2 第二型曲线积分

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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes 公式向量计算形式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。

由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。

2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。

1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。

(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4）取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。

第二形曲线积分

第二形曲线积分
在微积分中，曲线积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

其中，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在计算力学中的功和电磁学中的电势等方面起着重要作用。

第二形曲线积分也被称为矢量场在曲线上的积分。

它的计算方法相对简单，只需要将积分路径上的矢量场与微小位移的点积相加即可。

这个过程可以看作是将曲线分成无数个微小的线段，然后将每个线段上的矢量场的投影相加，最终得到整个曲线上的积分结果。

这种方法在物理学中有着广泛的应用。

举例来说，在力学中，我们可以通过计算力场在位移路径上的第二形曲线积分来求解力的功。

功是描述力对物体所做的工作的量，通过计算力在位移路径上的投影相加，我们可以求出力所做的总功。

这个概念也可以扩展到电磁学中，通过计算电场在电势路径上的第二形曲线积分，我们可以求解电势差。

此外，第二形曲线积分还可以用来计算曲线的长度。

在数学中，我们经常遇到需要计算曲线长度的问题。

通过将曲线分成无数个微小的线段，然后对每个线段长度求和，最终可以得到整个曲线的长度。

这种方法在计算机图形学和几何学上有着广泛的应用，在绘制曲线和求解曲线的长度等方面起到了重要作用。

总而言之，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在数学和物理学中具有重要的应用价值。

通过计算矢量场在曲线上的积分，我们可以求解力的功、电势差以及曲线的长度等问题。

这个概念不仅在理论学科中有着广泛的应用，也在实际应用中发挥着重要作用。

对于学习微积分和应用数学的人来说，掌握第二形曲线积分的概念和计算方法是至关重要的。

§2第二类曲线积分

§ 2 第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分,但在力学.物理等许多问题中,还常常用到另外一类曲线积分,叫做第二型曲线积分.一第二型曲线积分的定义1 力场作功问题如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s ，那末这个常力所做功为 θcos s F W = 其中s F ,分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.设平面力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F = ，即力),(y x F 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y). 质点在力场作用下，沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n M M M M T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以i s ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长. i ni s T ∆=≤≤1max . b) 作和任取一点i i i i M M P 1),(-∈ηξ，由于有向线段),,().,(111i i i i i i y x M y x M ---在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,于是 ),(1i i i i y x M M ∆∆=-.从而力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈i i y x ∆∆,(）= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆c) 取极限于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x s P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη 当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定,都要求计算上述形式的和式上极限（参见本节附录）, 这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2 第二型曲线积分的定义（P202-203）设P,Q 为定义在平面有向可求长度的曲线（即光滑或分段光滑平面有向曲线）C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,i ni s T ∆=≤≤1max ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , n i ,,2,1 =.任取(j i ηξ,)∈i i M M 1-,若极限 i n i ii i n i i i T y s Q x s P ∆+∆∑∑==→110),(),(lim ηη存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为 ⎰cQdy Pdx + 或者⎰AB Qdy Pdx + （1）或者 ⎰⎰+c c Qdy Pdx 或者⎰AB Qdy Pds AB ⎰+按这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰⋅=AB ds F W ⎰⎰+==ABAB Qdy Pdx dy dx Q P ),)(,(. 可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分. 若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为⎰⋅AB ds F dz z y x R dy z y x Q dx z y x P c),,(),,(),,(++=⎰ （4） .介绍有向闭路曲线积分的记法 ⎰cfds平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?(此时无所谓“起点”和”终点”)3 第二型曲线积分的性质（P204）(1)线性设C 为有向曲线,⎰c fds ,⎰cgds 存在, 则 ,,R ∈∀βα则ds f f c )(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cc c gds fds ds f f βαβα)( (2)可加性设⎰c fds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且 ⎰⎰⎰+=21c c c fds fds fds （3）第二类曲线积分与曲线C 的方向有关设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰c fds =-⎰c fds （⎰⎰-=BA AB ）（5）第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘积,它与曲线C 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.注1 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分. 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二第二型曲线积分的计算设L （AB ）为平面有向光滑或按段光滑曲线 , L :βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(或者αβ≤≤t 起点A ())( , )(αψαϕ, 终点B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L ( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+L dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. （6）证明略类似，设有空间有向光滑曲线C 的方程是X=x(t),Y=y(t),Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A 到点B 设当t=a 时对应点A ，t=b 对应点B(注意:a<b 或者a>b 均有可能出现);又设)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x f =, 那么dt t z t z t y t x R y t y t z t y t x Q t x t z t y t x P fds ba c )}())](),(),([)())](),(),([)())](),(),([{'''++=⎰⎰ （7）注2 式中,必须注意定积分上,下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致,那下限对应于起点参数值,上限对应于终点的参数值.注3 曲线的自然方向:设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分从点A 到点B 或闭合, 路径为（P205）（1）直线段AB（2）抛物线1)1(22+-=x y ;（3） A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ), 折线闭合路径 .注4 此例表明, 第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关,而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点,但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分,积分值就不同),会不会有如下情形发生:积分只与起点和终点有关,而在积分路径无关?（参见例2）从物理上讲有----重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的,到底需什么呢?以后在讲.例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L : （P206）（1）沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（2）沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（3）沿折线闭合路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).例3 计算第二型曲线积分 I = ⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线bt z t a y t a x === , sin , cos , 从0=t 到π=t 的一段 . （P207）例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,（1）质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中L 1 : bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .（2）质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. （P207）补例1 I=⎰+c dy x dx y 22 ;C:22a x + 22b y =1(y 0≥) ,方向：（-a,0）→(a,0). 补例2 I=⎰-cdy x xydx 22 ;C: 直线y=x,方向从原点到（０，０）附录（说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲）稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB 上点1-i M 处的切向量 B 为)sin , (cos αατ=, ( α是切向量方向与X 轴 i M 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 1-i M 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 n 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段⋂-i i M M 1上的流量 ds n v dE ) , (=. )cos , (sin )2sin( , )2cos(ααπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此 ,()=-⋅=||)cos , (sin ),( , ),(ds y x Q y x P dE αα ||cos ),(||sin ),(ds y x Q ds y x P ⋅-⋅=αα. 由 dx ds dy ds dy dx ds =⋅=⋅⇒=||cos , ||sin ), , (αα, 得 dx y x Q dy y x P dE ),(),(-=. 于是流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-==AB ABdx y x Q dy y x P dE E ),(),(.三两类曲线积分的联系（P208）作业 1（3）、（4）、（5），2。

