设随机变量的概率密度为

离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
(2)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1 1 1500 [ 2 3 x |
0 3 1500 0

分
x2 1500 2
dx
3000 x ( 3000 x ) 1500

1500 2
dx
3 2 3000 ( 1 x 150 x ) |1500 ] 3
1500 (分) □
二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
x, y) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛, pij , f (分 别为离散型随机变量(X,Y)的分布律和连续型随机 变量(X,Y)的概率密度。
cov(X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} —X与Y的协方差（§4）
其中k,m为自然数。
可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
定理2 Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数， 则Z也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xi , y j ) pij , i 1 j 1 (3) E ( Z ) E[ g ( X , Y )] g ( x, y ) f ( x, y )dxdy, 连续型
本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方
差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
§1、数学期望
【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，
击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。 枪手每次射击的得分X是一 个随机变量，其分布律为
II I III
X pk
0 p0
k 1
p( x ) | x 1 p
k k 0

1 p( ) | x 1 p 1 x
k 1
1 1 1 p | p 2 ; 2 x 1 p (1 x) p p
又
E ( X 2 ) k 2 P{ X k} p k 2 (1 p) k 1
e , x 0, f ( x) x 0. 0,
1 4
x 4
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。 设售出一台设备的净赢利为 X 1, 100, a( X ) 200, 0 X 1.
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
第四章
随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征
引言
分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求
分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。
例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
【例5】 〖解〗这是二维连续型随机变量函数的数学期望。 联合概率密度函数非零区域为
D : 0 y x,0 x 1.
y yx
故由定理2得:

E( X )

xf ( x, y)dxdy
D
1 x
x
o x
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x 12y 2dxdy
12 xdx y 2 dy

(1)
x) 其中无穷级数或广义积分均绝对收敛， pk , f ( 分 别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X 的概率密度。
【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其
分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定甲乙成绩的优劣。 〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
k 1 k 1


p [k (k 1) k ](1 p) k 1
k 1

p(1 p) k (k 1)(1 p)
k 2 k
f ( x)
(5)
由数学期望性质与方差定义可得:
D( X ) E( X ) [ E( X )]
2
2
(6)
这也是计算方差的常用公式.
【例8】[P.122:eg3]
【例8】设X服从参数为p的几何分布,其分布律为
P{ X k} p(1 p) k 1 (k 1,2,3,)
求其期望与方差. 〖解〗 E ( X ) kP{ X k} p k (1 p) k 1
【证】由随机变量及其函数的数学期望知:
此时,为退化分布:P{X=C}=1,故由定义得: E(c)=E(X)=cP{X=c}=c. 由定义得:
cxk pk , 离散型 k 1 E (cX ) cE( X ) cxf ( x)dx, 连续型
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
E[a( X )] a( x) f ( x)dx

(200) e dx 100 e dx
1 4
x 4
1

1 4
x 4
0
200e | 100e |
1 0
x 4
x 4
1 1
200(e 1) 100e
1 4
1 4
1 4
300e 200 33.64. □
k 1
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 5 2 □ 6 6 6 6 6 6
【例4】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从
指数分布,其概率密度为
工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
【例3】
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
E (Y ) E[ g ( X )] g (k ) P{ X k}
1 12 xdx y dy 3 x y | dx 3 x dx . 2 0 0 0 0
3 4 x 0 5
1

2 xyf ( x , y ) dxdy xy 12 y dxdy D
x
1
1
□
三.数学期望的性质 数学期望具有如下性质:设X,Y为随机变量,c为常数, 则 E(cX)=cE(X); E(c)=c; E(X+Y)=E(X)+E(Y); 当X,Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);
一、概念 义为 定义2 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定
D( X ) E{[ X E( X )] } (4)
2
其中数学期望存在.
在应用上还用到与X具有相同量纲的量
( X ) D( X )
称之为随机变量X的均方差(标准差). 方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比 较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大.

E ( X ) E (Y ).
利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推
出其它数字特征的一些性质.
□
【例6】已知随机变量X的分布列为
X P -2 0.4 0 0.3 2 0.3
求X,X2,3X2+5的数学期望. 〖解〗方法1(表格法)由X的分布列得:
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7


E ( X ) E (Y ).
由X,Y相互独立得:
f ( x, y) f X ( x) fY ( y),

E ( XY )
[ xf X ( x)dx][ y fY ( y)dy]


xy f ( x, y)dxdy
N
2 ak k k pk . N k 0 k 0 2
这表明:随着试验次数增大 ,随机变量X的观察值的算 2 术平均 k ak 接近于
k 0
N
k p
k 0
2
k
,
称后者为随机变量X的数学期望(均值).
一、概念
定义1 随机变量X的数学期望记为E(X),定义为
离散型 xk pk , k 1 E ( X ) xf ( x)dx, 连续型
1 0 x 1500, 1500 2 x, 1 f ( x) 15002 (3000 x), 1500 x 3000, 0, 其它. 求E(X)。 分段函
数的积 〖解〗这是连续型随机变量。由数学期望定义得：
E( X ) xf ( x)dx


1500
E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
由 E( X1 ) E( X 2 ) 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。□
【例2】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为
0 1 0
f 0
1
D
x
1 4 5 1 4 y3 x 4 12 x |0 dx 4 x dx x |0 . 5 5 3 0 0
□
例5-续

E( XY )
在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需 要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域D上非 零时，实际上是计算普通二重积分.
1 p1
2 p2
现射击N次,其中得0分的有 a0 次,得1分的有 a1次, 得2分的有 a2 次, a0 a1 a2 N . 于是,射击N次 的总分为
0 a0 1 a1 2 a2 .
从而,每次射击的平均分为 2 0 a0 1 a1 2 a2 ak k . N N k 0 在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时, ak pk PX k ,故当N很大时, 频率 接近于概率
设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密 度分别为
f ( x, y), f X ( x), fY ( y).
现就连续型证下面两条： 由随机变量函数的期望得 :
E( X Y )

( x y) f ( x, y)dxdy x f ( x, y)dxdy y f ( x, y)dxdy