1.6 子集与推出关系(含答案)
子集与推出关系
七宝中学 郝翠荣
复习引入：
1、可以判断真假的语句叫做命题，可写成 “ 如果，那么 ”
若 ，此时该命题是真命题
若 ，此时该命题是假命题
复习引入： 2、四种命题及相互关系：
原命题 若 则 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若 则 逆命题 若 则
(2) : 正整数n被5整除， : 正整数n的个位数是5
例2、设:1 X 3,:m+1 X 2m+4,m R
是的充分条件ห้องสมุดไป่ตู้求m的取值范围
例3、判断下列命题中前者是后者的什么条件？ （1）若x=y，则x2=y2。 （2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （3）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （4）若a2>b2，则a>b。
答： (1) p (2) p (3) p (4) p
q, q q, q q, q q, q
p 前者是后者的充分不必要条件。 p 前者是后者的充要条件。 p 前者是后者的必要不充分条件。 p 前者是后者的既不充分也不必要条件。
推出关系：
例2，判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ p q （1） x2>1 x<-1 （2） |x-2|<3 -x2+4x+5>0 （3） xy≠0 x≠0或y≠0 解：（1）p （2）p （3）p q，q q q，q p p
1、A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的 必要 条件 必要条件，D是A的_________
充分非必要 条件 2、0 x 2是-1<x 2的_____________
必要非充分 条件 3、“ x为矩形” 是“ x为正方形” 的_____________
1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系
BA C图2CA B图 4CA B图1图3BA 1.5充分条件、必要条件【教学目标】1、从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；. 2、结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 【教学重点】充分条件、必要条件及充要条件的意义【教学难点】能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性。
【教学过程】 一、课前预习反馈： 1. 复习⑴推出符号“⇒”的含义：一般地,如果“若α,则β”为真, 即如果成α立，那么β一定成立,记作:“βα⇒”;如果“若α,则β”为假, 即如果α成立，那么β不一定成立,记作:“α⇒β”. ⑵用推出关系的符号表示下列事件α与β的关系①:k α是能被4整除的自然数 :k β是偶数 ②2:870x x x α-+=实数适合 71x x β==：或 ③:5x α= :5x β= ④:A B α≠⊂ :A B β⊆⑤:x A B α∈ :x A B β∈⑥:2x α≠ :0x β>⑦:αA 键闭合；:β灯泡亮。
根据下图回答:α与:β之间的推出关系2、充分必要条件类型： （1）充分条件与必要条件如果（结论）条件βα⇒)(，那么称这个条件α是这个结论β的 条 (换句话说β的 条件是α)；如果（条件）（结论）αβ⇒，那么称这个条件α是这个结论β的 条件 (换句话说β的 条件是α)（2）充分必要条件如果既有αβ⇒，又有βα⇒，即有αβ⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，就称α是β的 条件，简称 。
（3）非充分非必要条件：条件α成立不能推出结论β成立，结论β成立不能推出条件α成立 称条件α是结论β的非充分非必要条件二、课堂学习探索： 1、充分必要条件类型：（1）α是β的充分必要条件（充要条件），即 ； （2）α是β的充分不必要条件，即 ； （3）α是β的必要不充分条件，即 ；（4）α是β的既不充分又不必要条件，即 ．2、充分必要条件的两种表达形式：（1）*** 是 *** 的 *** 条件 （2）*** 的 *** 条件 是 ***3、充分必要条件的判断：首先区别什么是条件，什么是结论；然后利用推出关系加以说明4、充分必要性的证明：必须先给出充分必要性的区别，再加以证明（不具备充分必要性只要举出反例）例1、上述练习中①α是β的 条件，β是α的 条件；②α是β的 条件。
沪教版(上海)数学高一上册-1.6子集与推出关系 教案
子集与推出关系【学习目标】1、理解集合包含关系与推出关系的等价性，掌握运用该等价关系进行推理的方法。
2、了解集合思想在分析问题、解决问题中的应用，进一步提高分析和概括能力以及数学语言的表述能力。
3、通过理解集合关系与推出关系之间的内在联系，体会数学的和谐统一之美。
【学习导引】问题（1）已知命题α：“4x >”与命题β：“2x >”，请判断两者的推出关系。
问题（2）如果把“4x >”和“4x >”分别看成构成集合A 和B 的元素所具有的性质，记集合{|4}A x x =>，集合{|2}B x x =>，请判断集合A 、B 之间的关系。
