数学分析之函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
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0.2
0.1
0
0
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0.2
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0.7
1 2.
0 ，
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7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
第十三章 函数列与函数项级数
n 1 n 1 (1 − ) = ≠ 0， n →∞ n + 1 n +1 e
故 f n ( x ) = nx (1 − x ) n 在 [0,1] 不一致收敛。 评注：在式（13.4）中，令
d [nx(1 − x) n ] = n(1 − x) n −1[1 − (n + 1) x] = 0 ，得稳定点 dx
| f n ( x) − f ( x) |< ε ，
这时称函数列 { f n ( x)} 在点集 {x1 , x2 } 一致收敛。 设函数列 { f n ( x)} 在区间 I 上的每点都收敛于 f ( x )（有无限多个极限） ， 如果能找到 （评 注：未必能找得到）公共 N 来控制全部极限过程，也就是说： ∀ε > 0 ， ∃N ， ∀n > N ，
∃N x > 0, ∀n > N x 有 | f n ( x) − f ( x) |< ε 。请与一致收敛定义作比较。
sin nx } 在 ( −∞, +∞ ) 一致收敛于 0 。 n 1 证明： ∀ε > 0 ，取 N = [ ] + 1 ， ∀n > N ， ∀x ∈ ( −∞, +∞ ) 有
例2 证明函数列 {
1 n
分析：使 f n ( x ) 恒为 0 的区间是 [ ,1] ，由于当 n → ∞ 时这个区间的长度 1 − → 1 ，因 此猜测极限函数为 f ( x ) ≡ 0, x ∈ [0,1] 。也可以推导如下：暂时固定 x ' ∈ (0,1) ，那么对
1 1 n = [ ] + 1,[ ] + 2, x' x'
[教学时数]：10 学时。 [教学要求]： 1、深刻理解一致收敛概念，并会书写一致收敛定义及其否定叙述，会判别一些常见 的函数级数的一致收敛性。 2、能证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理。 3、具有初步证明函数项级数的一些简单理论问题的能力。
函数序列和函数项级数的一致收敛性
u n
(
x
)在I上一致收敛于S
(
x
)
0,N ( ),
n1
当n N ( )时, x I ,p N * , u ( x) u ( x) .
时,
fn(x)
f
(x)
nx 1 n2x2
nx n2 x2
1 nx
1 n
n
sup
x(1,)
fn(x)
f (x)
1 n
0
一致收敛
而n sup fn ( x)
x( 0 ,1)
f (x)
f
n
(
1 n
)
0
1 1
1
1, 2
不 0, 故在(0,1)上不一致收敛.
定理2.2 (Cauchy收敛原理)
设f ( x )定义于I, n
f ( x )在I上一致收敛 n
0,N ( ),当n N ( )时,x I ,p N * ,
都有 fn p ( x) fn ( x) .
证明:
由于{ f ( x)}在I上一致收敛于f ( x),
p N * , 都有 fn p ( x) fn ( x) .
x I , fn( x)是Cauchy列,收敛.
设
lim
n
fn(x)
f ( x),
在 fn p ( x) fn ( x) 中令p ,
则对 x I ,有 f ( x) fn ( x) .
则称 fn(x)在I上一致收敛于f (x).
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《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．。
《数学分析》第13章 函数列与函数项级数ppt课件
例1 设 fn( x) xn, n 1,2, 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1], 且有极限函数
0, | x | 1,
f
(
x)
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
只限于在区间 0, b (b 1)上, 则容易看到, 只要
f (x) ,
xD
或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
| fn( x) f ( x) | .
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
一、函数列及其一致收敛性
设
f1, f2 , , fn ,
பைடு நூலகம்
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
当 x 0 和 x 1时, 则对任何正整数 n, 都有
| fn(0) f (0) | 0 ， | fn(1) f (1) | 0 .
函数列
(1)
(2)
设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
若数列(2)收敛, 则称函数列(1) 在点x0收敛 x0称为函数列(1)的 收敛点 若数列(2)发散, 则称函数列(1) 在点x0发散
若函数列(1)在数集I E上每一点都收敛, 则称函数列(1)在
0, N N , n N ,
x I
s.t.
f n ( x) f ( x) .
则称函数列 { f n ( x)}在区间I
或
一致收敛 一致收敛于极限函数f ( x).
记作
f n ( x)
f ( x)
(n ), x I
点态收敛 与 一致收敛 的 区别
注 : 一般 N值的确定与和x有关, 所以也用 N( , x)表示他们之间的依赖关系.
收敛点与收敛域
f1 ( x) , f 2 ( x) ,, f n ( x) , (1) 设x0 E,以x0代入函数列(1)可得数列(2)
f1 ( x0 ) , f 2 ( x0 ) ,, f n ( x0 ) , (2)
f n ( x) f m ( x) .
或 0, N N , n N , p N , x I , s.t.
f n p ( x) f n ( x) .
I
I
I
I I
I
定理5、函数列一致收敛的充要条件
函数列 { f n ( x)}在区间I一致收敛
(i ) 对固定的 x I ,
0, N N , n N , s.t.
f n ( x) f ( x) பைடு நூலகம் .
