第一第二型曲线积分
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L
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz .
L L L
P(x,y，z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都叫做被积函数，L叫 做积分曲线弧。
(4)若L为xoy平面上的光滑曲线， A( M ) ( P( x, y), Q( x, y))，则
lim f ( i , i )si ＝ f ( x , y )ds
0
i 1
i 1 n
o
x
L
记 max si
注意: 特殊情形
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
(1) L : y ( x )
b a
a x b. (a b)
L
f ( x , y )ds f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx.
si t i 2 ( t ) 2 ( t )dt 2 ( t i ) 2 ( t i )t i i 1
t
设i (t )，i (t )
' i ' i
ti 1 ti' ti
因为f ( x, y )在L上连续， 2 (t ) 2 (t )连续 f [ (t ), (t )] (t ) (t )可积
转化
计算定积分
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
( )
证：设 t0 t1 t n 为[ , ]上的一个分割。
相应曲线有一分割，记 [t i 1 , t i ]上的弧长为 s i
L
z f ( x, y)
s
L
(4) 均匀曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
I x = y 2 ds,
L
I y = x 2 ds .
L
(5) 曲线弧的质心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
四、 第二型线积分（对坐标的曲线积分）
首先我们看一个具体的例子
存在条件：
L
f ( x, y )ds lim f ( i ,i ) si .
0
i 1
n
当 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 f ( x, y )ds 存在.
L
今后总假定 f ( x, y)在 L上是连续的. 类似地可定义 函数 f ( x, y, z )在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为
k 0
n
这个极限相应地记为
L
P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy R( x , y, z )dz ,
这就是第二型线积分的坐标形式。因此，第二型线 积分也称为对坐标的线积分。即 A( M )d s L P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz,
为各小弧段长度的最大值 .
L
0
k 0
此时称向量值函数A(M)在L上可积。
第二型线积分的向量形式为
L
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k .
0
k 0
在直角坐标系下可以表示成坐标形式。
设L为空间曲线，在直角坐标系下，
Mk 1 Mk （xk , yk , zk）,
将点Pk的坐标记为P （ k k ,k , k）,于是
0
L
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k
0
k 0
lim P （ k ,k , k）xk Q （ k ,k , k）yk R （ k ,k , k）zk
三、几何与物理意义
(1) 当 f ( x, y )表示 L的线密度时,
( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
M f ( x, y )ds ;
L
(3) 当 f ( x, y )表示以L为准线的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
y
L A
B
F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求质点移动过程中变力所作的功W.
x
常力沿直线所作的功
F
A
W F AB cos
B
把各小段的弦向量Mk 1 Mk写成分量形式：
A( M ) ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ))
其中xk , yk , zk 分别表示M k 1 M k 在x, y, z三个坐标轴 上的投影。
( 2) (积分路径可加性) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则 A( x, y)ds A( x, y)ds A( x, y)ds.
推广:
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x, y, z )ds f [ (t ), (t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
五、 第二型线积分的性质
(1) 线性性 设， 为常数，则 （ ds A （ ds A（ ds. 1 x, y) A 2 x , y )] 1 x , y ) 2 x , y ) [ A（
L L L
F AB
现在是F ( x, y)变力, 解决办法: “大化小”“常代变” “近似和” “取极限”
1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
W Wk
k 1
n
2) “常代变” 有向小弧段 用有向线段
y
F ( k , k ) Mk B M k 1 yk L xk
L
A( M )d s P(x, y)dx Q( x , y )dy .
L
第二型线积分与第一型线积分的主要差别在于：
第一型线积分中，积分微元f(M)ds是两数量的乘 积，积分路径没有方向性，ds是弧微分，它始终为正。
第二型线积分中，积分微元 A( M )d s是两向量的 的积分， 点积，路径L具有方向性。沿 AB的积分与沿 BA 由于其中分点的顺序刚好相反，向量M k-1M k反向，从而 积分的值反号。
L1 L2
(2). 函数f ( x, y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为 f ( x, y)ds.
L
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分
定理
设 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续 , L的 x ( t ), 参数方程为 ( t ), 则 y ( t ),
A
近似代替, 在
上任取一点
则有
x
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
3) “近似和” W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1 n n
4) “取极限” W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk
i 1 i 0 n
在每一有向小弧段 Mi 1 M i 上任取一点Pk , 作点积
A( Pk )Mk 1 Mk ,
n
(i 1,2,, n; M0 A, Mn B)
将各小弧段所对应的点积相加得和式
A( Pk )M k 1M k
0
i 1
o
x
则称此极限是函数f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,
记作 f ( x , y )ds.
