高中数学解题思想方法(数学归纳法)
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五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n
·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k ＋1
B. 2(2k ＋1)
C. 211
k k ++ D.
231
k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋
12＋13＋…＋121
n -
A. 2k -1
B. 2k
－1 C. 2k
D. 2k
＋1
3. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (xx 上海高考)
A.当n ＝6时该命题不成立
B.当n ＝6时该命题成立
C.当n ＝4时该命题不成立
D.当n ＝4时该命题成立
4. 数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n -1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是_____。
A. 3n －2
B. n 2
C. 3
n -1
D. 4n －3
5. 用数学归纳法证明342
n +＋521
n + (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子3412
()k ++＋5211
()k ++应变形为_______________________。
6. 设k 棱柱有f(k)个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知数列8113
22
··，得，…，
8212122
··n n n ()()
-+，…。S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。 （xx 全国理） 【解】 计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4
＝8081 ， 猜测S n ＝()()2112122
n n +-+ (n ∈N)
当n ＝1时，…
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和：
例2. 设a n ＝12×＋23×＋…＋n n ()+1 (n ∈N),证明：12n(n ＋1) <12 (n ＋1)2 。 【解】 当n ＝1时，a n ＝2， 12n(n+1)＝12，12 (n+1)2＝2 ， ∴ n ＝1时不等式成立。 假设当n ＝k 时不等式成立，即：12k(k ＋1) (k ＋1)2 ， 当n＝k＋1时，1 2 k(k＋1)＋()() k k ++