运筹学第七章图与网络分析r
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运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
运筹学 图与网络分析PPT学习教案
ij
min{ V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（t-1）=
P1j（t-2）
+wij}
终止原则：
1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，第1再9页多/共迭59页代一次P1j（t） ，若P1j（t） =
P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）；
v3，u3 =（M，W，H）；
v4，u4 =（M，G，H）；
v5，u5 =（M，G）。
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1
v2
v3
v4
v5
u5
u4
例： 求下图所示有向图中从v1到各点 的最短路。
2 v1
v2
4
5 -2 v3 6
-3 4
v4
7
v6 -3 2
v5
3
4
v8
-1
v7
第20页/共59页
wij
d(t)(v1,vj)
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6
v1 0 2 5 -3
0 0 0 00 0
参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加
此游。旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此
问题。很快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此
资料，总社要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如
何取道转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
管理运筹学讲义 第7章 网络分析
16
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第三节
一、双标号算法
最短路问题
1.标号法的基本思路
基本思路: 从始点vs 出发，逐步探寻，给每个点标号； 标号分永久标号P(vk)和临时标号T(vk) 两种：
• 永久标号P(vk) 是从点 vs → vk 的最短路权 • 临时标号T(vk) 是从点 vs → vk 最短路权的上界
1
3 2
v4
6
7
1
vt
(v5 ,13)
v3 (v4 , 9)
v6 (v3 ,11)
管理科学与工程学院
25
石家庄经济学院
第三节
一、双标号算法
第七步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)
v1
3
(vs , 0)
2 4
v5
8 1 (v5 , 6)
7 9
vs
10
v2
4
(v4 , 7)
v1
3
(vs , 0)
v5
8 1
7 9
vs
10
v2
4
(vs ,9)
1
3 2
(v1 , 7) v4
6 7
1
vt
(vs , )
v3 (vs ,10)
石家庄经济学院
v6 (vs , )
管理科学与工程学院
21
第三节
一、双标号算法
第三步：
(vs ,3)
最短路问题
(v1 ,5)v1Fra bibliotek3(vs , 0)
2 4
2.避圈法
从无向网络中，开始选取权数最小的一条边，再选权数为次小 的一条边；如此进行，总从剩余边中选取权数最小者，但前提 是与已经选择的边不要构成圈；如果最小权数的边不止一条， 则任选一条。
运筹学第07章 图与网络分析
关联矩阵
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
管理运筹学第7章网络计划.ppt
—
— A A D C， E
4
10 3 6 8
G
H I J K
制定生 产计划 筹备设 备 筹备原 材料 安装设 备 调集人 员
F
B， G B， G H G
3
2 8 5 2
F
2
L
准备开 I，J， 工生产 K
1
14
A 4
2
D 6
3 E 8
1
C 3
4
F 2
5
G 3
6
K 2
B 10
7
I 8
9 J 5
L 1
10
16
①最乐观时间：指在顺利情况下，完成工序所需的最少时间，用a表示 ②最可能时间：指在正常情况下，完成工序所需的时间，用m表示 ③最悲观时间：指在不利的情况下，完成工序所需的最长时间，用b表示 利用这三个时间，每道工序的期望工时可估计为：
a4 mb t(i, j) 6
ba 6
最低成本日程
费 用 总费用
直接费用
间接费用 优化工期 时间
30
【例2】某工程项目的初始网络计划如图所示。该工程有六道工序， 各工序的正常完成时间以及最短完成时间和直接费用表见表，工 程间接费率为0.25万元/月。试调整网络计划，降低工程总费用。
27
【例1】 在【引例】中为获得18万元的资金奖励，能否把 项目工期缩短为41周？如何对项目进行管理？
22 6
26 G 7
29 8
33 H 9
38 9
42
0 1
0 A 2
2 2
2 B 4
6 3
6 C 10
16
D 16 4 E 4 I 7 6
运筹学(首都经济贸易大学)第七章 网络分析
5 道路 链中的每一条边的终点都是它的下一条 边的起点，则称这种链为道路
v1
e1 e2 e3 e4 e5
v2
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
二 最短路问题的狄克斯拉算法（Dijkstra）
下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路 的方法——双标号法（Dijkstra算法），它是在 1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij ≥0 时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并 且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点 vs到任意一个点vj的最短路。
M={1,2,4,6,7}, p7=3
M={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
p6=3
p7=3
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
M={1,2,4,5,6,7}, p5=6
A {a1，a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10} a10
a1 (v1 , v2 )
a2 (v1 , v2 )
v6
a3 (v2 , v3 ) a4 (v3 , v4 )
a9
a5 (v1 , v3 )
a6 (v3 , v5 )
更新距离函数 (vi ) 为：
v1 v2 v3 v4 v5
v1
e1 e2 e3 e4 e5
v2
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
二 最短路问题的狄克斯拉算法（Dijkstra）
下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路 的方法——双标号法（Dijkstra算法），它是在 1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij ≥0 时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并 且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点 vs到任意一个点vj的最短路。
M={1,2,4,6,7}, p7=3
M={1,2,4,6,7}
p1=0
p2=2
2
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1
2
3
1
10
p4=1
5
9
p5=6
3
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6
5
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3
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4
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p6=3
p7=3