数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1，与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]，起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π，当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算;关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法;1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义;1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法;2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为 W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F ,在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξi i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中j i ηξ,为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：1 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .2 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的为点0,1,2)n 将曲线i l ,(iiX XX ∆-I的分点及点 L 对坐标作坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分;类似的,设函数Qx,y 在xy 平面上的一条光滑或分段光滑曲线LAB 上有定义且有界;若对于L的任意分法和(,)i i ξη的任意取法,极限都存在且唯一,则称此极限值1lim ()ni i ii Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Qx,y 按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分,记作(,)L Q x y dy⎰(2. 2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ 1,而,但这里要注意αβ≤,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有0dt >,也就有dt dt=,这样才有上述计算公式;这个问题在计算中也要特别注意;沿l 上的点由A 变到B,即t 的下限α对应曲线积分的起点A,他的上限β对应曲线积分的起点A,t 的上限β对应终点B;在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程;椭圆的参数方程为(sin ),02(cos ),x a t t t y a t t π=-⎧≤≤⎨=-⎩有些较简单的曲线可取x 或y 为参数,即可由直角坐标方程; 例如,直线y ax b =+,取可由直角坐标方程得出参数方程;例如,直角y ax b =+,取x 为参数,参数方程即为,,x x x y ax b =⎧-∞<<+∞⎨=+⎩又如,抛物线y x =,取y 为参数,参数方程为2,0,x y y y y ⎧=≤<+∞⎨=⎩例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界,计算（1）22()lx y ds +⎰（2）2222()()lx y dx x y dy +++⎰,沿逆时针方向;解：1这是第一类曲线积分;22222222()()()()lOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰线段OA 的参数方程为,010,x x x y =⎧≤≤⎨=⎩122201()3OAx y ds x dx +==⎰⎰线段AB 的参数方程为,011,x x x y x =⎧≤≤⎨=-⎩12222022()((1))23ABx y ds x x dx +=+-=⎰⎰.线段OB 的参数方程为0,01,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩1222013i OBx y ds y dy +==⎰⎰所以2212212(12)()3333L x y ds ++=++=⎰（2）这是第二类曲线积分;22()(2)lxy dx x dy+++⎰2222()(2)()(2)OABOx y dx x dy x y dx x dy=+++++++⎰⎰111222(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy=++-++-+⎰⎰⎰12011(132)236x x dx =++--=⎰在这个例子中,必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法,尤其是方向性问题;2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域,函数(,)P x y ,(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数,则有格林公式(,)(,)()lDQ PP x y dx Q x y dy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰其中l 取正向;格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系;凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的,格林公式正是这样的公式;在讨论曲线积分与路径无关问题中,在许多公式的推导中,在曲线积分的计算中,格林公式都是很重要的工具;这里再列举两个计算曲线积分的例子;例2. 用格林公式计算例1中2的第二类曲线积分;解：显然,这个积分满足格林公式的条件;用格林公式,22()(2)l xy dx x dy+++⎰110(12)(12)yDy dxdy dy y dx-=-=-⎰⎰⎰⎰11(12)(12)6y y d y =--=⎰这比例1中的解法简单一些;例3. 计算第二类曲线积分22()(),ly x dx x y dy +-+⎰其中l 为从A-2,0到B2,0沿椭圆2214x y +=的上半部分的曲线;解：l 不是一条封闭曲线,不能直接用格林公式;增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线;2222()()()()lBAy x dx x y dy y x dx x y dy+-+++-+⎰⎰(11)224D dxdy ππ=---==⎰⎰22()()ly xdx x y dy+-+⎰224()()ABy x dx x y dyπ=++-+⎰224()()BAy x dx x y dyπ=-+-+⎰22216443x dx ππ-=+=+⎰此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算;2.4 利用对称性计算第二类曲线积分定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为(),()y y x a x b =±≤≤;记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分,12,L L 分别在上的投影方向相反,函数(,)P x y 在L 上连续,那么1）当(,)P x y 关于y 为偶函数时,则有a故1当(,)P x y 关于为偶函数时,有[]{}(,)[,()],()b LaP x y dx P x y x P x y x dx =-⎰⎰00badx ==⎰2）当(,)P x y 位于为奇函数时,有[]{}(,)[,()],()bLaP x y dx P x y x P x y x dx =+=⎰⎰[]2,()2(,)baLP x y x dx P x y dx=⎰⎰注1 对于(,)LQ x y dy ⎰有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反对偶零”“与反对奇倍”;其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零;口诀“反对奇倍”涵义类似解释;为2从点变到0.