概率论与数理统计第八讲

例《品种提纯》一个混杂的小麦品种， 其株高的标准差为14cm，经提纯后随机地 抽出10株，它们的株高(单位：cm)为90, 105,101,95,100,100,101,105,93,97，试 检验提纯后的群体是否比原来的群体较为 整齐，α＝0.05。 解：提纯后的群体应该比原来的群体 较为整齐，故设 H0为σ2＝196，H1为σ2<196，
2
( n 1) s 未 2 2 知 2 2 2 2 0 0 0 时

2
2 2 0
μ
2
2 { 2 ( n 1)}
( ຫໍສະໝຸດ Baidu 1)
2
2
2 { 2 (n 1)}

2
2 2 0
2 0
{ 2 12 (n 1)}
例 某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的 袋装糖重是一个R.V,它服从正态分布N(μ, 0.0152)。当机器正常时，其均值为0.5kg，随 机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重(kg)， 分别为 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问包装机工作是否正常？
例 测得两批电子器件的样品，电阻(Ω)为
A批(x) 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 B批(y) 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设这两批器件的电阻值分别服从N(μ1,σ12), N(μ2,σ22)且两样本独立。 1）检验假设(α=0.05)
2
2) PH 0 {t t ( n 1)}
拒 绝 域 C {t t ( n 1)}
3) PH 0 {t t ( n 1)}
拒 绝 域 C {t t ( n 1)}
例《作物栽培》已知豌豆百粒重X(单位：g) 服从正态分布N(37.72,0.1089)，在改善栽 培条件后随机抽出9粒，平均重量＝37.92，问 改善栽培条件是否显著地提高了豌豆的百粒 重，α＝0.05。 解：因为改善栽培条件不会降低豌豆籽的 百粒重，所以设 H0为μ＝37.72，H1为μ>37.72
当H0为真时， u ~ N (0,1), 给定显著性水平α
2. 未知时，1 2的假设检验
2 1 2 2 2
双边检验
H 0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
取检验统计量
t sw
x y 1 1 n1 n2
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 1 2 2 其中s w n1 n2 2
2 关于σ2的假设检验 对σ2常见的假设检验问题：
1) H 0 : 2) H 0 : 3) H 0 :
2 2 2
2 0 2 0 2 0
H1 : H1 : H1 :
2 2 2
2 0 2 0 2 0
双边检验
右边检验
左边检验
由于样本方差s2是总体方差σ2的无偏估计， 当H0为真时， 2 ( n 1) s 2 2 ~ ( n 1 ), 2
本例中 PH1{ x 0

n
k} .
原则 在控制第一类错误的概率α的条件下，使犯 第二类错误的概率β尽量小。 这样的假设检验问题称为显著性检验问 题，概率α称为显著性水平 (evidence level).
1) 反证法思想
2) 小概率原理 概率很小的事件在一次试验中实际上是 不会发生的。
试计算此时犯第二类错误的概率。
(2)σ2未知 X 0 t , 取统计量
s
当H0为真时， t ~ t ( n 1), 给定显著性水平 α，有
2
n
1) PH0 { t t (n 1)} 拒绝域 C { t t (n 1)}
2
即当t t 时，拒绝 H0 , 接受 H1 .
0
给定显著性水平α，
1）双边检验
PH0 {
2
2 2 1 (n 1) 2
2
(n 1)}
2
2
2
2 2 2 拒绝域C { 2 1 ( n 1 )} { ( n 1)}
2）右边检验
PH0 { (n 1)}
当H0为真时， t ~ t ( n1 n2 2)
给定显著性水平α
PH0 { t t (n1 n2 2)}
2
拒绝域 C { t t (n1 n2 2)}
2
3. 1及2未知时， 的假设检验
2 1 2 2
双边检验
2 H0 : 1 2 2 , H1 2 : 1 2 2
z
xy
2 1

n1


2 2
,
n2
当H0为真时，
z ~ N (0,1),
C { z Z }
2 2
PH 0 { z Z }
拒绝域
2）右边检验
H 0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 取检验统计量 x y , z 2 12 2 n1 n2
原假设H0和备择假设H1，可有如下的形式：
H 0 : 0 H1: 1 ( 0和1非空且不相交 )
参数假设检验： 对未知参数提出假设，再根据样本进行检验。
非参数假设检验： 常见是对总体的未知分布提出假设，再根据 样本进行检验。
拒绝域： 当样本观测值(x1,x2,…,xn)落在某区域C时我们 拒绝原假设，则称区域C为拒绝域，拒绝域的 边界点称为临界点。
H0,称为原假设（或零假设）(null hypothesis)
H1，称为备择假设.(alternative hypothesis) H0为真时,统计量
X 0 Z ~ N(0,1). n
两类错误： ⑴第一类错误 在原假设为真时，决定拒绝原假设，称 为第一类错误，其出现的概率通常记作α；
( x
i 1
n
i
x) .
2
1 关于μ的假设检验
对μ常见的假设检验问题：
1) H 0 : 0 H1 : 0 双边检验 2) H 0 : 0 H1 : 0 右边检验 3) H 0 : 0 H1 : 0
左边检验
(1)σ2已知
2 2
2 拒绝域C { 2 (n 1)}
3）左边检验
PH0 {
2
2
2 1 (n 1)}
2 1 (n 1)}
拒绝域C {
原假设
备择假 设
2 0
检验统计 量
H0为真 拒绝域C 时检验 统计量 的分布
{ 2 12 ( n 1)}
已知
2 ( n1 1) s1 2 1 2 ( n2 1) s 2 2 2
~ ( n1 1)
2
~ ( n2 1)
2
当H0为真时，
2 s1 2 s2
2 ( n1 1) s1

