MATLAB 非线性方程(组)求根

实用数值方法(Matlab) 综述报告题目：非线性方程（组）求根问题

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许多数学和物理问题归结为解函数方程f(x)=0。方程f(x)=0的解称为方程的根。对于非线性方程，在某个范围内往往不止一个根，而且根的分布情况可能很复杂，面对这种情况，通常先将考察的范围花费为若干个子段，然后判断哪些子段内有根，然后再在有根子段内找出满足精度要求的近似根。为此适当选取有根子段内某一点作为根的初始值近似，然后运用迭代方法使之足部精确化。这就是方程求根的迭代法。下面介绍书上的几种方法：

1、二分法

（1）方法概要：

假定函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)=0,则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。取其中

将其二分，判断所求的根在的左侧还是右侧，得到一个新的有根区间

点

[],长度为[a,b]的一半。对新的有根区间继续实行上述二分手段，直至二分k次后有根区间[]长度

可见，如果二分过程无限继续下去，这些有限根区间最终必收敛于一点,该点就是所求的根。在实际计算过程中不可能完成这个无限过程，允许有一定的误差，则二分k+1次后

只要有根区间[]的长度小于，那么结果关于允许误差就能“准确”地满足方程f(x)=0。

(2)计算框图：

2、开方法

对于给定,求开方值

为此，可以运用校正技术设计从预报值生成校正值的迭代公式。自然希望校正值

能更好满足所给方程：

这是个关于校正量的近似关系式，如果从中删去二次项，即可化归为一次方程

解之有

从而关于校正值有如下开方公式

上述演绎过程表明，开方法的设计思想是逐步线性化，即将二次方程的求解画归为一次方程求解过程的重复。开方公式规定了预报值与校正值之间的一种函数关系,这里

为开方法的迭代函数。

3、Newton法

（1）方法概要

考察一般形式的函数方程

首先运用校正技术建立迭代公式。设已知它的根近似值，则自然要求校正值

能更好地满足所给方程

将其左端用其线性主部替代，而令

据此定出

从而关于校正值有如下计算公式

这就是著名的Newton公式。

公式决定了预报值与校正值之间的一种函数关系，这里迭代函

Newton

数为

（2）计算框图

4、弦截法

（1）方法概要

弦截法主要方法与Newtom法基本相同，只是用差商代替Newtom 公式中的导数，从而得到弦截公式

（2）计算框图

现在介绍一种新的方法——正割法 正割法 设

是二个接近于*x 的已知近似解。用

关于

的线性插值函数

(1)

来近似函数，并取的根作为的新近似根

(2)

从适当的，由（2）生成迭代序列

的方法称为正割法。

正割法的几何意义是用曲线

的过点

的割线

来近似原曲线，并用割线与轴的交点近似曲线与轴的点，如图

所示。

例：用正割法求解

。

解 将的数值列在表中。可看出正割法有较快的收敛速度。

8

7511105.57390851

.061062.37390849.05672694

.110697.5739119.046522468.10046617.0736298.037432456.1089303.068507.024596977.145969977.011100)

/()()()(-----⨯-⨯-⨯-----k k k k k k x x x f x f x f x k

对于正割法，有如下收敛定理。 定理 1

若

在

解

邻近二次连续可导，

且，则存

在，只

要

正割产生的迭代序列收敛于，而且有

(3)

证明 利用插值多项式余项，有

其中位于包含

的最小区间内。另一方面

其中介于与之间，也位于包含的最小区间内。由的二个表达式得

(4)

任取由及f’’连续得，存在,成立

即当时，则（4）得

,

。（3）显然成立。证毕。

定理1中先假设了的存在，同时要求初始近似解充分接近，这一类收敛定理称为局部性收敛定理。

即正割法通常具有收敛阶1.618…。