于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有12(,)(,)(,)L L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=⎰⎰⎰[][]0,(),()aaP x y x dx P x y x dx-+-⎰⎰对右端第2个积分,令x t =-,有[]0(,)()aP x y x dx --=⎰[][]0(,(),()aaP t y t dt P x y x dx-=-⎰⎰因此有(,)LP x y dx =⎰[][]0,(),()a aP x y x dx P x y x dx+-⎰⎰[][]{}0,(),()aP x y x P x y x dx=+-⎰故1当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时,有“同对奇零倍”轴例4 计算LI xydx=⎰.其中L 为抛物线2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一段弧; 解：以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论,故有14225LI xydx ===⎰⎰,其中,1:L y =,x从点0变到1.例 5 计算222()(sin )LI x y dx x y y dy=+-+⎰其L 为222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周; 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和,即2222()2(sin )LLLI x y dx xydx x y y dy=+--+⎰⎰⎰,依题设条件分析知,等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论,故有22()LI x y dx=+⎰1222()Lx y dx =+⎰022232()2ax a x dx a =+-=-⎰其中,221:L y a x =-,x从点a 变到0.2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分斯托克斯Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系;在介绍下述定理之前,先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧,若沿L 行走,指定的侧总在人的左方,则人的前进方向为边界L 正向；若沿L 行走,指定的侧总在人的右方,则人的前进方向为边界线L 的负向,这个规定方法也称为右手法则,如下图所示;定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线,若函数P,Q,R 在S 连同L 上连续, 且有一阶连续偏导数,则(((SR R P R Q P dydz dzdx dxdy y z z y x y ∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰LPdx Qdy Rdz=++⎰2其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定;公式2称之此公式为斯托克斯公式;证明：先证,LSP P dzdx dxdy Pdx z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰3其中曲面S 由方程(,)z z x y =确定,它的正侧法线方向数为{},,1xyz z ''--,方向余弦为{}cos ,cos ,cos αβγ,所以cos cos ,,cos cos Z Z x y αβγγ∂∂==-∂∂(,,)(,,())LP x y z dx P x y z x dx Γ==⎰⎰(,,(,)),P P zP x y z x y y y z y ∂∂∂∂=∂∂∂∂(,,(,))(xy xyD D P P x y z x y dxdy y y ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰⎰cos ,z β∂=-cos cos )SP P dS y zγβ∂∂=--∂∂⎰⎰SP P dzdx dxdy z y∂∂=-∂∂⎰⎰综合上述结果,便得所要证明的3式;同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时,可得LSQ Q dxdy dydz Qdyx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰4和LSQ R dydz dydz Rdsx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰5将3、4、5三式相加即得斯托克斯公式2;如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出,则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块,使每一小块能和这种形式表示,因而这时斯托克斯公式也能成立; 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式：SLdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdzx y z P Q R∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰例1,()()(),Cy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰其中C 为椭圆若从轴ox 正向看去,此椭圆是依次反时针方向进行的;解：椭圆如图所示,把平面1x za h +=上C 所包围的区域记为S,则S 的法线方向为{},,h o a , 注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的,可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角,因此,02222,0,,h an h ah a ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭于是由斯托克斯公式知()()()2CSy z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy-+-+-=-++⎰⎰⎰2(cos cos cos )SdSαβγ=-++⎰⎰2222222()2SSh a h a ds dSa ha ha h+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰2222222222222122()x y a h a h h a a h d a a h a a aa h a h σππ+≤+++=-+=-=-+++⎰⎰例2 222222()()()Cy z dx x z dy x y dz+++++⎰,式中C 是曲线222222,2(0,0)x y z Rx x y rx r R z ++=+=<<>此曲线是如下进行的：由它所包围在球2222x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示;解：注意到球面的法线的方向余弦为cos ,cos ,cos ,x R y zR R R αβγ-===由斯托克斯公式有[]=2)cos ()cos ()cos Sy z z x x y dSαβγ-+-+-⎰⎰原式（2()(1)()()Sx y zy z z x x y dS R R R=--+-+-⎰⎰2()Sz y dS=-⎰⎰由于曲面S 关于oxz 平面对称,y 关于y 是奇函数,有SydS =⎰⎰于是2222=cos SSSx y rxzdS R rdS Rdxdy Rd R r σπ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式结束语第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法,是多元函数积分重要分支;本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算,而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系,对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果;通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法;。

