MATLAB 非线性方程(组)求根
数学建模常用方法MATLAB求解
数学建模常用方法MATLAB求解数学建模是通过数学方法对实际问题进行数学描述、分析和求解的过程。
MATLAB是一款功能强大的数学软件，广泛用于数学建模中的问题求解。
在数学建模中，常用的方法有数值求解、优化求解和符号计算。
下面将介绍MATLAB在数学建模中常用的方法和求解示例。
1.数值求解方法：数值求解是利用数值计算方法来近似求解实际问题的数学模型。
MATLAB提供了许多数值求解函数，如方程求根、解线性方程组、曲线拟合、积分和微分等。
以方程求根为例，可以使用fsolve函数来求解非线性方程。
示例：求解非线性方程sin(x)=0.5```matlabx0=0;%初始点x = fsolve(fun,x0);```2.优化求解方法：优化求解是在给定约束条件下，寻找使目标函数取得最优值的变量值。
MATLAB提供了许多优化求解函数，如线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划等。
以线性规划为例，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
示例：求解线性规划问题，目标函数为max(3*x1+4*x2)，约束条件为x1>=0、x2>=0和2*x1+3*x2<=6```matlabf=[-3,-4];%目标函数系数A=[2,3];%不等式约束的系数矩阵b=6;%不等式约束的右端向量lb = zeros(2,1); % 变量下界ub = []; % 变量上界x = linprog(f,A,b,[],[],lb,ub);```3.符号计算方法：符号计算是研究数学符号的计算方法，以推导或计算数学表达式为主要任务。
MATLAB提供了符号计算工具箱，可以进行符号计算、微积分、代数运算、求解方程等。
以符号计算为例，可以使用syms函数来定义符号变量，并使用solve函数求解方程。
示例：求解二次方程ax^2+bx+c=0的根。
```matlabsyms x a b c;eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;sol = solve(eqn, x);```以上是MATLAB在数学建模中常用的方法和求解示例，通过数值求解、优化求解和符号计算等方法，MATLAB可以高效地解决各种数学建模问题。
matlab求根的个数和区间
标题：深度解析MATLAB求根的个数和区间1. 引言MATLAB作为一种强大的数学工具，对于求解方程根的问题有着丰富的函数库和算法支持。
在实际应用中，我们常常需要对一个函数的根进行求解，而了解该函数根的个数和区间是十分重要的。
本文将深入探讨MATLAB中求根个数和区间的相关知识和方法，以便读者能够更全面、深刻地理解这一主题。
2. 求根个数的概念及相关函数我们需要了解什么是求根的个数以及MATLAB中相关的函数。
对于一个函数f(x)，求根的个数即为其在特定区间内零点的个数。
在MATLAB中，常用的求根函数包括fzero()、roots()等，它们可以对各种类型的函数进行求解，如多项式、非线性方程等。
3. 求根个数的判定方法接下来，我们将介绍MATLAB中判定求根个数的方法。
对于一元函数，我们可以借助MATLAB中的绘图函数plot()，来观察函数的图像，并直观地判断其在特定区间内的根的个数。
另外，MATLAB还提供了一些数值方法，如牛顿法、二分法等，可以精确地计算函数在区间内的根。
4. 区间的选取和调整选取合适的区间对于求解根的个数至关重要。
在选取区间时，我们需要考虑函数的特性、间断点和拐点等因素，以确保所选区间内包含所有的根。
当计算结果不准确或求根个数与预期值不符时，我们需要对区间进行调整，以提高求解的精度和准确性。
5. 个人观点和理解在我看来，MATLAB求根的个数和区间问题是实际工程中最常见且关键的数学问题之一。
在实际应用中，需要根据具体的函数形式和求解需求来选择合适的求根方法和算法。
充分了解函数的特性和区间的选择对于求解的准确性和有效性具有重要意义。
6. 总结和回顾通过本文的深度解析，读者对MATLAB求根个数和区间这一主题应该有了更全面、深刻的理解。
在实际应用中，我们应该根据具体情况来选择合适的求根方法和区间，以确保求解的准确性和有效性。
在MATLAB中，求根的个数和区间判定是一个复杂而又具有挑战性的问题，但凭借丰富的数学工具和函数库，我们可以很好地解决这一问题，并在实际工程中取得良好的效果。
MATLAB应用 求解非线性方程
第7章 求解非线性方程7.1 多项式运算在MATLAB 中的实现一、多项式的表达n 次多项式表达为：n a +⋯⋯++=x a x a x a p(x )1-n 1-n 1n 0，是n+1项之和在MATLAB 中，n 次多项式可以用n 次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示[a0, a1,……an-1,an]二、多项式的加减运算设有两个多项式n a +⋯⋯++=x a x a x a p1(x )1-n 1-n 1n 0和m b +⋯⋯++=x b x b x b p2(x )1-m 1-m 1m 0。
它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。
当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。
当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。
例2 计算()()1635223-+++-x x x xa=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b例 3 设()6572532345++-+-=x x x x x x f ，()3532-+=x x x g ，求f(x)+g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f 的次数找齐 f+g1, f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4 在上例中，求f(x)*g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];conv(f, g)四、多项式的除法运算[Q, r]=deconv(p1, p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。
Q,和r 仍为多项式系数向量 例4 在上例中，求f(x)/g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];[Q, r]=deconv(f, g)五、多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P 的导函数p=polyder(P ,Q)：求P ·Q 的导函数[p,q]=polyder(P ,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p ，分母存入q 。
第七讲 MATLAB中求方程的近似根(解)
第七讲 MATLAB 中求方程的近似根(解)教学目的：学习matlab 中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令．教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧．教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解．一、问题背景和实验目的求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程．当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解．通过本实验，达到下面目的：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解．首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法： 1． 对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<⋅b f a f ，即 ()0f a >，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=．下面的方法可以求出该根：(1) 令0()/2x a b =+，计算0()f x ；(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =．若 0()()0f a f x ⋅<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ⋅>，则令10a x =，1b b =；111()/2x a b =+．……，有k a 、k b 以及相应的()/2k k k x a b =+．(3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果()/2k k k x a b =+； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点()/2k k k x a b =+为根的近似值，显然有2111()/2()/(2)()/2k k k k k k x b a b a b a ξ+---≤-=-==-以上公式可用于估计对分次数k ．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为12的等比级数相同．由于1021024=，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值． 2. 迭代法a) 松弛法：由方程()0f x =构造一个等价方程()x x φ=．则迭代方程是：1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+，1/(1'())k k x ωφ=-，其中'()1x φ≠．松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b) Altken 方法：松弛法要先计算'()k x φ，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：(1)()k k x x φ= ；(2)(1)()k k x x φ=；(2)(2)(1)2(2)(1)1()/(2)k k k k k k k x x x x x x x +=---+， ,2,1,0=k这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）()0f x =是非线性方程其迭代公式为：1(()/'())k k k k x x f x f x +=- ,2,1,0=k即为牛顿法公式.牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值0x 要求较严，要求0x 相当接近真值*x ．因此，常用其他方法确定初值0x ，再用牛顿法提高精度． 以下是本实验中的几个具体的实验 具体实验1：对分法先作图观察方程：3310x x -+=的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．程序如下： function [y,p]=erfen()clc, x=[];a=[];b=[]; a(1)=1;b(1)=2; i=1;x(i)=(a(i)+b(i))/2; e=abs(f(x(i))); ezplot('x^3-3*x+1',[a(1),b(1)]);hold on, plot([a(i),b(i)],[0,0]) while e>10^(-5)plot([a(i),a(i)],[0,100],[x(i) x(i)],[0 100],[b(i) b(i)],[0 100]),pause(0.5) if f(a(i))*f(x(i))<0a(i+1)=a(i);b(i+1)=x(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; elsea(i+1)=x(i);b(i+1)=b(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; ende=abs(f(x(i)));i=i+1; endy=x(i);p=[a;x;b]' function u=f(x) u=x^3-3*x+1; end end图形如下:结果为：1.5321具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：1()k k x x φ+=求方程3310x x -+=在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数．