问题（3）集合A 和B 之间的关系“A B ⊆”与命题α、β之间的关系“αβ⇒”有内在的联系吗？问题（4）通过以上研究，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？【新知体验】归纳猜测：设{|A a a =具有性质}α，{|B a a =具有性质}βA ，则A B ⊆与αβ⇒等价。
证明如下：思考：（1）证明等价性需要证明“充分性”和“________________”。
（2）若A B ⊇、A B =、A B ⊂≠、A B ⊃≠，相应的α与β之间的推出关系如何？α是β的什么条件？【课堂反馈】练习：课本P .24 练习1.6（1）【实践感悟】【例1】试用子集与推出关系判断α是β的什么条件。
（1）α：2x >，β：2x ≥；（2）α：21x =，β：1x =；（3）α：220x y +>，β：0x ≠；（4）α：1x =，β：2430x x -+=；（5）α：PQ P =，β：P Q ⊂≠。
【例2】判断集合*{|5,}A n n k k N ==∈与{|B n n =的个位数是*5,}n N ∈之间的关系。
【例3】设α：13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+，m R ∈，α是β的充分条件，求实数m 的范围。
变式：若α是β的必要条件（β对应的解集非空），如何求m 的范围？【例4】设α：22m x y =-，x Z ∈，y Z ∈，β：21m k =+或Z k k m ∈=,4，求证α是β的充要条件。
《子集与推出关系》课件
子集与推出关系的联系
子集是推出关系的一种特殊形式
子集是集合之间的包含关系，而推出关系是逻辑推理的一种形式，其中前提集 合的子集决定了结论的真假。
子集关系有助于理解推出关系
了解子集的概念和性质有助于深入理解推出关系的逻辑结构和推理规则。
子集与推出关系的区别
定义范围不同
子集是集合之间的包含关系，而推出关系是逻辑推理的形式。
推出关系在逻辑推理中的应用
推出关系的定义
01
如果从一组命题中，可以推断出另一个命题，则称该组命题是
前者的推出关系。
推出关系的性质
02
推出关系具有传递性、反身性和对称性。
推出关系在逻辑推理中的作用
03
推出关系是逻辑推理中的基本关系，可以用于进行推理、演绎
和归纳等逻辑推理过程。
04
子集与推出关系的联系与 区别
《子集与推出关系》ppt课件
目 录
• 子集的定义与性质 • 推出关系的定义与性质 • 子集与推出关系的应用 • 子集与推出关系的联系与区别
01
子集的定义与性质
子集的定义
子集的定义
如果集合A中的每一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A是集合B的子集 。
符号表示
空集与任何集合的关系
空集是任何集合的子集，即∀B，空集 ⊆ B。
推出关系可以用来描 述因果关系、条件关 系等。
在数学中，推出关系 通常用箭头（→）表 示，例如A→B。
推出关系的性质
传递性
如果A→B且B→C，则A→C。
反身性
对于任何命题A，A→A总是成立。
反对称性
如果A→B且B→A，则A=B。
推出关系的表示方法
01
02
1.6子集与推出关系 学案
第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。
在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。
因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。
反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。
因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。
例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。
例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范围。
巩固练习1.下列说法不正确的是 。
① 2<x ”是“4<x ”的必要条件； ③“0=xy ”是“0=y ”的充分条件； ② 0=x ”是022=+y x 的必要条件； ④“2x <1”是“1<x ”的充要条件2.试用子集与推出关系判断命题A 是B 的什么条件？（1）A:该平面图形是四边形 B:该平面图形为梯形（2）A: 3x =,B: (3)(4)0x x --=（3）A: 1x ≠-，B: 1x ≠3.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件4.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B 、必要不充分条件C ．充要条件D 、既不充分也不必要条件四、课堂小结课后作业：1.用子集与推出关系来说明α 是β什么条件（1）αβ：a+b=3,:a=1且b=2,则α 是β的 条件；（2）0,x y x y x y αβ+：=+,:则α 是β的 条件；； （3）41x x αβ：是奇数,:被除余，则α 是β的 条件；；（4）x y x y αβ+：1，1,:2,则α 是β的 条件；（5）ABC ABC αβ：三角形是等腰三角形,:三角形是直角三角形， 则α 是β的 条件条件；。
子集与推出关系
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当堂训练
2.设α : 2a 6 < x < 3a 1, β : 2 ≤ x < 3且α是β的必要条件, 求实数a的取值范围.
