设随机变量的概率密度为
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
概率论与数理统计(经管类)(有答案)
实用文档04183概率论与数理统计（经管类）一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。
A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量的联合分布函数为，其联合分布律为则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
A ．21)0(=≤+Y X PB ．21)1(=≤+Y X P实用文档C ．21)0(=≤-Y X PD ．21)1(=≤-Y X P10．设总体X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量（ C ）。
《概率统计》练习题及参考答案
习题一 （A ）1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。
2. 记三事件为C B A ,,。
试表示下列事件：（1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。
3.指出下列事件A 与B 之间的关系：（1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。
4.请叙述下列事件的互逆事件：（1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”；（4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。
5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。
6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。
7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。
8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。
9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃；)(A B p 。
10.已知41)(=A p ，31)(=AB p ，21)(=B A p ，求)(B A p ⋃。
真题模拟考试：2021 概率论与数理统计(经管类)真题模拟及答案(3)
真题模拟考试：2021 概率论与数理统计（经管类）真题模拟及答案(3)1、对于具体的元件，故障模式及影响分析(FMEA)通常包括的详细信息有( )A．故障模式B．故障原因C．故障影响D．纠正措施E．危害点评（多选题）A. 错B. 对试题答案：暂无答案2、根据不同类型的质量特性与顾客满意之间的关系而对质量特性进行分类的质量管理专家是( ) （单选题）A. 朱兰B. 狩野纪昭C. 休哈特D. 费根堡姆试题答案：B3、26.设随机变量X的概率密度为则常数a= （单选题）A. -10B.C.D. 10试题答案：D4、(09年真题)一个企业的外部顾客主要包括( )（多选题）A. 购买者B. 中间商C. 加工者D. 供应商E. 潜在顾客试题答案：A,B,C,D,E5、外汇风险的构成要素包括 ()（多选题）A. 时间B. 本币C. 外币D. 空间E. 汇率试题答案：A,B,C6、设是μ0次独立重复A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意ε>0，均有 ( ) （单选题）A. 0B. -1C. >0D. 不存在试题答案：A7、下列对于盲法特点的陈述正确的是（）（多选题）A. 盲法包括单盲和双盲B. 盲法仅是针对受试者而设计的C. 仅在指标观测和数据收集阶段实施盲法D. 盲法可以减少来自于受试者主观因素所致的偏倚E. 盲法中资料收集者一定知道研究对象是否处于干预组8、除了可测量性外，过程还具备的另一个条件是（）（单选题）A. 可预测性B. 效益性C. 周期性D. 可重复性试题答案：D9、分类统计、相关分析和风险分析是( ) （单选题）A. 简单的因果分析B. 单变量分析C. 数据语义分析D. 双变量分析试题答案：D10、票据的基本职能是 () （单选题）A. 信用功能B. 兑换功能C. 结算功能D. 保值功能试题答案：C11、最基本的文献类型是【】（单选题）A. 零次文献B. 一次文献C. 二次文献D. 三次文献12、销售合同双方分别作为申请人，各开出一份以对方为受益人的信用证是 ( ) （单选题）A. 循环信用证B. 对开信用证C. 对背信用D. 保兑信用证试题答案：B13、《海牙规则》生效于（）（单选题）A. 1912年6月B. 1931年6月C. 1913年7月D. 1924年6月试题答案：B14、若X服从泊松分布P(3)，则 ( ) （单选题）A. 1B. 1/9C. 1/3D. 3试题答案：A15、按照国际惯例，国际储备应当满足( )个月的进口需要量，或全年进口额的25%。
概率论和数理统计期末考试题库
数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
例设随机变量X的概率密度为
F(x)
1•
•
•
ao b
x
对任意长度为l的子区间(c, c+l), a≤ c < c+l ≤b，都有
c l
c l 1
l
P { c X c l} f(x ) d x d x .
c
c b a b a
若X~U(a, b), 则X具有下述等可能性： X落在区间(a, b)中任意长度相同的子区间里的概率
例5 某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45时刻有汽车到达此站, 如果乘客在 7:00 到7:30之间任何时刻都有可能到达此车站, 试求他 候车时间少于5分钟的概率.
2. 指数分布
设随机变量X具有概率密度
ex, x0,
f(x) 0, x0.
0
x
F( x) 1
0
x
应用背景: 指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间,
例如: 乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备 的使用寿命(等待用坏的时间) 、电话交换台收到两次呼 叫之间的时间间隔等.
例6 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布，即
3e3x, x0, f (x)
0, x0.
正态概率密度的合理性
(1) f (x) 0 ;
(2) f (x)dx 1.
