数字信号处理第9章答案详解

k=0, 1, 2, 3, …, 7
（
）
第 9 章
自
测
题
（2） 用窗函数法设计FIR数字滤波器时， 加大窗函数 的
长度可以同时加大阻带衰减和减少过渡带的宽度。
（3）如果系统函数用下式表示:
H (z) 1 (1 0 . 5 z
1
(
)
)( 1 0 . 5 z )
可以通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定。
滤波器？ 为什么？
（该题21分， （1）15分， （2）6分） （自测时间2.5~3小时， 满分100分）
第 9 章
自
测
题
题9图
第 9 章
自
测
题
9.4 自 测 题 (四)
1. 设
X (z) 0 . 19 (1 0 . 9 z )( 1 0 . 9 z
1
)
试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。 (该题12分) 2. 假设x(n)=R8(n), h(n)=R4(n)。 （1）令y(n)=x(n)*h(n)， 求y(n)。 要求写出y(n)的表达式， 并画出y(n)的波形。
k
j k
2π 5
k ； k 0 ,1, 2 , 3 , 4
y ( n ) IDFT [ X ( e
)]
n , k 0 ,1, 2 , 3 , 4
试写出y(n)与x(n)之间的关系式， 并画出y(n)的波形图。 （该题14分）
第 9 章
自
测
题
5. 已知x(n)是实序列， 其8点DFT的前5点值为： {0.25， 0.125－j0.3， 0， 0.125－j0.06， 0.5}， （1） 写出x(n)8点DFT的后3点值； （2） 如果x1(n)=x((n+2))8R8(n)， 求出x1(n)的8点DFT值。 （该题14分， 每小题7分）
(6) 假设一个稳定的IIR滤波器的系统函数和单位脉冲响应 分别用H(z)和h（n）表示， 令
H (k ) H ( z )
ze
j k
k
2π N
k ; k 0 ,1, 2 , 3 , , N 1
hN(n)=IDFT［H(k)］
n, k=0, 1, 2, 3, …, N－1
第 9 章
(2) 分别求出x(n)和y(n)。
（该题16分, 每小题8分）
第 9 章
自
测
题
3. 数字滤波器的结构如题3图所示。
（1）写出它的差分方程和系统函数；
（2）判断该滤波器是否因果稳定； （3）按照零极点分布定性画出其幅频特性曲线， 并近似
求出幅频特性的峰值点频率（计算时保留4位小数）。
（2）画出该数字低通滤波器的直接型结构图； （3）设：
H (k ) H ( z )
2π 15
z exp[ j
k 0,1,2,3, ,14
k]
h15(n)=IDFT［H(k)］
n=0, 1, 2, 3, …, 14
h(n)=IZT［H(z)］ 试写出h15(n)与h(n)之间的关系式。 （该题21分， 每小题7分） （自测时间2.5~3小时， 满分100分）
（自测时间2.5~3小时， 满分100分）
第 9 章
自
测
题
9.2 自 测 题（二）
1. 假设x(n)=δ(n)+δ(n－1)， 完成下列各题: （1）求出x(n)的傅里叶变换X(ejω)， 并画出它的幅频特性 曲线; （2） 求出x(n)的离散傅里叶变换X(k)， 变换区间的长度 N=4， 并画出|X(k)|~k曲线; ~ （3） 将x(n)以4为周期进行延拓， 得到周期序列 x ( n ) ， ~ ~ ~ (n) x X ( k ) ~ k 曲线; 求出 的离散傅里叶级数系数X ( k )， 并画出 （4） 求出（3）中 ~ ( n )的傅里叶变换表示式X(ejω)， 并 x 画出|X(ejω)|~ω曲线。 （该题24分， 每小题6分）
（该题18分， 每小题6分）
题3图
第 9 章
自
测
题
4. 设FIR数字滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－3)+2δ(n－4)
（1）试画出直接型结构（要求用的乘法器个数最少）；
（2）试画出频率采样型结构， 采样点数为N=5； 为简单 起见， 结构中可以使用复数乘法器； 要求写出每个乘法器系 数的计算公式； （3） 该滤波器是否具有线性相位特性， 为什么？ （该题21分， 每小题7分）
X (k ) N 2 N 2 0 其它 k (1 j) (1 j) k m k N m
第 9 章
自
测
题
6. 设H(ejω)是因果线性时不变系统的传输函数， 它的单
位脉冲响应是实序列。 已知H(ejω)的实部为
5
H
R (e
j
)

