第一第二型曲线积分PPT课件
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曲面积分完整版PPT
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1. 若 曲 面: z z( x, y), 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
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（一）曲线积分与曲面积分
在oxy面 上 的 投 影 区 域 为D , 则 的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.
五、物理意义---环流量与旋度
分割 把分成n小块Si （Si 也 表示第i 小块曲面的面积）.
取近似 (i ,i , i ) Si
求和 取极限
Mi (i ,i , i ) Si
n
M (i ,i , i ) Si .
i 1
n
M
lim
0
i 1
(
i
,i
,
i
)
Si .
第3页/共221页
定义1 设 S 为可求面积的曲面, f ( x, y, z)
f
(k ,k , k ) Sk
而
o
x
Sk
(k ,k , k )
(k ,k ) y
( k )xy
Sk
( k )x y
1
zx
2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
dxd
y
1
z
x
2
(
k
,
k
)
z
y
2
(
k
,
k
)
(
k
)
x
y
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f (x, y, z) dS
n
lim 0
f (k ,k , z(k ,k ))
《数学分析》第20章 曲线积分ppt课件
L f ( x, y, z)ds.
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,, k ) 在ci (i 1, 2, , k )为
k
常数, 则 L i1 ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t (t
), ),
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds 都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4． 若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |f ( x, y)|ds 也存在,
k
k
L i1 ci fi ( x, y)ds i1 ci L fi ( x, y)ds.
2. 若曲线段 L由曲线 L1, L2 ,, Lk 首尾相接而成,
f ( x, y)ds (i 1,2,,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
k
f ( x, y)ds
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,, k ) 在ci (i 1, 2, , k )为
k
常数, 则 L i1 ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t (t
), ),
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds 都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4． 若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |f ( x, y)|ds 也存在,
k
k
L i1 ci fi ( x, y)ds i1 ci L fi ( x, y)ds.
2. 若曲线段 L由曲线 L1, L2 ,, Lk 首尾相接而成,
f ( x, y)ds (i 1,2,,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
k
f ( x, y)ds
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
数学分析课件第一型曲线积分
定义：将曲线上的点与直角坐标系中的点一一对应，将曲线积分的计算转化为直角坐 标系中的定积分计算。
适用范围：适用于曲线方程为参数方程形式的情况。
计算步骤：首先将参数方程转换为直角坐标系中的普通方程，然后利用定积分的计算 方法进行计算。
注意事项：在转换过程中需要注意参数方程与直角坐标系中的普通方程之间的对应关 系，以及定积分的计算方法和技巧。
第一型曲线积分 第二型曲线积分 方向性 几何意义
物理应用：计算曲线形构件的质量、 重心、惯性矩等
经济应用：计算曲线形资产的净现 值、投资回报率等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
工程应用：求解曲线形构件的静力 学问题和动力学问题
计算机图形学应用：绘制光滑曲线、 曲面等
参数方程的建立 参数方程的消元 参数方程的代入 参数方程的化简
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目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：曲线积分 是函数在曲线上 的积分，用于计 算曲线长度、面 积等
性质：曲线积分 满足线性性质， 即对于两个函数 的和或差的积分 等于它们各自积 分的和或差
方向性：曲线积 分具有方向性， 即沿着曲线的正 向或负向积分结 果不同
奇偶性：对于奇 函数或偶函数在 曲线上的积分， 结果具有奇偶性
内容1：第一 型曲线积分的
性质
内容2：第一 型曲线积分的
定理
内容3：第一 型曲线积分与 第二型曲线积
分的区别
内容4：第一 型曲线积分的
应用
第一型曲线积分的性质：与路径无关 第一型曲线积分的性质：对称性 第一型曲线积分的性质：可加性 第一型曲线积分的定理证明：通过定义和性质推导定理
第一型 曲线积分【高等数学PPT课件】
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 Ld s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作第一型曲线积分的特例 ?
否! 对第一型曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
3. 性质
(1) Γ f ( x, y, z) g( x, y, z)ds
f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
L
lim
0 k 1
f
(k ,k )sk
(2). 若 L (或 G)是分段光滑的, (L = L + L )
1
2
f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds f(x, y,z)ds.