《数学分析(3)》知识点整理
《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。
数学分析13.1一致收敛性
第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性一、函数列及其一致收敛性概念：设f 1,f 2,…,f n ,…是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可以简单地写作{f n }或f n , n=1,2,…. 设x 0∈E ，以x 0代入函数列可得数列：f 1(x 0),f 2(x 0),…,f n (x 0),…. 若该数列收敛，则称对应的函数列在点x 0收敛，x 0称为该函数列的收敛点. 若数列发散，则称函数列在点x 0发散. 若函数列在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称该函数列在数集D 上收敛. 这时D 上每一点x 都有数列{f n (x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为原函数的极限函数. 若把此极限函数记作f ，则有∞n lim +→f n (x)=f(x), x ∈D ，或f n (x)→f(x) (n →∞), x ∈D.使函数列{f n }收敛的全体收敛点集合，称为函数列{f n }的收敛域.函数列极限的ε-N 定义：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε， 恒存在正数N(ε,x)，使得当n>N 时，总有|f n (x)-f(x)|< ε.例1：设f n (x)=x n , n=1,2,…为定义在R 上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1]且有极限函数f(x)=⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.证：任给正数ε<1, 当|x|<1时，∵|f n (x)-f(x)|=|x|n ， ∴只要取N(ε,x)=|x |ln ln ε，当n>N 时，就有|f n (x)-f(x)|< ε.当x=0或x=1时，对任何正整数n ，都有|f n (x)-f(x)|=0< ε. ∴f n (x)在(-1,1]上收敛，且有极限函数f(x) =⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.又当|x|>1时，有|x|n →∞ (n →∞)，当x=-1时，对应的数列为： -1,1,-1,1…发散. ∴函数列{x n }在(-1,1]外都是发散的. 得证！例2：证明：函数列f n (x)=nsinnx, n=1,2,…的收敛域是R ，极限函数f(x)=0. 证：∵对任意实数x ，都有n sinnx ≤n 1，∴任给ε>0，只要n>N=ε1, 就有0nsinnx-< ε，得证！定义1：设函数列{f n }与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 |f n (x)-f(x)|< ε，则称函数列{f n }在D 上一致收敛于f ，记作 f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.注：反之，若存在某正数ε0，对任何正数N ，都有D 上某一点x ’与正整数n ’>N ，使|f n (x ’)-f(x ’)|≥ε0，则函数列{f n }在D 上不一致收敛于f. 如：例1中的函数列{x n }在(0,1)上收敛于f(x)=0，但不一致收敛.∵令ε0=21，对任何正数N ，取正整数n>N+1及x ’=21n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈(0,1)，则有|x ’2 -0|=1-n 1≥21. ∴函数列{x n }在(0,1)上不一致收敛于f(x)=0.函数列一致收敛于f 的几何意义：对任何正数ε，存在正整数N ，对于一切序号大于N 的曲线y=f n (x)，都落在以曲线y=f(x)+ ε与y=f(x)- ε为边(即以y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε)的带形区域内(如图1).(图1)(图2)函数列{x n }在(0,1)内不一致收敛，即对于某个事先给定的正数ε<1， 无论N 多么大，总有曲线y=x n (n>N)不能全部落在以y=ε与y=-ε为边的带形区域内(如图2). 若函数列{x n }只限于在区间(0,b) (b<1)内讨论，则只要n>lnbln ε(其中0<ε<1)，曲线y=x n 就全部落在y=ε与y=-ε为边的带形区域内，所以{x n }在区间(0,b)内一致收敛.定理13.1：(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{f n }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在正数N ，使得当n,m>N 时， 对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f m (x)|< ε.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正数N ， 使得当n,m>N 时，对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f(x)|<2ε及|f m (x)-f(x)|<2ε. ∴|f n (x)- f m (x)|≤|f n (x)-f(x)|+ |f m (x)-f(x)|<2ε+2ε= ε. [充分性]若|f n (x)-f m (x)|< ε, 则由数列收敛的柯西准则知， {f n }在D 上任一点都收敛，记其极限函数f(x)，则有∞m lim +→|f n (x)-f m (x)|=|f n (x)-f(x)|<ε，由定义1知f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.定理13.2：函数列{f n }在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正整数N ，当n>N 时，有|f n (x)-f(x)|<ε, x ∈D.由上确界定义，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|≤ε. ∴Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0. [充分性]若Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0，则∀ε>0，∃正整数N ， 使得当n>N 时，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε. 又对一切x ∈D ，总有|f n (x)-f(x)|≤Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε，∴{f n }在D 上一致收敛于f.推论：函数列{f n }在D 上不一致收敛于f 的充要条件是： 存在{x n }⊂D ，使得{f n (x n )-f(x n )}不收敛于0.例3：设f n (x)=nx 2-nx e , x ∈D=R +,n=1,2,….判别{f n (x)}在D 上的一致收敛性.解法一：对任意x ∈R +, ∞n lim +→nx 2-nx e=0=f(x). 又当f ’n (x)=222ex 2n -n =0时， x=2n1，且f ”(2n1)=-2e 2n2n <0， ∴在R +上，每个nx 2-nx e 只有一个极大值点x n =2n1，而Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=∞n lim +→f n (x n )=2enlim∞n +→=+ ∞≠0， ∴{f n (x)}在D 上不一致收敛于f.解法二：取x n =n1∈R +，则∞n lim +→f n (x n )=n 1-∞n e lim +→=1≠0， ∴{f n }在D 上不一致收敛于f.定义1：设函数列{f n }与f 定义在区间I 上，若对任意闭区间[a,b]⊂I, {f n }在[a,b]上一致收敛于f ，则称{f n }在I 上内闭一致收敛于f.注：若I 为有界闭区间，则{f n }在I 上内闭一致收敛于f 与{f n }在I 上一致收敛于f 是一致的.例1中函数列{x n }在[0,1)上不一致收敛于0，但对任意δ>0,]δ,0[x sup ∈|x n |≤δn→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1)上内闭一致收敛于0.