点的轨迹方程的求法课件.ppt
《轨迹方程的求法》课件
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总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
轨迹方程的求法 通用精品课件
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
y2 +
= 1 （a>b>0)
则
a2 b2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a
例8. 等腰直角三角形ABC中，斜边BC
在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方 程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连 接AQ会怎么样?点M与Δ AFQ是什么关系?
xP
yP
1 3x 2
3y 2
本题答案: y2 8 (x 1). 33
轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).
18.已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN 为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,
(A)圆 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)抛物线
6.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是__(x___1_)2___y_2 __4__.
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
平方化简得:(x 1)2 y2 4 (P78)
4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、 斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.
5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.
轨迹方程的求法
轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
曲线与方程 课件(共35张PPT)
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
轨迹方程的求法
轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ；3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）；4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =；5、化简（最后要剔除不符合条件的点）.例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程.巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.（2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.巩固训练4：已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点，直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ，求点H 的轨迹方程.巩固训练5：在极坐标系Ox 中，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是直线l 上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹方程为C ，求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点的坐标为(),x y ，主动点的坐标为()00,x y ；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：已知在ABC ∆中，()2,0A -，()0,2B -，第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点，求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2：已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，点M 为PD 上一点，且满足45MD PD =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.四、参数法：如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找，可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示，最后消参数，得出,x y 之间的关系式，即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标，线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1：设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ，O 是坐标原点，直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+，当直线l 绕点M 旋转时，求点P 的轨迹方程.五、交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组分别求出,x y ，再消去参数，即可求解，这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点，1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点，求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1：已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
