高中数学必修一_函数性质

高中数学必修一 函数性质卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 下列区间是函数f(x)=1−1x−1的递增区间的是（ ）A.(1, 2)B.[1, 2]C.(0, +∞)D.(−∞, 2)2. 函数f(x)=1x 2+1的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y =−x 对称C.坐标原点对称D.直线y =x 对称3. 下列函数为偶函数的是( )A.f(x)=x −1B.f(x)=x 2+xC.f(x)=√xD.f(x)=x 24. 已知为f(x)奇函数，在[3, 6]上是增函数，[3, 6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(−6)+f(−3)等于（ ）A.−15B.−13C.−5D.55. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)单调递增的是（ ）A.y =√xB.y =cos xC.y =e xD.y =ln |x|6. 下列函数中既是奇函数又在(0, π2)上单调递增的是( )A.y =−xB.y =x 2C.y =sin xD.y =cos x7. 已知f(x)=2e x −1+a 为奇函数，则a =（ ）A.1B.−2C.−1D. 128.已知f(x)={(4−a 2)x +2，x ≤1ax,x >1,是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A.(1, +∞)B.(1, 8)C.(4, 8)D.[4, 8)9. 设函数f(x)=(12)|x|，则使得f(−3)<f(2x−1)成立的x的取值范围是（）A.(−∞,−1)∪(2,+∞) B.(−1,2)C.(−1,+∞)D.(−∞,−1)10. 下列函数中，既是奇函数，又在(0, +∞)上单调递减的函数是( )A.y=−xB.y=−|x|C.y=1−x2D.y=−2x11. 函数f(x)=x3+x的图象关于（）A.y轴对称B.直线y=−x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称12. 下列函数中，为偶函数且在(0, +∞)内为增函数的是（）A.f(x)=sin2xB.f(x)=x2+3x2C.f(x)=x12+x2 D.f(x)=x(e x−e−x)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，）13. f(x)=(12)x2−2x+3的单调递增区间为________．14. y=x|x|+3的单调增区间是________．15. 已知函数f(x)=2x−3，其中x∈{x∈N|1≤x≤103}，则函数的最大值为________．16. 已知函数f(x)是定义在R的奇函数，设F(x)=f(x)+3，且F(x)的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．17. 已知函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数．当x∈(−∞, 0)时，f(x)=2x+1，则f(x)=________．18. 函数f(x)=log0.5(8+2x−x2)的单调递增区间是________．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ）19. f(x)是定义在[−2π, 2π]上的偶函数，当x ∈[0, π]时，y =f(x)=cos x ，当x ∈(π, 2π]时，f(x)的图象是斜率为2π，在y 轴上截距为−2的直线在相应区间上的部分．（1）求f(−2π)，f(−π3)；（2）求f(x)，并作出图象，写出其单调区间．20. 求函数y ={x +3,x <1−x +6,x ≥1的最大值．21. 已知函数f(x)=px 2+2q−3x 是奇函数，且f(2)=−53，求f(x)的解析式．22. 已知函数f(x)=x +k x ，且此函数图象过点(2, 6)（1）求实数k 的值；（2）判断函数f(x)的奇偶性；（3）判断函数f(x)在[3, +∞)上的单调性，并给予证明．23. 已知函数f(x)=1−42a x +a (a >0且a ≠1)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数．（1）求a 的值；（2）当x ∈(0, 1]时，t ⋅f(x)≥2x −2恒成立，求实数t 的取值范围．高中数学必修一函数性质参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【考点】函数的单调性及单调区间【解答】解：∵函数y=−1x在(0, +∞)上为增函数，∴将函数y=−1x 向右平移1个单位得到y=−1x−1，此时函数在(1, +∞)为增函数，则函数f(x)=1−1x−1的在(1, +∞)上为增函数，故区间(1, 2)是函数的一个递增区间，故选：A2.