不足的部分是由那些活过10年，没有发生任何赔付的被 保险人补齐的，即
Pr(Zt
(
x)
1
x 100
例3.2解
,0 x 100 ，所以
f30
(t)
1 70
, 0 t 70
且已知复利计息，年实质利率为5%，则 δ = ln(1+ i) = ln1.05
所以趸缴净保费为
A30 E(Zt )
e 70 t
1
e t dt =
0 70 70
0
1
1 1.0570 =
0.2832
• 赔付现值变量是未来寿命的单调减函数。未来寿命短的被保险 人, 由于贴现时期短,赔付现值会大于平均赔付成本。 反之, 未 来寿命长的被保险人, 由于贴现时期长, 赔付现值会小于平均赔 付成本。 本例中, 收支平衡的时间点出现在未来寿命为25.8577 年的时刻点上。未来寿命长于25.8577 年的被保险人（63%） 会补贴哪些未来寿命短于25.8577年的被保险人（37%）。
保险精算人寿保险趸缴纯保费
e 60 2 t
0
1 dt 60
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2
120
60
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例3.1答案(2)
(3) Pr(Z 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9 )
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
寿险趸缴纯保费＝未来保险金给付的精算现值 • 解释：
保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是 在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值。
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趸缴纯保费厘定的假定条件
• 趸缴纯保费的假定条件: • 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 • 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 • 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
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人寿保险的保费
• 寿险保费是寿险产品的价格，是投保人转移风险所付出的代价，也是保险人进 行经营活动的物质基础。 投保人：通过缴纳保费投保，获得死亡、生存或养老等方面的保险保障 保险人：通过获得保费，建立保险基金，一部分作为保险金的给付，另一 部分作为保险人在经营管理上的必要开支
• 寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括： 纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
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1、终身寿险
• 定义
• 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责
任范(x围) 内的死亡均给付保险金的险种。
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解: 所求趸缴纯保费可以看作保额2000元的终身
寿险趸缴纯保费与保额1000元的5年定期寿险趸
缴纯保费的差额。则，
所求趸缴纯保费=
2000
A30-1000
A1
30:5|
2000 M30 1000 M30 M35
D30
D30
622.09
5.2.3 延期的终身寿险
5.2.4 n年生死两全保险
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
A1
m x:n
A1 x:mn
A1 x:m
m
Ax
Ax
A1 x:m
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
k0 xlx
Mx Dx
终身寿险精算现值的例子
例：假设50岁的人投保了 10000元的终身寿险，保险费 在死亡年末支付，假设年利 率按3%计算，试根据表IV计 算其精算现值.
解 ：x 50, i 3% .
P
10000
A50
10000
M 50 D50
10000 1,028,986 1,998,744
5148.16（ 元 ）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|
k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
M x M xn Dx
例：假设30岁的人投保。保单规定: 被保险人在保 险开始5年内死亡时，给付1000元，5年后死亡之时， 给付2000元。求其趸缴纯保费。
A m x:n
A1
m x:n
m
A1 x:n
A1 x:m
A xm:n
1
(IA)x kvk p k1 x qxk
A1
j x: j
k 1
j0
n
n1
(DA)1 x:n
(n k 1)vk p k1 x qxk
A1 x:n j
它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。
例：假设20年生死两全保险的保额为1000元， 试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
ห้องสมุดไป่ตู้ 解: 所求趸缴纯保费
1000A
20:20|
1000A1
20:20|
100020
E20
1000 M20 M40 1000 D40
k 1
j0
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：m = ∞
M∞ = 0
A Mxn Mxnm Dxnm
Dz
z : 计算价值的 时间点
0 纯 寿 险 1 双 保 险
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
所谓生者利，指生存者对共有财产中 死者权利部分的享有权.
纯粹生存年金的现值
生者利原理
0时刻此 人群共 缴纳钱
数
t时刻还存 活的人所领 取的保险金 在0时刻的
现值
t
5.2.1 1元保险金的终身寿险
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现
时值正好等于将来的保险赔付金的期望 现时值。它的实质是在统计意义上的收 支平衡。是在大数场合下，收费期望现 时值等于支出期望现时值
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为 保险标的的一种保险。它包括以保障期内被 保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保 障期内被保险人生存为标底的生存保险和两 全保险。
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
趸缴纯保费的厘定 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人 .
则保险费支出１２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
年龄 x
x+1 x+2 x+3
Ax
nIqx
1 dx+n 1
x+n x+n+1
总收费：Axlx
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
n|qx = dx+n/lx
nIqx
… 1 dx+n 1
年龄 x 各 支 vdx 出 V2dx+1
Vn+1dx+n
x+1 x+2 x+3
D20
D20
561.18
5.2.5 寿险的累积费用
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
1
1 1
dx
dx+1
dx+2
年龄 x x+1 x+2 x+3
n-1Iqx
1 dx+n-1 1
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
E(zt )
第二节
死亡年末理赔的死亡保 险的现值
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。
……..
x+n x+n+1
…
Ax lx= v dx+v2 dx+1+…+vn+1 dx+n +… Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
终身寿险年末付的趸交纯保费：
Ax k 1 k | qx
k0
k1 d xk
k0
lx
x k 1d x k
第五章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,