min {c23,c25,c75,c78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
M={1,2,4,5,6,7}, p5=6
A {a1，a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10} a10
a1 (v1 , v2 )
a2 (v1 , v2 )
v6
a3 (v2 , v3 ) a4 (v3 , v4 )
a9
a5 (v1 , v3 )
a6 (v3 , v5 )
更新距离函数 (vi ) 为：
v1 v2 v3 v4 v5
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第5,6节
f3t<C3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l(vt ) min l(v3), (C3t f3t ) min 1,1 1,
vt得到标号，标号过程结束。
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
41
22 ③ 22
④ 76
60
⑥
93
⑤
第6节 最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C），每弧（vi，vj）∈A，还给出 （vi，vj）上单位流的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。 最小费用最大流问题：
求一个最大流f，使流的总费用
b(f)
bij fij
(vi ,v j )A
取最小值。
l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
(2，1)
（sv，1 4） (2，2)（-v23，1）
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，
vj成为标号而未检查的点
vi
vj (-i , l(vj))
fij>0
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的增 广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在µ上进行 流量调整。 （1）找增广链 如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个 标号,依此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
图与网络分析物流运筹学
图 • 顶点的次、出次、入次、悬挂点、孤立点、奇
点、偶点 • 子图、生成子图（支撑图）、网络（赋权图） • 链、初等链、圈、初等圈、回路、连通图 • 图的矩阵表示、邻接矩阵 • 欧拉道路、欧拉回路、中国邮路问题
树的概念
• 树、树叶、分枝点 • 数的性质 • 生成子图、生成树、树枝、弦 • 最小生成树 • 避圈法、破圈法 • 有向树、根树、叶、分枝点、叉树
二、 树及最小树问题
已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求任意 两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1
v2
v6
v3
v5
v4
1、一个连通的无圈的无向图叫做树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。
树 的性质：
（1）树必连通，但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n-1 条边。 （3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初
v2
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v3
v5
图2
4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。
5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们 为多重边。
(vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[ T (v j ) , P(vi ) li j ]
3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：
P(vk ) min[ T (vi )]
当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节 点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。
点、偶点 • 子图、生成子图（支撑图）、网络（赋权图） • 链、初等链、圈、初等圈、回路、连通图 • 图的矩阵表示、邻接矩阵 • 欧拉道路、欧拉回路、中国邮路问题
树的概念
• 树、树叶、分枝点 • 数的性质 • 生成子图、生成树、树枝、弦 • 最小生成树 • 避圈法、破圈法 • 有向树、根树、叶、分枝点、叉树
二、 树及最小树问题
已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求任意 两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1
v2
v6
v3
v5
v4
1、一个连通的无圈的无向图叫做树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。
树 的性质：
（1）树必连通，但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n-1 条边。 （3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初
v2
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v3
v5
图2
4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。
5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们 为多重边。
(vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[ T (v j ) , P(vi ) li j ]
3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：
P(vk ) min[ T (vi )]
当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节 点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。
管理运筹学 第七章图与网络分析
图是反映对象之间关系的一种工具，如果我们把对象 用点表示，关系用线表示，就构成了一个图。
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
关系
对称的关系：甲与乙有这种关系，则乙与甲 也有这种关系，如两点之间的距离等。
不对称的关系：甲与乙有这种关系，但乙与 甲未必有这种关系：如两个人的认识关系， 比赛结果、交通路线中的单行线等。
关系的表示 对称的关系用边表示：e=[vi,vj]或e=[vj,vi] 不对称的关系用带箭头的弧表示：a=(vi,vj) 图的分类： 无向图：G=(V,E) 有向图：D=(V,A)
2
10
Step 1 从图G中任取一点vi, 让viS, 其余各点均包含在 S=V\S中。 Step 2 从（S,S)中选一条权最小的边e=vivj，加到T中。 Step 3 令S vjS, S\vjS，(将所选边的另一个顶点添 加到S中）。 Step 4 重复2、3两步，直到图中所有点均包含在S中为止。
v4
42
8
6
v2
7
v5
该问题就是要在赋权图中所有从v1到v8 的路中，找一条 权最小的路。称之为最短路。
其中路的权指路上所有边对应的权之和，又称为路长。
2. 最短路问题的Dijkstra算法
当边(弧)权wij 0 时，目前公认的求最短路的最好算法是 由Dijkstra于1959年提出的，称为Dijkstra算法。这个算 法事实上可以求出从一个给定的点到任意点的最短路。
回路：起点和终点相同的路称为回路。
（简单路回路）、初等路（回路）可以类似定义。
引例:自来水管道的铺设问题
校门A点(水源); 需要使用自来水的场所共有7个:
v1,v2,…,v7;
问题:为了各个场所都用上自来水,怎样铺设管道才 能使挖开的道路数目最少?