例3中函数列{f n }在R +上不一致收敛于0，但对任意[a,b]⊂R +，]b ,a [x sup ∈|nx 2-nx e |≤nb 2-na e →0 (n →∞)，∴{f n }在R +上内闭一致收敛于0.二、函数项级数及其一致收敛性概念：设{u n (x)}是定义在数集E 上的一个函数列，表达式： u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈E称为定义在E 上的函数项级数，简记为∑∞=1n n (x )u 或∑(x)u n .称S n (x)=∑=n1k k (x )u , x ∈E, n=1,2,…为函数项级数∑(x)u n 的部分和函数.若x 0∈E, 数项级数u 1(x 0)+ u 2(x 0)+…+u n (x 0)+…收敛，即部分和 S n (x 0)=∑=n1k 0k )(x u 当n →∞时极限存在，则称级数∑(x)u n 在点x 0收敛，x 0称为级数∑(x)u n 的收敛点.若级数∑)(x u 0n 发散，则称级数∑(x)u n 在点x 0发散.若∑(x)u n 在E 的某个子集D 上每点都收敛，则称∑(x)u n 在D 上收敛. 若D 为级数∑(x)u n 全部收敛点的集合，则称D 为∑(x)u n 的收敛域. 级数∑(x)u n 在D 上每一点x 0与其所对应的数项级数∑)(x u 0n 的和S(x 0)构成一个定义在D 上的函数，称为级数∑(x)u n 的和函数，并写作： S(x)=u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈D 即∞n lim +→S n (x)=S(x), x ∈D ，于是函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列{S n (x)}的收敛性.例4：判别函数项级数(几何级数)1+x+x 2+…+x n +…在R 上的收敛性.解：几何级数的部分和函数为S n (x)=x-1x -1n .当|x|<1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=x-11; 当|x|≥1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=+∞.∴几何级数在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=x-11；当|x|≥1时，发散.定义3：设{S n (x)}函数项级数∑(x)u n 的部分和函数列. 若{S n (x)}在数集D 上一致收敛于S(x)，则称∑(x)u n 在D 上一致收敛于S(x). 若∑(x)u n 在任意闭区间[a,b]⊂I 上一致收敛，则称∑(x)u n 在I 上内闭一致收敛.定理13.3：(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在某正整数N ，使得当n>N 时， 对一切x ∈D 和一切正整数p ，都有|S n+p (x)-S n (x)|< ε或∑++=pn 1n k k(x)u< ε.推论：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{u n (x)}在D 上一致收敛于0.注：设函数项级数∑(x)u n 在数集D 上的和函数为S(x), 称 R n (x)=S(x)-S n (x)为函数项级数∑(x)u n 的余项.定理13.4：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛于S(x)的充要条件是：Dx ∞n sup lim∈+→|R n (x)|=Dx ∞n sup lim ∈+→|S(x)-S n (x)|=0.注：几何级数∑n x 在(-1,1)上不一致收敛，因为)(-1,1x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n )(-1,1x ∈≥1n n -11n n n+⎪⎭⎫⎝⎛+=n 1-n 1n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ →∞ (n →∞). 又对任意a(0<a<1)，]a -a,[x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n]a -a,[x ∈=a -1a n →0 (n →∞).∴几何级数∑n x 在(-1,1)上内闭一致收敛.三、函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5：(魏尔斯特拉斯判别法或M 判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑(x)u n 定义在数集D 上，∑n M 为收敛的正项级数， 若对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…， 则函数项级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.证：∵∑n M 为收敛的正项级数，根据数项级数的柯西准则， ∀ε>0，∃正整数N ，使得当n>N 及任何正整数p ，有∑++=pn 1n k kM=∑++=pn 1n k kM< ε，又对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…，∴∑++=pn 1n k k(x)u≤∑++=pn 1n k k(x )u≤∑++=pn 1n k kM< ε，由函数项级数一致收敛的柯西准则知，级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.例5：证明函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛. 证：∵对一切x ∈R ，有2n nx sin ≤2n 1，∑2n cosnx ≤2n1. 又级数∑2n 1收敛，∴函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛.注：当级数∑(x)u n 与级数∑n M 在 [a,b]上，都有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…时，称级数∑n M 在[a,b]优于∑(x)u n ，或称∑n M 为∑(x)u n 的优级数.定理13.6：(阿贝尔判别法)设 (1)∑(x)u n 在区间I 上一致收敛； (2)对每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的；(3){v n (x)}在I 上一致有界，即对一切x ∈I 和正整数n ，存在正数M ，使得|v n (x)|≤M ，则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛. 证：由条件(1)，∀ε>0，∃某正整数N ，使得 当n>N 及任何正整数p ，对一切x ∈I ，有∑++=pn 1n k k(x)u< ε.又由条件(2),(3)，根据阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]ε≤3M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.定理13.7：(狄利克雷判别法)设(1)∑(x)u n 的部分和函数列S n (x)=∑=n1k k (x )u , (n=1,2,…)在I 上一致有界；(2)对于每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的； (3)在I 上v n (x)⇉0 (n →∞)， 则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.证：由条件(1)，存在正数M ，对一切x ∈I ，有|S n (x)|≤M ， ∴当n,p 为任何正整数时，∑++=pn 1n k k(x)u=|S n+p (x)-S n (x)|<2M.对任何一个x ∈I ，由条件(2)及阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤2M[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]又由条件(3)，∀ε>0，∃正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈I ， 有|v n (x)|<ε. ∴∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u<6M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.