3.设α : x + ax + 1 = 0, β : x 3x + 2 = 0且α是β的充分
2 2ecolor’s PPT
设A = {a a具有性质α}，B = {b b具有性质β } , 则A B与α β 等价，即" A B" "α β "
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子集与推出关系、 子集与推出关系、条件之间的联系
设A = {a a具有性质α}，B = {b b具有性质β } ,
集合关系 推出关系 条件
A B A B A= B A B
α β α β 且β α β α
α是β的充分条件 α是β的充要条件 α是β的必要条件
α β 且β α α是β的充分非必要条件
A B
β α且α β α是β的必要非充分条件
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当堂训练
1.试用子集与推出关系来说明α是β的什么关系. (1)α :1 < x ≤ 3 β : 0 ≤ x < 4 (2)α : x2 = x β : x > 0 (3)α : x2 + 3x 10 = 0 β : x = 2 (4)α :(a 2)2 + (b + 1)2 = 0 β :(a 2)(b + 1) = 0 (5)α : 正整数n被2除余1 β : 正整数n被4除余1
子集与推出关系
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知识要点 1.子集与推出关系的联系； 子集与推出关系的联系； 子集与推出关系的联系 2.子集与条件之间的联系； 子集与条件之间的联系； 子集与条件之间的联系
数学《子集与推出关系》教案(沪教版高一上)
1.6 子集与推出关系一、教学内容分析《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。
这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用。
二、教学目标1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。
三、教学重点及难点教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用教学难点：子集与推出关系等价性四、教学过程设计一、 课程引入1．复习充分、必要条件2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝我是奉贤人 ________ 我是上海人(2) x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}(3) {x|x 2=1}_______{x|x=1} x 2=1 _______ x=13．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ⊆B ，则α⇒β；反之，若α⇒β，则A ⊆B 。
二、学习新课1． 概念辨析(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。
(2) 一般地，证明：①充分性（“A ⊆B ”⇒“α⇒β” ）②必要性（“α⇒β”⇒“A ⊆B ” ）(3)进一步剖析引例中的条件关系。
2． 例题分析 例1：请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究)结论：(1) A ⊆B ⇔α是β的充分条件；(2) A ⊇B ⇔α是β的必要条件；(3) A B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A B ⇔α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ⇔α是β的充要条件。
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: x2 2x m 0两实根异号 : m 0
子集与推出关系
设A、B是非空集合，
集合
A a a具有性质 B bb具有性质
元素的性质（命题）
A B
AB
AB
例题讲解：
例1、试用子集与推出关系来说明是的什么条件。 （1） : x 1， : x2 1; （2） : 正整数 n 被5整除， : 正整数n的个位数是5.
练习1：
试用子集与推出关系来说明是的什么条件。
(1)：x2+ x 6 0：x 3
(2)：x2+ y2= 0
：xy 0
(3)：x 2
：x 2
(4)：a = b
：a2= b2
例题讲解：
例2、设:1 x 3， : m 1 x 2m 4，m R, 是 1)(x 2) 0 B x x 1 A B
A m x2 2x m 0两实根异号 B m m 0
AB
有没有什么规律？
A x x 0 B x x 1
:x 0 :x 1
A x (x 1)(x 2) 0 B x x 1
: (x 1)(x 2) 0 : x 1
设:1 x 4， : x m， 是的充分条件，求实数m的取值范围.