n0
0 , 5 cos n
n
求系统的单位脉冲响应h(n)。 （该题8分）
第 9 章
自
测
题
7. 假设网络系统函数为
H (z) 1 z
1 1
第 9 章
自
测
题
9.3 自 测 题 （三）
1. 设
X (z) 0 . 36 (1 0 . 8 z )( 1 0 . 8 z
1
)
试求与X(z)对应的因果序列x(n)。 （该题7分）
第 9 章
自
测
题
2. 因果线性时不变系统用下面差分方程描述：
1 y (n) x(n k ) k 0 2
4 k
1 3 y (n k ) k 1
5
k
试画出该系统的直接型结构图。 （该题7分）
第 9 章
自
测
题
3. 如果FIR网络用下面差分方程描述：
1 y (n) k 0 2
6 3 k
x(n k )
（1）画出直接型结构图， 要求使用的乘法器最少；
1 0 .9 z
如将H(z)中的z用z4代替， 形成新的网络系统函数， H1(z)=H(z4)。 试画出|H1(ejω)|~ω曲线， 并求出它的峰值点频
率。
（该题10分） 8. 设网络的单位脉冲响应h(n)以及输入信号x(n)的波形 如题8图所示， 试用圆卷积作图法画出该网络的输出y(n)波 形(要求画出作图过程)。
求出x(n)的Z变换X(z)、 收敛域以及零极点。
第 9 章
自
测
题
（3）假设系统的结构图如题2图所示。 求出该系统的系统 函数和单位脉冲响应。
题2图
第 9 章
自
测
题
（4） 画出下面系统函数的直接型和级联型结构图：
H (z) (z 4 z 2 . 83 z
3 2 2
z
1 . 4 z 1 )( z 0 . 7 )
第 9 章
自
测
题
题8图
第 9 章
自
测
题
9. 已知RC模拟滤波网络如题9图所示。
（1）试利用双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤
波器， 求出该数字滤波器的系统函数， 并画出它的结构图。 最后分析该数字滤波器的频率特性相对原模拟滤波器的频率特 性是否有失真。 （2） 能否用脉冲响应不变法将该模拟滤波器转换成数字
≤
4π
4π
第 9 章
自
测
题
设 x(t)=cos(2πt)+cos(5πt) 要求: （1） 写出
ˆ x (t )
的表达式;
（2） 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
（该题14分 ， （1）6分， （2）8分） 4. 假设线性非时变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号
x(n)分别用下式表示：
(
)
（4）令x(n)=a|n|
则X(z)的收敛域为
0<|a|<1, －∞≤n≤∞
X(z)=ZT［x(n)］ a<|z|<a－1 （ ）
第 9 章
自
测
题
（5） 令x(n)=a|n| 则
0<|a|<1, －∞≤n≤∞ X(ejω)=FT{x(n)］
j

π
π
X (e
)d 2 πx (n )
(
)
(该题25分， （1）4分 ， （2）7分， （3）7分， （4）7分)
3. 对x(t)进行理想采样， 采样间隔T=0.25 s， 得到 x ( t ) ， ˆ
ˆ 再让 x ( t ) 通过理想低通滤波器G(jΩ)， Gj(Ω)用下式表示:
0 . 25 G ( j ) 0

