(完整版)平面向量的数量积练习题
(完整word版)平面向量的数量积练习题(含答案),推荐文档
、选择题（每小题5分，共20分）（2012辽宁）已知向量a = （1,— 1）, b = （2, x ），若a b = 1,则x 等于C.2在^ABC 中，AB = 3, AC = 2, BC = 7i0，则ABAC 等于二、填空题（每小题5分，共15分）5.已知向量a , b 夹角为45°且|a|= 1, |2a —，则|b 匸6.在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3, BC = 10,则 ABAC =7.已知a = （2,— 1）, b =（入3）,若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是三、解答题（共22分）8. (10 分)已知 a = (1,2), b = (-2, n) (n> 1), a 与 b 的夹角是 45°⑴求b ;(2)若c 与b 同向，且a 与C — a 垂直，求c.9. （12分）设两个向量e 1、e 2满足⑹匸2,圉二1, &、e 2的夹角为60°若向量2te 1 + 7e 2与 向量e 1 + te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.平面向量的数量积A 组专项基础训练1. 2. 3. (2012 重庆)设 x , y € R ,向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4)，且 a 丄c , b / c , + b|等于() A.励 B.V i0 C .已知向量a = (1,2), 2 砺 D . 10b = (2,— 3).若向量c 满足(c + a)// b , c 丄(a + b)，则 c 等于(则|a7 7A. 9, 37 7 B. — 3，—9C.7, 77 D. —9,4.1.()2. 3. 5. 6. B 组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）在^ ABC 中，AB = 2, AC = 3, A B B C = 1,贝U BC 等于 A ^/3B.V 7 C . 2逗 D V 23已知|a 匸6, |b| = 3, ab=— 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是()A . - 4B . 4C .— 2D . 2|PA|2 + |PB|2在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则 一等C . 5D . 10、填空题（每小题5分，共15分） 设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c)丄 b ,则 |a|= 如图，在矩形 ABCD 中，AB=（2, BC = 2,点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若A B A F 二頁，则AE BF的值是在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足雪=卑，则AM AN 的取值范围是|BC| |CD| 三、解答题 1 *737. (13分)设平面上有两个向量 a = (cos a sin a (0 a<360°, b = — q ,专.(1)求证：向量a +b 与a — b 垂直；3当向量＞/3&+ b 与a —/sb 的模相等时，求a 的大小.平面向量的数量积参考答案A 组专项基础训练1.答案 D 解析 a b = (1 , — 1) (2, x) = 2 — x = 1? x = 1.2. 答案 B解析 Va = (x,1), b = (1, y), c = (2,— 4), 由 a 丄c 得 a c = 0, 即卩 2x — 4= 0,二 x = 2.由 b II c,得 1 X (— 4)— 2y= 0,y = — 2. — a= (2,1), b= (1, — 2). • a + b = (3, — 1), •••|a + b|^32+ — 1 2 =V 10.3. 答案 D解析 设 c = (x , y),贝U c + a = (x + 1, y + 2)，又(c + a) I b ,二 2(y + 2) + 3(x + 1)=0.①又 c 丄(a + b), • (x , y) (3,— 1) = 3x —y = 0.②联立①②解得 x =— 9, y = — |.4. 答案 D解析 由于 AB AC = AB| | AC| cos / BAC=2(|ABf + AC|2— |B C|2) = 2X(9 + 4 —10) = 3.、填空题（每小题5分，共15分）答案3迈解析 va , b 的夹角为45° |a|= 1,--a b= |a| |b|cos 45 = 2 |b|, |2a — b|2= 4 — 4 X ?解析如图所示,A C =AM+MC=AM — MB , ••• AB A C= (AM + MB) (AM — MB)5. |b| + |b|2= 10, •••|b|= ^2. 6. 答案 —16c=AM2—MB2=|AM|2—||M B|2= 9—25=—16.3 37.答案（— X,— 6） U — 6, 2解析由a b<0，即2入—3<0,解得勺，由all b得:36=—入即?= — 6.因此?<2，且"一6.三、解答题（共22分）& 解(1)a b= 2n —2, |a|=/5, [b"n2+ 4,2n — 2 yJ2 c 2 --cos 45 = = Q , •3n —16n—12= 0, •n= 6 或门=—Tj(舍),—b= (—2,6).取“2+4 2 3⑵由(1)知，a b= 10, |af= 5.又c与 b 同向，故可设c=?b(?>0), (c —a) a= 0,|a|2 5 1 1•-力a—|a|2=0, •-入=ba=10= 2，二c=2b=(—1,3).19.解e1 e2= |e111 e2| cos 60 = 2x 1 x 2= 1,•••(2te i + 7e2)(e i + te2)= 21©+ 7te2+ (2t2+ 7)e i e2= 8t +7t+ 2t2+ 7 = 2t2+ 15t+ 7.1由已知得2t2+ 15t+ 7<0,解得一7<t< — 2.当向量2te1 + 7e2与向量& + te2反向时,2t=入2\H4^/T4设2te1 + 7e2=?(e1 + te2), :<0，贝U ? 2t = 7? t =—2或t = 2 (舍).1 = 72 2故t的取值范围为（—7,—¥¥）u（—晋，一2）B组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）1.答案 A解析••• AB B C= 1,且AB = 2, • 1 = |AB||BC|cos( -B), •AB||BC|COS B=— 1.在^ABC 中，|AC|2= |AB|2+ |BC|2—2AB||BC|cosB,即卩9 = 4+ |BC|2—2X (- 1).••• |BC| = V3.2.答案 A解析 a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a b= |b||a|cos〈a,b〉, 即一12= 3|a| cos〈 a, b〉,••• |a| cos〈a, b〉= —4.3.答案 D解析••• P A=CA-CP,.・.|PA|2=CA2- 2CP CA + cP2.