第二类曲线积分奇偶性结论

第二类曲线积分奇偶性结论
1 积分奇偶性
积分奇偶性是积分计算中的一个重要的性质，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分之间的关系。

例如，已知函数f(x)，f(-x)是其变换函数，它们在积分计算中满足积分奇偶性，即：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(-x)dx$$
积分奇偶性可以被称为积分变换法，这种方法可以用来简化复杂的积分计算，减少所需的计算量和时间。

2 第二类曲线
第二类曲线指的是曲线沿着两个坐标轴的分布，其形状是以0，0点为原点和原线段为轴，形成以原点为顶点角，一致增大的两段弧线而构成的曲线。

形状如：。

第二类曲线是分析曲线在图形上比较常见的一种曲线，在积分学中可以将第二类曲线简单的看成是被约分成使被积函数恒等于0的两个部分，从而得到积分的结果。

3 第二类曲线积分奇偶性
第二类曲线积分奇偶性是积分计算中的一个重要概念，它是指给定函数的积分和其变换函数的积分在第二类曲线范围内存在奇偶性。

具体来说，第二类曲线积分奇偶性的结论为：
给定函数 $f(x)$ 经过变换得到函数 $g(x)$，在给定第二类曲线
范围内有：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$$
从上面可以得出，第二类曲线积分奇偶性包括了一般积分奇偶性，但是在第二类曲线积分范围内，奇偶性结论更为明确，减少了变换所
需要进行的计算，为积分计算提供便利。

2 第二型曲线积分详细版.ppt

(1) 半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.

第二类曲线积分与路径无关的条件

探究第二类曲线积分与路径无关的条件
第二类曲线积分又称为弧长积分，是一个沿曲线的长度积分。

对于一个向量场F，我们希望找到一个路径无关性条件，使得F沿一条从A到B的路径的积分等于F沿另一条路径的积分，从而简化积分的计算。

首先我们需要了解一个概念：保守场。

如果一个向量场F满足一定条件，那么F就是保守场，这意味着路径积分只与A、B两点的位置有关，即与路径无关。

具体而言，F是连续可微的，并且满足旋度为零的条件，即curl F=0。

这个条件表明，F的散度为零，即场的通量经过任意一个闭合曲面都等于零。

总之，保守场是第二类曲线积分与路径无关的条件之一。

另外一个条件是单连通域。

一个域是单连通的，当且仅当从该域中任意一点出发的任意路径都可以被连续地收缩为一个点。

单连通域的存在保证了积分的路径无关性。

具体来说，如果F定义在单连通域上，F满足连续和可微的条件，并且：
∮<sub>γ</sub>F·ds=0
对于该域中任意两点A、B以及连接它们的任意两条路径都成立。