高中数学轨迹求法
、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比拟明显时1.三角形ABC 中,BC = 4,且AB = "'E A C,那么三角形ABC 面积最大值为.. 一、, 一 . ........ 一 I PAI _、 2、动点P (x,y)到两定点 A (—3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于 2 (即 -------------------- ! 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？3、一动点到y 轴距离比到点 2,0的距离小2,那么此动点的轨迹方程为. 由M… …MA 1 …— —八4.A 1,0 , B 2,0 ,动点M x, y 满足_ —.设动点M 的轨迹为C .MB 2(1)求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹 C 是什么图形；(2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；15、曲线C 是动点M 到两个定点O 0,0、A 3,0距离之比为1的点的轨迹. 2(1)求曲线C 的方程；(2)求过点N 1,3且与曲线C 相切的直线方程.10,两端点 A,B 分别在x 轴和y 轴上滑动, M 在线段 AB 上且_2_2__22 一A x 16y64 B . 16x y 64C. x 2 16y 2 8 D . 16x 2 y 2 8 — 1 IM (x, y)与两个定点 M 1 (26, 1), M 2 (2, 1),且 1Mg = =5. (I )求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(n )记(I )中的轨迹为 C,过点M (-2, 3)的直线l 被C 所截得的线段的长为 8,求 直线l 的方程.A&M ,由题意有：+ 2八六涧X M-球,整理可得：,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以川5为圆 心,2V§为半径的圆出去其与x 轴的交点,据此可得三角形ABC 面积的最大值为6. 一条线段的长等于4MB ,那么点M 的轨迹方程是(B7.坐标平面上一点1、【解析】建立如下图的平面直角坐标系,那么:,设点A 的坐标为2、【解答】••• | PA= J(x 3)2—y2,| PB | (x 3)2代入四2得亟亘工1PBi . (x 3)2 y2化简彳导(x—5) 2+y2=16,轨迹是以(2(x 3)25, 0)为圆心,2 2y24(x 3)24为半径的圆.4y223、y 8x x 0 或y 0【解析】设动点为P x,y ,那么由条件得_ 2 22 y2y24x 4 x ,当x 0时,y 8x ；当x 0时,y 0, 所以动点的轨迹方程为y28x x 0或x 4、(1)-- x 1 2y2 12 2 y2 2化简可得: 4 ,轨迹C是以2,0为圆心,2为半径的圆(2)设过点B的直线为y k x 2 ,圆心到直线的距离为d4k k2 1(1)点M的轨迹方程是(x—1)2+(y—1)2= 25,轨迹是以(2)直线l的方程为x=-2,或5x-12y + 46=0.(1,1)为圆心,以5为半径的圆,、2 5. (1) x2y2 2x 3 05x 12y 31 0(1) 设点M x, y .OMAM 及两点间的距离公式,■ 2 2 x y2- x 3将①式两边平方整理得2x 3 0.即所求曲线方程为x22x 0.(2)由(1)得x 1 2 y 4,表不圆心为C 1,0 ,半径为2的圆.〔i 〕当过点N 1,3的直线的斜率不存在时,直线方程为 x 1,显然与圆相切; 〔ii 〕当过点N 1,3的直线的斜率存在时,设其方程为y 3 k x 1 ,即 kx y 3 k 0,由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径,即k 0 3 k 八…5 2 -- ==_2 2,解得 k —,、*2 112此时直线方程为5x 12y 31 0,所以过点N 1,3且与曲线C 相切的直线方程为 x 1, 5x 12y 31 0 .7【解析】【试题分析】〔1〕运用两点间距离公式建立方程进行化简；〔2〕借助直线与圆的位置关系,运用圆 心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率,再用直线的点斜式方程 分析求解：化简,得, + / = "2-210. 二点M 的轨迹方程是811%卜11=25 轨迹是以〔1」〕为圆心,以弓为半径的圆〔1〕由题意,得(2)当直线।的斜率不存在时,1*〜2,I | 2 2此时所截得的线段的长为勺5 -3『符合题意.当直线।的斜率存在时,设।的方程为13 = k|x + 2)即h-v+2k + 3=O圆心到।的距离$+iI 孤*2、2------- )+4=5由题意,得解得5 231—x 7 . - - 0,直线।的方程为12 6即5x-12y*46 = d综上,直线।的方程为-2,或1"+46〞二、定义法假设动点运动的规律满足某种曲线的定义,那么可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现.1:圆(及= "的圆心为M,圆/一4'+/=1的圆心为M2, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.2:一动圆与圆O x2y21外切,而与圆C： x2y26x 8 0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支3 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程？4:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4, 0), (4, 0), C为动点,且满足5 .sin B sin A -sin C,求点C 的轨迹.45、等腰三角形ABC中,假设一腰的两个端点分别为A 4,2 , B -2,0 ,A为顶点,求一腰的一个端点C的轨迹方程6、圆O: x2+ y2= 16及点A(2, 0),求过A且与圆.相切的诸圆圆心P的轨迹方程.7 .