••• P B= CB-CP, •••|PBj= CB2-2CP CB+CP2•••|PA|2 + IP BI=(CA2+ CB2)- 2CP (CA+ CB) + 2CP2=AB2-2CP 2cD + 2CP2.又AB2 = 16C P2,C D = 2C P,代入上式整理得|R A|2 + IPB I2 = 10|CP|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4.答案頁解析利用向量数量积的坐标运算求解.a+ c= (1,2m) + (2, m) = (3,3m). ■/ (a+ c)丄b,•- (a + c) b= (3,3m) (m+ 1,1)= 6m+ 3 = 0,1•- m=- 2. •a= (1, - 1), •••|a|=>/2.5.答案迈解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), B^/2,0), E(迄，1), F(x,2).故AB=(迄，0), AF = (x,2), AE=⑴，1), BF= (x^2, 2),•- A B A F=(迄，O)(X,2)=V2X.又AB AF = 72, •X= 1.A B F =(1—2).•••AE B F=(迈，1)(1—迈，2)=V2—2+ 2=/2.方法用AB, B C表示AE,B F是关键.设D F = X AB,则CF = (x—1)A B.—》—》—》—》—》—》—》—》—》2 —》—》i —1—AB AF = AB (AD + DF) = AB (AD + X AB)= X AB2=2X,又T AB AF=72, •2x=V2,••• x=¥..・.B F=BC+CF=BC+警—1 AB;.AE B F =(AB+BE)就+ 豎—1 AB=AB+^BC B C+豎-1 AB1 AB2+ 1BC2= *—1 X2 + 2^ 4=/2.6.答案[1,4]解析利用基向量法，把AM, A N都用AB, AD表示，再求数量积.如图所示,设|BM|B|C N||BC| |C D|=X0< 疋1)，则BM = BC,CN= ?CD , DN = CN-CD = ( B 1)CD ,••• AM A N=(AB+ BM) (AD + DN) =(AB+ BC)[AD + (入—I)C D]=(入—I)AB CD + BC AD=4(1—B +A 4—3入•••当B 0时，A M AN取得最大值4;当B 1时，AM AN取得最小值i..・.A M ANe [1,4].三、解答题7.(1)证明(a+ b) (a —b)= a2—b2= |a|2—|b|2= (cos2 a+ sin2 o) — 4 + = 0,故向量a+ b与a—b垂直.⑵解由|A/3a+ b| = |a —{3b|，两边平方得3|a|2+ 2屆b+ |b|2= |a|2—^3a b+ 3b|2, 所以2(|a|2— |b|2) + 4屆 b = 0,而|a| = |b|,所以 a b = 0,即卩一亦cos a+f sin a= 0 即cos(a+ 60)= 0, • a+ 60 B k 180 °90° ke Z ,即a k 180 + 30 ° ke Z,又0 ° a<360 , J则a= 30 或a 210 :。
平面向量数量积练习题
平面向量数量积练习题一、选择题A. 向量a与向量b平行B. 向量a与向量b垂直C. 向量a与向量b长度相等D. 向量a与向量b的方向相同2. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 7B. 7C. 8D. 83. 已知向量a和向量b的夹角为60°，|a|=4，|b|=3，则向量a 与向量b的数量积为：A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题1. 已知向量a=(x, y)，向量b=(3, 2)，若a·b=6，则x的值为______。
2. 若向量a和向量b的夹角为θ，|a|=5，|b|=4，且a·b=8，则cosθ的值为______。
3. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(m, 4)，若向量a与向量b的数量积为10，则m的值为______。
三、解答题1. 已知向量a=(3, 4)，向量b=(2, 1)，求向量a与向量b的数量积。
2. 已知向量a和向量b的夹角为45°，|a|=√2，|b|=2，求向量a与向量b的数量积。
3. 已知向量a=(x, y)，向量b=(y, x)，若向量a与向量b的数量积为10，求x和y的值。
4. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(k, 3)，若向量a与向量b的数量积为5，求k的值。
5. 已知向量a和向量b的夹角为θ，|a|=3，|b|=4，且a·b=6，求cosθ的值。
6. 已知向量a=(4, 5)，向量b=(x, 3)，若向量a与向量b的数量积为23，求x的值。
7. 已知向量a=(x, 2)，向量b=(3, y)，若向量a与向量b的数量积为12，求x和y的值。
四、判断题1. 若向量a和向量b的数量积为0，则向量a与向量b一定垂直。
（）2. 向量a=(1, 0)与向量b=(0, 1)的数量积为1。
（）3. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(2, 1)，则向量a与向量b的数量积为5。
(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案)
平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2D.－3＋22变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB →|＝1tan θ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tan θ2)2cos θ ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120° ＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A ＋3PB |的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233. 高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2，当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ.易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案 π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。
高中数学平面向量的数量积练习题及答案