运筹学-第7章-图与网络优化
(v1 , v2 , v3 , v6 , v7)是一条初等链 (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7, v6 , v3 , v4)是一个简单圈 (v1 , v2 , v3 , v4 , v1)是一个初等圈
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
运筹学第7章图与网络优化
*
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
7图与网络分析
运筹学 4
第一节 一、概念
图的基本概念和模型
图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事 物的抽象。记作 G=｛V,E｝,
V=｛v1,v2,·,vn｝, · · E=｛e1,e2,·,em｝ · · 点：表示所研究的事物对象
e0
e1 v1 e5 e3 e4
v0
e2 v2 e7
v4
运筹学 5
边：表示事物之间的联系
15．0 12．5 25．0 20．0 21．0 16．0 12．5 6．5
4
5
13．0
9．0
6．5
运筹学 26
某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一 台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役 龄机器年末的处理价如下表所示，又新机器第一年运行 及维护费用为0.6万元，使用1-3年后机器每年的运行及 维修费用为1.6、3.0、4.0万元。试确定该机器的最优更 新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为 最省?
两个人），他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须 保证在河的任何一边商人的数目要大于等于强盗的数目， 并要满足渡河次数尽量少，应该怎么过这条河？
运筹学 15
应用
分酒问题
两人有一只容积为8升的酒壶盛满了酒，还有
两只容积分别为5升和3升的空壶，问平分酒的最简
单的方法应当怎样？
8
5
3
运筹学 16
10名研究生参加6门课程考试。由于选修内容不同，考试门数也 不一样。每个研究生应参加的考试课程如下表所示（打“√” 表示参加该课程考试）。
示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项
目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学概论07-图与网络
如果V1 V， E1 是E中所有端点属 于V1的边组成的集合，则称G1是G 的关于V1的导出子图； 如果G1=（V1，E1，1）是 G=（V，E，）的子图，并且 V1= V，则称G1为G的生成子图。
v1 e5
e1 e3
v2
v3 e2
e6 e4 e7
v4
v5
e8
v1
e1
v2 e6
e2
v3
e3
v2 1 v1 4 2 v5
2 3 2
v3 1 2
v1 v1 v2 v3 v4 v5 0
v2 1 0 2 3
v3
v4
v5 2 4
2 0 2
1 0
6
v4
6 0
4、关联矩阵
关联矩阵B揭示了图G的顶点和 边之间的关联关系，它是一个 nxm矩阵。
1 （ vi，vk）=ej
Bij= -1 0
该问题只有三个就座方案。
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
例 3 ：哈密顿（ Hamilton ）回路是十 九世纪英国数学家哈密顿提出，给出 一个正12面体图形，共有20个顶点表 示20个城市，要求从某个城市出发沿 着棱线寻找一条经过每个城市一次而 且仅一次，最后回到原处的周游世界 线路（并不要求经过每条边）。
运筹学概论 第7章 网络计划
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制
例如某工作a可以表为： 5
① a② 圆圈和里面的数字代表各事项，写在箭杆中间的数字5为
