动能定理的典型例题

高考专版——“动能定理”的典型例题

【例1】质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1= 6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了 [ ]

A．28J B．64J C．32J D．36J E．100J

【分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后将做类似于平抛的曲线运动(见图)．物体在向北方向上的加速度

2s后在向北方向上的速度分量

故2s后物体的合速度

所以物体在2s内增加的动能为

也可以根据力对物体做动能定理来计算．由于在这个过程中，可以看作物体只受外力F作用，在这个力方向上的位移

外力F对物体做的功

W =Fs= 8×8J=64J，

故物体动能的增加

【答】B．

【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷．

有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了

即整个物体的动能增加了64J，故选B．

必须注意，这种看法是错误的．动能是一个标量(不同于动量)，不能分解．外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式(不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式)．上述计算结果的巧合是由于v2与v1互成90°角的缘故．

【例2】一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s(见图)，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数μ．

【分析】以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即E k2=E k1=0．可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系．

【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功(支持力不做功)，设斜面倾角为α，斜坡长L，则重力和摩擦力的功分别为

W G= mgsinαL，

W f1= -μmgcosαL．

在平面上滑行时仅有摩擦力做功(重力和支持力不做功)，设平面上滑行距离为s2，则

W f2= -μmgs2．

整个运动过程中所有外力的功为

W=W G+W f1+W f2，

=mgsinαL - μumgcosαL- μmgs2．

根据动能定理，

W=E k2-E k1，

式中s1为斜面底端与物体初位置间水平距离，故

【说明】本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解．物体沿斜面下滑时的加速度

物体在平面上滑行时的加速度

比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化(如从斜面到平面的运动情况的变化)，显得更为简捷．

本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法．

厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加 [ ]

A．1×103N B．2×103N

C．4×103N D．条件不足，无法判断

【分析】矿砂落入车

厢后，受到车厢板摩擦力f的作用，使它做加

速运动，经时间△t后矿砂的速度达到车厢的速度v=2m/s,这段时间内矿

砂的位移

因此选△t内落下的矿砂△m为研究对象，以将接角车箱板和达到速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量

由功与动能变化的关系得

在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f′，其大小也为4×103N，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为

【答】C．

【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移

s =v

t，于是得车厢应增加的牵引力大小为

这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力．也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能．

!iedtxx(`stylebkzd', `1107P02.htm')【例4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，如图a所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷

紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H．车过B点时的速度为v B．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．

【分析】汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得．

【解】以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0．随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加．当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度v Q，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量(图b)，即

于是重物的动能增为

在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg．物体上升的高度和重力的功分别为

于是由动能定理得

即

所以绳子拉力对物体做的功

【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定．车子向左运动时，绳端(P)除了有沿绳子方向的运动趋势外(每一瞬间绳处于张紧的状态)，还参予了绕O点的转动运动(绳与竖直方向间夹角不断变化)，因此还应该有一个绕O点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向．所以车子运动到B点时的速度分解图应如图6所示，由此得拉绳的速度V b1(即提升重物的速度v Q)与车速v B 的关系为

【例5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到v m后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示．设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则 [ ]

A．F：f = 1：3 B．F：f = 4：1

C．W1：W2= 1：1 D．W1：W2 = 1：3

【分析】在t = 0～1s内，汽车在牵引力F和摩擦力f共同作用下作匀加速运动，设加速度为a1．由牛顿第二定律

F-f = ma1．

在t=l～4s内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2，则

-f = ma2．

由于两过程中加速度大小之比为

在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知，

∴ W F=W f1+W f2=W f。

即全过程中牵引力做功（W1=W F）和汽车克服摩擦力做功（W2=W f）相