高中数学平面向量的数量积练习题及答案1.2021·泰州质检在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________.[解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.由||=2，ABC=60°，==.[答案]2.2021·湖南高考改编已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.又a·b=0，a⊥b，|a+b|=.|c-a-b|2=c2-2c·a+b+2a·b+a2+b2=1.c2-2c·a+b+1=0.2c·a+b=c2+1.c2+1=2|c||a+b|cos θθ是c与a+b的夹角.c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.-1≤|c|≤+1.|c|的最大值为+1.[答案] +13.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.2te1+7e2·e1+te2=2te+2t2+7e1·e2+7te=2t2+15t+7.欲使夹角为钝角，需2t2+15t+7<0，得-7设2te1+7e2=λe1+te2λ<0，∴2t2=7.t=-，此时λ=-.即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.一、填空题1.2021·课标全国卷已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=________.[解析] 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A0,0，B2,0，D0,2，E1,2，∴=1,2，=-2,2，·=1×-2+2×2=2.[答案] 22.已知向量=3，-4，=6，-3，=m，m+1，若，则实数m的值为________.[解析] 依题意得，=3,1，由，得3m+1-m=0，m=-.[答案] -3.2021·徐州调研已知a=1,2，2a-b=3,1，则a·b=________.[解析] a=1,2，2a-b=3,1，b=2a-3,1=21,2-3,1=-1,3.a·b=1,2·-1,3=-1+2×3=5.[答案] 54.2021·常州市高三教学期末调研测试在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________.[解析] 根据题意得：M2,0，N0,2.设P2cos θ，2sin θ，则=2-2cos θ，-2sin θ，=-2cos θ，2-2sin θ，所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ=4-4sin θ+cos θ=4-4sin，因为-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，所以·的最大值为4+4.[答案] 4+45.2021·宿迁调研已知点A-2,0，B0,0，动点Px，y满足·=x2，则点P的轨迹方程是________.[解析] =-2-x，-y，=-x，-y，则·=-2-x-x+-y2=x2，y2=-2x.[答案] y2=-2x6.2021·常州质检已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|-|，其中O 为原点，则正实数a的值为________.[解析] 由|+|=|-|，知，|AB|=2，则得点O到AB的距离d=，=，解得a=2a>0.[答案] 27.2021·南京、盐城二模已知||=1，||=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为________.[解析] 令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此AOC=60°.[答案] 60°8.如图443，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，则·=________.图443[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则·=·1，-a=-=-，解得a=2，所以=，=-1，-2，所以·=-.[答案] -二、解答题9.2021·苏北四市质检已知向量a=cos θ，sin θ，b=2，-1.1若a⊥b，求的值;2若|a-b|=2，θ，求sin的值.[解] 1由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，所以==.2由a-b=cos θ-2，sin θ+1，可得|a-b|===2，即1-2cos θ+sin θ=0，又cos2θ+sin2θ=1，且θ，由可解得所以sin=sin θ+cos θ==.10.已知向量a=cos x，sin x，b=sin 2x,1-cos 2x，c=0,1，x0，π.1向量a，b是否共线?并说明理由;2求函数fx=|b|-a+b·c的最大值.[解] 1b=sin 2x,1-cos 2x=2sin xcos x,2sin2 x=2sin xcos x，sin x=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.a与b共线.2fx=|b|-a+b·c=2sin x-cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x·0,1=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x=-2sin2x+sin x=-22+.当sin x=时，fx有最大值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)
6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案
必修4《平面向量的数量积》一、填空题1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 .解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 .解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1⋅e 2＋8 e 1⋅e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12)＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 .解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16.4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2.解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π4. ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0，即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π2. 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形． 解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三 个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形．7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ．解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )， 则向量MN 的模为82．