课堂小结：
• 集合与命题的关系
例3、设：x 1或x 5，：x 2m 1或x 2m 3 m R，是的充分条件，求 m的取值范围.
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
1.6-子集与推出关系
3、掌握证明充要条件的两个基本步骤；
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
〔作业与拓展一〕
(2-1)
1、填空：
已知集合A={a|a具有性质p}，B={b|b具有性质q}
（1）若A B，则p是q的__________条件。
（2）若AB，则p是q的__________条件。
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
〔准备与导入二〕
子集与推出关系
(1-1)
研究集合的包含关系与集合性质的推出关系之间的联系
集合
A={x|x>5} B={x|x>3}
A {x | x2 1} B {x | x 1}
A {( x, y) | x.y 0} B {( x, y) | x 0, y 0}
集合之间 的关系 A B
AB
A B
集合性质的推出 关系
x 5 x 3
x2 1 x 1
x.y 0 x 0,且y 0
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
〔探究与深化一〕
(1-1)
已知：A={x|x具有性质α}， B={x|x具有性质β} 求证： A B与a b等价
〔作业与拓展二〕
(2-2)
4、如果命题P:m<-3，q:方程x²-x-m=0无实根， 那么p是q的什么条件？
目标与要求 准备与导入 探究与深化 练习与评价 回顾与小结 作业与拓展 资源与链接
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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1.6子集与推出关系 教案
第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。
在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。
因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。
反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。
因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。
解：设{}1==x x A ，{}12==x x B ，{}1=A ，{}1,1-=B ，A B ≠∴⊂ 因此βα⇒。
例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。
解：设*,5:N k k n ∈=α，的整数是个位数是5:n β，αβ⇒ ，A B ≠⊂∴。
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1.6子集与推出关系一、复习引入1、复习：（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。
（2）命题与推出关系。
2、思考：集合与命题之间有什么联系。
[说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。
二、学习新课1．建立联系（1）集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。
在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。
因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合 元素的性质（命题）{}5>=x x A 5>x {}3>=x x B 3>x[说明]启发学生发现集合与命题的联系，并用表格的形式表示。
在此基础上，进一步探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。
反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。
因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。
（填入上表）集合 元素的性质（命题）{}5>=x x A 5>x {}3>=x x B3>xB A ⊆ 35>⇒>x x 把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
（证明略） {}α具有性质a a A =,{}β具有性质b b B =集合 推出关系） α是β什么条件关系备注 B A ⊆βα⇒ 充分条件 必要性有待判断 B A ⊇ βα⇐必要条件 充分性有待判断 βα⇒，βα充分非必要条件 αβ⇒，αβ 必要非充分条件 B A =βα⇔ 充要条件[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
1.6子集与推出关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中1.6子集与推出关系一、教学目标设计了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用.二、教学重点及难点集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用. 三、教学过程设计 （一）、复习引入 （1）集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合.在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题.因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）.[说明]合的包含关系与命题的推出关系之间的联系. （2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆. 反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”. 因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价.（填表）（二）、学习新课 1．建立联系请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究) 结论：(1) A ⊆B ⇔α是β的充分条件； (2) A ⊇B ⇔α是β的必要条件；(3) A B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A B ⇔α是β的必要非充分条件；(5)A ＝B ⇔α是β的充要条件.2．例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系.例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系.例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值范围.例4：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，是否存在实数m ，使得α是β的必要条件，求m 的取值范围.