动点M到定点F i 2,0和F2 2,0的距离之和为472.⑴求动点M轨迹C的方程；(2)设N 0,2 ,过点P 1, 2作直线l ,交椭圆C于不同于N的A, B两点,直线NA,NB的斜率分别为K , k2,求k〔k2的值.8 .M 2,0 , N 2,0 ,那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()八 2 2c 2 2 4A. x y 2 B . x y 42 2 2 2C. x2y22 x 2 D . x2y24 x 2D1 .解：设动圆的半径为R由两圆外切的条件可得：|PM I|=R+5, W=R + 1.,|PM1|-5-|PM2|-L|PM1|-|PM3|-4O•••动圆圆心P的轨迹是以M、M为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为' <|MO | R 1………2.【解答】令动圆半径为R,那么有,那么|MO|-|MC|=2 ,满足双曲线定义.应选|MC| R 1Db3解设M点的坐标为(x, y)由平几的中线定理：在直角三角形AOB中,1… 1 COM= —AB — 2a a,2 22 2 222x y a,x y aM点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周5 54.【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足4 4椭圆的定义. 令椭圆方程为2x F a’2b i,那么a 5,c 4 b 3 ,那么轨迹方程为2 x 25 5〕,图形为椭圆〔不含左,右顶点〕 5、x 2 240 x 2且x i0 6、解：如右图: A 且与圆.相切的圆,只能与圆 .相内切,根据两圆相内切的性质: 连心线必过其切点,设切点为 M,那么O 、P 、M 共线, OM OP + PM .又由于A 在圆 P 上, PM = PA . OP + PA = OM =4. 故P 的轨迹是以O 、 OM = 4的椭圆.故P 的轨迹方程:(n)由｛ y k i A 为焦点, 长轴长为(x i)22+L = i .3F 2为焦点,以4J2为长轴长的椭圆.由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以F ,、_22,a 2J2,得b 2 .故曲线C 的方程为之 8 当直线l 的斜率存在时, 设其方程为2 y 4 k i /日 ,得i i 2k 24k k 2 xA x i ,y iB x 2,y 2 , 4k k 2x ix 2i 2k 2k 2工 x i2 y 2 2 2kx i x 24 x i x 2 x 2 x i x 2当直线l 的斜率不存在时,得 A、J4i,V ,B综上,恒有k i k 2 4. i2分2y .…— i . 5 分42k 22k_2 一2k 8ki 2k 24k k 2 4 -2k 2 8k4. ii考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义0,2和0, 2 ,假设三角形的周长为10,那么顶点C、相关点法;假设动点P(x, y 脓赖于某曲线上的另一个动点P 1(x 1,y 1)而运动,且x 1,y 1可用x, y 表示,那么将P 1(x 1,y 1)代入曲线,求出 P 点的轨迹方程.此法也称代入法或转移法. 1 .点P (4 , — 2)与圆x 2+ y 2= 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 . .(x-2)2 + (y+ 1)2= 1【解析】设圆上任一点坐标为M(x 0, y 0),那么PM 的中点坐标为(x, y),2x = + 4 x 0 = 2x-4那么 ' 二 Vg-2 解得% , 2V + 2代入 $ + 小 $ 中得仅—2)2 + (y + 1)2= 1.222.圆O:x y 4及一点P 1,0 , Q 在圆O 上运动一周,PQ 的中点M 形成上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为线段PD上一点,且4 = -|PD3. ABC 中,A,B 的坐标分别为的轨迹方程是()2 2x y -A. — — 1 ( y 0)9 52 2x y-B.———1 ( y 0)36 20 2xC.—52y——1 ( x 0)922x yD.— —32 361 (x 0)3.如图,设P 是圆轨迹C .(1)求轨迹C 的方程;〔1〕当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;2,、 1 22 . (1) C : x — y2【解析】试题分析：〔1〕转移法求动点轨迹,先设所求M动点坐标及Q点坐标,再根据中点坐标公式得两者坐标关系,用M动点坐标表示Q点坐标,最后代入圆方程,化简得轨迹的方程〔2〕先根据点斜式写出直线PQ的方程,再根据圆心到直线方程距离得三角形的高利用垂径定理可得弦长,即三角形底边边长,最后根据三角形面积公式得结果 .试题解析：〔1〕设M x,y ,Q x1,y1 ,那么x1 2x 1,y1 2y,22 2 一 1 2把x1,y1 代入x y 4 得C : x — y 12〔2〕直线PQ : y x 1圆心C到直线PQ的距离为d【解析】试题分析:〔I〕由题意P是圆/十¥' = 25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,4|MD| = -|PD|且 5 ,利用相关点法即可求轨迹; n〕由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立,利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：〔I 〕设M的坐标为〔x,y〕 P的坐标为〔x p,y p〕由x p =x,S CMN2 Sx +( V)=25. P在圆上,4,即C的方程为..224.圆O X y 4,从这个圆上任意一点 P 向y 轴作垂线段PP 〔 P 在y 轴上〕,M 在直线PP 上且PM 2Pd ,那么动点M 的轨迹方程是〔〕M 向y 轴作垂线段,垂足为 N,且OQ OM ON,, 那么动点Q 的轨迹方程是2与1上的动点,A 〔2a,0〕为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A B 、M 其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点B 的运动是 有规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求 动点M 的轨迹方程.