构造等价方程：3(1)/3x x =+用迭代公式： 31(1)/3k k x x +=+， ,2,1,0=k 具体实验3：迭代法的加速1——松弛迭代法3()(1)/3x x φ=+，2()'x x φ=，21/(1)k k x ω=-迭代公式为31(1)(1)/3k k k k k x x x ωω+=-++clc;x=[];w=[]; x(1)=1;w(1)=1/(1-x(1)); for i=1:10w(i)=1/(1- x(i)); x(i+1)=(1-w(i))*x(i)+ w(i)*(x(i)^3+1)/3; end x另外有程序可以参考，详见参见附录4． 具体实验4：迭代法的加速2——Altken 迭代法迭代公式为：(1)3(1)/3k k x x =+，(2)(1)3(1)/3k k x x =+(2)(2)(1)2(2)(1)1()/(2)k k k k k k k x x x x x x x +=---+， ,2,1,0=k%（符号计算）syms x fx gx;gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1; disp('k x x1 x2') x=0.5;k=0; ffx=subs(fx, 'x', x); while abs(ffx)>0.0001;u=subs(gx, 'x', x);v=subs(gx, 'x', u);disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, 'x', x); enddisp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) %（数值计算）function [y,p]=althken() % 求方根的迭代程序 clc,format long e , x(1)=6; i=1;p=[];ezplot('x^3-3*x+1',[x(1)-9,x(1)+1]);hold on plot([x(1)-20,x(1)+2],[0,0]) while abs(f(x(i)))>=10^(-5) plot(x(i),0,'*')t1=phi(x(i));t2=phi(t1); x(i+1)=t2-(t2-t1)^2/(t2-2*t1+x(i)+eps); p=[p;[i, x(i),t1,t2]]; i=i+1; pause(0.1) endp,y=x(i), i, format function u=phi(x) u=(x^3+1)/3; endfunction u=f(x) u=x^3+1-3*x; end end具体实验5：牛顿法用牛顿法计算方程3310x x -+=在-2到2之间的三个根． 提示：3()31f x x x =-+，2'()33f x x =-迭代公式：2321(31)/(33)k k k k k x x x x x +=--+-function [y,p]=newton() % 求方根的迭代程序 clc,format long e , x(1)=6; i=1; p=[]; ezplot('x^3-3*x+1',[x(1)-9,x(1)+1]);hold on plot([x(1)-20,x(1)+2],[0,0]) while abs(f(x(i)))>=10^(-5)plot(x(i),0,'*'), x(i+1)=x(i)-f(x(i))/(df(x(i))+eps); p=[p;[i, x(i)]]; i=i+1; pause(0.1) endformat short , p,y=x(i), i, function u=df(x) u=3*x^2-3; endfunction u=f(x) u=x^3+1-3*x; end end 结果：结果为： 1.5321※进一步思考：用迭代法求3的平方根. 迭代公式为1(3/)/2n n n x x x +=+. 编写M 函数文件My_sqrt.m, 求3正的平方根x . 要求误差小于510-．仅要求写出源程序．试使用以上介绍的迭代法来相互比较 参考程序：function y=my_sqrt(a) % 求方根的迭代程序if nargin~=1|~isa(a,'double') , error('输入数字为一个正数!'),end if a<0, error('输入数字为正数!'), endif a>0format long e , x(1)=0; x(2)=1; i=1; while abs(x(i+1)-x(i))>=10^(-5)i=i+1;x(i+1)=1/2*(x(i)+a/(x(i)+eps));endy=x(i+1);i,format end现在我们简单介绍图解法如何来求解一元方程和二元方程的根： 例：exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)=0.5>>ezplot('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5',[0 5]) >>hold on, line([0,5],[0,0])验证：t=3.5203 >>syms x; t=3.5203;vpa(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5) ans =-.43167073997540938989914138801396e-4例：：x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)=0y^2 *cos(y+x^2) +x^2*exp(x+y)=0>> ezplot('x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)')>> hold onezplot('y^2 *cos(y+x^2) +x^2*exp(x+y)')具体的结果请大家自己下来运行二、关于直接利用函数（命令）求解方程及简介(1) solve('f(x)')，f(x)为一个具体的表达式．(2) roots(A)，A为某个多项式按x降幂排列的系数矩阵(3) fzero('f(x)', x0)，f(x)为一个具体的表达式，x0为一个具体的数值(4) linsolve(A,b)，A为一方程组的系数矩阵，b为方程组右端的常数矩阵．1．单变量的多项式方程求根：命令格式：roots(A)例：x^3-6*(x^2)-72*x-27=0;>>p=[1 -6 -72 -27]>>r=roots(p)r=12.1229-5.7345-0.38842. 多项式型方程的准解析解法命令格式：[x,…]=solve(eqn1,eqn2,…)例：x^2+y^2-1=00.75*x^3-y+0.9=0>>syms x y;>> [x,y]=solve('x^2+y^2-1=0', '75*x^3/100-y+9/10=0')检验：>>[eval('x.^2+y.^2-1'), eval('75*x.^3/100-y+9/10')]具体结果就请大家下来自己运行3. 线性方程组的求解例：求线性方程组b⋅的解，已知m=[1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;3 4 5 6 7 8;4 5 6 7 8 ;5 6 7 8 0]，m=xb=[1;2;3;4;5]for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=[1:5]'; linsolve(m, b)4. 非线性方程数值求解(1)单变量非线性方程求解在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根．该函数的调用格式为：z=fzero('fname',x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点．一个函数可能有多个根，但fzero 函数只给出离x0最近的那个根．tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace•指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0．例:求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根．步骤如下：(a) 建立函数文件funx.m．function fx=funx(x)fx=x-10.^x+2;(b)调用fzero函数求根．z=fzero('funx',0.5)z = 0.3758(2)非线性方程组的求解对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解．fsolve函数的调用格式为： X=fsolve('fun',X0,option)其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定．最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来．如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成．例如，Display 选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果．optim set(‘Display’,‘off’)将设定Display 选项为‘off’． 例: 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解．(a) 建立函数文件myfun.m ． function q=myfun(p) x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (b) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve 函数求方程的根． x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x = 0.6354 0.3734将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果．精品案例：螺旋线与平面的交点问题：螺旋线与平面相交的情况多种多样, 根据螺旋线与平面方程的不同可以相交, 也可以不相交. 在相交的情况下, 可以交于一点, 也可以交于好多点. 对于各种相交的情况, 要求其交点的坐标并不是一件容易的事. 本次实验就以此为背景讨论下面的具体问题：已知螺旋线的参数方程为4cos ,4sin ,,08x y z θθθθπ===≤≤.平面的方程为：0.520x y z ++-=. 求该螺旋线与平面的交点. 要求：1）求出所有交点的坐标；2）在同一图形窗口画出螺旋线、平面和交点. 实验过程： 1.1 问题分析可以采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标, 包括fsolve 等. 先对方程化简,减少变量个数,使用图解方法求方程的根.再分别画出螺旋线,平面,及其交点. 1.2 算法描述与分析先对方程化简,减少变量个数,再利用fsolve, 选择适当的初值, 求其数值解;再分别会出图形；最后对图形作出必要的修饰. 