完本钱工作所需时间，即工作a：(1，2)，事项：1，2。
虚工作用虚箭线
表示。它表示工时为零，
不消耗任何资源的虚构工作。其作用只是为了正确表示工
作的前行后继关系。
0
①
②
第7章 网络方案 7.1网络图的绘制 画网络图的规那么 ：
ttE ESS((1i,,
j) j)
0
mkaxtES(k,i)
t(k,i)
(3)
tEF(i, j) tES(i, j)t(i, j)
这组公式也是递推公式。即所有从总开工事项出发的工作(1， j)，其最早可能开工时间为零；任一工作(i，j)的最早开工时间 要由它的所有紧前工作(k，i)的最早开工时间决定；工作(i, j) 的最早完工时间显然等于其最早开工时间与工时之和。
例1 利用下表资料，绘制网络图，然后予节点以正确编 号并计算最早、最迟节点时刻。
工序 紧前工序 工序时间 工序 紧前工序 工序时间
A
—
3
G D,B
6
B
—
C
—
D
A
E
B
F
C
2
H
E
2
6
I
G,H
4
4
J
E,F
5
7
K E,F
2
8
L
I,J
6
A 2
D
5
G
8I
1B
3 E6 H
J
9 L 10
C4 F
7
K
节点 最早节点时刻 最迟节点时刻
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第七章 图与网络分析
第七章 图与网络分析
7.1 基本概念
7.2 树 7.3 割集 7.4 最短路问题 7.5 最大流问题 7.6 最小费用流问题
7.1 基本概念
7.1.1 图 7.1.2 子图与补图 7.1.3 链、路、回路、圈 7.1.4 图的连通与分支 7.1.5 网络 7.1.6 图与网络的应用实例 7.1.7 欧拉圈与哈密尔顿圈
对于有向图G = (V，A)，存在顺序映射关系
:V V 边(vi ,v j )中两节点vi与v j可表示为(vi ) v j ,称v j是vi的 直接后继，而 vi是v j的直接先导。
与图相关概念
由同一节点作为两端的边称为自环边，而以相 同节点为两端的多条边（对于有向图，节点顺序也 要相同）称为多重边（或平行边）。
图的基本定义
若对任意 vi , v j V ，有 (vi , v j ) (v j , vi ) ，
则称该图为无向图；否则，(vi , v j ) (v j , vi ) ，
也即图中的边具有方向性， (vi , v j ) 是一个有序
对，则该图称为有向图。
图的基本定义
通常称有向图的边为弧，记作 al，所有弧的集合 记作A，也即对任意 al A ，有 al (vi , v j )且al (v j , vi )
当节点 是某些边
互相关联。v i
el 的一个端点时，称 vi 与 el
几个基本概念
（4）孤立点 图中没有任何边与之关联的节点称为孤立点。
（5）悬挂点 图中仅有一条边与之关联的节点称为悬挂点。
以上概念虽然是在无向图中定义的，但同样适用 于有向图。
节点的次
图中关联于某个节点vi 的边数，称为该节点的次，
具有多重边但无自环边的图称为多重图，具有自 环边但无多重边的图称为自环图，不存在多重边与 自环边的图称为简单图，而允许存在自环和多重边 的图则为一般图。
几个基本概念
（1）相邻
若图中两节点之间有边相连，则称该vi 二节点相邻 。 （2）邻接
若图中两条边在同一节点相遇，则称该二条边相
互邻接。
（3）关联
注：完备二分图是二分图，但不是完备图。
7.1.2 子图与补图
子图
一个图g 若符合如下条件则称之为图G 的子图： 若g 的所有节点和边均在图G 的节点集与边集之中， 并且 g 的每条边在 g 中的端点与在 G 中相同。
由 G 的节点集的子集及 G 的边集的子集构成 的图为 G 的子图。
显然，每个图是它自身的子图，图G的子图的子图仍为G
的子图。
生成子图、导出子图
若子图g 所含的节点集与图G 相同，而边集为 图G 的一部分。即
V ' V,E' E ，
则称子图g 为 G = (V，E) 的生成子图，或支撑子图。
以图G的节点集的子集为主或以边集的子集为主， 所构成的子图称导出子图，导出子图又分为点导出子 图和边导出子图。
不交子图、补图
7.1.1 图
定义7.1 称如下二元组为图G，
G = (V，E)