【解析】设动点M 的坐标为〔x, y 〕,而设B 点坐标为〔xo, y .〕 那么由M 为线段AB 中点,可得【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系7、如下图,P 〔4,.〕是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足/ APB=90 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程,22 在圆 x y 4上任取一点P,过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点 M 的轨迹是什么?A. 4x 2+16y 2=1B. 16x 2+4y 2=1C.—162X D.— 165、圆O ,从这个圆上一动点 2_ x5、一42y 16 x . 2a x 2 y .o 2x 0 2x 2a y o 2y即点 B 坐标可表为〔2x-2a, 2y 〕2点B 〔x .,y .〕在椭圆三a 2y- 1上b 22x . 2 a2〞1 b 2〔2x 从而有-一 2a)22a(2y)2 1f 1'整理,得动点M 的轨迹方程为4x、22 a) 4y 2,2ab【解析】：设AB的中点为R,坐标为(x,y),那么在RtAABP中,|AR|=|PR］又由于R是弦AB的中点,依垂径定理? 在RtA OAR中,|AR|2=|AO |2- |OR|2=36 — (x2+y2)又|AR|=|PR|= (x—4)2—y2所以有(x-4)2+y2=36- (x2+y2),即x2+y2-4x- 10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动x 4 y 0设Q(x,y), R(x i,y i),由于R 是PQ 的中点,所以x i = ---------------- , y1-一2 2代入方程x2+y2-4x- 10=0,得(三)2 (尹4?-10=0整理得,x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程2 28.圆O:x y 4及一点P 1,0 , Q在圆O上运动一周, PQ的中点M形成轨迹C.(1)求轨迹C的方程；五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程. 其过程是选出一个适当的参数, 求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.1、两点P( 2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x,设长为4'2的线段AB在直线上移动, 求直线PA和QB交点M的轨迹方程.【解析】：PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化,故可设A(t,t), B(t 1,t 1),t 2 t 1那么PA : y 2 ——(x 2)(t 2), QB ：y 2 ——x(t 1).消去t ,得t 2 t 12 2x y 2x 2y 8 0.当t=—2,或t=—1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是x2 y2 2x 2x 2y 8 0.六、用点差法求轨迹方程21.椭圆—y2 1,2一1 1 . ....... ................... ...(1)求过点P 1,1 且被P平分的弦所在直线的方程；2 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；分析：此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.M Xi, yi , N X2, y ,线段 MN 的中点 R x, y ,那么将③④代入得X 2y 里坐 0 .⑤X i X 2故所求的轨迹方程为：X 2—y 2 + 4X = 0 (X 0).(i)将X 1,y1代入⑤,得小 y 21,故所求直线方程为：2X 4y 3 0.⑥2 2X i X 22222i i将⑥代入椭圆万程 X 2 2y 2 2得6y 2 6y — 0,36 4 6 - 0符合题意,442X 4y 3 0为所求.(2)将、_」2 2代入⑤得所求轨迹方程为：x 4y 0.(椭圆内局部)x i x 2 (3)将yi y 22」代入⑤得所求轨迹方程为： x 2 2y 2 2x 2y 0 .(椭圆内局部)x i x 2 x 2七、引参消参法；假设题目出现当动点运动所受限制条件较多,不易直接建立X 、y 的某种联系,但且发现x 、y 同时受到另外一个变量 t (如角度、斜率、截距等)的制约而将它们用 t 表示,然后通过消去变量t 而得到所要求的动点的轨迹方程 f(x, y)=0.例7、过点M(-2, 0)作直线L 交双曲线x 2 —y 2 = i 于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行 四边形OAPR 求动点P 的轨迹方程.解：设过 M 的直线方程为：y = k (x + 2) (k 0, k i),代入双曲线 x 2—y 2 = i 得：(i — k 2) x 2 -4 k 2x -4 k 2 - i = 0 OAPB 为平行四边形,那么：4k 2X p = X A + X B = ---V ；yi k4k y p = N A + y B = k (X A + X B ) + 4k = ---y ° BP Ai k解：设弦两端点分别为 X 2y 2 2, x 2 2y 2 2, x i x 2 2x, y i y 2 2y ,①一②得 X i X 2 X i X 2 2 y i y 2 y i y 2 0.X 2 ,那么上式两端同除以X 1 X 2 ,有 X i X 2 2 y iy 2 V y 2X i X 20,①由题意知X i2、点P在直线x=2上移动,直线l通过原点且和OP 垂直,通过点A(1 , 0)及点P的直线m和直线l相交于点Q求点Q的轨迹方程.解如图1所示,设OP所在直线的斜率为k,那么点P的坐标为(2 , 2k).由l OP ,得直线的方程为x+ky=0. ①易得直线m的方程为y=2k(x-1). ②由于点Q(x, y)是直线l和直线m的交点,所以将①②联立,消去k,得点Q的轨迹方程为2x2 y20〔x木〕.P2X。