1.3 源程序及注释将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得： 等价变形得 ： 建立下面M 文件intersect_point.m %使用图解法求交点，并且三维图 %画图确定解的个数和大概位置 theta=0:0.01:8*pi;y1=4*(cos(theta)+sin(theta)); y2=2-0.5*theta;plot(theta,y1,theta,y2) %画出两个函数的图形%画螺旋线%theta=0:pi/100:8*pi; x=4*cos(theta); y=4*sin(theta); z=theta;figure %新建图形窗口plot3(x,y,z) %画含有参数的空间曲线 hold on %透明的画平面%x1=-5:0.1:5; %取值和螺旋线的范围[-4,4]有关. y1=x1;[X1 Y1]=meshgrid(x1,y1);%网格化，画曲面 Z1=4-2*X1-2*Y1;surf(X1,Y1,Z1) %或者使用mesh(X1,Y1,Z1)25.0sin 4cos 4=-++θθθθθθ5.02sin 4cos 4-=+shading flatalpha(0.5) %设置透明度alpha('z') %设置透明度方向%求交点坐标,为避免变量混淆和覆盖，这里用t 代替theta%i=1for n=[2,5,9,11] %根据画图确定解的大概位置作为初值t(i)=fsolve(inline('4*cos(t)+4*sin(t)+0.5 *t-2'),n)%选择不同初值求交点 x0(i)=4*cos(t(i));y0(i)=4*sin(t(i));z0(i)=t(i);i=i+1;endplot3(x0,y0,z0,'ro')1.4 测试结果（写清输入输出情况）从图形可见在 内与三角曲线有4个交点.交点坐标为：theta 的数值解为：t=[2.1961 5.3759 9.1078 11.1023]四个交点的近似坐标为：x0 =[-2.3413 2.4635 -3.8007 0.4261]y0 =[3.2432 -3.1514 1.2468 -3.9772] z0 =[2.1961 5.3759 9.1078 11.1023]1.5 调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施求交点的时候会出现重根和漏根的情形,通过选择适当的初值避免了上述情况.1.6 对算法和程序的讨论、分析, 改进设想及其它经验教训solve 函数只能求解一个数值解,不能全部求出;用fsolve 函数好; 为了满足更好的视觉πθ80≤≤效果,可以对图形进行进一步的修饰.习题1.已知多项式323)(2345+++-=x x x x x f2.解方程组:sin()0x x y ye +-=(1)22x y -= (2)3.求解方程: ex x x =)cos( 4.求解多项式方程 0189=++x x5.求下列代数方程（组）的解：(1) 510x x -+=(2) 230x y += ①2431x y += ②6.选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程0133=+-x x 在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．7.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 sin()t x x ⋅= 的正的近似根，10≤<t ．(建议取 5.0=t ．时间许可的话，可进一步考虑 25.0=t 的情况．)五、附录为供近似求根的算法附录1：对分法程序（fulu1.m ）syms x fx; a=0;b=1;fx=x^3-3*x+1;x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx, 'x', x);if ffx==0;disp(['the root is:', num2str(x)])else disp('k ak bk f(xk)')while abs(ffx)>0.0001 & a<b;disp([num2str(k), ' ', num2str(a), ' ', num2str(b), ' ', num2str(ffx)]) fa=subs(fx, 'x', a);ffx=subs(fx, 'x', x);if fa*ffx<0b=x;elsea=x;endk=k+1;x=(a+b)/2;enddisp([num2str(k), ' ', num2str(a), ' ', num2str(b), ' ', num2str(ffx)])end注：实验时，可将第 2 行的 a、b 改为其它区间端点进行其它实验．附录2：普通迭代法（fulu2.m）syms x fx gx; gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1; disp('k x f(x)')x=0.5;k=0; ffx=subs(fx, 'x', x);while abs(ffx)>0.0001;disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(ffx)]);x=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);k=k+1;enddisp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(ffx)])附录3：收敛/发散判断（fulu3.m）syms x g1 g2 g3 dg1 dg2 dg3;x1=0.347;x2=1.53;x3=-1.88;g1=(x^3+1)/3;dg1=diff(g1, 'x');g2=1/(3-x^2);dg2=diff(g2, 'x');g3=(3*x-1)^(1/3);dg3=diff(g3, 'x');disp(['1 ', num2str(abs(subs(dg1, 'x', x1))), ' ', ...num2str(abs(subs(dg1, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg1, 'x', x3)))]) disp(['2 ', num2str(abs(subs(dg2, 'x', x1))), ' ', ...num2str(abs(subs(dg2, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg2, 'x', x3)))]) disp(['3 ', num2str(abs(subs(dg3, 'x', x1))), ' ', ...num2str(abs(subs(dg3, 'x', x2))), ' ', num2str(abs(subs(dg3, 'x', x3)))])附录4：松弛迭代法（fulu4.m）syms fx gx x dgx;gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1;dgx=diff(gx, 'x');x=0.5;k=0;ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x);disp('k x w')while abs(ffx)>0.0001;w=1/(1-dgxx); disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(w)]) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1;ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x);enddisp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(w)])附录5： Altken 迭代法（fulu5.m）syms x fx gx; gx=(x^3+1)/3;fx=x^3-3*x+1;disp('k x x1 x2') x=0.5;k=0;ffx=subs(fx, 'x', x);while abs(ffx)>0.0001;u=subs(gx, 'x', x);v=subs(gx, 'x', u);disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, 'x', x);enddisp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)])附录6：牛顿法（fulu6.m）syms x fx gx;fx=x^3-3*x+1;gx=diff(fx, 'x');x1=-2;x2=0.5;x3=1.4;k=0;disp('k x1 x2 x3')fx1=subs(fx, 'x', x1);fx2=subs(fx, 'x', x2);fx3=subs(fx, 'x', x3);gx1=subs(gx, 'x', x1);gx2=subs(gx, 'x', x2);gx3=subs(gx, 'x', x3);while abs(fx1)>0.0001|abs(fx2)>0.0001|abs(fx3)>0.0001;disp([num2str(k), ' ', num2str(x1), ' ', num2str(x2), ' ', num2str(x3)])x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx1=subs(fx, 'x', x1);fx2=subs(fx, 'x', x2);fx3=subs(fx, 'x', x3);gx1=subs(gx, 'x', x1);gx2=subs(gx, 'x', x2);gx3=subs(gx, 'x', x3);enddisp([num2str(k), ' ', num2str(x1), ' ', num2str(x2), ' ', num2str(x3)])。
matlab实验 非线性方程(组)求解
数学实验报告Matlab的简单应用——非线性方程（组）求解姓名班级学号学院2013年5月12日一、实验目的1.熟悉MATLAB软件中非线性方程（组）的求解命令及其用法。
2.掌握求非线性方程近似根的常用数值方法——迭代法。
3.了解分叉与混沌概念。
二、实验问题1.利用弦截法编程对方程x^5+x-1=0进行求解实验，并与二分法、牛顿切线法进行比较；2.方程f(x)=x^2+x-4=0在(0,4)内有唯一的实根，现构造以下三种迭代函数：(1)g1(x)=4-x^2,迭代初值x0=4;(2)g2(x)=4/(1+x),迭代初值x0=4;(3)g3(x)=x-(x^2+x-4)/(2x+1),迭代初值x0=4;分别用给出的3种迭代函数构造迭代数列x(k+1)=g1(x(k)),i=1,2,3,观察这些迭代数列是否收敛，若收敛能否收敛到方程f(x)=0的解。
除此之外，你还能构造出其他收敛的迭代吗？4.分别取不同的参数值r，做迭代数列x(n+1)=rx(n)(1-x(n)),n=0,1,2……,观察分叉与混沌现象。
步骤1：首先，分别取参数r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7, 3.0,3.3,3.6,3.9等14个值，按迭代序列迭代150步，分别产生14个迭代序列{x(k)},k=0,1,…,150；其次，分别取这14个迭代序列的后50个迭代值（x100,x101,…,x150），画在以r为横坐标的同一坐标面rox上，每一个r取值对应的迭代值点为一列。
步骤2：对（1）中图进行观察分析，容易发现：（1）当r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7时，每个r对应的50个迭代值凝聚在一点，这说明对这些r的取值所产生的迭代序列是收敛的。
（2）当r为3,3.3时，r对应的50个迭代值凝聚在两个点，这说明这些r值所对应的迭代序列不收敛，但凝聚在两个点附近；同时也说明当r在2.7和3之间取值时，对应的迭代序列从收敛到不收敛，轨道由一只分为两支开始出现分叉现象。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序1. fzero函数：fzero函数是MATLAB中最常用的求解非线性方程的函数之一、它使用了割线法、二分法和反复均值法等多种迭代算法来求解方程。
使用fzero函数可以很方便地求解单变量非线性方程和非线性方程组。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以使用以下语法：``````2. fsolve函数：fsolve函数是MATLAB中求解多维非线性方程组的函数。
它是基于牛顿法的迭代算法来求解方程组。