L
函数 f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分也叫第一型线积分.
L
f ( x, y )ds lim f ( i ,i ) si .
0
i 1
n
积分弧段
n i 1
在L上任意插入点M1 , M2 ,, Mn1把L分成n个小段.
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
作乘积f ( i ,i ) si , 并作和 f ( i ,i ) si ,
n
A
令 小弧段长度的最大值 0, 若极限 lim f ( i ,i ) si 存在,
2 2
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t )dt
2 2
lim f [ (ti), (ti)] 2 (ti) 2 (ti)ti
0
n
求和
M ( i , i ) si .
i 1 n i 1
n
近似值 精确值
取极限 M lim ( i ,i ) si . 0
2.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)在L上有界.
设第i个小段的长度为si , 在第i个小段上任意取定的一点(i ,i ),
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
注意： (1). 若 L (或 )是分段光滑的, (L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
计算此构件的质量.
y
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
B
L M n 1
分割 用点M1 , M2 ,, Mn1分L成n个小段，
o
A
x
M 记si M ， 2， , n 1 ），M0 =A，M n =B. i 1 （ i i 1
取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si .
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy.
(c d )
(3) L : r r ( )
来自百度文库
.
2 2 f ( x , y ) ds f [ r cos , r sin ] r r d . L
第一和第二型曲线积分
我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧的情形。
曲线积分
对弧长的曲线积分（第一型线积分）
对坐标的曲线积分（第二型线积分）
一、对弧长的曲线积分的概念
1.引例:曲线形构件的质量 一曲线形构件在x o y平面内所 占位置是一段曲线弧L，L上任一 点处的线密度ρ(x,y)在L上连续.
0 k 1
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
定义. 设L是向量场 A( M )所在区域中的以 A为起点 B为终点的一条有向光滑曲线。
用 L上的点 M1 , M 2 , , M n1把 L分成 n个有向小弧 段 M M ( i 1, 2, , n; M A, M B ).
k 0
如果无论L被怎样划分，点Pk 在 Mk 1 Mk 上被怎样选取，极限
lim A( Pk )M k 1 M k
n
0
k 0
总存在，则称此极限为向量值函数 A( M )沿有向曲线L的 第二型积分，简称第二型线积分。记为
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k .
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz .
L L L
P(x,y，z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都叫做被积函数，L叫 做积分曲线弧。
(4)若L为xoy平面上的光滑曲线， A( M ) ( P( x, y), Q( x, y))，则
lim f ( i , i )si ＝ f ( x , y )ds
0
i 1
i 1 n
o
x
L
记 max si
注意: 特殊情形
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
(1) L : y ( x )
b a
a x b. (a b)
L
f ( x , y )ds f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx.
si t i 2 ( t ) 2 ( t )dt 2 ( t i ) 2 ( t i )t i i 1
t
设i (t )，i (t )
' i ' i
ti 1 ti' ti
因为f ( x, y )在L上连续， 2 (t ) 2 (t )连续 f [ (t ), (t )] (t ) (t )可积
转化
计算定积分
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
( )
证：设 t0 t1 t n 为[ , ]上的一个分割。
相应曲线有一分割，记 [t i 1 , t i ]上的弧长为 s i
L
z f ( x, y)
s
L
(4) 均匀曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
I x = y 2 ds,
L
I y = x 2 ds .
L
(5) 曲线弧的质心坐标
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
四、 第二型线积分（对坐标的曲线积分）
首先我们看一个具体的例子
存在条件：
L
f ( x, y )ds lim f ( i ,i ) si .
0
i 1
n
当 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 f ( x, y )ds 存在.
L
今后总假定 f ( x, y)在 L上是连续的. 类似地可定义 函数 f ( x, y, z )在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为
k 0
n
这个极限相应地记为
L
P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy R( x , y, z )dz ,
这就是第二型线积分的坐标形式。因此，第二型线 积分也称为对坐标的线积分。即 A( M )d s L P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz,
为各小弧段长度的最大值 .
L
0
k 0
此时称向量值函数A(M)在L上可积。
第二型线积分的向量形式为
L
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k .