求点的轨迹方程的六种常见方法
• 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件 时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的 轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出 现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
• 以下举个例子说明：
3.相关点法
【例4】过双曲线x2-y2=1 上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求 线段QN的中点P的轨迹方程.
解:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v).
点N在直线x+y=2上,
2x-u+2y-v=2 ①
又PQ垂直于直线x+y=2, 所以 y u 1,即x-y+v-u=0 ②
P
y B
解法二：点差法 连PO交CB于G.
设P(x,xy1)2,+G2y(x120=,y40), C(x1,y1),B(x2,y2),则 A C
x22+2y22=4 作差，得(x2-x1) (x2+x1)+
(y2-y1)
(y2+y1)=0
G o
x
即x0+y0k=0
3k 2
又k= y0 x0 3
设双曲线方程为：x 2 m2
-
y2 n2
=1，则2m=AB-AC=
a ，所以m= 2
a ，m2 = a2 ，
4
16
又n2 =c2 -m2 =(
a )2- a2 2 16
=
3a 2 16
，故动点A的轨迹方成为：x a
2 2
求点轨迹方程的方法
求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法（相关点法）：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。
常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。
若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。
【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点(A，B ，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，点M 的轨迹是（）A ．()22109x y y -=≠B ．()22109y x y -=≠C ．()22103x y y -=≠D ．()22103y x y -=≠【详解】解：设动点(),M x y，则x ≠，则MA k =MB k =，(x ≠，直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，13=，化简可得，()22103x y y -=≠，故点M 的轨迹方程为()22103x y y -=≠.故选：C.例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（）A.22132x y +=B.22132x y -= C.()224136x y --= D.22123x y +=解：设(),P x y33P ld PA-∴=33x ∴-=()()222331x x y ⇒-=-+2221626x x y ⇒--=-()()22224246136x y x y -⇒--=⇒-=答案：C 【变式演练】1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)Mx y=22(4)4x y -+=，于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知点(0,1)F ，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP PQ ⋅=⋅，则动点P 的轨迹C 的方程为（）A ．24x y=B ．23y x=C ．22x y=D ．24y x=【答案】A 【详解】设点(,)P x y ，则(,1)Q x -，因为(0,1)F 且QP QF FP PQ ⋅=⋅，所以(0,1)(,2)(,1)(,2)y x x y x +⋅-=-⋅-，即22(1)2(1)y x y +=--，整理得24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程为24x y =.故选：A 3.已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；解(1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.【题型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．【解析】解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（）A.212x y =-B.21216x y =-C.222x y =- D.221x y =-思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有0000221212x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：204x y =，将00221x xy y =⎧⎨=-⎩代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：()()22242121x y x y =-⇒=-答案：D例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________解：由抛物线24y x =可得：()1,0F 设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-2FP FM = ()00002112122x x x x y y y y =--=-⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩①P 在24y x =上2004y x ∴=，将①代入可得：()()22421y x =-，即221y x =-【变式演练】1.