当然，这个定理的证明需要一定的拓扑学知识，这里不再详细阐述。

综上所述，第二类曲线积分与路径无关的条件包括保守场和单连通域。

在实际问题中，我们需要根据给定的向量场和曲线来判断是否满足这些条件，以确保积分的计算是正确的。

第二型曲线积分论文

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (2)3预备知识 (2)3.1第二型曲线积分的定义 (2)3.2第二型曲线积分的性质 (3)4第二型曲线积分的计算 (4)4.1直接计算 (4)4.2利用格林公式计算 (12)4.3利用曲线与路径无关计算 (14)4.4利用奇偶对称性计算 (16)4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)5结论 (19)5.1主要观点 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (20)1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.2 文献综述2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.2.3提出问题对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.3预备知识为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.3.1第二型曲线积分的定义设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.设第k 个小弧⌒k k A A 1-的弦−→−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→−.作和⋅∑=),(k k n k k F ηξ1k x ∆ ， ⋅∑=),(k k nk k F ηξ1k y ∆ ，（1）分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。

关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结

关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结***（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首 416000）摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分曲线积分二重积分英文部分引言：微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分1、1利用定积分求极限：);321(1lim3334n n n ++++∞→ 解：)321(1lim3334n n n ++++∞→ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→333)()2()1(1lim n n n n n n =n ni n i n 1)(lim 31∑=∞→ 设3)(x x f =，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取ni n x i i ==∆ε,1为区间[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n i n i x x i i ,1,1的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数3)(x x f =在区间[0,1]上的一个积分的极限，从而有4141)21(1lim 104103334===+++⎰∞→x dx x n n n .回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).则BC 的方程为：x+20y-50=0.即y=5-101x. 由于在相同深度处水的静压力相同gx ρ,故当x ∆很小时，闸门上从深度x 到x+x ∆ 这一狭条A 上受的静压力为.)1015(22dx g x x x g x dx x y dp p ⋅⋅⋅⋅⋅-⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≈∆ρρ dx x x gdx x x x dp p )5110()1015(232002200200-=⋅⋅⋅⋅-⨯==⎰⎰⎰ρ =14373.33(kN).1、3 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带点电荷密度为δ，在圆心处有一单位E 电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取θ∆所对应的一段导线，电荷电量为.θδθd r d ⋅⋅= ，它圆心处电荷E 在垂直方向上的引力为θθθθsin sin 2r ks r sr k F ∆=∆⋅=∆ 则导线与电荷作用力为rk d r k δθθδπ2sin 0=⎰回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

第二类曲线积分的计算方法与技巧

第二类曲线积分的计算方法与技巧摘要：第二类曲线积分是高等数学教学的重点和难点，是大学数学竞赛、研究生入学考试中的必考点，同时也是学生最难理解的内容之一。

本文通过对典型试题的分析，总结归纳了计算第二类曲线积分的各种计算方法和重要技巧，为第二类曲线积分计算提供了广阔的思路和计算便捷。

关键词：第二类曲线积分；计算方法；重要技巧0引言第二类曲线积分是高等数学微积分教学中的一个非常重要的知识点和难点，引例、概念抽象难懂，计算方法和技巧多种多样，给大多数学生造成非常大的学习困扰。

此外，每所高校高等数学教学要求不同，例如一些学校利用很少的学时只学习了计算第二类曲线积分的一些最基本的计算方法[1-4]，导致学生无法应对全国性的考试，例如考研数学、全国数学竞赛等。

本文首先总结归纳了计算第二类曲线积分的一些常用方法，并对每种方法的特点和适用范围作了注释。

其次，给出计算第二类曲线积分的一些重要技巧，这些技巧的使用，有利于简化计算，减少计算量。

最后，以两道考研和数学竞赛试题为例，结合上述方法和技巧，给出一题多解，并对各种解法做了比较。

1第二类曲线积分的计算方法1.1.直接积分法直接积分法是指将第二类曲线积分化为定积分进行计算，这是计算第二类曲线积分的最基本方法.基本原则就是“一求”，“二代”，“三定限”. 以平面第二类曲线积分为例，假设曲线的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从的起点沿曲线移动到点。