0
k 0
在直角坐标系下可以表示成坐标形式。
设L为空间曲线，在直角坐标系下，
Mk 1 Mk （xk , yk , zk）,
将点Pk的坐标记为P （ k k ,k , k）,于是
0
L
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k
0
k 0
lim P （ k ,k , k）xk Q （ k ,k , k）yk R （ k ,k , k）zk
三、几何与物理意义
(1) 当 f ( x, y )表示 L的线密度时,
( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
M f ( x, y )ds ;
L
(3) 当 f ( x, y )表示以L为准线的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
y
L A
B
F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求质点移动过程中变力所作的功W.
x
常力沿直线所作的功
F
A
W F AB cos
B
把各小段的弦向量Mk 1 Mk写成分量形式：
A( M ) ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ))
其中xk , yk , zk 分别表示M k 1 M k 在x, y, z三个坐标轴 上的投影。
( 2) (积分路径可加性) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则 A( x, y)ds A( x, y)ds A( x, y)ds.
推广:
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x, y, z )ds f [ (t ), (t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
五、 第二型线积分的性质
(1) 线性性 设， 为常数，则 （ ds A （ ds A（ ds. 1 x, y) A 2 x , y )] 1 x , y ) 2 x , y ) [ A（
L L L
F AB
现在是F ( x, y)变力, 解决办法: “大化小”“常代变” “近似和” “取极限”
1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
W Wk
k 1
n
2) “常代变” 有向小弧段 用有向线段
y
F ( k , k ) Mk B M k 1 yk L xk
L
A( M )d s P(x, y)dx Q( x , y )dy .
L
第二型线积分与第一型线积分的主要差别在于：
第一型线积分中，积分微元f(M)ds是两数量的乘 积，积分路径没有方向性，ds是弧微分，它始终为正。
第二型线积分中，积分微元 A( M )d s是两向量的 的积分， 点积，路径L具有方向性。沿 AB的积分与沿 BA 由于其中分点的顺序刚好相反，向量M k-1M k反向，从而 积分的值反号。
L1 L2
(2). 函数f ( x, y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为 f ( x, y)ds.
L
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分
定理
设 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续 , L的 x ( t ), 参数方程为 ( t ), 则 y ( t ),
A
近似代替, 在
上任取一点
则有
x
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
3) “近似和” W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1 n n
4) “取极限” W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk
i 1 i 0 n
在每一有向小弧段 Mi 1 M i 上任取一点Pk , 作点积
A( Pk )Mk 1 Mk ,
n
(i 1,2,, n; M0 A, Mn B)
将各小弧段所对应的点积相加得和式
A( Pk )M k 1M k
0
i 1
o
x
则称此极限是函数f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,
记作 f ( x , y )ds.
L
函数 f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分也叫第一型线积分.
L
f ( x, y )ds lim f ( i ,i ) si .
0
i 1
n
积分弧段
n i 1
在L上任意插入点M1 , M2 ,, Mn1把L分成n个小段.
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
作乘积f ( i ,i ) si , 并作和 f ( i ,i ) si ,
n
A
令 小弧段长度的最大值 0, 若极限 lim f ( i ,i ) si 存在,
2 2
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t )dt
2 2
lim f [ (ti), (ti)] 2 (ti) 2 (ti)ti
0
n
求和
M ( i , i ) si .
i 1 n i 1
n
近似值 精确值
取极限 M lim ( i ,i ) si . 0
2.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)在L上有界.
设第i个小段的长度为si , 在第i个小段上任意取定的一点(i ,i ),
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
注意： (1). 若 L (或 )是分段光滑的, (L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
计算此构件的质量.
y
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
B
L M n 1
分割 用点M1 , M2 ,, Mn1分L成n个小段，
o
A
x
M 记si M ， 2， , n 1 ），M0 =A，M n =B. i 1 （ i i 1
取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si .
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy.
(c d )
(3) L : r r ( )
来自百度文库
.
2 2 f ( x , y ) ds f [ r cos , r sin ] r r d . L
第一和第二型曲线积分
我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧的情形。
曲线积分
对弧长的曲线积分（第一型线积分）
对坐标的曲线积分（第二型线积分）
一、对弧长的曲线积分的概念
1.引例:曲线形构件的质量 一曲线形构件在x o y平面内所 占位置是一段曲线弧L，L上任一 点处的线密度ρ(x,y)在L上连续.
0 k 1
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
定义. 设L是向量场 A( M )所在区域中的以 A为起点 B为终点的一条有向光滑曲线。
用 L上的点 M1 , M 2 , , M n1把 L分成 n个有向小弧 段 M M ( i 1, 2, , n; M A, M B ).
k 0
如果无论L被怎样划分，点Pk 在 Mk 1 Mk 上被怎样选取，极限
lim A( Pk )M k 1 M k
n
0
k 0
总存在，则称此极限为向量值函数 A( M )沿有向曲线L的 第二型积分，简称第二型线积分。记为
n A( M )d s lim A( Pk )M k 1 M k .