[说明]透彻理解“子集与推出关系”，集合、命题、充分条件与必要条件等知识的综合运用. 练习1.6四、课堂小结理解集合与命题的关系，领会集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系，根据所给条件能自觉将子集与推出关系进行转化，从而顺利解决问题；在解决问题的过程中，体会数学知识的统一性，将相关内容融会贯通.五、教学反思：《子集与推出关系》一课理论性较强，不要求也不能够死记硬背，而要从本质上理解，才能领悟其实质并灵活运用.在本课的教学设计中主要注意了以下三点.1、从具体到抽象，从特殊到一般.《集合与命题》向来作为高中数学学习的第一章，但为什么要将集合和命题放在一起，有学生没想过，也有学生想过，但弄不明白，1.6节正好可以解答这个疑问.怎么提出这个课题而又不觉得突兀是这节课首先要考虑的问题，因此，本课从复习集合与命题的相关知识引出集合与命题联系的探讨.然后，分成两个步骤：先从具体的例子当中元素的性质表述抽象出一般集合中元素的性质表述，建立集合和命题的联系；再从两个特殊集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系推广到两个一般集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系，建立起子集与推出关系的等价关系.这样，学生对知识的学习顺理成章，易于理解.2、将引例与主要知识以列表的形式呈现.学习理论性较强章节的知识，学生往往忙于接受、逐步理解，无暇抓住关键，因此，把集合与命题、子集与推出关系这些“联系”用列表的形式给出，学生一目了然，易于把握课堂节奏，逐层习得知识；并且表格的形式有助于对集合与命题“对应关系”的理解.3、以引领学生多思考、多交流为中心.理论性强的课，学生容易感到枯燥，这样一来，更不利于学生对知识的理解.所以，在教学的各个环节中，以学生为主体，引导学生动脑思考，鼓励学生谈感悟，力求让学生自己去提出课题，寻找联系，发现结论，严密论证，尝试运用.1. 根据子集与推出关系判断p 是q 的什么条件.横线上填写代表该条件的相应序号①②③④.①充分非必要条件；②必要非充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.p ：正整数n 是偶数，q ：正整数n 的个位数是2； p ：00>>b a 且，q ：0>+b a ； p ：0)2)(1(=++x x ，q ：01=+x ； p ：1=x 且1=y ，q ：2=+y x ； p ：0≥ab ，q ：0≥ba； 2. “k 除以4余1”是“k 除以2余1”的______ _____条件. 3. “整数的21”是“与整数相差21的数”的________ ___条件. 4. “实数x 满足232=+x x ”是“4-=x 或1=x ” 的___________条件. 5. “1≠x 或4≠y ”是“5≠+y x ”的 条件.6. “1>x ”是“a x >”的充分条件，则实数a 的取值范围为___________.7. 设)0(0:><<a a x α，a x 210:-≤β，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围.8. 设5:-≤x α或1≥x ，1232:+≤≤-m x m β，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围.。
高中数学—04—子集与推出关系—教师版
子集与推出关系知识梳理1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价． 设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：例题解析一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人 ；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β． 【难度】★【答案】（1）⇒，⊆；（2）⊇，⇐．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x ； （2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x I ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5 【难度】★【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件【说明】体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系．【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系． （1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数 （2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【难度】★【答案】（1）A B ≠⊂ （2）A B ≠⊃ （3）A B =【说明】体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系．【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． （1）写出31x -<<的充分条件； （2）写出31x -<<的必要条件； （3）写出31x -<<的充要条件． 【难度】★ 【答案】答案不唯一【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =， 则α是β的 条件． （2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的 条件． （3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的 条件． （4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的 条件． 【难度】★★【答案】充分非必要，必要非充分，必要非充分，充分非必要【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的 条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 条件． 【难度】★★【答案】必要非充分，必要非充分【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的 条件． 【难度】★【答案】充分非必要2．“2x ≥”是“2x >”的 条件． 【难度】★ 【答案】必要非充分3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的 条件． 【难度】★★ 【答案】充分非必要4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的 条件． 【难度】★★【答案】必要非充分5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的 条件． 【难度】★★【答案】必要非充分6．“0xy <”的一个充要条件是（ ）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>【难度】★★ 【答案】C7．设α：实数x 2=，β:4x =-或1x =,则α是β的 条件． 