L1 L2
L1
L2
(3).如果L是闭曲线 , 则记为 Ñ L f ( x, y)ds .
o 因此上述计算公式相当于“换元法”.
ds dy dx
xx
如果曲线 L 的方程为
则有
f (x, y)ds
L
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ), 则
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin
(2)
Γ k f (x, y, z)ds
k
f (x, y, z) ds
（k 为常数)
(3)
Γ f (x, y, z)ds
f (x, y, z) ds
1
f (x, y, z) ds
2
(由
组成)
(4) Γ ds = l ( l 为曲线弧 的长度)
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 Ld s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作第一型曲线积分的特例 ?
否! 对第一型曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
3. 性质
(1) Γ f ( x, y, z) g( x, y, z)ds
f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
L
lim
0 k 1
f
(k ,k )sk
(2). 若 L (或 G)是分段光滑的, (L = L + L )
1
2
f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds f(x, y,z)ds.
L1 L2
L1
L2
(3).如果L是闭曲线 , 则记为 Ñ L f ( x, y)ds .
o 因此上述计算公式相当于“换元法”.
ds dy dx
xx
如果曲线 L 的方程为
则有
f (x, y)ds
L
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ), 则
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin
(2)
Γ k f (x, y, z)ds
k
f (x, y, z) ds
（k 为常数)
(3)
Γ f (x, y, z)ds
f (x, y, z) ds
1
f (x, y, z) ds
2
(由
组成)
(4) Γ ds = l ( l 为曲线弧 的长度)
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
第一第二型曲线积分
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x ( y) c y d.
f ( x, y)ds d f [ ( y), y] 1 2( y)dy. (c d )
L
c
(3) L : r r( ) .
f ( x, y)ds
lim
0
i 1
f (i ,i ) si .
当 f (x, y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分L f (x, y)ds存在.
今后总假定 f (x, y)在 L上是连续的. 类似地可定义
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为
则称此极限是函数f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,
记作L f ( x, y)ds.
函数 f ( x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分也叫第一型线积分.
n
L
f ( x, y)ds
lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
n
存在条件：
L
(i ,i ) Mi
M2
计算此构件的质量.
A M1
M i 1
分割 用点M1, M2 , i 1，2， , n 1），M0 =A，Mn =B.
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
求和
n
M (i ,i ) si .
近似值
i 1
n
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
第二型曲线积分 PPT课件
例1 计算 I yzdx xzdy 2z2dz 其中 C C 为螺旋线 x a cos t, y a sin t, z kt
上对应 t 0至 t 的有向弧段。
解 I yzdx xzdy 2z2dz C
0 a sin t kt (a sin t)dt
a cos t kt (a cos t)dt
C
® 有向线段 C分段光滑并可求长，A(M )在 C
上有定义；
第二型曲线积分是对坐标的线积分；
被积表达式是两向量的点积，A(M )可以有 一个或两个分量为零，如
R2 中 A ds P( x, y)dx Q( x, y)dy
C
C
或 C P( x, y)dx ， C Q( x, y)dy
Q[x(t), y(t), z(t)] y(t)dt
R[x(t), y(t), z(t)] z(t)dt
® 计算式中可能只出现一、二项，但仍是
二型线积分，不是定积分；
对应始终点的上下限, 并非一定是 ； 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力
找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。
沿AB弧
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
[(cos sin )( sin ) (cos sin )(cos )]d
0
2
(cos 2 sin 2 )d
1 cos 2
/2
1
0
2
0
解(2) I ( x y)dx ( x y)dy 沿折线AOB
( x 0)dx ( x 0)dy (0 y)dx (0 y)dy uuur
解 C : x a cos t, y a sin t, (0 t 2 ).
( x y)dx ( x y)dy
上对应 t 0至 t 的有向弧段。
解 I yzdx xzdy 2z2dz C
0 a sin t kt (a sin t)dt
a cos t kt (a cos t)dt
C
® 有向线段 C分段光滑并可求长，A(M )在 C
上有定义；
第二型曲线积分是对坐标的线积分；
被积表达式是两向量的点积，A(M )可以有 一个或两个分量为零，如
R2 中 A ds P( x, y)dx Q( x, y)dy
C
C
或 C P( x, y)dx ， C Q( x, y)dy
Q[x(t), y(t), z(t)] y(t)dt
R[x(t), y(t), z(t)] z(t)dt
® 计算式中可能只出现一、二项，但仍是
二型线积分，不是定积分；
对应始终点的上下限, 并非一定是 ； 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力
找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。
沿AB弧
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
[(cos sin )( sin ) (cos sin )(cos )]d
0
2
(cos 2 sin 2 )d
1 cos 2
/2
1
0
2
0
解(2) I ( x y)dx ( x y)dy 沿折线AOB
( x 0)dx ( x 0)dy (0 y)dx (0 y)dy uuur
解 C : x a cos t, y a sin t, (0 t 2 ).