解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )，∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2.9．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线 ⇔λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°.④若向量a 、b 满足|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝13，则a ，b 的夹角为60°. 以上命题中，错误命题的序号是 ①②④． 解：①错，∵ |a·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |. ②错．∵ A 、B 、C 共线，∴ AB ＝k AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，λ2k ＝1，∴ λ1λ2 ＝1. ④错，∵ |a ＋b |2＝13，∴ |a |2＋|b |2＋2a·b ＝13，即a·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴ cos θ＝－12，∴ θ ＝120°.二、解答题13．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．解：(1)∵ P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |，∴ AP ＝2PB ，即有OP －OA ＝2(OB －OP )，∴OP ＝13OA ＋23OB . (2)由(1)知OP ＝13OA ＋23OB ，∴ OP ·AB ＝(13OA ＋23OB )·(OB － OA )＝－13OA 2－13OA ·OB ＋23OB 2＝－13×9－13×3×2×cos60°＋23×4＝－43. 14．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴ α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝ 30°或α＝210°.15．。
平面向量的数量积与向量投影练习题
平面向量的数量积与向量投影练习题在平面向量的运算中，数量积和向量投影是两个重要的概念。
它们在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将通过练习题的形式来帮助读者更好地理解和应用平面向量的数量积与向量投影。
1. 练习题一已知向量a = 3i + 4j和向量b = -2i + 3j，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量a与向量b的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
首先，我们需要计算|a|和|b|，它们分别表示向量a和b的模。
向量a 的模为|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，向量b的模为|b| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13。
接下来，我们需要计算θ的余弦值。
根据向量的坐标表示，可以得出cosθ = (a·b)/(|a||b|)。
代入已知数据，可以得到cosθ = ((3)(-2) +(4)(3))/(5√13) = 6/(5√13)。
最后，将cosθ代回数量积公式，可以求得向量a与向量b的数量积：a·b = (5)(√13)(6/(5√13)) = 6。
因此，向量a与向量b的数量积为6。
2. 练习题二已知向量a = i + 2j和向量b = 2i + 3j，求向量a在向量b上的投影。
解析：向量a在向量b上的投影可以用以下公式计算：proj_b(a) = (a·b/|b|)* (b/|b|)，其中proj_b(a)表示向量b上投影的向量。
首先，我们需要计算a·b，它表示向量a与向量b的数量积。
根据向量的坐标表示，可以得出a·b = (1)(2) + (2)(3) = 2 + 6 = 8。
接下来，计算|b|，它表示向量b的模。
向量b的模为|b| = √(2^2 +3^2) = √(4 + 9) = √13。
然后，计算投影向量的方向，即b/|b|。
根据向量的坐标表示，可以得出b/|b| = (2/√13)i + (3/√13)j。
平面向量的数量积(人教A版)(含答案)
平面向量的数量积（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，满足，与的夹角为60°，则( )A. B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算2.已知向量与的夹角为120°，且，，则( )A.13B.3C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算3.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则( )A.-6B.-7C.-3D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算4.若单位向量，，满足且，则=( )A.4B.3C.2D.0答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算5.若向量，，满足，，，，则( )A.1B.2C.4D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算6.已知向量，满足，，，则=( )A.0B.C.4D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算7.已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则( )A.11B.C.9D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为( )A. B.C.1D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算9.若平面上三点A，B，C满足，，，则( )A.-25B.-7C.12D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为( )A.7B.5C.3D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。
向量的数量积经典例题(含详细答案)