使用fsolve函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````3. root函数：root函数是MATLAB中求解非线性方程组的函数之一、它采用牛顿法或拟牛顿法来求解方程组。
使用root函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````4. vpasolve函数：vpasolve函数是MATLAB中求解符号方程的函数。
它使用符号计算的方法来求解方程，可以得到精确的解。
vpasolve函数可以求解多变量非线性方程组和含有符号参数的非线性方程。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：```x = vpasolve(F(x) == 0, x)```vpasolve函数会返回方程组的一个精确解x。
5. fsolve和lsqnonlin结合：在MATLAB中，可以将求解非线性方程转化为求解最小二乘问题的形式。
可以使用fsolve函数或lsqnonlin函数来求解最小二乘问题。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以将其转化为最小二乘问题g(x) = min，然后使用fsolve或lsqnonlin函数来求解。
具体使用方法可以参考MATLAB官方文档。
6. Newton-Raphson法手动实现：除了使用MATLAB中的函数来求解非线性方程，还可以手动实现Newton-Raphson法来求解。
第五讲非线性方程求根及其MATLAB实现
第五讲非线性方程求根及其MATLAB实现一、引言在数学和工程领域中，非线性方程的求解是一项基本任务。
非线性方程通常不具备直接求解的方法，因此需要采用迭代方法来逼近其解。
本讲将介绍几种常用的非线性方程求根方法，并给出MATLAB实现的示例。
二、二分法二分法是一种简单但有效的求根方法。
其基本思想是将方程的根所在的区间进行逐步划分，并选择其中点作为迭代的点，直到满足精度要求。
具体实现如下：```matlabfunction x = bisection(f, a, b, tol)if f(a) * f(b) >= 0error('f(a)和f(b)符号相同');endwhile (b - a) / 2 > tolx=(a+b)/2;if f(x) == 0break;elseif f(a) * f(x) < 0b=x;elsea=x;endendend```三、牛顿法牛顿法是一种基于方程导数的迭代方法，其基本思想是使用方程的切线来逼近其根。
具体实现如下：```matlabfunction x = newton(f, df, x0, tol)while abs(f(x0)) > tolx0 = x0 - f(x0) / df(x0);endx=x0;end```四、割线法割线法是一种类似于牛顿法的迭代方法，其基本思想是用两个迭代点的连线来逼近方程的根。
具体实现如下：```matlabfunction x = secant(f, x0, x1, tol)while abs(f(x1)) > tolx=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));x0=x1;x1=x;endend```五、MATLAB实现示例下面是一些使用上述非线性方程求根方法的MATLAB示例：```matlab% 示例1：求方程sin(x) = 0的根a=0;b = 2 * pi;tol = 1e-6;x = bisection(f, a, b, tol);disp(['二分法求解的根为：', num2str(x)]);disp(['牛顿法求解的根为：', num2str(x)]);x = secant(f, a, b, tol);disp(['割线法求解的根为：', num2str(x)]);%示例2：求方程x^2-2=0的根x0=1;tol = 1e-6;x = newton(f, df, x0, tol);disp(['牛顿法求解的根为：', num2str(x)]);```六、总结本讲介绍了几种常用的非线性方程求根方法，并给出了MATLAB的实现示例。
计算方法-方程求根实验
实验四 方程求根实验一. 实验目的（1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求用Matlab 软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton 法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23=-++=x x x x f 并给出了高精度的实根368808107.1*=x ，试用Newton 法和弦截法进行验证，要求精度610-=ε，并绘制方程的图形。
答：A.Newton 法：a ．编写文件Newton.m 、func4.m 内容如下所示：b.运行，如下所示A为矩阵，由上面可知，对于初值为5，运行7次即可得到所需的精度，验证结果为古人给出的解释正确的；c.作图，编写下面的文件photo1.m.然后运行即可：注意下面中的x矩阵即为刚才计算出来的x系列，k为迭代的次数：a．编写文件Chord.m内容如下所示：b．运行结果如下所示：由上表可知，在精度为10^-6时有7位有效数字，古人的结果还是正确的c．作图，在上面运行后，即运行newton法时写的photo1.m文件即可出现图像：可以看到图中两条曲线基本重合； （2）取5.00=x ，用迭代法求方程x e x -=的根，然后用Aitken 方法加速，要求精度为结果有4为有效数字。
答：a. 编写文件func7.m 和Aiken.m ，内容如下所示：b ．运行：具有四位有效数字 （3）用快速弦截法求解方程01)(=-=x xe x f ，要求精度为610-=ε，取6.05.010==x x ，作为开始值，并绘制1)(-=x xe x f 的图形。
答：对照可知，书本后面的程序已经正确，运行即可：下面为快速弦截法的主程序文件：函数文件如下：运行如下：作图，编写下面的文件：运行该文件就可以y=x*exp(x)-1函数和插值函数的图：可以看到两条直线基本重合在一起了，扩大图片可以看到两条直线是不重合的：2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
实验一非线性方程组求解实验报告
计算方法实验报告专业班级：姓名：学号：实验成绩：1．【实验题目】非线性方程组求解2．【实验目的】（1）．掌握二分法、迭代法、牛顿迭代法求方程近似根的基本思想与原理。
（2）．掌握常用迭代算法的程序实现。
3．【实验内容】迭代法是求解非线性方程的基本方法，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。
考虑一个简单的代数方程，针对该方程，可以构造多种迭代法，如：取初始值，取，分别用以上迭代格式作实验，记录各算法的迭代过程4. 【实验要求】（1）取定某个初始值，按方案1～3对非线性方程求根，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。
请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。
（2）对三个迭代格式的某一种，分别取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？（3）对代数方程，分别用方案1 用二分法求解；方案2 用牛顿法求解；5. 【算法描述】二分法算法步骤1）计算有根区间的端点a,b及预先给定的精度e。
2）计算中点(a+b)/2。
3）若f(x)f(a)<0,则x b,转向4)；否则，x a，转向4).⇒⇒4）若b-a<e，则输出满足精度的根x,结束；否则转向2)。
牛顿法迭代法的计算步骤x01）给出初始近根及精度e。
2）计算。
x x x x f f 1000)(')(⇒-3）若|-|<e ，则转向4)；否则转向2)。
x 1x 0x x 01⇒4）输出满足精度的根，结束。
x 16. 【源程序（带注释）】二分法#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include<windows.h>float f(float x){float a;a=x*x*x-x-1;return a;} /*求函数值，如果求其它函数，只需改成其它函数即可*/ main(){float a,b,e,x; /* a,b 分别表示有根区间的左、右端点, e 是精度要求,x 区间中点值*/system("CLS");//清屏printf("对代数方程x^3-x-1=0，分别用\n 方案1 用二分法求解\n");printf(" \n please input data a =");scanf("%f",&a);printf(" \n please input data b=");scanf("%f",&b);if(f(a)*f(b)<0){while(f(x)!=0){x=(a+b)/2;if(f(x)*f(a)<0){b=x;if(fabs(b-a)<0.000001)break;elsecontinue;}else{a=x;if(fabs(b-a)<0.000001)break;else continue;}}printf("\n");x=(b+a)/2;printf("the root of f(x)=0 is x=%f\n",x);}elseprintf("\ not root! afresh input\n"); /*表示[a,b] 区间无根，重新选择有根区间*/getch();return(x);}牛顿法#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include<windows.h>#define maxrept 1000 /*最大迭代次数*/float f(float x) {float a;a=x*x*x-x-1;return a; /*函数f(x) */}float df(float x) {return(1+exp(-x)); /* 函数f(x)的导数) (x f ′*/ }float iterate(float x) {float x1;x1=x-f(x)/df(x); /* 牛顿迭代函数iterate(x)=x-f(x) / ) (x f ′*/return(x1);}main() {float x0,x1,d;int k=0;//clrscr();system("CLS");printf("对代数方程x^3-x-1=0，分别用\n方案2 用牛顿法求解\n");printf("\n please input x0="); /* 输入迭代初值x0 */scanf("%f",&x0);printf("\n k xk\n");printf("\ %d %f\n",k,x0);do {k++;x1=iterate(x0);printf(" %d %f\n",k,x1);d=fabs(x1-x0);x0=x1;}while((d>=0.000001)&(k<maxrept));if(k<maxrept)printf("the root of f(x)=0 is x=%f, k=%d\n",x1,k);elseprintf("\n the iteration is failed!\n");getch();}7．【实验结果与分析总结（含运行结果截图）】。
第4章 MATLAB 非线性方程(组)的求解
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
fixpt.m
逐次逼近： 将隐式方程归结为显式计 算
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
是函数表达式中附加的参数x是返回的根fval是根x处的目标函数的值exitflag表明解存在的情况正数表明解存在负数表示解不存在遇到复数nan或者无穷大等
第4章 非线性方程(组)的求解
本章目标：求 f (x) = 0 的根
4.1 二分法 4.2 简单迭代法 4.3 Newton法 4.4 抛物线法 4.5 非线性方程组的求解 4.6 实例解析
p1
x x0 x* x1
4.3 Newton法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开
取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2，
在
x0
和
x
之间.