例6：证明：函数项级数∑++-1n nn n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛. 证：记u n (x)=n )1(n -, v n (x)=nn x 1⎪⎭⎫⎝⎛+，则∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛；又{v n (x)}单调增，且1≤v n (x)≤e, x ∈[0,1]，即{ v n (x)}在[0,1]上一致有界.根据阿贝尔判别法知数∑++-1n n n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛.例7：证明：若数列{a n }单调且收敛于0，则级数∑cosnx a n 在[α,2π-α] (0<α<π)上一致收敛.证：∵∑=n1k coskx = 21-2x 2sin x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin21+21≤2α2sin 1+21, x ∈[α,2π-α]，∴级数∑cosnx 的部分和函数列在[α,2π-α]上一致有界. 令u n (x)=cosnx, v n (x)=a n ，∵数列{a n }单调且收敛于0， 根据狄利克雷判别法知，级数∑cosnx a n 在[α,2π-α]上一致收敛.注：只要{a n }单调且收敛于0，那么级数∑cosnx a n 在不包含2k π (k 为整数)的任何闭区间上都一致收敛.习题1、讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由： (1)f n (x)=22n1x +, n=1,2,…，D=(-1,1)； (2)f n (x)=22xn 1x+, n=1,2,…，D=R ；(3)f n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 101n 1x 01x )1n (，，, n=1,2,…； (4)f n (x)=n x, n=1,2,…，D=[0,+∞)；(5)f n (x)=nxsin , n=1,2,…，D=R.解：(1)∞n lim +→f n (x)=22∞n n 1x lim ++→ =|x|=f(x), x ∈D=(-1,1)；又 D x sup ∈|f n (x)-f(x)|=|x |n 1x sup 22D x -+∈=|x |n1x n 1sup 222D x ++∈≤n 1→0(n →∞).∴22n 1x +⇉|x| (n →∞)，x ∈(-1,1). (2)∞n lim +→f n (x)=22∞n x n 1xlim++→ =0=f(x), x ∈D=R ；又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=22D x xn 1x sup+∈≤nx 2x =n 21→0(n →∞). ∴22x n 1x+⇉0 (n →∞)，x ∈R.(3)当x=0时，∞n lim +→f n (x)=1；当0<x ≤1时，只要n>x1-1，就有f n (x)=0， ∴f n (x)在[0,1]上的极限函数为f(x)= ⎩⎨⎧≤<=1x 000x 1，，.又]1,0[x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=1≠0. ∴f n (x)在[0,1]上不一致收敛. (4)∞n lim +→f n (x)=nxlim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=[0,+∞)；又 )∞[0,+x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsuplim )∞[0,+x ∞n ∈+→=+∞, ∴f n (x)在[0,+∞)上不一致收敛. 在任意[0,a]上，a][0,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nalim ∞n +→=0, ∴f n (x)在[0,+∞)上内闭一致收敛.(5)∞n lim +→f n (x)=nx sin lim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=R ；又 Rx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsinsup lim Rx ∞n ∈+→=1, ∴f n (x)在R 上不一致收敛. 在任意[-a,a]上，a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nx sin sup lim a][-a,x ∞n ∈+→≤n a lim ∞n +→=0, ∴f n (x)在R 上内闭一致收敛.2、证明：设f n (x)→f(x), x ∈D ， a n →0(n →∞) (a n >0). 若对每一个正整数n 有|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，则{f n }在D 上一致收敛于f. 证：∵|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，且a n →0(n →∞)，∴a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|= 0，∴f n (x)⇉f(x) (n →∞)，x ∈D.3、判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：(1)∑1)!-(n x n , x ∈[-r,r]；(2)∑+n221-n )x (1x (-1), x ∈R ；(3)∑n x n , |x|>r>1； (4)∑2n n x , x ∈[0,1]；(5)∑+n x (-1)21-n , x ∈R ；(6)∑+1-n 22)x (1x , x ∈R. 解：(1)∀x ∈[-r,r], 有1)!-(n x n≤1)!-(n r n ,记u n =1)!-(n r n ,则n 1n u u +=n r →0(n →∞)，∴∑1)!-(n r n 收敛，∴∑1)!-(n x n在[-r,r]上一致收敛.(2)记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=n22)x (1x +，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0≤n22)x (1x +≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n221-n )x (1x (-1)在R 上一致收敛. (3)∀|x|>r>1, 有n x n <n r n ,记u n =nrn,则n 1n u u +=rn 1n +→r 1<1 (n →∞)， ∴∑n r n 收敛，∴∑n xn在|x|>r>1上一致收敛. (4)∀x ∈[0,1], 有2nnx ≤2n 1, 又∑2n 1收敛，∴∑2n n x 在[0,1]上一致收敛.(5)方法一：记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=nx 12+，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<nx 12+≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法二：|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|≤1n x 12+++p n x 12++≤n 2.∀ε>0，只要取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε2，则当n>N 及任意自然数p ，就有|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|<ε，由柯西准则知，∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法三：由莱布尼兹判别法知，对R 上的任意一点x ，∑+nx (-1)21-n 收敛.又)x (R sup lim n R x ∞n ∈+→=1n 1lim ∞n ++→=0，∴∑+nx (-1)21-n 在R 上一致收敛.