已知抛物线24C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.2.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =+相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M满足()22OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；【答案】（1）试题解析：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为3.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【解析】解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，－x 0＝－2x 0＝2y 0，0＝－x 0＝12y.∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【题型三】定义法【典例分析】已知动圆M 过定点(4,0)P -，且与圆2280C x y x +-=：相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】依题意，4MC MP -=，说明点M 到定点C P 、的距离的差为定值，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支，∵24a =，∴2a =．∵4c =，∴22212b c a =-=∴动圆圆心M 的轨迹方程是221(2)412x y x -=≤-．例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，则1,3a c ==，解得2228b c a =-=，所以轨迹方程为()22118y x x -=≤-【变式演练】已知两个定圆O1:(x+2)2＋y 2＝1：和O 2(x-2)2＋y 2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，【解析】解由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的半径为r，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x≤－32)．2、已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，直线41:-=x l ，点B 是直线l 上动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（）A 、双曲线B 、抛物线C 、椭圆D 、圆【答案】B【解析】由题意知MF MB =，点M 的轨迹为抛物线。
相关点法求轨迹方程 微课
来试试 已知抛物线Ｃ：y2 4x和直线l : x y 1 0.
求抛物线Ｃ关于直线l的对称曲线的方程.
参考答案 (x 1)2 4( y 1)
四、求动点的轨迹方程
例 5 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1： x－y－2 2＝0 相切．
又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y20＝1－x920 ④ 将④代入③得x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点 M 的轨迹方程为x92－y2＝1 (x<－3，y<0)．
求轨迹方程的相关点法，我就介绍到这里， 谢谢你的观看 .
下一节我要介绍的是求轨迹方程的交轨法. 欢迎你继续观看. 再见!
从而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.
(2)由 A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3，0)，A2(3，0)知
直线
AA1
的方程为
y＝ y0 (x＋3) x0＋3
①
直线
A2B
的方程为
y＝ －y0 (x－3) x0－3
②
由①②得 y2＝x－20－y209(x2－9) ③
(2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程．
Байду номын сангаас
[解析](1)设 A(x0，y0)，则矩形 ABCD 的面积 S＝4|x0||y0|. 由x920＋y20＝1 得 y20＝1－x920， 从而 x20y20＝x20(1－x920)＝－19(x20－92)2＋94. 当 x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.
例 如：已知点Ａ（４，０），点Ｐ的轨迹方程
是 x2 y2 4,求线段ＰＡ中点Ｍ的轨迹方程.
高考数学难点：轨迹方程的求法
高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
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练习2.求与圆 A: (x-5)2+y2=49和圆B:(x+5)2+y 2=1 都 外切的圆的圆心 P 的轨迹方程____x9_2 _y_1y_62___1_(_x__.0) 解：由题知：| PB | r 1，
| PA | r 7
P r
∴| PA | －| PB | = 6 <10=|AB| 1
1、与圆C: (x-2)2 + y2=1 外切,且与直线x+1=0相切的 动圆圆心M的轨迹方程是_________.
2、 已知圆 A : (x 2)2 y2 25 ，B(2,0)
是圆内一点，P是圆上任意一点，线段PB的垂 直平分线与半径AP交于点M，求点的轨迹方程
Mp
AB
当P在圆上运动时，求M的轨迹方程。
练习4. 已知圆F1：(x 2)2 y2 2,动圆M过定点
F2(2，0),且与圆F1相切,则动圆圆心M的轨迹方程
为_____________.
y
M
o
x
求动点的轨迹方程的常用方法小结
1、直接法:
2、定义法 3 、相关点法 (也称坐标转移法):
所求动点M的运动依赖于一已知曲 线上的一个动点M0的运动,将M0的坐 标用M的坐标表示,代入已知曲线, 所得的方程即为所求.