（ 2） 的 证 明 思 路 ： 令 yx ，
1
f(x)dx
2
e dx
(x)2 22
1
y2
e 2 dy
2
ey2dy
0
2
ey2dy2ey2dy
0
y2
e 2 dy 2
f (x)dx 1
概率论与数理统计课后习题答案 第四章
(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为 的导数为
即 即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与 不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2
P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论习题库
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,A B 为两个随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是A ．)()(A PB A P =⋃ B ．()()P AB P A =C ．()()|P B A P B =D ．()()()P B A P B P A -=-2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<=A ．增大B ．不变C ．减少D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==⎡⎤⎣⎦分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．04．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是 Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 23i 2i 1X σ=∑Ｄ．1X μ-5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是A.}{00成立接受H H PB.}{11成立接受H H PC.}{10成立接受H H PD.}{01成立接受H H P1．A 2.B 3.A 4.C 5.D一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,A B 为两个随机事件，且A B ⊂，则下面正确的等式是：(A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。
2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=,2{0}{0}5P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥=(A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 454. 设总体X ,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1ni i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +-5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知,123, ,X X X 为其样本， 下列各项中不是统计量的是(A) 123X X X ++; (B) {}123min ,,X X X ; (C) 2321i i X σ=∑; (D) 1X μ-1. (A) 2．(D) 3．(C) 4. (B) 5. (D)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．在一个确定的假设检验的问题中，与判断结果无关的因素有（ ）(A) 检验统计量 (B)显著性水平 (C) 样本值 (D)样本容量2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+(A) 随μ增大而变大; (B) 随μ增大而减小； (C) 随μ增大而不变; (D) 随σ增大而不变3．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。
概率统计考试试卷B（答案）
概率统计考试试卷B（答案）系(院)：专业：年级及班级：姓名：学号： .密封线1、五个考签中有⼀个难签，甲、⼄、丙三个考⽣依次从中抽出⼀张考签，设他们抽到难签的概率分别为1p ，2p ，3p ，则（ B ） (A)321p p p (B)1p =2p =3p (C)321p p p (D)不能排⼤⼩解：抽签概率均为51，与顺序⽆关。
故选（B ）2、同时掷3枚均匀硬币，恰有两枚正⾯向上的概率为（D ）(A)0.5 (B)0.25 (C)0.125 (D)0.375解：375.0832121223==??? ????? ??C ，故选（D ）3 、设(),,021Φ=A A B P 则（ B ）成⽴(A)()01 B A P (B)()[]()()B A P B A P B A A P 2121+=+ (C)()02≠B A A P (D)()121=B A A P解：条件概率具有⼀般概率性质，当A 1A 2互斥时，和的条件概率等于条件概率之和。
故选（B ）课程名称：《概率论与数理统计》试卷类别：考试形式：开卷考试时间：120 分钟适⽤层次：本科适⽤专业：阅卷须知：阅卷⽤红⾊墨⽔笔书写，⼩题得分写在相应⼩题题号前，⽤正分表⽰；⼤题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流⽔作业。
系(院)：专业：年级及班级：姓名：学号： .密封线4、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每⼈购买⼀张，则前3个的购买者中恰有1⼈中奖的概率为（D ）(A)3.07.02321 解：310272313A A C C P ?==402189106733=，故选（D ） 5、每次试验成功的概率为p ，独⽴重复进⾏试验直到第n 次才取得()n r r ≤≤1次成功的概率为（B ）。
(A)()rn rn p p C --1 (B)()rn rr n p p C ----111(C)()rn r p p --1 (D) ()rn r r n p pC -----1111解：rn r r n r n r r n qp C q p C p ---+-----=?1111111，故选（B ）第n 次6、设随机变量X 的概率密度为)1(12x +π，则2X 的概率密度为（B ） (A))1(12x +π (B))4(22x +π (C))41(12x +π (D))x +π解：令()x g x y ==2 ()y h y x ==21 ()21='y h ()214112+=y y P Y π=()21442?+y π=()242y +π，故选（B ）7、如果随机变量X 的可能值充满区间（ A B ），⽽在此区间外等于零，则x sin 可能成为⼀随机变量的概率密度。
概率论与数理统计试题
《概率论与数理统计》期末试题（1）一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为____________4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 ( ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立。
（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立。
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ） （A)2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.(C ）2(2)-Φ。
（D ）12(2)-Φ. 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 (） （A ）X 与Y 独立。
（B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =。
4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为 （)（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C) 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==。
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
概率论与数理统计试题
全国2002年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题第一部分 选择题 （共20分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则（ ） A.P(A)=1-P （B ） B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A ∪B)=1 D.P(AB )=12.设A ，B 为随机事件，P(A)>0,P （A|B ）=1，则必有（ ） A.P(A ∪B)=P(A) B.A ⊂B C.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ） A.2422B.C C 2142 C.242!A D.24!!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ） A.()343B.()34142⨯C. ()14342⨯D.C 4221434() 5.已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（ ） A.2f X (-2y)B.f X ()-y 2C.--122f y X ()D.122f y X ()- 6.如果函数f(x)=x a x b x a x b,;,≤≤或0<>⎧⎨⎩是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是（ ）A.〔0，1〕B.〔0，2〕C.〔0，2〕D.〔1，2〕7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）A.F x xx 1211(),=+-∞<<+∞B.F x x x x x 20010(),;,.=+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪≤C.F x e x x 3(),=-∞<<+∞-D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8.设二维随机向量（X,Y ）的联合分布列为（ ）则P{X=0}= A.112B.212 C. 412D.5129.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 10.设Ф(x)为标准正态分布函数，X i =10,,事件发生；事件不发生，A A ⎧⎨⎩ i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X 1,X 2,…,X 100相互独立。
2-4_连续型随机变量及其概率密度
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。
概率论与数理统计(经管类)课后习题_第二章
解:
1
C=
3. 将一枚骰子连掷两次,以 X 表示两次所得的点数之和,以 Y 表示两次出现的最小点数,分别求 X,Y 的分 布律.