(6)当x ≠0时，该函数项级数的部分和函数S n (x)=x 2+22x 1x ++…+1-n 22)x (1x +=1+x 2-1-n 2)x (11+→1+x 2=S(x) (n →∞)， ∴Rx sup ∈|R n (x)|=1-n 2Rx )x (11sup+∈=1→/0 (n →∞)， ∴∑+1-n 22)x (1x 在R 上不一致收敛.4、设函数项级数∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)，函数g(x)在D 上有界. 证明：级数∑)x (g(x)u n 在D 上一致收敛于g(x)S(x).证：可设|g(x)|≤M ，x ∈D. ∵∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)， ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈D ，都有|∑=n1k k (x )u -S(x)|<Mε. ∴|∑=n 1k k (x )g(x )u - g(x)S(x)|=|g(x)|·|∑=n1k k (x )u -S(x)|< ε. 得证！5、若区间I 上，对任何正整数n ，|u n (x)|≤v n (x)，证明： 当∑)x (v n 在I 上一致收敛时，级数∑)x (u n 在I 上也一致收敛. 证：∵|u n (x)|≤v n (x)，∴∑=+p1k k n |(x )u |≤∑=+p1k k n (x )v .又∑)x (v n 在I 上一致收敛，∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时， 对一切x ∈I 和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )v |<ε.∴|∑=+p 1k k n (x )u |≤∑=+p 1k k n |(x )u |≤∑=+p 1k k n (x )v ≤|∑=+p1k k n (x )v |<ε，得证！6、设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：若∑)a (u n 与∑)b (u n 都绝对收敛，则∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛. 证：∵u n (x)(n=1,2,…)在[a,b]上单调，∴|u n (x)|≤|u n (a)|+|u n (b)|， 又∑|)a (u |n 与∑|)b (u |n 都收敛，∴正项级数|))b (u ||)a (u (|n n +∑收敛； 根据优级数判别法知，∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛.7、证明：{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f 的充要条件是：对任意x 0∈I ，存在x 0的邻域U(x 0)，使{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f. 证： [必要性]设{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f ，对任意x 0∈I ，任意邻域U(x 0)∩I ⊂I ，根据内闭一致收敛的定义， {f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f.[充分性]设任意x 0∈I ，存在x 0的一个邻域U(x 0)， 使得{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f ，即 对一切x ∈I ，{f n }一致收敛于f ，∴{f n }在I 上一致收敛，从而内闭一致收敛.8、在[0,1]上定义函数列u n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=n 1x 0n 1x n1，，，证明： 级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛，但它不存在优级数.证：∵|∑=+p1k k n (x )u |=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⋯+=+==+⋯++++=++⋯+⋯+=+⋯++++=+⋯+++其它点p n 1x 2n 1x 1n 1x 00000p n 1p n 102n 102n 101n 1001n 1，，，，，∴当0≤x<1时，恒有|∑=+p1k k n (x )u |<n1，于是∀ε>0，取N=[ε1]，则当n>N 时，对一切x ∈[0,1]和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )u |<ε，∴级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛.若∑)x (u n 在[0,1]上存在优级数∑n M ，取x=n1，则M n ≥|u n (x)|=|u n (n 1)|=n 1>0. 由∑n M 收敛知∑n1收敛，不合理! ∴∑)x (u n 不存在优级数.9、讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致连续性： (1)∑∞=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]；(2)∑nn3x sin 2, D=R +； (3)∑++)nx 1](1)x -(n [1x 222, D=R +；(4)∑nx n , D=[-1,0]； (5)∑++1n 2x (-1)12n n, D=(-1,1)；(6)∑∞=1n n sinnx, D=(0,2π).解：(1)∵∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k -1=2222n x 1p)(n x 1+-++<22n x 1+≤2n 1； ∴∀ε>0，取N=[ε1]+1，当n>N 时，对一切x ∈[-1,1]和一切自然数p ，都有∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k-1<ε，∴原级数在[-1,1]上一致收敛. (2)对任意自然数n ，取x n =n 32π⋅∈R +，有|n n 3x sin 2|=2n →/ 0 (n →∞)， ∵原级数在R +上不一致收敛. (3)S n (x)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n1k 22kx 111)x-(k 11=1-2nx 11+→1(n →∞)，+∈R x sup |S n (x)-1|=≥2n 1n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21(n=1,2,…)；∵原级数在R +上不一致收敛.(4)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=n(-x)n，则对任意的x ∈[-1,0]，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在[-1,0]上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<n(-x)n≤n1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在[-1,0]上一致收敛.(5)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=1n 2x 12n ++，则对任意的x ∈(-1,1)，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在(-1,1)上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<1n 2x 12n ++≤1n 21+→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在(-1,1)上一致收敛. (6)取ε0=21sin 31，对任意自然数N ，存在n=N ，p=N+1，x 0=1)2(N 1+∈(0,2π),使∑++=pn 1n k 0k )(x u =∑++=+1N 21N k 1)2(N k sin k1>∑++=1N 21N k 2k 1sin >21sin 21>ε0.∴原级数在(0,2π)上不一致收敛.10、证明：级数∑∞=-0n n n )x 1(x (-1)在[0,1]上绝对收敛并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛. 证：易见|R n |≤(1-x)x n+1. 