摩擦力做功几种求法

⑤
3
l
摩擦力做功几种求法
白城一中物理组 / 闫炜平
摩擦力做功计算是同学做题时容易疑惑的问题，
概括的说分为三种情况，下面举例说明：
一、在摩擦力大小、方向都不变的情况下，应该
用θ
cos
⋅
⋅
=s
f
W
f
可求。

二、在摩擦力大小不变，方向改变时，由微元法，
可将变力功等效成恒力功求和。

例1：质量为m的物体，放在粗糙水平面上。

现
使物体沿任意曲线缓慢地运动，路程为s，物体与水
平面间的动摩擦因数为μ。

则拉力F做的功为多少？
解：由微元法可知：F做的功应等于摩擦力做功总和。

例2：如图所示，竖直固定放置的斜面AB的下
端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧面半径
为R，圆心O与A、D在同一水平面上，∠COB=θ。

现有一个质量为m的小物体从斜面上的A点无初速
滑下，已知小物体与AB斜
面间的动摩擦因数为μ。

求
（1）小物体在斜面体上能
够通过的路程；（2）小物体
通过C点时，对C点的最
大压力和最小压力。

[解析]（1）小物体在运动过程中，只有重力及摩
擦力做功，小物体最后取达B点时速度为零。

设小物
体在斜面上通过的总路程为s，由动能定理得：
①
又
由①②式得：
（2）小物体第一次到达C点时速度大，对C点压力
最大。

由动能定理④
解③④⑤式得
小物体最后在BCD圆弧轨道上运动，小物体通过C
点时对轨道压力最小。

得：
⑥
解⑥⑦式得
最小值
[注意，摩擦力做功的公式s
f
W⋅
-
=中，s一般是
物体运动的路程]
三、摩擦力大小、方向都在时刻改变时，速度V
越大时，压力
N
F也越大，则由
N
F
fμ
=可知
N
F越
大，f也越大，摩擦力做功越多。

例1：连接A、B两点的弧形轨道ACB与ADB
是用相同材料制成的，它们的曲率半径相同。

如图所
示，一个小物体由A点以一
定初速度v开始沿ACB滑
到B点时，到达B点速率
为
1
v若小物体由A点以相
同初速度沿ADB滑到B点时，速率为
2
v与的关系：
（）
A 1v>2v
B 1v=2v
C 1v<2v
D 无法判断
[解析]A 物体沿ACB运动过程中受竖直向下的
重力。

垂直于轨道向上的支持力，沿切线方向的摩擦
力，其中重力、支持力不做功，摩擦力做负功，又据
圆运动的知识，支持力的平均值小于重力，摩擦力的
平均值较小。

物体沿ADB运动过程中受竖直向下的
重力、垂直于轨道向上的支持，沿切线方向的摩擦力，
重力、支持力不做功，摩擦力做负功，而此过程中支
持力的平均值大于重力，摩擦力较大，而过程运动弧
长相同。

所以沿ACB过程摩擦力做负功较小，到达B
点时速率较大，故选A正确。

例2：如图所示，地面上有一个半圆形轨道，一
小物体（可视为质点）从一端离地面高为h的A点自
由落下，恰好顺着圆弧运动，从另一端D点竖直向上
射出，其最高点B距地面的高度为h/2，接着物体从
B点又自由落下，返回到左边的
最高点（）
A 低于C
点 B 高于C点
C 恰在C点
D 无法确定
[解析]B 物体沿ACDB运动过程中应用动能定
理可知：2/
mgh
W
f
=
即：由功能关系可知：由C到D过程中机械能损
失为2
mgh，
同理可知：当物体由BD到C过程中损失机械能
小于2
mgh故球一定能够高于C点。

例3：如图所示，在竖直平面内固定着1/4圆弧
槽，圆弧槽的半径为R，它的末
端水平，上端离地高H，一个小
球从上端A点无初速滑下，若
小球的水平射程为S，求圆弧槽
阻力做功。

解：设小球脱离滑槽，开始做平抛运动的速度为
05年高考试题（选）
25．（20分）如图所示，一对杂技演员（都视为
质点）乘秋千（秋千绳处
于水平位置）从A点由静
止出发绕O点下摆，当摆
到最低点B时，女演员在
极短时间内将男演员沿水
平方向推出，然后自己刚
好能回到高处A。