将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
x = g (x)
f (x) 的根
g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …,
matlab求解非线性方程组
非线性方程组求解1.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend2.mulNewton用牛顿法法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulNewton(F,x0,eps)if nargin==2eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);Fx = subs(F,findsym(F),x0);var = findsym(F);dF = Jacobian(F,var);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);r=x0-inv(dFx)*Fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);r=x0-inv(dFx)*Fx; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend3.mulDiscNewton用离散牛顿法法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulDiscNewton(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=transpose(x0)-inv(J)*fx;m=1;tol=1;while tol>epsxs=r;fx = subs(F,findsym(F),xs);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = xs;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=xs-inv(J)*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-xs);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;4.mulMix用牛顿-雅可比迭代法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulMix(F,x0,h,l,eps)if nargin==4eps=1.0e-4;endn = length(x0);J = zeros(n,n);Fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));C =D - J;inD = inv(D);H = inD*C;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = Hm*inD*Fx;r = transpose(x0)-dr; m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));C =D - J;inD = inv(D);H = inD*C;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = Hm*inD*Fx;r = x0-dr; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend5.mulNewtonSOR用牛顿-SOR迭代法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulNewtonSOR(F,x0,w,h,l,eps)if nargin==5eps=1.0e-4;endn = length(x0);J = zeros(n,n);Fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));L = -tril(J-D);U = -triu(J-D);inD = inv(D-w*L);H = inD*(D - w*D+w*L);;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = w*Hm*inD*Fx;r = transpose(x0)-dr;m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endD = diag(diag(J));L = -tril(J-D);U = -triu(J-D);inD = inv(D-w*L);H = inD*(D - w*D+w*L);;Hm = eye(n,n);for i=1:l-1Hm = Hm + power(H,i);enddr = w*Hm*inD*Fx;r = x0-dr; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend6.mulDNewton用牛顿下山法求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulDNewton(F,x0,eps)%非线性方程组：F%初始解：x0%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);dF = Jacobian(F);m=1;tol=1;while tol>epsttol=1;w=1;Fx = subs(F,findsym(F),x0);dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);F1=norm(Fx);while ttol>=0 %下面的循环是选取下山因子w的过程r=x0-w*inv(dFx)*Fx; %核心的迭代公式Fr = subs(F,findsym(F),r);ttol=norm(Fr)-F1;w=w/2;endtol=norm(r-x0);m=m+1;x0=r;if(m>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endend7.mulGXF1用两点割线法的第一种形式求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulGXF1(F,x0,x1,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);x1 = transpose(x1);n = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x1;xt(i) = x0(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-fx1)/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;m=1;tol=1;while tol>epsx0 = x1;x1 = r;fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x1;xt(i) = x0(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-fx1)/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;tol=norm(r-x1);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;8.mulGXF2用两点割线法的第二种形式求非线性方程组的一个根function [r,m]=mulGXF2(F,x0,x1,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-4;endx0 = transpose(x0);x1 = transpose(x1);n = length(x0);fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);xt = x1;xt(1) = x0(1);J(:,1) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),x1))/h(1);for i=2:nxt = x1;xt(1:i) = x0(1:i);xt_m = x1;xt_m(1:i-1) = x0(1:i-1);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),xt_m))/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;m=1;tol=1;while tol>epsx0 = x1;x1 = r;fx = subs(F,findsym(F),x0);fx1 = subs(F,findsym(F),x1);h = x0 - x1;J = zeros(n,n);xt = x1;xt(1) = x0(1);J(:,1) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),x1))/h(1);for i=2:nxt = x1;xt(1:i) = x0(1:i);xt_m = x1;xt_m(1:i-1) = x0(1:i-1);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-subs(F,findsym(F),xt_m))/h(i);endr=x1-inv(J)*fx1;tol=norm(r-x1);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;9.mulVNewton用拟牛顿法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulVNewton(F,x0,A,eps)%方程组：F%方程组的初始解：x0% 初始A矩阵：A%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：mif nargin==2A=eye(length(x0)); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendx0 = transpose(x0);Fx = subs(F, findsym(F),x0);r=x0-A\Fx;m=1;tol=1;while tol>epsx0=r;Fx = subs(F, findsym(F),x0);r=x0-A\Fx;y=r-x0;Fr = subs(F, findsym(F),r);z= Fr-Fx;A1=A+(z-A*y)*transpose(y)/norm(y); %调整A A=A1;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end10.mulRank1用对称秩1算法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulRank1(F,x0,A,eps)if nargin==2l = length(x0);A=eye(l); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-inv(A)*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-inv(A)*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;A1=A+ fr *transpose(fr)/(transpose(fr)*y); %调整A A=A1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end11.mulDFP用D-F-P算法求非线性方程组的一组解function [r,n]=mulDFP(F,x0,A,eps)if nargin==2l = length(x0);B=eye(l); %A取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-B*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-B*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;B1=B+ y*y'/(y'*z)-B*z*z'*B/(z'*B*z); %调整AB=B1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end12.mulBFS用B-F-S算法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulBFS(F,x0,B,eps)if nargin==2l = length(x0);B=eye(l); %B取为单位阵eps=1.0e-4;elseif nargin==3eps=1.0e-4;endendfx = subs(F,findsym(F),x0);r=transpose(x0)-B*fx;n=1;tol=1;while tol>epsx0=r;fx = subs(F,findsym(F),x0);r=x0-B*fx;y=r-x0;fr = subs(F,findsym(F),r);z = fr-fx;u = 1 + z'*B*z/(y'*z);B1= B+ (u*y*y'-B*z*y'-y*z'*B)/(y'*z); %调整B B=B1;n=n+1;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endtol=norm(r-x0);end13.mulNumYT用数值延拓法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulNumYT(F,x0,h,N,eps)format long;if nargin==4eps=1.0e-8;endn = length(x0);fx0 = subs(F,findsym(F),x0);x0 = transpose(x0);J = zeros(n,n);for k=0:N-1fx = subs(F,findsym(F),x0);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endinJ = inv(J);r=x0-inJ*(fx-(1-k/N)*fx0);x0 = r;endm=1;tol=1;while tol>epsxs=r;fx = subs(F,findsym(F),xs);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = xs;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h(i);endr=xs-inv(J)*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-xs);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;14.DiffParam1用参数微分法中的欧拉法求非线性方程组的一组解function