又由((1-x)x n+1)’=(n+1)(1-x)x n -x n+1=(n+1)x n -(n+2)x n+1=(n+2)x n (2n 1n ++-x)，知 当x=2n 1n ++时，|R n |≤(1-2n 1n ++)1n 2n 1n +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1n 2n 1n 2n 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<2n 1+， ∴[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |≤2n 1lim ∞n ++→=0. ∴原级数在[0,1]上一致收敛. 对级数∑∞=-0n nn)x 1(x (-1)各项绝对值组成的级数∑∞=-0n n )x 1(x ，∵)x 1(x lim n ∞n -+→=0, x ∈[0,1]，∴原级数在[0,1]上绝对收敛.又∞n lim +→S n (x)=∞n lim +→(1-x)∑=nk k x =∞n lim +→(1-x n )=⎩⎨⎧=<≤1x 01x 01，，，可见[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |=1→/ 0 (n →∞)，得证.11、设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数，记f n (x)=n[nf(x)], n=1,2,…， 证明：函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f. 证：由|R n |=|n [nf(x)]-f(x)|=n nf(x )-[nf(x )]≤n11→0 (n →∞)，得证！12、设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列，每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数. 证明：级数u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…在[a,b]上不仅收敛，而且一致收敛. 证：根据莱布尼茨判别法，该级数在[a,b]上收敛. 记v n (x)=(-1)n-1，则对任意的x ∈[a,b]，有|∑=n1k k (x )v |≤1, (n=1,2,…)，即{v n (x)}的部分和函数列在[a,b]上有界；又u n (x)在[a,b]上单调，且u n (a),u n (b)都收敛于零，∴0<u n (x)<u n (a)+u n (b)→0(n →∞)，∴u n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知该级数在[a,b]上一致收敛.13、证明：若{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，则存在子列{in f }，使得∑=n1k n if在I 上一致收敛.证：∵{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，∴对任意自然数i ，总存在自然数n i ，使得∀x ∈I ，有|i n f |<2i 1，又级数∑=n1k 2i1收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，∑=n1k n if 在I 上一致收敛.。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-函数列与函数项级数(圣才出品)
是单调递减的．
又对任意
故
由狄利克雷判别法知
致收敛．
（3）因为|x|＞r≥1，所以
在
上一
当 r＞1 时，因级数
收敛，所以 在| x |＞r＞1 上一致收敛．
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当 r＝1 时，
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所以级数
上不一致收敛．
（4）因
时．
，而
上不一致收敛． 考虑区间[0，M]时，
所以 在[0，M]上一致收敛且
上内闭一致收敛．
（5）任意给定的
（i）
，考虑区间[－1，1]时，
由（ii）知 在[0，＋∞）
（ii）D＝（－∞，＋∞）时．
故 但由（i）知 在
所以
在（－∞，＋∞）上不一致收敛．
上内闭一致收敛．
2．证明：设
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若对每一个正整数 n 有
证明：必要性
总存在 的一个邻域 和 I 的一个内闭区间[a，b]，使得
所以
而 在[a，b]上一致收敛于 f，因此 在
上一致收敛于 f．
充分性
由已知
使得 在
上一致收敛于
f．从而
当
时
有
显然，当
取遍[a，b]上所有点时，
覆盖[a，b]．由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b]．不妨设
取
，则当 n＞N 时，
证明：不妨设存在 M≥0，对任意
有|g（x）|＜M．因
在 D 上一致收敛于
S（x），故对任意
存在 N＞0，当 n＞N 时，对任意
，均有
从而，对任意
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函数列与函数项级数
三角级数
三角级数定义
三角级数是形如 (a_0 + a_1cos x + a_2cos 2x + ldots) 的无限项和，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变 量。
三角级数的性质
三角级数具有周期性，可以表示为傅里叶级数的形式。
全局收敛
如果存在某个定义域内的所有点，都有$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$，则称该函数列在定义域内全局收 敛于$f(x)$。
02 函数项级数的定义与性质
函数项级数的定义
函数项级数
由一列函数构成的数列，记作 ${ f_n(x) }$，其中 $n=1,2,3,ldots$。
函数列与函数项级数
目 录
• 函数列的定义与性质 • 函数项级数的定义与性质 • 函数列与函数项级数的应用 • 特殊类型的函数列与函数项级数 • 函数列与函数项级数的扩展概念
01 函数列的定义与性质
函数列的定义
函数列：由一簇函数构成的集合，通 常表示为$f_n(x)$，其中$n$是指标， $x$是自变量。
每个函数$f_n(x)$都有定义域，并且 对于固定的$n$，所有函数$f_n(x)$的 定义域相同。
函数列的性质
连续性
如果函数列在某一点连续，则该 点是该函数列的收lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$， 则称该函数列在全域上一致收敛
04 特殊类型的函数列与函数 项级数
幂级数
幂级数定义
幂级数是形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无限项和， 其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变量。
第十三章 函数列与函数项级数
存在某个正整数 0对任何正数N ,都有
D上某一点x'与自然数n' N , 使得
fn' (x') f (x') 0
定理13.1： 函数列{ fn}在数集D上一致收敛的充要条件
是：对任给正数，总存在正数N , 使得当n, m N时，对一切x D,都有 fn (x) fm (x)
第十三章 函数列与函数项级数
∮1 一致收敛性
㈠ 函数列及其一致收敛性
函数列： f1, f2.., fn ,..(1) 是一列定义在同一数集E上的函数，则称之为 定义在E上的函数列。
设x0 E,以x0代入(1)可得函数列： f1( x0 ), f2 ( x0 ),..fn ( x0 ),..(2)
fn (0) f (0) 0 , fn (1) f (1) 0 ,
即证得{ fn}在(1,1]上收敛，且有如题所示 的极限函数。
例2： 定义在(,)上的函数列fn (x) sin nx / n, n 1,2,...由. 于对任何实数x,都有sin nx / n
1/ n,故对任给的 0,只要n N 1/ , 就有sin nx / n 0 .
证明：必要性
设fn (x) f (x)(n ), x D,即对给任何 0
存在正数N，使得当n N时，对一切x D都
有 fn (x) f (x) / 2,于是当n, m N时，就可
得 fn (x) fm (x) fn (x) f (x) f (x) fm (x)
fn(x) f (x) f (x) fm(x) / 2 / 2
..