12
2 ( n2 1) s2 2 2
( n1 1) ( n2 1)
~ F (n1 1, n2 1)
P{拒绝H 0 H 0为真} 或记为 PH0 {拒绝H 0 }
本例中 PH 0 {
x 0

n
k} .
⑵第二类错误 在原假设不真时，决定接受原假设， 称为 第二类错误，其出现的概率通常记作β。
P{接受H 0 H 0为假}
或记为 PH1 {接受H 0 }
内容
总体分布参数的假设检验
总体分布的χ2检验
学习目标 1.假设检验,原假设、备择假设
2.两类错误 3. 显著水平，拒绝域 4. 正态总体均值或方差的假设检验
§8.1 假设检验的基本概念
数理统计的基本任务是根据对样本的考察来 对总体的某些情况作出判断。采用先对总体X 的分布或未知参数作某种假设，再运用统计 分析的方法来检验这一假设是否正确，从而作 出接受或拒绝的决定。这就是假设检验问题。
2
右边检验
2 H0 : 1 2 2 , H1 2 : 1 2 2
拒绝域
C {F F ( n1 1, n2 1)} 左边检验
2 H0 : 1 2 2 , H1 2 : 1 2 2
拒绝域
C { F F1 ( n1 1, n2 1)}
取检验统计量
F
给定显著性水平α
2
2 s1 2 s2
PH 0 { F F1 ( n1 1, n2 1)或 F F ( n1 1, n2 1)}
拒绝域
2
C { F F1 ( n1 1, n2 1)或
2
F F ( n1 1, n2 1)}
3) PH0 {z Z }
拒绝域 C {z Z }
例 在正态总体 N ( ,1)中取 100个样品，计算得 x 5.32,
(1) 试 在 显 著 性 水 平 0.01下 检 验 假 设 H 0 : 5, H 1 : 5. ( 2) 如 果 需 在 0.01 下检验假设 H 0 : 5, H1 : 4.8.
§8.3 两个正态总体均值或方差比的 假设检验
2 设总体 X ~ N ( 1 , 1 ),
( x1 , x2 ,, xn1 )是来自x的一个样本,
总体Y ~
2 N ( 2 , 2 ),
( y1 , y2 ,, yn2 )是来自y的一个样本,
且它们相互独立 .记
1 x n1 1 y n2
假设检验的步骤如下： ⑴ 建立H0和H1； ⑵ 选定统计量并分析拒绝域的形式； ⑶ 给定显著性水平 α，并确定出拒绝域C；
⑷ 根据样本观测值作出判断是否拒绝H0。
§8.2 单个正态总体参数的假设检验
设(x1,x2,…,xn)是正态总体X~N(μ,σ2) 的样本。
1 x n
2
x
i 1
n
i
1 s n 1
z
x μ 0

n 2 n 9, 0.1089 , 0 37 .72 , x 37 .92
计算出z=1.818, 由查正态分布表
Z 0.05 1.65, 而z 1.65, 拒绝 H 0 , 认为 37.32.
例 设考生的某次考试成绩服从正态分布，从 中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5 分，标准差为15分。 问在0.05的显著水平下，能否认为全体考生 这次的平均成绩为70分。
取统计量
Z
X 0

,
n
1) PH 0 { z Z } 2 拒绝域 C { z Z }
2
当H0为真时，Z ~ N (0,1), 给定显著性水平 α，有
即当 z Z 时，拒绝H 0 , 接受H1.
2
2) PH0 {z Z }
拒 绝 域 C {z Z }
2
( n 1) s 2
2 0
,
由观测值及 196，n 10,
2 0
计算得 (n 1)s 2 218.1, 2 1.113,
由查 分布表,自由度为 9，
2

2 1
(9)
2 0.95
( 9 ) 3.33,而 3.33,
2 2
因此拒绝H 0 , 认为 196.
当H0为真时，
z ~ N (0,1),
给定显著性水平α
P H 0 {z Z }
拒绝域 C {z Z }
3）左边检验
H 0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 取检验统计量 x y , z 2 12 2 n1 n2
P H 0 {z Z } 拒绝域 C {z Z }

i 1 n2
n1
xi
1 s1 n1 1
2
( x
i 1 n2
n1
i
x) .
2

i 1
yi
2 s2
1 n2 1
( y
i 1
i
y) .
2
1. 和 已知时，1 2的假设检验
2 1 2 2
1）双边检验 给定显著性水平α
H 0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 取检验统计量