第 9 章
自
测
题
2. 假设f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)和y(n)均为有限长实序列， 已知f(n)的DFT如下式:
F (k ) 1 e
j π 2 k
j( 2 e
jπ k
)
k 0 ,1, 2 , 3
(1) 由F(k)分别求出x(n)和y(n)的离散傅里叶变换X(k)和 Y(k)。
自
测
题
9.1 自 测 题 （一）
1. 判断下列各题的结论是否正确， 你认为正确就在括
弧中画“√”， 否则画“×”。
（1） 如果X(k)=DFT［x(n)］
y(n)=x((n+5))8R8(n) Y(k)=DFT［y(n)］ 则 |Y(k)|=|X(k)|
k=0, 1, 2, 3, …, 7
k=0, 1, 2, 3, …, 7
h(n)=R8(n), x(n)=0.5nR8(n) (1) 计算并图示该系统的输出信号y(n);
第 9 章
自
测
题
(2) 如果对x(n)和 h(n)分别进行16点DFT， 得到X(k)和
H(k)， 令
Y1(k)=H(k)X(k) 画出y1(n)的波形。 （3）画出用快速卷积法计算该系统输出y(n)的计算框图 k=0, 1, 2, 3, …, 15 n, k=0, 1, 2, 3, …, 15
（2）判断该滤波器是否具有线性相位特性， 如果具
有线性相位特性， 写出相位特性公式。 （该题11分， （1）6分， （2）5分）
第 9 章
自
测
题
4. 已知因果序列x(n)={1, 2, 3, 1, 0, －3,
X(ejω)=FT［x(n)］
X (e
j k
－2}， 设
) X (e
j
)
k
（2）令yc(n)=x(n) * y(n)， 圆卷积的长度L=8， 求yc(n)。
要求写出yc(n)的表达式， 并画出yc(n)的波形。 (该题8分， 每小题4分)
第 9 章
自
测
题
3.
x 设数字网络的输入是以N为周期的周期序列 ~ ( n ) ，
该网络的单位脉冲响应是长度为M的h(n)， 试用FFT计算该 网络的输出。 要求画出计算框图（FFT作为一个框图）， 并注明FFT的计算区间。 (该题10分)
自
测
题
则
h(n)=hN(n)
（该题24分， 每小题4分） 2. 完成下列各题:
H (z) 3z 2 5z
1 1
（
）
（1）已知
2z
2
设H(z)是一个因果系统， 求它的单位脉冲响应h(n)。 （2） 设 a n n≥ 0
x(n) 1 n 0 , | a | 1
第 9 章
自
测
题
5. 已知归一化二阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数为
H a (s) 1 s
2

2s 1
要求用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器， 该滤波器的3 dB截止频率 间隔T=2 s。
rad， c
3 π
为简单起见， 设采样
第 9 章
自
测
题
（1）求出该数字低通滤波器的系统函数H(z)；
第 9 章
自
测
题
第9章 自 测 题
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 自测题(一) 自测题(二) 自测题(三) 自测题(四) 自测题(五) 自测题(一)参考答案 自测题(二)参考答案 自测题(三)参考答案 自测题(四)参考答案 自测题(五)参考答案
第 9 章
y1(n)=IDFT［Y(k)］
（FFT计算作为一个框图）， 并注明FFT的最小计算区间N
等于多少。 （该题22分, （1） 7分, （2） 7分, （3） 8分）
第 9 章
自
测
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题
5. 二阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为
H a (s) 1 s
2

2s 1
采样间隔T=2 s， 为简单起见， 令3 dB截止频率Ωc=1 rad/s， 用 双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器H(z)， 要求: (1) 求出H(z); (2) 计算数字滤波器的3 dB截止频率; (3) 画出数字滤波器的直接型结构图。 （该题15分， （1） 5分, （2） 5分, （3） 5分）
第 9 章
自
测
题
4. 已知
1 x (n) 0 n
≤ 3
其它 n
（1）求出该信号的傅里叶变换; （2）利用x(n)求出该信号的DFT， X(k)=DFT［x(n)］，
区间为8。
（提示： 注意x(n)的区间不符合DFT要求的区间。） (该题8分， 每小题4分)
第 9 章
自
测
题
5. 已知x(n)的N点DFT为