xn
..的部分和函数为Sn
(x)
1 xn 1 x
函数列与函数项级数
§3.2 函数列与函数项级数一、主要知识点和方法1、基本概念函数列 收敛域 极限函数设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。
所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。
{()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为极限函数，记为()f x 。
于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞=，或记为()()Dn f x f x −−→，称{()}n f x 在D 上收敛于()f x 。
函数列一致收敛性若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()Dn f x f x −−−→一致。
函数列一致有界性若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}n f x 在D 上一致有界。
函数项级数 和函数设{()}n u x 是E 上的函数列，称1()n n u x ∞=∑为E 上的函数项级数。
若其部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1()n n u x ∞=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为1()()n n u x S x ∞==∑。
函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是1()nn u x ∞=∑的部分和函数列，若()()DnS x S x −−−→一致，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。
柯西一致收敛准则{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。
1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当m n N ≥>时，对任意x D ∈都有()mk k nu x ε=<∑。
数学分析函数列与函数项级数一致收敛
数学分析函数列与函数项级数一致收敛函数列与函数项级数的一致收敛是数学分析中的重要概念，它在函数的极限、连续性、可积性等方面具有重要的应用价值。
我们先来简单介绍一下函数列和函数项级数的定义，然后详细讨论一致收敛的概念。
函数列是指一列函数组成的序列，记作{f_n(x)}。
函数项级数是指一列函数项组成的级数，记作Σf_n(x)。
在这里我们只讨论实函数的情况，即函数的定义域是实数集R。
一致收敛是函数列与函数项级数的重要性质之一，它是一种比点wise收敛更强的收敛方式。
我们先来回顾一下点wise收敛的定义。
【定义】函数列{f_n(x)}在定义域上点wise收敛到函数f(x)，即对于任意的实数x，有lim┬(n→∞)〖f_n (x)=f(x)〗。
点wise收敛的定义是逐点逼近，即对于每个固定的x，函数列中的函数值逐渐接近极限函数的函数值。
但是，它并不能保证对于每个函数点x，函数列中的函数在该点附近都可以逐渐逼近极限函数。
为了能够在整个定义域上都能够逐渐逼近极限函数，我们引入了一致收敛的概念。
【定义】函数列{f_n(x)}在定义域上一致收敛到函数f(x)，即对于任意的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x∈R，有，f_n(x)-f(x)，<ε。
可以看出，一致收敛关注的是函数列中的函数在整个定义域上的逼近性，而点wise收敛只关注固定点x的逼近性。
一致收敛的定义中，要求对于每个n>N，函数列中的函数与极限函数的差值都小于ε。
这意味着函数列中的函数可以在整个定义域上同时逐渐逼近极限函数。
一致收敛的定义意味着函数列中的函数一致地逼近极限函数，差值不受特定点的影响。
这使得我们可以在整个定义域上对函数列和极限函数进行更深入的比较与分析。
一致收敛在函数的极限、连续性、可积性等方面都有重要的应用。
例如，一致收敛的函数列的极限函数仍然是连续函数，一致收敛的函数项级数仍然是可积的。
简单总结一下，函数列与函数项级数的一致收敛是指函数列或函数项级数在整个定义域上同时逐渐逼近极限函数的性质。
数学分析之十三章函数列与函数项级数
连续 .即证: 对 0 , 0 , 当 | x x0 | 时, | f (x) f (x0 ) | . )
| f (x) f (x0) || f (x) fn(x) | | fn(x) fn(x0) | | fn(x0) f (x0) |
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项
说明: 虽然函数序列 sn ( x) xn 在( 0, 1 )内处处 收敛于 s( x) 0 , 但 sn ( x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从下图可以看出:
y y sn ( x) x n (1,1)
n1
n2
n n410
n 30
o
1x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0,r] 上 一致收敛．
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n )
un ( x) n 1 1 x 1 x
註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛
的函数列{ f n (x) }, 有
lim lim
xx0 n
fn (x)
lim lim
n xx0
fn (x)
即极限次序可换 .
3. 可积性定理
若在区间 [ a ,b ] 上函数列{ fn (x) }一致收
敛 , 且每个 f n (x) 在[ a , b ] 上连续. 则有
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第十三章函数列与函数项级数教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。
教学时数：20学时§1 一致收敛性函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：一．收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.”定义.逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“例1 对定义在义验证其收敛域为例2 .用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .⑴..⑵..⑶设为区间上的全体有理数所成数列. 令, .⑷. , .⑸有, , . （注意.）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义( 一致收敛)一致收敛的几何意义.在数集D上一致收敛,Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列.,( 介绍另一种形式.)证( 利用式),……,有易见逐点收敛. 设, 对D成立,. 令, ，D.即, ，.推论1 在D上D ,推论2 设在数集D上, . 若存在数列使, 则函数列应用系2 判断函数列―在数集D上的最值点.. 证明函数列在R内一致收敛.例4. 证明在R内, 但不一致收敛.例5,在点处取得极证显然有. 由系2 , 不一致收敛.大值,内, .例6. 证明在内成立.在由系1 , ……上的函数列例7 对定义在区间上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.证明: , 但在, 就有. 因此, 在上有证时, 只要. ,, ,. 但由于因此, 该函数列在. 考查函数列在下列区间上的一致收例8敛性:⑴; ⑵.三. 函数项级数及其一致收敛性:, 前项部分和函数列，1．函数项级数及其和函数：，内的函数项级数( 称为几何级数)例9 定义在.的部分和函数列为, 收敛域为2.一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 (Cauchy准则) 级数在区间D上一致收敛,对,D成立.在区间D上一致收敛, , .推论级数Th3 级数在区间D上一致收敛,.例10 证明级数在R内一致收敛 .证令=, 则时对R成立. ……在区间上一致收敛；但在例11几何级数上, 有证在区间, .一致收敛;内, 取, 有而在区间, .非一致收敛.在区间内非一致收敛于零,非一致( 亦可由通项收敛.)虽然在区间内非一致收敛, 但在包含于内几何级数的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此, 我们说在区间内闭一致收敛 .几何级数四.函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass判别法) 设级数定义在区间D上, 是充分大时, 对D有|, 则在D上收敛的正项级数.若当一致收敛 .证然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数.