其中: V v1,v2 ,,vp 称为节点集， E e1,e2 ,,eq 称为边集。
e1,e2 ,, eq 为联系各个节点的边，且每一条边 el
对应一对节点，即
el (vi , v j )
el E vi , v j V
完备图
一个简单图，若每一对节点之间都存在一条 边，即各个节点之间都有相邻关系，则称这类图 为完备图，完备图有时称为全图。特记为，p为节 点数。
完备图的边数应为：
qk
C
2 p
1 2
p( p 1)
二分图
若一个简单图的节点可以分成二个不交的集
合 V1,V2 ，图中所有边一端在V1 中，另一端在 V2 中，并且V1 内或V2内的节点均不相邻，则称这类图
如果一条链，其节点与弧的序列中所含的弧均不 相同（即不重复出现），则称为简单链。
若链中所包含的节点均不、路
若链的两端点为同一节点时，则该链称为圈。换 句话说，圈是一条封闭的链。对应于简单链的圈称 为简单圈，对应于初等链的圈称为初等圈。
正则图 图G 的各个节点若次值均相等，则称该图为
正则图。即
d (vi ) (G) (G) K
其中K 为常数，可称该图为K 正则。
vi V
特殊类型的图
平凡图
仅有一个节点而无边的图称为平凡图，平凡图 的节点数 p = 1，边数 q = 0。
零图
只有节点而无边的图称为零图，零图的节点数 p ＞1，边数 q = 0。
也称为度，记为d (vi )
对于有向图，次可细分为出次和入次。进入节点vi
的弧数称为入次，记作d (vi ) ，而离开节点vi 的弧数称
为出次，记作 d (vi ) ，且有 d (vi ) d (vi ) d (vi ) 。
重要结论及定理：
由于每一条边为图中的节点带来两个次，所以图中 所有节点的总次数为图中边数的两倍，即
若图的两个（或更多个）子图不存在公共边或 公共点，则称这些子图为不交子图。
不交子图还可分为点不交子图和边不交子图。
补图有两种定义 ：相对于子图的补图与相对于 完备图的补图。
7.1.3 链、路、回路
有向图中，任意两节点之间可以构成一条由有限 个节点与弧组成的连续序列，在序列中节点与弧交 替出现，称这样的一个序列为一条链。
为二分图。即
G (V , E) V V1 V2且V1 V2 E {el} l 1,2,q el (vi ,v j ) vi V1且v j V2
完备二分图
若一个二分图的一个节点集中的任意一个节 点，与另一个节点集中的任意节点之间均有边相 连，但节点集内仍然保持不相邻，则该二分图称 为完备二分图。
p
d (vi ) 2q
其中 q为图的边数。i1
定理7-1 对于任何图，次为奇数值的节点个数必为偶数。
特殊的次与图
最大次 图G 中关联边数最多的节点的次，记为Δ(G)。
(G) maxd(v) vV
最小次 图G中关联边数最少的节点的次，记为δ(G)。
min d(v) vV
第七章 图与网络分析
7.1 基本概念
7.2 树 7.3 割集 7.4 最短路问题 7.5 最大流问题 7.6 最小费用流问题
7.1 基本概念
7.1.1 图 7.1.2 子图与补图 7.1.3 链、路、回路、圈 7.1.4 图的连通与分支 7.1.5 网络 7.1.6 图与网络的应用实例 7.1.7 欧拉圈与哈密尔顿圈
对于有向图G = (V，A)，存在顺序映射关系
:V V 边(vi ,v j )中两节点vi与v j可表示为(vi ) v j ,称v j是vi的 直接后继，而 vi是v j的直接先导。
与图相关概念
由同一节点作为两端的边称为自环边，而以相 同节点为两端的多条边（对于有向图，节点顺序也 要相同）称为多重边（或平行边）。
图的基本定义
若对任意 vi , v j V ，有 (vi , v j ) (v j , vi ) ，
则称该图为无向图；否则，(vi , v j ) (v j , vi ) ，
也即图中的边具有方向性， (vi , v j ) 是一个有序
对，则该图称为有向图。
图的基本定义
通常称有向图的边为弧，记作 al，所有弧的集合 记作A，也即对任意 al A ，有 al (vi , v j )且al (v j , vi )
当节点 是某些边
互相关联。v i
el 的一个端点时，称 vi 与 el
几个基本概念
（4）孤立点 图中没有任何边与之关联的节点称为孤立点。