求男演员落地点C与O点的水平距
离s。

已知男演员质量m1和女演员质量m2之比
,2
2
1
=
m
m秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C
点低5R。

（白城一中物理组/ 李松选
答案请见2版右下角）
大家一起来学习
如图所示，滑块A质量m=0.01kg，与水平地面
间的动摩擦因数μ=0.2。

用细线悬挂的小球质量均为
m’=0.01kg且沿x轴均匀排列。

A与第一只小球及小
球与相邻小球距离均为s=2m，且从左至右悬挂小球
的线长分别为……当A与第一只小球间距
为2m时的运动速度且正好沿着x轴正
向运动。

不计滑块和小球大小且当滑块与球、球与球
发生碰撞时机械能守恒，交换速度，碰后任一小球恰
好能在坚直平面内做完整的圆周运动。

（）
（1）最左侧悬挂小球的线长为多少？
（2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。

（3）求出碰撞中第n
的表达式。

[解析]（1）设滑块与第一个
球碰撞前的速度为
1
v，由动
能定理得：2
1
umgs=
-
一个球碰后瞬间球速
1
v
v=
械能守恒得：2
2
1
2
1
2
1
2
2
1mv
mgl
mv+
=又因为
球在最高点时，由牛顿第二定律有，
所以悬挂在最左侧绳长
（2）对滑块由动能定理得2
2
1
0mv
umgs-
=
-
所以滑块滑行的总路程m
s25
=则滑块在滑行过
程中与小球碰撞个数5.
12
=
=s
s
n，应取12个
（3）设滑块与第n个（n≦12）球碰前速度为
n
v由
动能定理得2
22
1
2
1mv
mv
ns
umg
n
-
=
⋅
-则滑
块与球碰后，球速
n
n
v
v=
'若第n个悬线长
n
l到最高
点速度为n
n
v
对小球机械能守恒2
2'2
1
2
2
1n
n
n
n
mv
mgl
mv+
=
且在最高点由牛顿第二定律有
n
n
l
mv
mg2'
=联立
以上各式g
ugns
v
l
n
5
)
2
(2
-
=
[教师评语]这是一道力学习题，可用来培养同学们的
复合解题能力、考查的知识点有：
①动能定理
②机械能守恒
③瞬间牛顿第二定律
④弹性碰撞时（不损失能量）
由动量守恒，能量守恒可知，质量相等发生速度互换
现象。

(白城一中一年五班/ 史小汐投搞) ②
2
2
1
cos
c
mv
AB
mg
mgR=
⋅
-θ
μ
第1版共2版主管白城一中教研所主办白城一中高一物理组排版：张学金李延铎我们的目标：从生活走向物理，从物理走向社会！印刷：校本部印刷室
B
C
A
cos=
-fs
mgRθ
θ
μcos
mg
f=
μ
R
S=
R
mv
mg
N
c
2
max
=
-③
()mg
ctg
Nθ
θ
μ⋅
-
=cos
2
3
max
s
mg
s
s
s
s
mg
W
n
f
⋅
=
+
+
+
=μ
μ)
(
3
2
1
R
mv
mg
N
c
/2'
min
=
-
⑦
(1
mgR-
()mg
ctg
Nθ
θ
μ⋅
-
=cos
2
3
max
B
v
()R
H
g
S
v
B
-
=2
2
2
1
B
f
mv
W
mgR=
-
()R
H
mgS
mgR
W
f
-
-
=4
2
由平抛运动知识得：①
由动能定理得：
θ
ctg
R
AB⋅
=
()mg
Nθ
cos
2
3
min
-
=
由①②得：
②
m
g
ugs
v
l84
.1
5
)
2
(2
1
=
-
=
1
2
2
l
mv
mg=
(
16
.0
2m
n
-
=12
3.2.1
=
n
2
/
10s
m
g=
s
m
v/
10
=
3
l
2
l
1
l
1
l
漫谈
“动量定理”的应用
动量定理表明为对时间的积累效应使物体的动量发生改变，其适用的范围很广，它不仅适用于恒力情形，而且也适用于变力情形，尤其在解决作用时间短，作用力大小随时间变化的打击、碰撞等问题时，动量定理要比拮牛顿定律方便得多，本文试从几个角度谈动量定理的应用。