“一求”是指根据曲线参数方程求出。

“二代”是指将曲线方程代入被积函数，即，。

“三定限”是指确定积分的积分限，遵循的原则是起点做下限，终点做上限，且不论与谁大谁小。

进而得到。

类似，可推广到空间曲线。

1.1.Green公式定理：设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线。

关于使用Green公式的说明：① 方向性问题。

闭区域的外边界逆时针为正，内边界顺时针为正。

② 是否封闭问题.若不封闭，则需要补线，使之封闭。

第二型曲线积分

u u ( x x, y ) u ( x, y ) ( A C ) P d x Q d y ( A B ) P d x Q d y
x ( B C ) P d x Q d y x x P ( x , y ) d x P ( x x, y ) x u 其中 0 1 . 故 lim lim P ( x x , y ) P ( x, y ) . x 0 x x 0 即 u x P ( x, y ) . 同理可得 u y Q ( x , y ) .
I L (e y x ) d x ( x e y 2 y ) d y , 其中例 1. 求
x 2 2 y 2 4 , 沿顺时针方向。 L 是椭圆
解：记 P e x , Q x
故 I 0.
1 1 据已知 I u ( B ) u ( A) cos ( 2 π ) cos ( π ) 1 . 2 2
作业： P 134
2. ( 1 ) ( 4 ) ;
P 135
9. ( 1 ) ( 2 ) .
2 2
令 u ( x , y ) (0, 0) P d x Q d y
( x, y)
x 0 2
2 xd sin x x 2 sin y ) d y y sin x x cos y , 则 d u P d x Q d y .
y x 0 (2 y 2
故方程通解为
例 3. 验证在整个 x o y 面内，x y d x x y d y 是某函数的全微分，并求此函数。
2 2
P Q 解：记 P x y , Q x y , 则 2x y y x 在整个x o y 面内成立。因此 P d x Q d y 是某个函数的全微分。它的原函数为：

高等数学第22章第2节第二型曲面积分

第二十二章曲面积分§2 第二型曲面积分一曲面的侧为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。

设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M 为曲面S 上的一点，曲面在M 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。

设0M 为S 上任一点，L 为S 上任一经过点0M ，且不超出S 边界的闭曲线。

又设M 为动点，它在0M 处与0M 有相同的法线方向，且有如下特性：当M 从0M 出发沿L 连续移动，这时作为曲面上的点M ，它的法线方向也连续地变动。

最后当M 沿L 回到0M 时，若这时M 的法线方向仍与0M 的法线方向一致，则说这曲面S 是双侧曲面①；若与0M 的法线方向相反，则说S 是单侧曲面。

我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。

单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(M öbius)带。

它的构造方法如下：取一矩形长纸带ABCD(如图22-3(a))，将其一端扭转1800后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合，B 与D 重合。

如图22-3(b)所示)。

读者可以考察这个带状曲面是单侧的。

事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线L ，动点M 从L 上的点0M 出发，其法线方向与① 事实上，可以证明，只需对S 中某一点．．．0M 且又不超出S 的边界的任何闭曲线L 上具有上述特性，则S 是双侧曲面。

0M 的法线方向相一致，当M 沿L 连续变动一周回到0M 时，由图22-3(b)看到，这时M 的法线方向却与0M 的法线方向相反。

对默比乌斯带还可更简单地说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边界而将它全部涂遍(即把原纸带的两面都涂上同样的颜色)。

通常由()y x z z ,=所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z 正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。

当S 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。

第二型曲线积分计算公式

第二型曲线积分计算公式在我们学习高等数学的旅程中，第二型曲线积分计算公式可是一个相当重要的家伙。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。

先来说说这第二型曲线积分到底是啥。

想象一下，你在一个弯弯曲曲的小路上跑步，每跑一段，你所感受到的力都不太一样。

而第二型曲线积分就是要计算在这样的曲线路径上，力所做的功。

比如说，有一个力 F = (x, y)，而曲线 C 是由参数方程 x = t^2，y = t^3 给出的，从 t = 0 到 t = 1 。

那这时候，咱们的第二型曲线积分计算公式就派上用场啦！它的公式是这样的：∫_C Pdx + Qdy = ∫(α→β) [P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t)]dt 。

这里面的 P 和 Q 是力在 x 和 y 方向上的分量，x'(t) 和 y'(t) 则是曲线参数方程的导数。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体的例子感受感受。

有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个同学就一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“假设你是个勤劳的小蚂蚁，要沿着一根弯弯曲曲的树枝搬运食物。