为 1 ，求点M的轨迹方程，并说明它 是什么图形。 2
解:设点M的坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 MA 2
即
x2 y2 1
(x 3)2 y2 2
两边平方，得
x2 y2 (x 3)2 y2
1 4
化简，得 x2 y2 2x 3 0
(x 1)2 y2 4 为点M的轨迹方程。
7
∴ P 的轨迹是以A, B为焦点,B (-5,0) o
A (5,0)
的双曲线的左支.
2a 6, c 5,
a 3,b2 c2 a2
16
x2 9
y2 16
1
(x 0)
题 型 三一
【例3】若曲线 x2 y2 1上有一动点P，O点为 4
坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹
求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法 如果动点满足的条件是一些明确几何量的
等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含 x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之 为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系, 设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证 明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
练习1：已知点 M与两个定点 O(0,0), A(3,0)距离的比
求点的轨迹方程的步聚：
1、建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ适当的直角坐标系， 求什么设什么，设动点的坐标为(x,y)
2、找关系（动点满足的几何等式） 3、列式（将几何等式代数化） 4、化简（化为标准的形式） 5、检验（除去不满足题意的点）
题 型一
【例1】已知M (4,0), N (1,0),若动点P满足
MN MP 6 | NP | .求P的轨迹方程。
方程.
y
MP
O
x
求动点的轨迹方程的常用方法
3、相关点法 (也称坐标转移法): 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一 个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示, 代入已知曲线,所得的方程即为所求.
练习3 : 如图，设P是圆x2 y2 25上的动点，点D是P
在x轴上的投影，M为PD上一点，且| MD | 4 | PD | . 5
点M的轨迹是圆心为(-1,0),半径长是2的圆
题 型二 【例2】一动圆与圆O1: (x+3)2+y2=1外切 , 与
圆O2: (x-3)2+y2=81内切, 则动圆圆心M的轨迹
方程是___2x_52___1y_62___1____. y
M
O1 O
O2
x
求动点的轨迹方程的常用方法
2、定义法
若动点满足的几何条件符合某圆锥曲线的 定义，则由曲线的定义写出轨迹方程的方法。
解，解解y::(():1，1解解 ()1)设设)M则则::设(动(1N1动动)M点)M设设点点MPP动P动(PP＝xP点(＝，x(点(x，xyP6，(－)x，(y|Px)－N4y，，(M,)Px，y4yM，N)|),，，NMyyM)M)，MN，NMPMNP＝MN6(M－|P6＝NP3|P,N0(－)|P6，6||3P|N,NN0yPP)，＝|| P(1N－x＝,－x(y1 方－＝y程则 由 化 ∴则由化∴4)，)1则由化∴是＝已简点2已 简 点MMM，已简点椭6M知得由 化 ∴由 化 ∴PPN知 得即P知得P圆PP得的已 简 点＝3点 已 简＝1x得4得的x的＝＝3－2C－轨(2知 得＋(xxP＋：知 得－－－轨x(轨P23－(迹2xy＋得3x的(＋4x332234－x迹得＋4＝3－y的 2方迹,x(3－4＋0－,2轨x(424＝y方)x1y＋－程，－4,－24y方 轨 y).323＝－迹，2y)1,2程＋P是(4＝＝4)＝y2xy3，程M)1迹Ny方，4是＝－)2椭162(24，，M)1＝.xN，是即＝＝程y椭方62圆4－MN2)1即，＝(x＝圆是4＝椭612程 －2C4－＝1＋Nx，(4即 即：椭－6－)12C圆x是 ＋x＝y(32即：－x＝1,322x4圆x－4x＋＝，2y,4－32C＋0椭16xx2322＋ 4(y)＋＝1－22C,：－ ，)－＋即 0y＋x.3，圆：2)y1P3x＝，－xyyy322.3y1x3N2＋＝4x2222,P42＝1－2Cy＋0＋＝，2.＋N＋＝)12：1，，－1x1y..－y(＝y.3.231P2x＝224Oy＝ －y(＋＝2N1＋21x2－1，，,1..－＝－yx.3,2y－＝()y1，y－2)1，，.x,－