r=DiffParam1(F,x0,h,N)%非线性方程组：f%初始解：x0%数值微分增量步大小：h%雅可比迭代参量:l%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nx0 = transpose(x0);n = length(x0);ht = 1/N;Fx0 = subs(F,findsym(F),x0);for k=1:NFx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-Fx)/h(i);endinJ = inv(J);r = x0 - ht*inJ*Fx0;x0 = r;end15.DiffParam2用参数微分法中的中点积分法求非线性方程组的一组解function r=DiffParam2(F,x0,h,N)%非线性方程组：f%初始解：x0%数值微分增量步大小：h%雅可比迭代参量:l%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nx0 = transpose(x0);n = length(x0);ht = 1/N;Fx0 = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x0;xt(i) = xt(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-Fx0)/h(i);endinJ = inv(J);x1 = x0 - ht*inJ*Fx0;for k=1:Nx2 = x1 + (x1-x0)/2;Fx2 = subs(F,findsym(F),x2);J = zeros(n,n);for i=1:nxt = x2;xt(i) = xt(i)+h(i);J(:,i) = (subs(F,findsym(F),xt)-Fx2)/h(i);endinJ = inv(J);r = x1 - ht*inJ*Fx0;x0 = x1;x1 = r;end16.mulFastDown用最速下降法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulFastDown(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endlamda = fx/sum(diag(transpose(J)*J));r=x0-J*lamda; %核心迭代公式fr = subs(F,findsym(F),r);tol=dot(fr,fr);x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;17.mulGSND用高斯牛顿法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulGSND(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-8;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endDF = inv(transpose(J)*J)*transpose(J);r=x0-DF*fx; %核心迭代公式tol=norm(r-x0);x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;18.mulConj用共轭梯度法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulConj(F,x0,h,eps)format long;if nargin==3eps=1.0e-6;endn = length(x0);x0 = transpose(x0);fx0 = subs(F,findsym(F),x0);p0 = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)*(1+h);p0(:,i) = -(subs(F,findsym(F),x1)-fx0)/h;endm=1;tol=1;while tol>epsfx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;J(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fx)/h;endlamda = fx/sum(diag(transpose(J)*J));r=x0+p0*lamda; %核心迭代公式fr = subs(F,findsym(F),r);Jnext = zeros(n,n);for i=1:nx1 = r;x1(i) = x1(i)+h;Jnext(:,i) = (subs(F,findsym(F),x1)-fr)/h;endabs1 = transpose(Jnext)*Jnext;abs2 = transpose(J)*J;v = abs1/abs2;if (abs(det(v)) < 1)p1 = -Jnext+p0*v;elsep1 = -Jnext;endtol=norm(r-x0);p0 = p1;x0 = r;m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;19.mulDamp用阻尼最小二乘法求非线性方程组的一组解function [r,m]=mulDamp(F,x0,h,u,v,eps)format long;if nargin==5eps=1.0e-6;endFI = transpose(F)*F/2;n = length(x0);x0 = transpose(x0);m=1;tol=1;while tol>epsj = 0;fx = subs(F,findsym(F),x0);J = zeros(n,n);for i=1:nx1 = x0;x1(i) = x1(i)+h;afx = subs(F,findsym(F),x1);J(:,i) = (afx-fx)/h;endFIx = subs(FI,findsym(FI),x0);for i=1:nx2 = x0;x2(i) = x2(i)+h;gradFI(i,1) = (subs(FI,findsym(FI),x2)-FIx)/h;ends=0;while s==0A = transpose(J)*J+u*eye(n,n);p = -A\gradFI;r = x0 + p;FIr = subs(FI,findsym(FI),r);if FIr<FIxif j == 0u = u/v;j = 1;elses=1;endelseu = u*v;j = 1;if norm(r-x0)<epss=1;endendendx0 = r;tol = norm(p);m=m+1;if(m>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendformat short;。
用matlab对非线性方程求解
非线性方程求解摘要：利用matlab软件编写程序，分别采用二分法、牛顿法和割线法求解非线性方程，0 2= -x ex的根，要求精确到三位有效数字，其中对于二分法，根据首次迭代结果，事先估计迭代次数，比较实际迭代次数与估计值是否吻合。
并将求出的迭代序列用表格表示。
对于牛顿法和割线法，至少取3组不同的初值，比较各自迭代次数。
将每次迭代计算值求出，并列于表中。
关键词：matlab、二分法、牛顿法、割线法。
引言：现实数学物理问题中，很多可以看成是解方程的问题，即f（x）=0的问题，但是除了极少简单方程的根可以简单解析出来。
大多数能表示成解析式的，大多数不便于计算，所以就涉及到算法的问题，算法里面，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止，但是，我们知道，人为计算大大的加重了我们的工作量，所以大多用计算机编程，这里有很多可以计算的软件，例如matlab等等。
正文：一、二分法1 二分法原理：对于在区间[，]上连续不断且满足·＜0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2 二分法求根步骤：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；（2)求区间，的中点；(3)计算。
若=，则就是函数的零点；若·＜0，则令=；若·＜0，则令=。
(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．3 二分法具体内容：精度要求为5e-6，,解得实际迭代次数与估计值基本吻合，迭代如下表。
n=2 c=0.000000 fc=-1.000000 n=11 c=-0.705078 fc=0.003065 n=3 c=-0.500000 fc=-0.356531 n=12 c=-0.704102 fc=0.001206 n=4 c=-0.750000 fc=0.090133 n=13 c=-0.703613 fc=0.000277 n=5 c=-0.625000 fc=-0.144636 n=14 c=-0.703369 fc=-0.000187 n=6 c=-0.687500 fc=-0.030175 n=15 c=-0.703491 fc=0.000045 n=7 c=-0.718750 fc=0.029240 n=16 c=-0.703430 fc=-0.000071 n=8 c=-0.703125 fc=-0.000651 n=17 c=-0.703461 fc=-0.000013 n=9 c=-0.710938 fc=0.014249 n=18 c=-0.703476 fc=0.000016n=10 c=-0.707031 fc=0.006787 n=19 c=-0.703468 fc=0.0000024 二分法程序：eps=5e-6;delta=1e-6;a=-1;b=1;fa=f(a);fb=f(b);n=1;while (1)if(fa*fb>0)break;endc=(a+b)/2;fc=f(c);if(abs(fc)<delta)break;else if(fa*fc<0)b=c;fb=fc;elsea=c;fa=fc;endif(b-a<eps)break;endn=n+1;fprintf('n=%d c=%f fc=%f\n',n,c,fc);endEnd(在同一目录下另建文件名为“f”的文件，内容为“function output=f(x)output=x*x-exp(x);”）5 二分法流程图：流程图二：牛顿法1 牛顿迭代法原理：设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得)(')(0001x f x f x x -=重复这一过程,得到迭代格式)(')(1k k k k x f x f x x -=+2 牛顿法具体内容：近似精度要求为5e-6，带入不同初值结果如下表。
matlab程序与数值实验
MATLAB程序与数值实验一、插值法(课本第二章)1、拉格朗日插值方法function s=lag(x,y,t)%拉格朗日插值方法，可以同时对多点插值，t可以为向量syms p;n=length(x);%读取x向量的维数s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);%展开多项式s=vpa(s,6);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;End%for example% x=[pi/4 pi/6 pi/3 pi/2];%y=[cos(pi/4) cos(pi/6) cos(pi/3) cos(pi/2)];%t=[-40*pi/180 40*pi/180 50*pi/180 70*pi/180 170*pi/180]; %yt=lag(x,y,t)2、牛顿插值法function s=niudun(x,y,t)%，可以同时对多点插值，即t可以为向量syms p;s=y(1);xishu=0;dxs=1;n=length(x);%读取x向量的维数%构造牛顿插值方法for (i=1:n-1)for(j=i+1:n)xishu(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endtemp1(i)=xishu(i+1);dxs=dxs*(p-x(i));s=s+temp1(i)*dxs;y=xishu;endsimplify(s)if (nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);else%读取要插值点的向量长度%可以直接对多点插值机算m=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));end%得到的是系列插值点的插值结果，即得到的是向量，赋值给ss=temp;end%for example%1、已知零阶Bessel函数f(x)在若干点处的函数值为：计算x在1.5处的近似值%x=[1.0 1.3 1.6 1.9 2.2];%y=[0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623];%yt=niudun(x,y,1.5)3、插值中的Runge现象syms xf=1/(1+x^2);x=-5:5;y=subs(f,x);chazhi=niudun(x,y);v=[-5,5,-0.5,2];ezplot(chazhi),axis(v),gridhold ont=-5:0.05:5;yt=subs(f,t);plot(t,yt,’:’)4、Hermite插值function f=Hermite(x,y,dy,t)%Hermite插值，x为插值节点，y为插值节点的函数值，dy为插值节点的一阶导数值，t为被插数据，可以为向量n=length(x);m=length(t);for k=1:mg(k)=0.0;for i=1:nla=1;lp=0.0;for j=1:nif(j~=i)la=la*(t(k)-x(j))/(x(i)-x(j));lp=lp+1/(x(i)-x(j));endendtemp1=1-2*(t(k)-x(i))*lp;temp2=y(i)*temp1*la^2;temp3=dy(i)*(t(k)-x(i))*la^2;g(k)=g(k)+temp2+temp3;endendf=g;%for example%syms x%y=x^2;%t=[1 3 -8 6-4];%yt=subs(y,t);%dy=subs('2*x',t)%x0=[-5.3 2.4 -4.2 -1.8 3.4];%z=Hermit(t,yt,dy,x0)5、三次样条插值三次样条插值方法可以选择MATLAB中内置函数spline。
求解非线性方程根的Matlab函数
Solve函数可以得到方程根的解析或数值解, 其命令格式为
Solve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’) Solve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’, ‘var1,var2,…,varN’) ‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’是方程的表达式; ‘var1,var2,…,varN’是相应的变量.