一、用动量定理解曲线运动问题
[例1]以速度0v 水平抛出一个质量为1kg 的物体，若在抛出5s 后未落地且未与其它物体相碰的，求
它在5s 内动量变化（ ）
[解析]此题若求出末动量，再求它与初动量的矢量差，则极为繁琐。

由于平抛出去的物体只受重力且为恒力，故所求动量的变化等于重力的冲量。

则：
s kgm s kgm mgt Ft p /50/5101=⨯⨯===∆ 注意：①运用0mv mv p -=∆求p ∆初、末速度必须在同一直线上，若不在同一直线，需考虑运用矢量法则或动量定理 Ft p =∆求解p ∆。

②用Ft I =求冲量，F 必须是恒力，若F 是变力，需用动量定理p I ∆=求解I 。

二、用动量定理解变质量问题
设在t ∆时间内有m ∆质量的物体参与作用，速度从零变到V ，动量定理可改写成v m t F ⋅∆=∆⋅ 即t v m F ∆⋅∆=)(，t m ∆∆可理解为单位时间内参与作用物体的质量。

[例2]一架质量为M=500kg 的直升飞机，其螺旋桨把空气以v=50m/s 的速度下推，恰使直升飞机停在空中，则每秒种螺旋桨所推空气的质量为多少？
[解析]飞机通过向下推空气而获得反冲力F ，飞机停在空中，根据平衡方程，求出飞机与空气的相互作用力F=Mg 。

每秒被推下的空气的动量变化等于飞机推力的冲量。

故mv Mgt Ft ∆==得每秒推下的空气质量
三、用动量定理解决碰击问题
打击、碰撞过程的相互作用力，一般不是恒力，用动量定理只需讨论初、末状态的动量和作用力的冲量而不必讨论每一瞬时力的大小和加速度的大小问题
[例3]蹦床是运动员在一张紧绷的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。

一个质量为
60kg 的运动员，从离水平面3.2m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平面5.0m 高处。

已知运动员与网接触的时间为1.2s 。

则运动员对网的平均冲击力是多少？
[解析]运动员动量的改变。

将运动员看作质量为的质点，从1h 高处下落，刚接触网时速度的大小为
（向下） 弹跳后到达的高度为2h 度大小
（向上）
设向上的方向为正，对运动员与网接触过程运用动量定理 有： 由牛顿第三定律可知：运动员对网的平均作用力为
四、动量定理的应用可扩展到全过程
物体在不同阶段受力情况不同，各力可以先后产生冲量，运用动量定理，就不用考虑运动的细节。

[例4]质量为m 的物体静止放在足够大工业水平桌面上，物体与桌面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力F 作用在物体上，使之加速前进，经1t 秒撤去力F 后，物体运动的总时间有多长？
[解析]本题若运用牛顿定律解决，过程则较为繁琐，运用动量定理则可一目了然。

由于全过程初、末状态动量为零，对全过程运用动量定理 有：01=-umgt Ft 故umg Ft t 1=
[说明]同学们可以尝试运用牛顿定律求解，掌握一题多解方法，同时比较各种方法的特点，对今后的学习有较大的帮助。

五、动量定理的应用可扩展到物体系
尽管系统内各物体的运动情况不同，但各物体所受冲量之和仍等于各物体总动量的变化量，这也就是系统动量定理。

关于系统动量定理的考查已经在2003年高考命题中出现，所以应引起同学们的注意。

[例5]质量为M 的金属块和质量为m 的木块通过细线连在一起，从静止开始以加速度a 在水中下沉，经时间1t ，细线断裂，金属块和木块分离，再经过时间2t 木块停止下沉，此时金属块的速度多大？（设此时金属块还没有碰到底面）
[解析]金属块和木块作为一个系统，整个过程系统受到的重力和浮力的冲量作用，设金属块和木块的浮力分别为 和 ，木块停止时金属块的速度为 ，取竖直向下为正方向，对全过程运用动量定理得： 断细线前对系统有：
②
联立①②得 （白城一中物理组 / 刘婧婧选）
在生活、生产、科技中我们常遇见到流质类物体与其他物体相互作用的情况，学生对此类问题因不能正确建模，往往难以下手，所以本文就此类进行点拔指导。

[例1]水柱冲击煤层，设水柱直径d 为30cm ，水速v=50m/s ，假设水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层
后水的速度变零，求水柱对煤层的平均冲击力。