你每前进一小段，都要克服不同方向和大小的阻力。

那你想知道自己总共花费了多少力气吗？这时候就得靠咱们的第二型曲线积分计算公式啦！”然后我们就一起做了一道题。

假设曲线 C 是由 x = cos(t)，y = sin(t) 给出的，从 t = 0 到t = π/2 ，力 F = (y, -x) 。

按照公式，先求出 x'(t) = -sin(t) ，y'(t) = cos(t) ，然后代入公式计算：∫_C Pdx + Qdy = ∫(0→π/2) [sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))cos(t)]dt= ∫(0→π/2) (-sin^2(t) - cos^2(t))dt= -∫(0→π/2) 1 dt= -π/2同学们恍然大悟，原来这个公式能这么清楚地算出小蚂蚁花费的力气呀！再深入想想，第二型曲线积分计算公式在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

第二型曲线积分格林公式

i 1
i 1
取极限：令 d m1ianx{si } ，则力场 F 所作的功为
n
W
lim d 0
i 1
F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )]
n
lim
d 0
i 1
F (i
,i
,
i
) Ti
( i
,i
,
i
)si
。
2、第二型曲线积分的定义
设 C 是向量场 A( x, y, z) 所在空间中一条以 A 为起点，B 为
终点的有向光滑曲线弧。用分点 A Ao , A1, A2 , An-1, An B ，
⌒
⌒
把 C 任意分成 n 个有向小弧段 Ai-1 Ai (i 1,2,, n), Ai-1 Ai
⌒
的长度记为 si，令d m1ianx{si } ， Mi (i ,i , i ) Ai-1 Ai ，
n
作和式 A(i ,i , i ) Ti (i ,i , i )si ，其中Ti T(i ,i , i )
C
C1
C2
其C 中 C1C2,C1与 C2首尾（对相积分弧段接的可加性. ）
（3） A ds - A ds 。
C-
C
（方向性）
其中C-是与C反方向的有向曲线弧。
4、第二型曲线积分的计算
定理 1.1 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x(t) , y y(t) ，
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当 t 单调地由变到时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
第二型曲线积分格林公式
一、第二型曲线积分

华中科技大学微积分下复习笔记—曲线积分与曲面积分

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关曲线积分与曲面积分的复习笔记，包含两部分——基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

基本公式1.第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）或者1）物理意义：a. 曲线的质量，重心坐标b. 曲线弧长s=！可以用于简化计算2）性质：线性性、可加性、中值公式：s是L的弧长，L上有一点P，3）计算a.参数方程版：三元：，注意这个公式必须满足①L是空间光滑曲线；②α和β必须满足α<β二元：同理b.坐标代换版：三元柱面坐标：二元极坐标：c.普通曲线版对于y=f(x)，2.第二型曲线积分（对坐标的曲线积分，矢量场在有向线段上的积分），L是分段光滑有限长的有向线段，F={P,Q,R}分段连续1）物理意义：质点沿有向曲线L从起点运动到终点时，变力F={P,QR}所做的功2）基本概念：a.①其中P,Q,R是被积函数，L是积分弧段或者积分路径②r是L上动点的矢径（位置矢量），质点的坐标可以表示成(x,y,z)，也可以r=x i+y j+z k③τ是L的单位切矢量， α β 是τ的方向余弦。

④d r和τ同向，dx,dy,dz是d r分别在x轴，y轴，z轴上的投影，投影可正可负，依赖于L的方向。

⑤矢量函数F是数量函数F τ的第一型曲线积分。

b.性质：反向性、线性性、曲线可加性（方向不变）可拆分性：（空间一个力做的功等于三个分力做的功之合）垂直：若，则（垂直与物体运动方向的力不做功）3）计算a.化为定积分：需注意：①t的取值，即从α到β一定要反应L的方向；②这种化为定积分的计算方式中是不出现弧微分的；③P,Q,R都是用t表示的；④参数化方程时，如y=y(x)的，可以b.化为二重积分：格林公式c.二元函数的全微分求积找到原函数v使得，则其中，P,Q在D上有连续的一阶连续偏导，且在D内Q x=P y4）格林公式a.普通版公式①成立条件：D由xy平面上的简单闭曲线L（分段光滑且自身不相交）围成，函数P,Q,R（包括边界！）有连续的一阶偏导数。

《高等数学教学课件》2011 第二节第二型曲线积分

x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数

第二类曲线积分符号

第二类曲线积分符号第二类曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了向量场沿着曲线的积分。

在数学上，曲线可被参数化为向量值函数。

第二类曲线积分描述了向量场在曲线上各点的切线方向上的投影与弧长的乘积之积，也可以理解为向量场在曲线上的切向量与速度向量的点积。

若曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，向量场F(r)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q、R为连续可微函数，则第二类曲线积分可表示为：∫(C)F·dr = ∫(C)F(r)·T(t)ds其中：F(r)表示向量场在曲线上的切向量与速度向量的点积；T(t)表示曲线在参数t处的单位切向量；ds表示曲线在参数t处的弧长元素。