例3:求解非线性方程组 x2+xy+y=3 X2-4x+3=0 解:输入 [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,’x^2-4*x+3=0) 得到 X= [ 1] [ 3] Y= [ 1] [-3/2]
1.3求出多项式方程的全部根
Solve()函数的另一种功能是求多项式的全部根.
1.1求出方程根的解析表达式
例1:分别求一元二次方程ax2+bx+c=0和三角方程psin(x)=r的根. 解: 输入 x=solve(‘a*x^2+b*x+c’) 得到 X=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)] X=[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)] 再输入 x=solve(‘p*sin(x)=r’) 得到 x=asin(r/p) 即 x=arcsin(r/p).
2.Fzero函数
2.1 fzero()函数
fzero()函数是求一维变量的零点，其计算格式为： x= fzero(fun,x0) x= fzero(fun,x0,options) [x,fval]= fzero(…) 其中，x为方程的零点，fval为计算终止时的函数值， fun为方程的函数，x0为初始点，options为选择项， 它包括Display和TolX。
Matlab笔记之三 ---- 非线性方程组求解算法
求方程根的几种常用方法：搜索法a=0.001;step=3*pi/100000;for i=0:step:8*pix=4*cos(i);y=4*sin(i);z=i;d=abs(x+y+0.5*z-2)/sqrt(1+1+0.25);if d<=aiendenda=0.001thetai=[]step=8*pi/100000for i=0:step:8*pix=4*cos(i)y=4*sin(i)z=id=abs(x+y+0.5*z-2)/sqrt(1+1+0.25)if d<=a %只有满足精度时才执行循环if isempty(thetai) %首先判断是否为空，将第一个放到thetai thetai=[thetai,i]else %假如不为空，判断是否与前一结果差开两个步长if abs(i-thetai(length(thetai)))>2*stepthetai=[thetai,i];else %否的话与前一值相加初二thetai(length(thetai))=(thetai(length(thetai))+i)/2endendendendx=4*cos(thetai)y=4*sin(thetai)z=thetai区间二分法：与对分查找法相同1 区间二分法求出的仅仅是方程的一个单根，如果方程有重根或者多个根时，在做区间二分法时就会出现分叉，这样方程有几个根，就会产生几个实数序列，每一个实数序列的极限便是方程的一个根2 通常用区间二分法为一些迭代法提供靠近x^*的初始选代值；3 区间二分法的缺点是不能求方程的复数根。
format longa=5;b=6;x1=a;x2=b;f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2; f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5* x2-2;step=0.000001;ii=0;while abs(x1-x2)>stepii=ii+1;x3=(x1+x2)/2;f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2;if f3~=0if f1*f3<0x2=x3;elsex1=x3;endendendx3f=[4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3] disp(['迭代次数：',num2str(ii),'次'])牛顿迭代法求解:在方程f(x)=0有实数根的情况下，若能够将方程等价地转化成x=g(x)的形式，然后取一个初始值x0代入x=g(x)的右端，算得x1=g(x0)，再计算x2=g(x1)，这样依次类推x(k+1)=g(x(k))可以得到一个序列xk，通常称g(x)为迭代函数，序列xk为由迭代函数产生得迭代序列，x0为迭代初始值。
实验5非线性方程求根及其MATLAB实现
实验5非线性方程求根及其MATLAB实现实验要求：1.掌握二分法、牛顿迭代法和二次迭代法等求根方法；2.能够通过MATLAB实现非线性方程求根算法。
实验背景：非线性方程求根是数值计算中的一个重要问题。
对于一般的非线性方程，往往无法用解析的方法得到根的精确值。
因此，需要采用数值计算的方法来逼近方程的根。
本实验将介绍三种常用的非线性方程求根算法：二分法、牛顿迭代法和二次迭代法，并通过MATLAB实现这些算法。
一、二分法二分法是一种简单直观的求根方法。
它的基本思想是：通过对函数值的符号变化情况进行判断，将方程的根所在的区间逐渐减小，直至满足精度要求。
具体实现过程如下：1.选择一个区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0；2.确定区间的中点c=(a+b)/2，并计算f(c)；3.如果f(c)为0，说明c就是方程的根。
如果不为0，再判断f(c)和f(a)的符号，如果异号，则根位于[a,c]区间；如果同号，则根位于[c,b]区间；4.根据上一步的判断，缩小区间，重复2和3步骤，直至满足精度要求。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法利用导数与函数近似线性关系的思想，通过迭代不断逼近方程的根。
具体实现过程如下：1.选择一个初始值x0，计算f(x0)和f'(x0)；2.根据一阶泰勒展开公式，得到下一个近似值x1=x0-f(x0)/f'(x0)；3.计算f(x1)的绝对值，如果小于给定的精度要求，则x1是方程的近似根；否则，x1成为新的初始值，重复2和3步骤，直至满足精度要求。
三、二次迭代法二次迭代法也是一种常用的求根方法。
它通过构建二次复合函数并对其进行迭代，逐步逼近方程的根。
具体实现过程如下：1.选择一个初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)；2.利用初始点和导数构建二次复合函数g(x)=x-f(x)/f'(x)，即g(x)=x0-f(x0)/f'(x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2；3.将g(x)视为新的非线性方程，利用牛顿迭代法计算出下一个近似值y1；4.利用y1和x0计算原方程的下一个近似值x1=y1+f(x0)/f'(x0)；5.计算f(x1)的绝对值，如果小于给定的精度要求，则x1是方程的近似根；否则，x1成为新的初始值，重复3到5步骤，直至满足精度要求。
mathematica方法之非线性方程求根
'(x)
2 3
1
2x 52/3
,
当x [1.5,2.5], '(x) 1
构造的迭代序列收敛。
取x0=2,则x1=2.08008,x2=2.09235,x3=2.094217,x4=2.094494, x5=2.094543, x6=2.094550. 准确的解是x=2.09455148150
2）将迭代格式写为
通常，非线性方程的根不止一个，对于非线性方程，一般用迭代法求 解。因此，在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。
5.1 实根的对分法
使用对分法的条件 对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数
f(x)在[a,b]上连续，且 f(a)f(b)<0, 则在[a，b]上至少有一零点，这是 微积分中的介值定理，也是使用对分法的前题条件。计算中通过对分区 间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。
xn1
xn3 2
5
,
2
(
x)
x3 5 2ຫໍສະໝຸດ 2' (x)3x2 2
1,
当x [1.5,2.5]
迭代格式 xn1 2 (xn ) 不能保证收敛。
不动点迭代举例
5.3 Newton迭代法
将f(x)在初值处作Taylor展开
f (x)
f (x0 )
f '(x0 )(x x0 )
f
'
' ( x0 2!