【难度】★【答案】充要8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（ ） （1）α：()()120x x -+=， β：2x =-（2）α：2b ac =，β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数 （4）α：1x =且2y =-， β：2xy =- A .(1)(2)(3) B .(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)【难度】★★ 【答案】A二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【难度】★ 【答案】B【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】 A【提示】本题利用等价法来判断p 与非q 的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理． 【解析】利用等价转换的思想，根据题意可知，q ⇒非p ，但非p q ，那么其逆否命题p ⇒非q ，但非q p ，即p 是非q 的充分而不必要条件．【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围． 【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围． 【难度】★★【答案】设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（ ） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224g x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．【难度】★【答案】3a >（答案不唯一）3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解析】∵A ⊂≠B 是B ⊆(B ∪C)∴A ⊂≠(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A ⊂≠(B ∪C)，但A ⊂≠B 不成立，综上所述：“A ⊂≠B”⇒“A ⊂≠(B ∪C)”，而“A ⊂≠(B ∪C)”/⇒“A ⊂≠B”． 即“A ⊂≠B”是“A ⊂≠(B ∪C)”的充分条件(不必要)． 4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（ ）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠> 【难度】★★【答案】B5．已知命题:14x -≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围． {}因为βα⇒， 所以B A ⊆． 16．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【难度】★★【答案】C7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥． 【难度】★★★【解答】证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==，于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<， 当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+， 总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+． 必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++ 得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．反思总结1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件； (2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件； (3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件；(4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件； (5)A B =⇔α是β的充要条件．课后练习1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件． 【难度】★ 【答案】必要非充分2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【难度】★ 【答案】A3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比 【难度】★★ 【答案】C4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【难度】★★【答案】C【解析】如图可知，存在集合C ，使A⊆C ，B⊆∁U C ，则有A∩B ＝∅.若A∩B ＝∅，显然存在集合C ，满足A⊆C ，B⊆∁UC.故选C.5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________． 【难度】★★【答案】（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件． 【难度】★★【答案】必要不充分条件7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题⊆：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；命题⊆：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( )A ．命题⊆和命题⊆都成立B ．命题⊆和命题⊆都不成立C ．命题⊆成立，命题⊆不成立D ．命题⊆不成立，命题⊆成立 【难度】★★★【答案】A【解析】命题①显然正确．对于命题②：设d (A )＝a ，d (B )＝b ，d (C )＝c ，则d (A ，C )≤|a ＋c |＝|a －b ＋b －c |≤|a －b |＋|b －c |≤d (A ，B )＋d (B ，C )，所以命题②也成立．故选A.8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}；(2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★【解答】(1) 因为 x 是12的约数⇒ x 是36的约数，所以 A ⊆ B ．(2) 因为 x ＞5 ⇒ x ＞3，所以 B ⊆ A ．(3) 因为 x 是矩形 ⇔ x 是有一个角为直角的平行四边形，所以 A ⇔ B ．9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★【解答】因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒ x 具有性质p (x )，p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件．（1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ；:0,0a b β>> （3）:0xy α> ； :x y x y β+=+【难度】★★【答案】（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围． 【难度】★★【解答】4m ≥12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【解答】∴q p ． 113．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩。