【考点】奇偶函数图象的对称性【解答】解：函数的定义域是x≠0．∵f(−x)=1(−x)2+1=1x2+1=f(x)，∴f(x)=1x2+1是一个偶函数，由偶函数的性质知函数f(x)=1x2+1的图象关于y轴对称．故选A．3.【考点】函数奇偶性的判断偶函数【解答】解：A，定义域为R，f(−x)=−x−1≠f(x)，不是偶函数；B，定义域为R，f(−x)=x2−x≠f(x)，不是偶函数；C，定义域为x≥0，定义域不关于原点对称，不是偶函数；D，定义域为R，f(−x)=x2=f(x)，是偶函数.故选D.4.【考点】奇偶性与单调性的综合【解答】解：根据已知条件知，f(6)=8，f(3)=−1，f(−6)=−8，f(−3)=1；∴2f(−6)+f(−3)=−16+1=−15；故选A．5.【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解答】解：y=√x在(0, +∞)上递增，但不具有奇偶性，排除A；y=cos x为偶函数，但在(0, +∞)上不单调，排除B；y=e x在(0, +∞)上递增，但不具有奇偶性，排除C；y=ln|x|的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，关于原点对称，且ln|−x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，当x>0时，y=ln|x|=ln x，在(0, +∞)上递增，故选D．6.【考点】奇偶性与单调性的综合【解答】解：对于A，y=−x，k=−1<0，在(0, π2)上单调递减，不满足题意；对于B，y=x2，是偶函数，不满足题意；对于C，y=sin x，是奇函数，在(0, π2)上单调递增，满足题意，故正确．对于D，y=cos x，是偶函数，不满足题意．故选C.7.【考点】函数奇偶性的性质【解答】解：f(x)=2e x−1+a为奇函数，则f(−x)=−f(x)，2e−x−1+a=−2e x−1−a，即2e x1−e x +a=21−e x−a，则2(e x−1)1−e x=−2a，即−2=−2a，解得a=1.故选A.8.【考点】函数的单调性及单调区间【解答】解：根据f(x)={(4−a 2)x +2，x ≤1，ax,x >1，是R 上的单调递增函数， 可得4−a 2>0， 且a >0，且4−a 2+2≤a ，求得4≤a <8.故选D ．9.【考点】函数单调性的性质【解答】此题暂无解答10.【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解答】解：A ，y =−x 在(0, +∞)上单调递减，且为奇函数，故正确；B ，y =−|x|为偶函数，故不正确；C ，y =1−x 2为偶函数，故不正确；D ，y =−2x 在(0, +∞)上单调递增，故不正确．故选A.11.【考点】奇偶函数图象的对称性【解答】解：∵ f(−x)=−x 3−x =−f(x)，∴ 函数f(x)=x 3+x 为奇函数，∵ 奇函数的图象关于原点对称，故选C ．12.【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解答】解：对于选项A:f′(x)=2sin x cos x =sin 2x ，而−1≤sin 2x ≤1，不合题意，对于选项B:f′(x)=2x−6x3，当x∈(0, √34)时，f′(x)<0，不合题意，对于选项C:f(x)的定义域是[0, +∞)，不是偶函数，不合题意，故选：D．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）13.【考点】复合函数的单调性【解答】解：令t=x2−2x+3，则f(t)=(12)t，故本题即求二次函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得二次函数t的减区间为(−∞, 1).故答案为：(−∞, 1)．14.【考点】函数单调性的判断与证明【解答】解：∵函数y=f(x)=x|x|+3={x2+3，x≥0−x2+3，x<0，当x≥0时，y=f(x)=x2+3的图象从左向右是上升的，是增函数；当x<0时，y=f(x)=−x2+3的图象从左向右也是上升的，是增函数；∴y=f(x)在定义域(−∞, +∞)上是增函数，∴y=f(x)的单调增区间是(−∞, +∞)．故答案为：(−∞, +∞)．15.【考点】函数的最值及其几何意义【解答】解：∵ x∈{x∈N|1≤x≤103}={1, 2, 3}，由于f(x)=2x−3为递增函数，则x=3时，取得最大值，且为2×3−3=3.故答案为：3．16.