[解析]本题的关键是研究对象的选取，如果所求的是整体受力，一般取整体为研究对象，如果所求的是动量变化那部分质量的受力，一般取该部分质量为研究对象。

取t ∆时间内射到煤层的水量m ∆为研究对象，
如图所示，4/2
d t v t sv m πρρ∆=∆=∆，以水速方向为正方向，据动量定理有：mv t F ∆-=∆0所
以代入数据得 负号表示水柱受到的平均冲击力方向与水速方向相反。

根据牛顿第三定律，水柱对煤层的平均冲击力大小为 ，方向与水速方向相反。

[教师点评]连续流体系统在一定时间内t ∆内动量发生变化仅是质量为m ∆的部分流体，解决这类问题时，我们通常以m ∆为研究对象，应用动量定理求解，对m ∆的正确表达是解决这类问题的关键。

[例2]高压水枪竖直向上喷出水柱将一个质量为m 、开口向下的小铁盒顶在空中，如图所示，已知水以恒定的速度0v 从横截面积为S 的水枪中持续不断地喷出，冲击铁盒后，以同样的速率返回。

求铁盒稳定悬浮的位置距水枪口的高度h 。

[解析]水枪喷出的水做竖直上抛运动，设水上升到h 高度时速度为v ，单位时间内，水枪喷出水的质量为m ∆，则 在m ∆水与铁盒相互作用的过程中，受铁盒的作用力为F ，由于m ∆水中的每一滴与盒的作用时间
极短，可忽略水的重力，取向上为正方向，由动量定
理得： ，对铁盒有F=mg ，又 ，联立以上各式解得：
[教师点评]对于连续物质对其它物体作用的问题，常选一质量元作研究对象进行研究，这种处理问题的思维方法望同学们重视，这是以后我们在学习电流强度时推导电流强度微观表达式、学习磁场力证明洛伦兹力等公式的保证。

（白城一中物理组 / 李艳青选）
[05年高考试题（选）答案]
25．解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度
v 0，由机械能守恒定律 设刚分离时男演员速度的大小为v 1，方向与v 0
相同女演员速度的大小为v 2，方向与v 0相反，由动量
守恒， 分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C 点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律，214gt R = t v x 1=，根据题给条件，女演员刚好回A 点，由
机械能守恒定律， ，已知m 1=2m 2，
由以上各式可得x =8R 。

百分段学生名单
张嘉赫、康树鹏、曲天直、刘光耀、信 通、王凤鑫冯浩源、姚程文 九十分段学生名单
史小汐、刘厶源、裴建宇、李青聘、高 雪、王宇佳丁春敏、刘家赫、何金洋、李浩铭、谭海超、曲睿祺曲 瑞、张 涛、王嘉煜、付 尧、兰云鹤、翟艳伟王 金、胡美琦、姚 实、于 跃、朱精精、谭梦岩李瑞田、李 奇、刘 博、于懿源、张朋中、李 木董家强、袁 博、野环鹏、李玲玲、丁 浩、孙晗毓徐 莹、鄂朋宇、宋 麟、韩 健、李志强、张 建吴 迪、张政强、魏龙贺、李 鹏、于 剑
思维比知识更重要！ 知识与思维有密切的联系，但决不是同一个东西。

物理教学就是叫学生怎样思考、叫学生善于独立思考。

2
/10s m g =s m gh v /8211==s m gh v /10222==)()(12mv
mv t mg F --=-N mg mv mv F 3
12105.1)]([⨯=+--=N
3
105.1⨯M F 浮m F 浮M v )
()]()[(21t t F F g m M m M +⋅+-+浮浮)
00()0(-+-=m v M M a m M F F g m M m M )()()(+=+-+浮浮M
a t t m M v M /]))([(21++=kg
kg v Mgt m 1005010500=⨯==∆N
F 5
1077.1⨯-=N 51077.1⨯
S
v m 0ρ=∆gh v v 22
02-=tv s v t F ∆-=∆-02ρ()g s v m g v h 202022
12/ρ-=第1版 共2版 主管 白城一中教研所 主办 白城一中高一物理组 排版：张学金 李延铎 我们的目标：从生活走向物理，从物理走向社会！ 印刷：校本部印刷室
①
利用“微元法”
求解动量问题
表扬
期中考试物理成绩优秀的同学 2
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