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勾股定理的历史
❖ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千 百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的
数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，
也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因
为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它 成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出 版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证 明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际 上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明 方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提 供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟 的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的
❖ 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用 勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理 论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是 三国时期吴国的数学家赵爽。
❖ 赵爽创制了一幅“勾股圆方Biblioteka Baidu”，
用形数结合得到方法，给出了
勾股定理的详细证明
赵爽 东汉末至三国时代吴国人
•为《周髀算经》作注，著有《勾股圆方图说》
❖ 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又 称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们发现的时间都比我国 要迟得多
❖ 著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元 前330～公元前275）在巨著《几何原本》 （第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
❖ 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到 正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加 上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2； 中间的小 正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。 于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2
❖ 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意 识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具 直观性，为中国古代以形证数、形数统一、 代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格 树立了一个典范。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
❖ 稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以 形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即 剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某 些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的 空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解 法就解决了问题
毕达哥拉斯定理 Pythagoras’ theorem
（公元前572?～公元前497?）
十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
1.商高定理
❖ 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着 一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您 对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地 也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地 得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些 形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一 条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那 么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就 总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考 证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年 左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说 的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数 学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
❖ 在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公 元50至100年间），勾股定理得到了更加规 范的一般性表达。书中的《勾股章》说；
“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起
来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九
章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的 数学成就，共收集了246个数学的应用问题和 各个问题的解法，列为九章，可能是所有中 国数学著作中影响最大的一部。
“总统”证法 --伽菲尔德
❖ 伽菲尔德（James A. Garfield； 1831 1881） •1881 年成為美國第 20 任總統 •1876 年提出有關證明
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来， 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法
❖ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千 百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的
数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，
也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因
为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它 成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出 版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证 明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际 上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明 方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提 供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟 的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的
❖ 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用 勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理 论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是 三国时期吴国的数学家赵爽。
❖ 赵爽创制了一幅“勾股圆方Biblioteka Baidu”，
用形数结合得到方法，给出了
勾股定理的详细证明
赵爽 东汉末至三国时代吴国人
•为《周髀算经》作注，著有《勾股圆方图说》
❖ 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又 称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们发现的时间都比我国 要迟得多
❖ 著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元 前330～公元前275）在巨著《几何原本》 （第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
❖ 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到 正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加 上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2； 中间的小 正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。 于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2
❖ 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意 识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具 直观性，为中国古代以形证数、形数统一、 代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格 树立了一个典范。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
❖ 稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以 形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即 剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某 些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的 空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解 法就解决了问题
毕达哥拉斯定理 Pythagoras’ theorem
（公元前572?～公元前497?）
十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
1.商高定理
❖ 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着 一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您 对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地 也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地 得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些 形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一 条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那 么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就 总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考 证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年 左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说 的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数 学界把它称为勾股定理是非常恰当的。
❖ 在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公 元50至100年间），勾股定理得到了更加规 范的一般性表达。书中的《勾股章》说；
“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起
来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九
章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的 数学成就，共收集了246个数学的应用问题和 各个问题的解法，列为九章，可能是所有中 国数学著作中影响最大的一部。
“总统”证法 --伽菲尔德
❖ 伽菲尔德（James A. Garfield； 1831 1881） •1881 年成為美國第 20 任總統 •1876 年提出有關證明
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来， 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法