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解答】解：∵函数y=f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又F(x)=F(x)+3的最大值为M，最小值为m，所以F(x)的最大最小值分别为M−3，m−3，由奇数的性质可得(M−3)+(m−3)=0，解得M +m =6，故答案为：617.【考点】奇函数【解答】解：设x ∈(0, +∞)则−x ∈(−∞, 0)当x ∈(−∞, 0)时，f(x)=2x +1所以f(−x)=−2x +1又∵ 函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数∴ f(−x)=−f(x)∴ f(−x)=−2x +1=−f(x)∴ f(x)=2x −1∴ 当x ∈(0, +∞)时f(x)=2x −1∵ 函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数∴ f(0)=0故答案为f(x)={2x +1,x <00,x =02x −1,x >018.【考点】复合函数的单调性【解答】解：令t =8+2x −x 2=−(x +2)(x −4)>0，求得−2<x <4，故函数的定义域为(−2, 4)， f(x)=log 0.5t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间． 再根据二次函数的性质可得函数t =−(x −1)2+9在定义域(−2, 4)上的减区间为[1, 4)， 故答案为[1, 4)．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ） 19.【考点】余弦函数的图象函数的单调性及单调区间偶函数【解答】解：（1）当x ∈(π, 2π]时，y =f(x)=2πx −2，又f(x)是偶函数，∴ f(−2π)=f(2π)=2．又x ∈[0, π]时，y =f(x)=cos x ，∴f(−π3)=f(π3)=12．（2）y=f(x)={−2πx−2x∈[−2π,−π)cos x,x∈[−π,π]2πx−2x∈(π,2π]当x∈(−2π, −π]时，根据直线方程的单调性可知其为减函数；当x∈[0, π]时，根据余弦函数的单调性可知为减函数；当x∈[−π, 0]时，根据余弦函数的单调性可知为增函数当x∈[π, 2π]时，函数的图象为直线，斜率大于0，可知为增函数．故调区间为[−2π, −π),[0, π),[−π, 0]，[π, 2π]．20.【考点】函数的最值及其几何意义【解答】解：当x<1时，y=x+3<1+3=4，当x≥1时，y=−x+6≤−1+6=5，∴当x=1时，函数取得最大值为5．21.【考点】奇函数【解答】解：f(x)=2x 2+2−3x．∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x，都有f(−x)=−f(x)，即px 2+2q+3x =−px2+2q−3x，整理得：q+3x=−q+3x，∴q=0又∵f(2)=−53，∴f(2)=4p+2−6=−53，解得p=2∴所求解析式为f(x)=2x2+2−3x．22.【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解答】解：（1）由题意可得f(2)=6，即2+k 2=6，解得，k =8； （2）函数f(x)=x +8x 的定义域为{x|x ≠0}关于原点对称， f(−x)=−x −8x =−(x +8x )=−f(x)，则f(x)为奇函数；（3）函数f(x)在[3, +∞)上递增．证明如下：设m >n ≥3，则f(m)−f(n)=m +8m −(n +8n ) =(m −n)+8(n−m)mn =(m −n)⋅mn−8mn ，由m >n ≥3，则m −n >0，mn >9，即mn −8>0， 则有f(m)−f(n)>0，即有f(m)>f(n)，故f(x)在[3, +∞)上递增．23.【考点】函数奇偶性的性质与判断【解答】∵ 函数f(x)=1−42a x +a (a >0且a ≠1)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数， ∴ f(0)=1−42+a =0，解得a ＝2．由（1）得f(x)=2x −12x +1，当0<x ≤1时，f(x)>0． ∴ 当0<x ≤1时，t ⋅f(x)≥2x −2恒成立，则等价于t ≥2x −2f(x)=(2x −2)(2x +1)2x −1对x ∈(0, 1]时恒成立，令m ＝2x −1，0<m ≤1，即t ≥m −2m +1，当0<m ≤1时恒成立，既t ≥m −2m +1在(0, 1]上的最大值，易知y =m −2m +1在(0, 1]上单调递增， ∴ 当m ＝1时y =m −2m +1有最大值0，所以t ≥0， 故所求的t 范围是：t ≥0．。