子集与推出关系.doc
1.6子集与推出关系（导学案）组卷：姜汉明 审卷：周海英上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________ 学习目标：1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性； 学习重点:集合间的包含关系与推出关系的理解与运用学习难点:子集与推出关系等价性学习过程：一、新知导学：1. 回顾：一般地，用α、β分别表示两件事，（1）．如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α_____β，那么α叫做β的_____条件（2）如果β_____α，那么α叫做β的_____条件。
（3）如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α_____β，那么α叫做β的_____条件。
2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝ 我是奉贤人 ________ 我是上海人(2)x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3}(3){x|x 2=1}_______{x|x=1} x 2=1 _______ x=13．问题思考从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？规律：将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ⊆B ，则α⇒β；反之，若α⇒β，则A ⊆B 。
4。
概念：(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。
设A 、B 是非空集合，A={}α具有性质a a ， {}β具有性质b b B =，则βα⇒⊆与B A 等价(2) 一般地，证明：①充分性（“A ⊆B ”⇒“α⇒β” ）②必要性（“α⇒β”⇒“A ⊆B ” ）(3)进一步剖析引例中的条件关系。
二、新知探究：例1：利用集合与推出关系讨论α是β的什么条件？(1)A ⊆B ⇔α是β的____条件； (2)A ⊇B ⇔α是β的____条件； (3)A____B ⇔α是β的充分非必要条件； (4) A____B ⇔α是β的必要非充分条件； (5) A ＝B ⇔α是β的充要条件。
高一数学(沪教版)第一学期第一章部分习题
1.5充分条件，必要条件训练题一、选择题1、α是βの充要条件の是（ ） A 、532:523:->-->+x x βαB 、b a b a ><>:2,2:βαC 、四边形是正方形相垂直平分四边形的两条对角线互::βαD 、有唯一解的方程关于1:0:=≠ax x a βα2、“22≤≤-a ”时“实系数一元二次方程012=++ax x 无实根”の（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、“0>x ”是“0≠x ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 5、对任意实数c b a ,,，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の充要条件；③“b a >”是“22b a >”の充分条件；④“5<a ”是“3<a ”の必要条件。
其中真命题の个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、已知p 是r の充分条件而不是必要条件，q 是r の充分条件，s 是r の必要条件，q 是s の必要条件。
现有下列命题：①s 是q の充要条件；②p 是q の充分条件而不是必要条件；③r 是q の必要条件而不是充分条件；④p 是s の必要条件而不是充分条件；⑤r 是s の充分条件而不是必要条件。
则正确命题序号是（ ）A 、①④⑤B 、①②④C 、②③⑤D 、②④⑤7、一元二次方程)0(0122≠=++a x ax ，有一个正根和一个负根の必要不充分条件是（ ） A 、0<a B 、0>a C 、1-<a D 、1<a 二、填空题8、4>k ，5<b 是一次函数5)4(-+-=b x k y の图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴の________条件9、B A ⊆是B B A = の_______条件 三、解答题10、设R a ∈，求关于x の方程04)2()1(2=-++-x a x a 有两个正根の充要条件练习11、选择正确の选项填空：（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分也非必要 （1）“四边形の四条边相等”是“四边形是正方形”の___________条件（2）“D E FA B C ∆≅∆”是“D EF ABC S S ∆∆=”の_______条件（3）“两个角相等”是“两个角是对顶角”の_______条件 （4）“内错角相等”是“两直线平行”の_______条件 （5）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”の_______条件 （6）“3=x ”是“92=x ”の_______条件（7）“1->x ”是“1>x ”の_______条件 （8）“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の_______条件 （9）“x 是6の倍数”是“x 是2の倍数”の_______条件 （10）“正整数の末位数是4”是“正整数能被2整除”の_______条件 2、在下列各题中，用符号“⇒”、“⇐”或“⇔”把βα,这两件事联系起来 （1）”“”；“||||::y x y x ==βα （2）”且“”；“00:0:>>>y x xy βα （3）”“”；“B A x A x ∈∈::βα （4）”“”；“132:0)1()2(:22=-=-+-y x y x βα 3、（1）1>baの一个充分非必要条件可以是___________ （2）0<a 且0>b の一个必要非充分条件可以是___________4、在下表所列各小题中，指出α是β成立の什么条件。
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【课堂例题】
例1.利用子集与推出关系，判断p 是q 的什么条件？
(1):0
:0p x q x >≥;
(2):||1
:1p x q x <<;
(3)2:1
:1p x q x ≠≠;
(4):0p x =且220:0y q x y =+=.
例2.写出满足要求的一个条件：
(1)1x <的充分非必要条件；
(2)2x >的必要非充分条件；
(3)1x =或2x =的充要条件；
(4)1y x =+的充分非必要条件.
例3.设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈.