( x y)dx ( x y)dy
第二型曲线积分、格林公式-PPT
b{P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)] y( x)}dx 。 a
公式中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线
弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。 11
例．计算 xydx ，其中 C 为抛物线 y2 x 上从点 A(1, - 1) C
到点 B(1, 1) 的一段弧。
C
-1
-1
5
12
例．计算曲线积分 C ( x y)dx ( x - y)dy ，
路径 C 是（1）圆弧 AB；（2）折线 AOB。
y
B(0, 1)
(1) ( x y)dx ( x - y)dy AB
x
o
A(1,0)
2 [(cost sint )(-sint ) (cost - sint )cost]dt
y) (0, 0) 时， P
-
x2
y
y2
，Q
x2
x
y2
，
Q x
y2 - x2 ( x2 y2 )2
P y
，
21
课堂练习
计算 I
C
xdy - ydx x2 9y2
，其中
C
是以点
A(2, 0)
为圆心，半径为 R(R 2) 的圆周，取逆时针方向。
解：
P
x
2
-y 9
y
2
，Q x x2 9y2
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当
t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
公式中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线
弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。 11
例．计算 xydx ，其中 C 为抛物线 y2 x 上从点 A(1, - 1) C
到点 B(1, 1) 的一段弧。
C
-1
-1
5
12
例．计算曲线积分 C ( x y)dx ( x - y)dy ，
路径 C 是（1）圆弧 AB；（2）折线 AOB。
y
B(0, 1)
(1) ( x y)dx ( x - y)dy AB
x
o
A(1,0)
2 [(cost sint )(-sint ) (cost - sint )cost]dt
y) (0, 0) 时， P
-
x2
y
y2
，Q
x2
x
y2
，
Q x
y2 - x2 ( x2 y2 )2
P y
，
21
课堂练习
计算 I
C
xdy - ydx x2 9y2
，其中
C
是以点
A(2, 0)
为圆心，半径为 R(R 2) 的圆周，取逆时针方向。
解：
P
x
2
-y 9
y
2
，Q x x2 9y2
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当
t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
第11讲-第一和第二型曲线积分
∫
p AB
f ( x, y , z )dl = ∫p f ( x, y , z )dl
BA
此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2) 如果若曲线 L = L1 ∪ L2 组成，则
∫
L
f ( x, y, z )dl = ∫ f ( x, y, z )dl + ∫ f ( x, y, z )dl
∫
p AB
( x 2 + y 2 )dl ，其中, x 2 + y 2 = r 2
dl = (dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 = r 2ω 2 + v 2 dt .
J z = ∫ r 2 r 2ω 2 + v 2 dt = 2πr 2 r 2ω 2 + v 2 .
0 2π
例5
已知半圆圈 C： x + y = r , y ≥ 0 的质量分布不均匀，
2 2 2
其线密度 ρ ( x, y ) = x + y ，试求其重心 ( x , y ) 。
2
解: 将 C 的方程表示为参数方程 ⎨
⎧ x = R cos θ , ⎩ y = R sin θ ,
θ ∈ [0, π ],
C 的质量 M 为 M = ( x + y )dl =
2 C
∫
∫
π
0
(r 2 cos 2 θ + r sin θ )rdθ
f ( x, y, z )dl = ∫ f ( x, y, z )dl + ∫
L1
L2
f ( x, y, z )dl
保号性： ∀P ∈ L, f ≥ 0, 特别有
∫
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(i,i) M i
M2
计算此构件的质量.
AM1
Mi1
分割 用 点 M 1 ,M 2 ,L ,M n 1 分 L 成 n 个 小 段 ， o
x
记 s i M ¼ i 1 M （ ii 1 ， 2 ， L ,n 1 ） ， M 0 = A ， M n = B .
取 (i,i) si, M i(i,i) s i.
l i0m i 1f(i,i)si
＝ L
f(x, y)ds
.
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
记maxsi6
注意: 1. 定积分的 一下 定限 要小 ; 于上
特殊情形 ( 1 ) L : y ( x ) a x b .
f(x ,y ) d s b f[x ,(x )1 ]2 (x ) d.x (ab)
第一和第二型曲线积分
我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧的情形。
对弧长的曲线积分（第一型线积分） 曲线积分
对坐标的曲线积分（第二型线积分）
.