向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知 a 3,b 4，a r ,b r的夹角为120o.r r r r r r求( 1) r agb r， a 2b 2a b ；(2) 2a 3br r 2 r r 2．已知向量a、b的夹角为3 ,|a r | 1,|b| 2.3（1）求a r·r b的值（2）若2a r b r和ta r b r垂直，求实数t的值.3．已知平面向量a 1,2 ,b 2,m（1）若r a b r，求 a 2b ；（2）若m 0，求r a b r与a r b r夹角的余弦值.4．已知向量r a (2, 1),b r (3, 2),c r (3,4) ，( 1)求a r (b r r c) ；(2)若(r a b r )∥r c ，求实数的值.5．已知| a r | 2，|b r| 3，且（2r a 3b r）（a r b r） 2.（1）求 a b 的值；（2）求a r与r b所成角的大小.6．已知 a 1,2 ，b 3,4（1）若ka b与a 2b 共线，求k；（2）若b r与 a 2b垂直，求k.ka rr r r r r r r r r r 7．已知 a 2,b 3,a与b r的夹角为60 ,c 5a 3b r ,d r3a kb r,(1)当c v Pd v时，求实数k的值；(2)当c r d ur时，求实数k的值.参考答案1．（1）6，32；（2）6 3．【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进行求解；r r r r 2 （2）根据2a 3b 2a 3b 2先求数量积，再求模长．【详解】r rr r 解：（1）∵ a 3,b 4，a r,b r的夹角为120o，r r r r 1 ∴ agb a b cos120 3 4 （） 6 ，2r r r r r 2r2r ra 2b 2a b 2a r 22b r23a r g r b 2 9 2 16 3 （6）32；r r r r 2r2r2r r（2）2a 3b2a 3b = 4a r 29b r212a r gb r49 9 16 12 （ 6）6 3．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题．2．（1）1；（2）2.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可．r r r r （2）利用2a b gta b0可求实数t 的值．【详解】rr 1) a b r r2 1a b cos 12 13 22）因为2a rr 2 r r r2 整理得到：2ta 2 tagb b 0即2t 2 t 1 2 14 0 ，2解得t 2 ．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量a v,b v垂直的等价条件是a v b v0，ra t g本题属于基础题．3．(1) a r 2b r 5(2) 6565解析】 分析】解得 m1r r所以r aa r2b 2b1,2 4,23,432 4252) 若m 0，则 b r2,0a b 1 65 r r r r a b a-b 5 13 65本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。
平面向量数量积测试题（含答案）
一、选择题1. 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()ac b c -∙-的最小值为A.2-B.2C.1-D.12. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.B. C.5 D. 253. 平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=A.B. C. 4 D.24.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为A.15B.15C. 16D.14 5. 设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 A.23 B.9 C.2918+ D.223+6. 若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为A.300B.450C.600D.7507. 设向量与的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，则θcos 等于 A.1010 B.10103 C.53 D.548. 已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b +的夹角等于A ．56π B ．2π C ．3π D ．6π9. 已知||OA = , ||OB =,∙=0，30AOC ∠=,设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ,则m n =A.3B. 3C.33D. 1310. 已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 A ．13 B ．513 C ．565 D ．6511. 已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b等于A ．)54,53(或)53,54(B ．)54,53(或)54,53(-- C ．)54,53(-或)53,54(- D ．)54,53(-或)54,53(-12. 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b垂直，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题13. 若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．14. ABC ∆中，︒=∠90A ，k AB (=，1），2(=AC ，3），则k 的值是________．15. 已知平面向量(2,4)a = ，(1,2)b =- ．若()c a a b b =-⋅，则||c = _____________．16.在ABC ∆中，AC =2，BC =6，已知点O 是ABC ∆内一点，且满足34OA OB OC ++=0，则 (2)O C B A B C ⋅+ =________. 三、计算题17. 已知a 4,|b|3,(2a 3b)(2a b)61==⋅+= ｜｜－,求：（1）求a b ⋅ 的值； （2）求a b 与的夹角θ； （3）求a b + ｜｜的值； 18. 已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值； （2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
(完整版)平面向量的数量积练习题
平面向量的数量积•选择题1.已知 a (2,3),b ( 1, 1),则a?b 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-52.向量 a ， b 满足 …b 4,且 a b 2 ,则a 与b 的夹角为（ ）A. — B C . — D •6 4 3 23.已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 600，那么 ；3b ( )A. . 7 B • 10 C • .13 D • 44 .若平面向量与向量' 的夹角是1舸,且1询=了厉，则3=（5.卜面 4个有关向量的数量积的关系式① 0?0 =0 ② (a ?b ) ?c = a ? ( b ?c ) —*> —» —!■> —» —» -*■ ——*■ —» f —B- —③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | w a ?b ⑤ | a ?b | | a |? b | 其中正确的是（）A . ①②B 。
①③C 。
③④D 。