[x1,x2]=[1.5,1.75]。 (4)一直做到|f(xk)|<ε（计算前给定的精度）或|a-b|< ε时停止。
对分法算法
While(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 f(x) 若(|f(x)|<eps) x为解 若f(x)*f(b)<0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)<0 修正区间为[a,x]
第八章 非线性方程(组)求根
x
*。
原方程可以等价变形为下列三个迭代格式
xk 1 10 xk 4 xk 2 xk 3 k 0,1, 2,... 1 3 xk 1 10 xk k 0,1, 2,... 2 10 xk 1 k 0,1, 2,... xk 4
（1） （2） （3）
x 3x 2 8 x 1 10 1
故迭代格式（1）是发散的。
迭代格式（2）的迭代函数为
x
当
x 1,1.5 时
1 10 x3 2
由
1 3 1 x 1.5 , 1 10 1.5 , 10 13 2 2 1.287,1.5 1,1.5
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位臵。 f(x)
x0 a
x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
m重根
若
f ( x) ( x x* ) m g ( x)
其中， g ( x* ) 0, m 为正整数，则当m=1时，称 x *为方程（8.2.1）
的单根或函数 f (x) 的单零点。 当 m 2 时，x * 称 为方程（8.2.1） 的 m重根或函数 f (x) 的m重零点。
2. 根的搜索
四步就能得到 收敛的结果了！ x4 x3 1.36512 结果精确到四位有效数字，迭代到 x4 得到收敛结果。
分析:
迭代格式（1）的迭代函数为
x 10 x 4 x 2 x3
解线性与非线性方程(组)Matlab代码
线性方程组数值方法(1) % jacobi 迭代法计算线性方程组function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300 次给出警告D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300 次，方程组可能不收敛');return;end%[k x'] %如果想显示每一步迭代的结果可以把这行命令保留end(2) %高斯-塞德尔迭代法计算线性方程组function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)% tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300 次D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=G*x0+f;k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛');return;end% [k,x'] %如果要显示每一步迭代结果，可以这行命令。
end(3) %超松弛迭代法计算线性function [x,k]=Fsor(A,b,x0,w,tol)%08 年/4 月/14 日%tol 需要的计算精度max = 300; %迭代最大次数%对松弛因子做出限制if(w<=0 || w>=2)error;return;endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D-L*w))*b;x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tolx0=x;x =B*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('迭代次数太多，SOR方法可能不收敛');return;end% [k,x'] %如果要显示中间结果，可以保留这行语句end(4) % Gauss 消去法计算线性方程组function X=Fgauss(A,b)zengguang=[A b]; n=length(b);ra=rank(A);rz=rank(zengguang);temp1=rz-ra;if temp1>0,disp('无一般意义下的解，系数矩阵与增广矩阵的秩不同') returnendif ra==rzif ra==nX=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= zengguang(k,p)/ zengguang(p,p);zengguang(k,p:n+1)= zengguang(k,p:n+1)-m* zengguang(p,p:n+1); endendb=zengguang(1:n,n+1);A=zengguang(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('方程为欠定方程。
MATLAB解方程组(线性与非线性方程组)
例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的根。 x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x= 0.6354 0.3734
2．Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代
公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b， 于是得到：
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel
7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代
解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法 和两步迭代法。
1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0(i=1,2,…,n)，则
可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素， L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为：
(2) QR分解
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实用数值方法(Matlab) 综述报告题目：非线性方程（组）求根问题
小组成员
许多数学和物理问题归结为解函数方程f(x)=0。
方程f(x)=0的解称为方程的根。
对于非线性方程，在某个范围内往往不止一个根，而且根的分布情况可能很复杂，面对这种情况，通常先将考察的范围花费为若干个子段，然后判断哪些子段内有根，然后再在有根子段内找出满足精度要求的近似根。
为此适当选取有根子段内某一点作为根的初始值近似，然后运用迭代方法使之足部精确化。
这就是方程求根的迭代法。
下面介绍书上的几种方法：
1、二分法
（1）方法概要：
假定函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)=0,则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
取其中
将其二分，判断所求的根在的左侧还是右侧，得到一个新的有根区间
点
[],长度为[a,b]的一半。
对新的有根区间继续实行上述二分手段，直至二分k次后有根区间[]长度
可见，如果二分过程无限继续下去，这些有限根区间最终必收敛于一点,该点就是所求的根。
在实际计算过程中不可能完成这个无限过程，允许有一定的误差，则二分k+1次后
只要有根区间[]的长度小于，那么结果关于允许误差就能“准确”地满足方程f(x)=0。
(2)计算框图：
2、开方法
对于给定,求开方值
为此，可以运用校正技术设计从预报值生成校正值的迭代公式。
自然希望校正值
能更好满足所给方程：
这是个关于校正量的近似关系式，如果从中删去二次项，即可化归为一次方程
解之有
从而关于校正值有如下开方公式
上述演绎过程表明，开方法的设计思想是逐步线性化，即将二次方程的求解画归为一次方程求解过程的重复。
开方公式规定了预报值与校正值之间的一种函数关系,这里
为开方法的迭代函数。
3、Newton法
（1）方法概要
考察一般形式的函数方程
首先运用校正技术建立迭代公式。
设已知它的根近似值，则自然要求校正值
能更好地满足所给方程
将其左端用其线性主部替代，而令
据此定出
从而关于校正值有如下计算公式
这就是著名的Newton公式。
公式决定了预报值与校正值之间的一种函数关系，这里迭代函
Newton
数为
（2）计算框图
4、弦截法
（1）方法概要
弦截法主要方法与Newtom法基本相同，只是用差商代替Newtom 公式中的导数，从而得到弦截公式
（2）计算框图
现在介绍一种新的方法——正割法 正割法 设
是二个接近于*x 的已知近似解。
用
关于
的线性插值函数
(1)
来近似函数，并取的根作为的新近似根
(2)
从适当的，由（2）生成迭代序列
的方法称为正割法。
正割法的几何意义是用曲线
的过点
的割线
来近似原曲线，并用割线与轴的交点近似曲线与轴的点，如图
所示。
例：用正割法求解。
解 将的数值列在表中。
可看出正割法有较快的收敛速度。
8
7511105.57390851
.061062.37390849.05672694
.110697.5739119.046522468.10046617.0736298.037432456.1089303.068507.024596977.145969977.011100)
/()()()(-----⨯-⨯-⨯-----k k k k k k x x x f x f x f x k
对于正割法，有如下收敛定理。
定理 1
若
在
解
邻近二次连续可导，
且，则存
在，只
要
正割产生的迭代序列收敛于，而且有
(3)
证明 利用插值多项式余项，有
其中位于包含
的最小区间内。
另一方面
其中介于与之间，也位于包含的最小区间内。
由的二个表达式得
(4)
任取由及f’’连续得，存在,成立
即当时，则（4）得
,。
（3）显然成立。
证毕。
定理1中先假设了的存在，同时要求初始近似解充分接近，这一类收敛定理称为局部性收敛定理。
即正割法通常具有收敛阶1.618…。