α是β的充分非必要条件，求m 的取值范围.
(选用)例4.利用自己与推出关系，回答：
(1)“0,0x y xy +>>”为什么是“0,0x y >>”的充要条件？
(2)“||2x y +<”是“||1,||1x y <<”的什么条件？
【知识再现】
设集合{|=A x x 具有性质}p ，集合{|=B x x 具有性质}.q
1.A B ⊆等价于 ，即如果A 包含于B ，那么p 是q 的 .
2.如果A B Ü，那么p 是q 的 ；
如果A B Ý，那么p 是q 的 ；
如果A B =，那么p 是q 的 .
【基础训练】
1.试用子集与推出关系来判断命题A 是命题B 的什么条件 (填写充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、非充分非必要条件).
(1):A 该平面图形是四边形， :B 该平面图形是梯形. ;
(2):1A x =，3
:1B x =. ;
(3):2A a =，:B 2a ≤. ; (4):0A x =或0y =，:B 22
0x y +=. .
2.已知集合{|2},{|3}M x x N x x =>=<，则
(1)“x M ∈”是“x N ∈”的 条件;
(2)“x M N ∈U ”是“x M N ∈I ”的 条件.
(填写充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要)
3.:12p x ≤<，:q x a ≥,若p 是q 成立的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 .
4.(1)已知0a >，“{,}x a a ∈-”是“||x a =”的（ ）；
(A)充分非必要条件； (B)必要非充分条件；
(C)充要条件； (D)非充分非必要条件.
(2)1a >-是关于x 的方程2
210x x a +++=有两个负根的（ ）.
(A)充分非必要条件； (B)必要非充分条件；
(C)充要条件； (D)非充分非必要条件.
5.(1)“||1x <”是“|1|2x +<”的 条件; (2)“||y x =”是“y x =”的 条件.
(填写充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要)
6.已知{|A x x =具有性质}p ，{|B x x =具有性质}q ，{|C x x =具有性质}r ， 集合,,A B C 之间的关系如图所示：(注：每一个集合均是一个圆及其内部)
(1)p 是q 的什么条件？
(2)q 是r 的什么条件？
(3)r 是p 的什么条件？
C
B A
7.已知命题:24x α≤<，命题:31m x m β-≤≤-，
且α是β的充分条件，求实数m 的取值范围.
【巩固提高】
8.已知a R ∈，写出关于x 的方程2210ax x ++=
至少有一个实数根的 (1)一个充要条件;
(2)一个充分非必要条件;(3)一个必要非充分条件.
9.已知m R ∈，:124,:13m x m x αβ+≤≤+-≤≤，
若α是β的充分非必要条件，求m 的取值范围.
((选做)10.试说明条件“0k =”是结论“对于任意实数x ，
关于x 的不等式210kx kx -+>恒成立”的什么条件？
【温故知新】
11.二次函数22y x x a =-+的图像恒在x 轴上方的充要条件是 .
【课堂例题答案】
例1.充分非必要条件；充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件. 例2.(1)0x <;(2)2x ≥;(3)(1)(2)0x x --=;(4)2x =且3y = 例3.102
m -≤≤ 例4.(1)略 (2)必要非充分条件
【知识再现答案】
1.p q ⇒，充分条件
2.充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件.
【习题答案】
1.必要非充分条件；充要条件；充分非必要条件；必要非充分条件.
2.(1)非充分非必要条件；(2)必要非充分条件.
3.1a ≤
4.(1) C; (2) B.
5.(1)充分非必要条件；(2)非充分非必要条件
6.必要非充分条件；充分非必要条件；非充分非必要条件.
7.4m ≤-
8.(1)1a ≤;(2)0a =;(3)2a ≤.
9.3m <-或122
m -≤≤-
. 提示：注意讨论集合{|124}x m x m +≤≤+是否为∅的情形. 10.充分非必要条件
提示：210kx kx -+>恒成立等价于0k =或20()40k k k >⎧⎨--<⎩
即04k ≤<. 11.18a >.。