③ ⑤6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为 一时，a 在e 方向上的投影为（ ） 3A. 30° B C.--： D.8.已知 a =(2,3) , b =(4 ,7), 则a 在b 上的投影值为（ )A 、 13B 、13 、C 底C 、D 1655 5—*■ —¥■ ―► 一► —*■9.已知 a (1,2),b (3,2),ka b 与a 3b 垂直时k 值为 ( )7.设a 、b 是夹角为；：：：的单位向量，贝U2a )A 、17B 、18C 19D 、20 A . 4,3 B.4 C.4 D.8+b 和3a 2b 的夹角为（C .10.若向量a=(cos ,sin b=(cos ,sin a与b 一定满足a与b的夹角等于+、(a + b)丄(a—b)a II b11.设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i 3sin j ,mur(Q/OQ i。
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。
(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量的数量积A 组 专项根底训练一、选择题(每题5分，共20分)1． (2021·辽宁)向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，假设a ·b ＝1，那么x 等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 2． (2021·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，那么|a＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．假设向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，那么AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每题5分，共15分)5．向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，那么|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC→＝________. 7． a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)假设c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，假设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，那么BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2． |a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，那么向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，那么|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设AB →·AF →＝2，那么AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A 组 专项根底训练1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． 答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，那么c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.二、填空题(每题5分，共15分)5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.6． 答案 －16解析 如下图，AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM→－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得： 6＝－λ，即λλ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)． 9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，那么⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．答案 A解析 ∵AB →·BC→＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2．答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． 答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →，∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA→＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB→|2 ＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD→＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|P A →|2＋|PB→|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每题5分，共15分)4．答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解． a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5．答案 2解析 方法一 坐标法． 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF→＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，那么CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF→＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6．答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM→，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 如下图，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，那么BM→＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD→ ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN→取得最小值1.∴AM →·AN→∈[1,4]． 三、解答题7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0， 故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，那么α＝30°或α＝210°.。
