运筹学第七章图与网络分析r

当节点 是某些边
互相关联。v i
el 的一个端点时，称 vi 与 el
几个基本概念
（4）孤立点 图中没有任何边与之关联的节点称为孤立点。
（5）悬挂点 图中仅有一条边与之关联的节点称为悬挂点。
以上概念虽然是在无向图中定义的，但同样适用 于有向图。
节点的次
图中关联于某个节点vi 的边数，称为该节点的次，
对于有向图G = (V，A)，存在顺序映射关系
:V V 边(vi ,v j )中两节点vi与v j可表示为(vi ) v j ,称v j是vi的 直接后继，而 vi是v j的直接先导。
与图相关概念
由同一节点作为两端的边称为自环边，而以相 同节点为两端的多条边（对于有向图，节点顺序也 要相同）称为多重边（或平行边）。
注：完备二分图是二分图，但不是完备图。
7.1.2 子图与补图
子图
一个图g 若符合如下条件则称之为图G 的子图： 若g 的所有节点和边均在图G 的节点集与边集之中， 并且 g 的每条边在 g 中的端点与在 G 中相同。
由 G 的节点集的子集及 G 的边集的子集构成 的图为 G 的子图。
显然，每个图是它自身的子图，图G的子图的子图仍为G
若图的两个（或更多个）子图不存在公共边或 公共点，则称这些子图为不交子图。
不交子图还可分为点不交子图和边不交子图。
补图有两种定义 ：相对于子图的补图与相对于 完备图的补图。
7.1.3 链、路、回路
有向图中，任意两节点之间可以构成一条由有限 个节点与弧组成的连续序列，在序列中节点与弧交 替出现，称这样的一个序列为一条链。
图的基本定义
若对任意 vi , v j V ，有 (vi , v j ) (v j , vi ) ，
则称该图为无向图；否则，(vi , v j ) (v j , vi ) ，
也即图中的边具有方向性， (vi , v j ) 是一个有序
对，则该图称为有向图。
图的基本定义
通常称有向图的边为弧，记作 al，所有弧的集合 记作A，也即对任意 al A ，有 al (vi , v j )且al (v j , vi )
p
d (vi ) 2q
其中 q为图的边数。i1
定理7-1 对于任何图，次为奇数值的节点个数必为偶数。
特殊的次与图
最大次 图G 中关联边数最多的节点的次，记为Δ(G)。
(G) maxd(v) vV
最小次 图G中关联边数最少的节点的次，记为δ(G)。
min d(v) vV
正则图 图G 的各个节点若次值均相等，则称该图为
正则图。即
d (vi ) (G) (G) K
其中K 为常数，可称该图为K 正则。
vi V
特殊类型的图
平凡图
仅有一个节点而无边的图称为平凡图，平凡图 的节点数 p = 1，边数 q = 0。
零图
只有节点而无边的图称为零图，零图的节点数 p ＞1，边数 q = 0。
也称为度，记为d (vi )
对于有向图，次可细分为出次和入次。进入节点vi
的弧数称为入次，记作d (vi ) ，而离开节点vi 的弧数称
为出次，记作 d (vi ) ，且有 d (vi ) d (vi ) d (vi ) 。
重要结论及定理：
由于每一条边为图中的节点带来两个次，所以图中 所有节点的总次数为图中边数的两倍，即
如果一条链，其节点与弧的序列中所含的弧均不 相同（即不重复出现），则称为简单链。
若链中所包含的节点均不相同（即节点也不重复 出现），则称该链为初等链。
圈、路
若链的两端点为同一节点时，则该链称为圈。换 句话说，圈是一条封闭的链。对应于简单链的圈称 为简单圈，对应于初等链的圈称为初等圈。
完备图
一个简单图，若每一对节点之间都存在一条 边，即各个节点之间都有相邻关系，则称这类图 为完备图，完备图有时称为全图。特记为，p为节 点数。
完备图的边数应为：
qk

C
2 p

1 2
p( p 1)
二分图
若一个简单图的节点可以分成二个不交的集
合 V1,V2 ，图中所有边一端在V1 中，另一端在 V2 中，并且V1 内或V2内的节点均不相邻，则称这类图
的子图。
生成子图、导出子图
若子图g 所含的节点集与图G 相同，而边集为 图G 的一部分。即
V ' V,E' E ，
则称子图g 为 G = (V，E) 的生成子图，或支撑子图。
以图G的节点集的子集为主或以边集的子集为主， 所构成的子图称导出子图，导出子图又分为点导出子 图和边导出子图。
不交子图、补图
7.1.1 图
定义7.1 称如下二元组为图G，
G = (V，E)
其中: V v1,v2 ,,vp 称为节点集， E e1,e2 ,,eq 称为边集。
e1,e2 ,, eq 为联系各个节点的边，且每一条边 el
对应一对节点，即
el (vi , v j )
el E vi , v j V
Baidu Nhomakorabea第七章 图与网络分析
第七章 图与网络分析
7.1 基本概念
7.2 树 7.3 割集 7.4 最短路问题 7.5 最大流问题 7.6 最小费用流问题
7.1 基本概念
7.1.1 图 7.1.2 子图与补图 7.1.3 链、路、回路、圈 7.1.4 图的连通与分支 7.1.5 网络 7.1.6 图与网络的应用实例 7.1.7 欧拉圈与哈密尔顿圈
具有多重边但无自环边的图称为多重图，具有自 环边但无多重边的图称为自环图，不存在多重边与 自环边的图称为简单图，而允许存在自环和多重边 的图则为一般图。
几个基本概念
（1）相邻
若图中两节点之间有边相连，则称该vi 二节点相邻 。 （2）邻接
若图中两条边在同一节点相遇，则称该二条边相
互邻接。
（3）关联
为二分图。即
G (V , E) V V1 V2且V1 V2 E {el} l 1,2,q el (vi ,v j ) vi V1且v j V2
完备二分图
若一个二分图的一个节点集中的任意一个节 点，与另一个节点集中的任意节点之间均有边相 连，但节点集内仍然保持不相邻，则该二分图称 为完备二分图。