注: 可知 X 为从 2 到 12 的所有整数值． 可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故 P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是 1) P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1)) P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)) P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)) P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)) P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧) P(X=8)=5*(1/36)＝5/36 P(X=9)=4*(1/36)＝1/9 P(X=10)=3*(1/36)＝1/12 P(X=11)=2*(1/36)＝1/18 P(X=12)=1*(1/36)＝1/36 以上是 X 的分布律
C53 0.3 3 0.7 2 C54 0.3 4 0.7 1 C55 0.3 5 0.7 0 0.1323 0.02835 0.00243 0.163
2 OF 18
2 PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2
1 C70 0.3 0 0.7 7 C71 0.3 1 0.7 6 C72 0.3 2 0.7 5 1 0.0824 0.2471 0.3177 0.353
4. 如下 4 个函数,哪个是随机变量的分布函数:
0,
2
(1) F x
,2x0
2, x 0
概率论期末试题(带答案)
草纸：
试卷纸
共4页
第1页
试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须
用碳素笔楷书，以便誉印；5、考试前到指定地点领取试卷。
学号：
姓名：
班级：
..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................
..
27
解
19
8
设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是 ，那么一次都没有成功的概率是
. 即 (1 − p)3 =
8
,故
p=1.
27
27
27
3
4. 设随机变量 X, Y 的相关系数为 0.5 , E(X ) = E(Y ) = 0, E= (X 2) E= (Y 2) 2 , 则 E[( X + Y )2 ] =(空 4)
8. 设 zα , χα2 (n), tα (n) , Fα (n1, n2 ) 分别是标准正态分布 N(0,1)、χ 2 (n)分布、t 分布和 F 分布的上α 分位点, 在
下列结论中错误的是(
).
(A) zα = −z1−α .
(B)
χ
2 α
(n)=-
χ2 1−α
(完整版)概率论题库
选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（B ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 2．设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ B ） （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤U （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥U 3. 设,则下列结论成立的是（ D ）（A ） 事件A 和B 互不相容； （B ） 事件A 和B 互相对立； （C ） 事件A 和B 互不独立； （D ） 事件A 和B 互相独立。
4.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
A. 2242B. 2412C C C. 24!2P D. !4!25.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射 击次数为3的概率是（ C ）。
A. 343）（B. 41432⨯）（C. 43412⨯）（D. 22441C ）（ 6.设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ A ）。
A. q p )1(- B. pqC. qD.p7．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ A ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. 8. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ A ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b ==9. 设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =（ D ）（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -.（C ）3()5X y F +. （D ）31()5X yF --. 10.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）。
概率论与数理统计-期末测试(新)第二章练习题
概率论与数理统计-期末测试(新)第二章练习题一、选择题1、离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,kP X k b k λ===，则λ为（ ）。
(A)0λ>的任意实数 (B)1b λ=+ (C)11bλ=+(D)11b λ=-2、设随机变量X 的分布律为()!kP X k ak λ==(λ>0，k=1，2，3，…)，则a = ( )。
(A)e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1eλ-3、离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3!kAP X k k k ===则常数A 应为( )。
(A) 31e (B) 31-e (C) 3-e (D) 3e4、离散型随机变量X 20251357Pr.248Xa aaa-，则{||2|0}P X X ≤≥为（ ）。
(A)2129 (B)2229 (C)23 (D)135、随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概14、如果（ ），则X 一定服从普哇松分布。
(A)()()E X Var X = (B)2()()E X E X =(C)X 取一切非负整数值(D) X 是有限个相互独立且都服从参数为λ的普哇松分布的随机变量的和。
15、设随机变量X 服从参数为λ的普哇松分布，又1()1x f x x ⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，()Y f X =,则(1)P Y ==（ ）。
(A)212e λ-+ (B) 212e λ-- (C)22e λ- (D)以上都不对16、设随机变量X 只取正整数N ，且2()CP X N N ==，则C =（ ）。
(A)1 (B)26π (C)16 (D)1317、设随机变量X 的期望()0E X ≥，且21(1)22E X-=，11(1)22Var X -=，则()E X 等于（ ）。
(A)2218、设随机变量X 的二阶矩存在，则（ ）。
(A)2()()E X E X < (B) 2()()E XE X ≥ (C) 22()(())E XE X < (D)22()(())E X E X ≥19、设220()00xcx e x p x cx -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩是随机变量X 的概率密度，则常数c 为（ ）。
概率论基础复习题答案
填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= 1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞=1i ip=1 ；Eξ=∑∞=1i ii px 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。
考查第一章9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。
考查第三章 较难 11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XY r 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则 ϕ的密度函数 ()g y ＝ 1()2g y y πππ=-<<。