平面向量数量积练习题
平面向量数量积练习题平面向量数量积练习题平面向量数量积教学要求学生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )A．－2 B．2C．－12 D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，故ab＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又ab<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于( )A.|a|2|b|2－(ab)2B.|a|2|b|2＋(ab)2C.12|a|2|b|2－(ab)2D.12|a|2|b|2＋(ab)2解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，所以S△OAB＝12|a||b|sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.答案：C6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16解析：解法一：因为cosA＝ACAB，故 cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为| |cosA＝| |，故 cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的`夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴ 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k180°＋90°，即α＝k180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.。
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平面向量的数量积
一．选择题
1.等于则已知b a b a
•--==),1,1(),3,2(（ ）
A.1
B.-1
C.5
D.-5
2．向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π
D ．2π
3．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
4．若平面向量与向量的夹角是，且，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5.下面4个有关向量的数量积的关系式① 0•0=0 ②（a •b ）•c =a •（b •c ） ③ a •b =b •a ④ |a •b |≦a •b ⑤ |a •b |=|a |•|b | 其中正确的是（
） A ． ① ② B 。
① ③ C 。
③ ④ D 。
③ ⑤
6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为3π
时，a 在e 方向上的投影为（
）
A ．43 B.4 C.42 D.8+23
7.设a 、b 是夹角为的单位向量，则b a +2和b a 23-的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ）
A 、13
B 、513
C 、565
D 、65
9.已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ ）
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
10.若向量a =(cos
α,sin α)，b =(cos β,sin β)，则a 与b 一定满足
（ ） A 、a 与b 的夹角等于α+β B 、(a ＋b )⊥(a －b )
C 、a ∥b
D 、a ⊥b
11.设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=，(0,),2OQ i πθ∈=-。
若用α来表示OP 与OQ 的夹角，则α等于 （ ） A 、θ B 、θπ
+2 C 、θπ
-2
D 、θπ- 12.已知向量()()cos15,sin15,cos75,sin 75OA OB =︒︒=︒︒，则AB 为（ ）
A ．12；
B ．22；
C ．32
； D ．1 13.已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是( )
A 、-16
B 、-8
C 、0
D 、4
14.若O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()()
02=-+-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．A 、B 、C 均不对
15.ABC ∆中，若a BC =，b CA =，c AB =，且a c c b b a ⋅=⋅=⋅，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．A 、B 、C 均不正确
16.已知O 为原点，A ，B 点的坐标分别为（a ，0），（0，a ），其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上,且AP ＝t AB （0≤t ≤1），则OA ·OP 的最大值为 （ ）
A 、a
B 、2a
C 、3a
D 、a 2
二．填空题
17.已知向量=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1(_______。
18．若|a |=1,|b |=,(a-b )⊥a ,则a 与b 的夹角为_________。
19.在△ABC 中,AB = a ,BC =b ,且a ·b ＜0,则∠B 是 角。
20.2=3=，a ，b 的夹角为0120，则-＝_________。
21.2,5==，3-=⋅b a -＝ 。
22.已知|a |=3，|b |=2，a 与b 夹角为600
，如果（3a +5b ）⊥（m a –b ），则m 值为_______。
23.已知3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
24．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。
三．解答题 25.已知a =3，b =4，且a 与b 的夹角150θ︒=，求a b •，2
()a b +，a b +。
26.|a |=4，|b |=3，（2a -3b ）•（2a +b ）=61，求a 与b 的夹角
27.),2,1(),3,2(-=-=b a 已知, 1.a c b c →→→→⊥•=求c →的坐标。
28.已知向量
)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a 其中,求 (1）a b •和a b +的值；(2）a 与b
的夹角。
29.已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；
(2) )若0=⋅b a ，求βα-的值(k 为非零的常数)．。