高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题练习

专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立

及能成立问题练习

一、选择题

1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪

⎪⎪x ＜12

B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪

⎪⎪0＜x ＜12

C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪

⎪⎪x ＜－12或0＜x ＜12

D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪⎪⎪－12

≤x ≤0或x ≥12

解析 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪

⎪⎪x ＜－12或0＜x ＜12.

答案 C

2.若不等式2x ln x ≥－x 2

＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，4] C.(0，＋∞)

D.[4，＋∞)

解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3

x

恒成立.

设f (x )＝2ln x ＋x ＋3

x

，

则f ′(x )＝（x ＋3）（x －1）

x

2

(x ＞0). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4.所以a ≤4. 答案 B

3.若存在正数x 使2x

(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)

D.(－1，＋∞)

解析 ∵2x

(x －a )＜1，∴a ＞x －12

x .

令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x

ln 2＞0.

∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，

∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D

4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，

xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )

A.(－∞，－1)∪(0，1)

B.(－1，0)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(－1，0)

D.(0，1)∪(1，＋∞)

解析 令F (x )＝

f （x ）

x

，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2

，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ）

x

在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝

f （x ）

x

在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 答案 A

5.(2016·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x

的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞)

D.(4，＋∞)

解析 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝

f （x ）

e

x

，则F ′(x )＝

f ′（x ）－f （x ）

e

x

＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减.

又f (x )＜e x

等价于f （x ）

e

x

＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0.

答案 B 二、填空题

6.已知不等式e x

－x ＞ax 的解集为P ，若[0，2]⊆P ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知不等式e x

－x ＞ax 在x ∈[0，2]上恒成立. 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立.

当x ∈(0，2]时，原不等式即a ＜e x

x －1，令g (x )＝e x

x －1，则g ′(x )＝e x

（x －1）x

2

，当0＜x

＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当1＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，故g (x )在(0，2]上的最小值为g (1)＝e －1， 故a 的取值范围为(－∞，e －1). 答案 (－∞，e －1)

7.已知函数f (x )＝ln x －a ，若f (x )＜x 2

在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________.

解析 ∵函数f (x )＝ln x －a ，且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ＞ln x －x 2

，x ∈(1，＋∞). 令h (x )＝ln x －x 2

，有h ′(x )＝1x

－2x .

∵x ＞1，∴1

x

－2x ＜0，∴h (x )在(1，＋∞)上为减函数，

∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1，∴a ≥－1. 答案 [－1，＋∞) 8.已知函数f (x )＝x －

1x ＋1

，g (x )＝x 2

－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由于f ′(x )＝1＋

1

（x ＋1）

2＞0，因此函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以x ∈[0，

1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1，2]，使得g (x )＝x 2

－2ax ＋4≤－1，

即x 2

－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1，2]上

能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋5

2x 在x ∈[1，2]上单调递减，所以h (x )min ＝

h (2)＝94

，故只需a ≥94

.

答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫94，＋∞ 三、解答题

9.已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3

－2ax ＋a . (1)求f (x )的单调区间；

(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. (1)解 由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .

当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞). 当a >0时，f ′(x )＝12⎝

⎛

⎭⎪⎫x －

a 6⎝

⎛

⎭⎪⎫

x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝

⎛

⎦

⎥

⎤

－∞，－a 6