（5）悬挂点 图中仅有一条边与之关联的节点称为悬挂点。
以上概念虽然是在无向图中定义的，但同样适用 于有向图。
节点的次
图中关联于某个节点vi 的边数，称为该节点的次，
具有多重边但无自环边的图称为多重图，具有自 环边但无多重边的图称为自环图，不存在多重边与 自环边的图称为简单图，而允许存在自环和多重边 的图则为一般图。
几个基本概念
（1）相邻
若图中两节点之间有边相连，则称该vi 二节点相邻 。 （2）邻接
若图中两条边在同一节点相遇，则称该二条边相
互邻接。
（3）关联
注：完备二分图是二分图，但不是完备图。
7.1.2 子图与补图
子图
一个图g 若符合如下条件则称之为图G 的子图： 若g 的所有节点和边均在图G 的节点集与边集之中， 并且 g 的每条边在 g 中的端点与在 G 中相同。
由 G 的节点集的子集及 G 的边集的子集构成 的图为 G 的子图。
显然，每个图是它自身的子图，图G的子图的子图仍为G
的子图。
生成子图、导出子图
若子图g 所含的节点集与图G 相同，而边集为 图G 的一部分。即
V ' V,E' E ，
则称子图g 为 G = (V，E) 的生成子图，或支撑子图。
以图G的节点集的子集为主或以边集的子集为主， 所构成的子图称导出子图，导出子图又分为点导出子 图和边导出子图。
不交子图、补图
7.1.1 图
定义7.1 称如下二元组为图G，
G = (V，E)
其中: V v1,v2 ,,vp 称为节点集， E e1,e2 ,,eq 称为边集。
e1,e2 ,, eq 为联系各个节点的边，且每一条边 el
对应一对节点，即
el (vi , v j )
el E vi , v j V
完备图
一个简单图，若每一对节点之间都存在一条 边，即各个节点之间都有相邻关系，则称这类图 为完备图，完备图有时称为全图。特记为，p为节 点数。
完备图的边数应为：
qk
C
2 p
1 2
p( p 1)
二分图
若一个简单图的节点可以分成二个不交的集
合 V1,V2 ，图中所有边一端在V1 中，另一端在 V2 中，并且V1 内或V2内的节点均不相邻，则称这类图
如果一条链，其节点与弧的序列中所含的弧均不 相同（即不重复出现），则称为简单链。
若链中所包含的节点均不、路
若链的两端点为同一节点时，则该链称为圈。换 句话说，圈是一条封闭的链。对应于简单链的圈称 为简单圈，对应于初等链的圈称为初等圈。
正则图 图G 的各个节点若次值均相等，则称该图为
正则图。即
d (vi ) (G) (G) K
其中K 为常数，可称该图为K 正则。
vi V
特殊类型的图
平凡图
仅有一个节点而无边的图称为平凡图，平凡图 的节点数 p = 1，边数 q = 0。
零图
只有节点而无边的图称为零图，零图的节点数 p ＞1，边数 q = 0。
也称为度，记为d (vi )
对于有向图，次可细分为出次和入次。进入节点vi
的弧数称为入次，记作d (vi ) ，而离开节点vi 的弧数称
为出次，记作 d (vi ) ，且有 d (vi ) d (vi ) d (vi ) 。
重要结论及定理：
由于每一条边为图中的节点带来两个次，所以图中 所有节点的总次数为图中边数的两倍，即
若图的两个（或更多个）子图不存在公共边或 公共点，则称这些子图为不交子图。
不交子图还可分为点不交子图和边不交子图。
补图有两种定义 ：相对于子图的补图与相对于 完备图的补图。
7.1.3 链、路、回路
有向图中，任意两节点之间可以构成一条由有限 个节点与弧组成的连续序列，在序列中节点与弧交 替出现，称这样的一个序列为一条链。
为二分图。即
G (V , E) V V1 V2且V1 V2 E {el} l 1,2,q el (vi ,v j ) vi V1且v j V2
完备二分图
若一个二分图的一个节点集中的任意一个节 点，与另一个节点集中的任意节点之间均有边相 连，但节点集内仍然保持不相邻，则该二分图称 为完备二分图。
p
d (vi ) 2q
其中 q为图的边数。i1
定理7-1 对于任何图，次为奇数值的节点个数必为偶数。
特殊的次与图
最大次 图G 中关联边数最多的节点的次，记为Δ(G)。
(G) maxd(v) vV
最小次 图G中关联边数最少的节点的次，记为δ(G)。
min d(v) vV