对于第二类曲线积分，常用的计算方法有以下几种：1. 直接计算法：将曲线参数化，并将曲线积分表达式中的各个参数用t表示，然后按照积分的定义进行求解。

2. 换元法：当曲线参数化不方便进行积分计算时，可借助换元法将原积分转换成更容易计算的形式，如将参数t用曲线长度s表示。

3. Green公式：当曲线C是一个简单闭合曲线，且曲线内部的区域满足一定的条件时，可以利用Green公式将曲线积分转换为二重积分进行求解。

4. Stoke公式：当曲线C是一个有向光滑曲面的边界曲线时，可以利用Stoke公式将曲线积分转换为曲面积分进行求解。

5. 散度定理：当曲线C是一个有向光滑曲面的外边界时，可以利用散度定理将曲线积分转换为曲面积分进行求解。

以上是第二类曲线积分的相关参考内容。

需要注意的是，在实际应用中，根据具体情况选择适合的计算方法和公式可以更高效地求解曲线积分问题。

第二类曲线积分学

沿着L的方向移动时，参数 t 减少.
dt < 0
→
→ →r (− e r ′ )
r r′ d r = r (t )d t
故 d r 与 r ′ ( t )方向相反，而与 L的方向一致 .
于是
dr =
→
ds
(2)
综合(1)、 (2)，得
dr = e
其中
→ L
ds
.
→ e L 是与 L同方向的单位切向量
L
= ∫ [ P ( x , y ) cos α + Q ( x , y ) cos β ]ds
曲线 L在 r (t )的终点处切向量，其指向与参数 t 增大
时曲线 L上的点移动的方向一致.
→
一方面 d r = r ′ ( t ) d t = (ϕ ′( t ), ψ ′( t )) d t
= (d x , d y )
∫ P ( x, y ) d x + Q( x , y ) d y =
L
∫ [P ( x , y )
L
2 x − x 2 + Q( x , y )( 1 − x )]ds
三、第二类曲线积分的计算法
定理10.2 设 L 是一条平面有向光滑曲线弧，其参数方程为
⎧ x = φ( t ) ⎨ ⎩ y = ψ (t ) t : a → b,
a
ϕ ′( t ) ⋅ ϕ 2 t + ψ ′2 ⎧ P [ϕ ( t ),ψ ( t )] ⋅ ϕ ′ ( t2) d t , 2 当 a ′< ( b)时； ( t ) d t ϕ ′ (t ) + ψ ′ (t ) ⎪a
→
e
L
= (cos α , cos β )

第二类曲线积分与第二类曲面积分

习题 14.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分1.求下列第二类曲线积分：（1） ∫，其中是以 −++Ldy y x dx y x )()(2222L A B C D (,),(,),(,),(,)10202111为顶点的正方形，方向为逆时针方向；（2） ∫，其中L 是抛物线的一段： −+−Ldy xy y dx xy x )2()2(22y x x =−≤≤21,1，方向由(,)−11到； (,)11（3） ∫+−−+L22)()(y x dy y x dx y x ，其中是圆周，方向为逆时针方向； L x y a 22+=2（4） ∫，其中L 是曲线，++−Ldz y x xdy ydx )(22tt t a z e y e x ===−,,10≤≤t ，方向由到(；(,,)e e a −1,,)111（5） ∫，是从点到点的直线段；−+++Ldz y x ydy xdx )1(L (,,)111(,,)234（6） ∫，L 为曲线若从轴的正向看去，的方向为逆时针方向；++Lxdz zdy ydx ⎩⎨⎧>=+=++),0(,2222a a z x az z y x z L （7），为圆周∫−+−+−Ldz y x dy x z dx z y )()()(L ⎩⎨⎧<<==++),0(tan ,1222πααx y z y x ，若从x 轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。

解：（1）∫−++Ldy y x dx y x )()(22222222()()AB BC CD DA x y dx x y dy ⎧⎫=+++++−⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫ 2112222121(4)(1)(1)x dx y dy x dx y d =+−+++−∫∫∫∫y 2=。

（2）∫−+−Ldy xy y dx xy x )2()2(22∫−−+−=113432]2)2()2[(dxx x x x x1514)4(1142−=−=∫−dx x x 。