1
一、对弧长的曲线积分的概念
1.引例:曲线形构件的质量
y
B
一曲线形构件在x o y平面内所
L Mn1
占位置是一段曲线弧L，L上任一 点处的线密度ρ(x,y)在L上连续.
L
(5 )曲 线 弧 的 质 心 坐 标
xLxds,
yL
Hale Waihona Puke yds.Lds
ds L.
8
四、 第二型线积分（对坐标的曲线积分）
首先我们看一个具体的例子
引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
y L
B
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, x
( 2 )当 f(x ,y ) 1 时 ,L 弧 长 L d ;s
(3)当 f(x,y)表 示 以 L为 准 线 的 柱 面 在 点
(x,y)处 的 高 时 ,
S柱面面 Lf积 (x,y)d.s
zf(x,y)
s
( 4 )均 匀 曲 线 弧 对 x 轴 及 y 轴 的 转 动 惯 量
Ix=Ly2d s, Iy=Lx 2d s.
定理
设f(x,y)在 光 滑 曲 线 弧 L上 连 续 ,L的
参 数 方 程 为 x y ((tt)),, (t),则
Lf(x,y)ds f[(t),(t)]2(t) 2(t)dt
()
.
5
证： t0 设 t1tn为 [,]上的一个
相应曲线有[ti一 1,ti]分 上割 的， 弧 si记 长
sittii 1 2(t)2(t)d t 2(ti)2(ti) ti
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
L 1
L 2
(2). 函 数 f(x,y)在 闭 曲 线 L 上 对 弧 长 的
曲 线 积 分 记 为 Ñ Lf(x,y)ds.
.
4
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
L
a
( 2 ) L : x ( y ) c y d .
f(x ,y ) d s df[(y )y ] ,1 2 (y ) d .y(cd)
L
c
( 3 ) L : r r () .
L f ( x ,y ) d s f [ r c, r o s] i s r 2 n r 2 d .
n
M2
作 乘 积 f(i, i) si,并 作 和f(i, i) si, A M 1 Mi1
i 1
no
x
令 小 弧 段 长 度 的 最 大 值 0 ,若 极 限 l i m 0 i 1 f (i,i) s i存 在 ,
则 称 此 极 限 是 函 数 f ( x , y ) 在 曲 线 弧 L 上 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ,
求和
n
M (i,i)si.
近似值
i1
n
取极限 Ml i0m i1(i,i).si.
精确值
2
2.定义 设 L 为 x o y 面 内 一 条 光 滑 曲 线 弧 , 函 数 f ( x , y ) 在 L 上 有 界 .
在 第 设 在 i 个 第 L 上 小 i个 任 段 小 意 上 段 插 任 入 的 意 点 长 取 M 度 定 1 , 为 M 的 2 一 , s L i,点 , M ( n i , 1 把 iL ) , 分 成 n y个 小 段 (i. ,i )LM MiBn1
推广: : x ( t ) y , ( t ) z , ( t ) ( . t )
f ( x ,y , z ) d s f [( t ) ,.( t ) ,( t ) ] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t ) d 7 t
三、几何与物理意义
( 1 )当 f( x ,y ) 表 示 L 的 线 密 度 时 , MLf(x,y)ds;
设 i (ti')， i (ti')
ti1 ti' ti
因 f(x 为 ,y )在 L 上连 2 (t) 续 2 (t)连 ，续
f[(t) ,(t)]2(t) 2(t)可积y
B L Mn1
f [( t)( , t)] 2 ( t) 2 ( t) dt
n
li m 0i n 1f[(ti), (ti)] 2(ti)2(ti) ti
记作Lf(x,y)ds.
函 数 f ( x , y ) 在 曲 线 弧 L 上 对 弧 长 的 曲 线 积 分 也 叫 第 一 型 线 积 分 .
n
Lf(x,y)dsli m 0i1f(i,i)si.
.
3
积分弧段
n
存在条件： Lf(x,y)dsli m 0i1f(i,i)si.
当 f ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 弧 L 上 连 续 时 , 对 弧 长 的 曲 线 积 分 L f ( x , y ) d s 存 在 .
今 后 总 假 定 f(x ,y )在 L 上 是 连 续 的 . 类似地可定义
函 数 f ( x , y , z ) 在 空 间 曲 线 弧 上 对 弧 长 的 曲 线 积 分 为
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意： ( 1 ) .若 L ( 或 ) 是 分 段 光 滑 的 ,( L L 1 L 2 )