于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数, 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数, 级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12判断函数项级数和在R内的一致收敛性 .是区间上的单调函数. 试证明:例13 设都绝对收敛, 则级数在区间上绝对若级数与并一致收敛 .简证,留为作业. .……2. Abel判别法:在区间上收敛; ⅱ> 对每个, 数列Th 5 设ⅰ> 级数单调; ⅲ> 函数列, 有. 则级数在区间上一致收和敛 . ( [1]P43 )2.Dirichlet判别法:的部分和函数列在区间上一致Th 6 设ⅰ> 级数有界;, 数列单调; ⅲ> 在区间上函数列ⅱ> 对于每一个在区间上一致收敛 .一致收敛于零. 则级数在区间上的一致收敛性.例14判断函数项级数解记. 则有ⅰ> 级数收敛;, ↗；ⅲ> 对ⅱ> 对每个和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.单调收敛于零 . 试证明: 级数在例15设数列区间上一致收敛.证在.的部分和函数列在区间上一致有界 . 取可见级数的部分和函数列在区间, . 就有级数上一致有界, 而函数列致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.单调收敛于零的条件下, 级数在不包含其实, 在数列习题课设,, . 且,例1―|对成立, 则函数列若对每个自然数有|{}在上一致收敛于函数.例2证明函数列在区间上非一致收敛.例3, . 讨论函数列{}的一致收敛性.―0|. 可求得.函数列{例4设函数在区间上连续 . 定义. 试证明函数列{有界 . 设在区间上||证法一由|;|||;|.|, .注意到对证法二.有界. 设在区间上||. 把函数在点展开成具Lagrange型余项的,,就有, , .所以, 0, , .设. 且, . 令例5, ,. …….试证明: 若对和, 有, 则函数列{证对取, 使时, 有. 于是对任何自然数和, 有.由Cauchy收敛准则, 函数列{}在区间上一致收敛 .上函数列{}一致收敛于函数. 若每个在数集证( 先证函数对||,||<. 即函数在数集上有界.( 次证函数列{}在数集上一致有界 )时, 对 ,有||―||| ―|< , | |.取 易见对和有||.即函数列{}在数集上一致有界 .例7 设{}为定义在区间上的函数列, 且对每个, 函数在点右连续 , 但数列{ } 发散. 试证明: 对 ),函数列{}在区间内都不一致收敛.证 反设, 使{}在区间 内一致收敛. 则对, 有对成立..{}为Cauchy列,即{}收敛. 与已知条件矛盾.§ 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1. 连续性:上,且对,函数在上连续,Th 1 设在在证( 要证: 对, 当|在估计上式右端三项. 由一致收敛, 第一、三两项可以任意小; 而由函数点推论设在上一致收敛和所有註Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{即极限次序可换 .2. 可积性:上函数列{}一致收敛, 且每个在Th 2若在区间上连续. 则有.上, 由Th1, 函数在区间上连证设在续,因此可积. 我们要证. 注意到在上成, 可见只要立.Th2的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:}是定义在区间上的函数列. 若{}在上Th 设{收敛且一致可积, 则其极限函数.3. 可微性:}定义在区间上, 在某个点收敛.Th 3 设函数列{对上一致收敛, 则函数列{.，. , .证设, 注意到函数连续和+, 就有对+ （对第二项交换极限与积分次序）+ +.估计|+―――| + |,可证得.|.即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.例1 P38 例1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )例2 P39例2( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )Ex P42 9，11 P43 4 .二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果.例3P40例3证明函数在区间内连续.例4在区间内闭一致收敛.)对，证( 先证有，；又，在一致收敛., 在点连续) 对, 由上( 次证对上一致收敛; 又函数连续,段讨论, 在区间在区间在区间内连续., . 计算积分.例5教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。
教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。
教学时数：12学时§1 幂级数（4 时）幂级数的一般概念. 型如和的幂级数 . 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ） 若幂级数在点收敛 ， 则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛 ；若在点 发散 ，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛, {}有界. 设||, 有|, 其中 ..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径 R.收敛半径 R 的求法.Th 2 对于幂级数, 若, 则ⅰ> 时,;ⅱ>时; ⅲ>时.的次数是一证, ( 强调开方次数与致的).……, 因此亦可用比值法求收敛半径.由于的收敛区间: .幂级数幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.的收敛域 .例1求幂级数的收敛域 .例2求幂级数⑴; ⑵.: 令, 则化为幂级数.设该2. 复合幂级数幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数, 该级数中,为第项的系数 .例4求幂级数的收敛域 .解是缺项幂级数 .. 收敛区间为. 时,. 因此, 该幂级数的收敛域为.通项例5 求级数的收敛域 .解令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果, 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.例6 求幂级数的收敛半径 .解.二．幂级数的一致收敛性：的收敛半径为，则该幂级数在区间Th 3 若幂级数, 则对, 有证, 设, 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数上一致收敛. 因此, 幂级数在区间内闭在一致收敛.的收敛半径为,且在点( 或Th 4 设幂级数在区间( 或)上一致收敛 .)收敛,则幂级数在区间证. 收敛, 函数列的收敛域为(时, 该幂级数即易见, 当幂级数在区间上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*) 和**)仍为幂级数. 我们有命题1 *) 和**)与有相同的收敛半径 . ( 简证)值得注意的是，*) 和**)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数.2. 幂级数的运算性质:和在点的某邻域内相等是指：它定义两个幂级数们在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2 ,.(由以下命题4系2)和的收敛半径分别为和,命题3 设幂级数, —Const ，.ⅰ>+, .ⅱ>)(), , .ⅲ> (3. 和函数的性质:命题4 设在(内. 则ⅰ>或收敛, 则在点( 或ⅱ> 若级数, 在点可微且有;ⅲ> 对, 在区间上可积, 且ⅳ>对当级数收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有. 这是因为: 由级数收敛, 得函数左连续, 因此有.在点推论1 和函数, …….由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导., 则有推论2 若满足微分方程.例7 验证函数验证所给幂级数的收敛域为.., 代入,.§2 函数的幂级数展开一.函数的幂级数展开:1.Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式 .Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项: ,（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项: 在与之间.或.在点的某邻域内有阶连续导数时, 有积分型余项: 当函数.Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项.时，Cauchy余项为特别地，在与之间.Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得,在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次称此级数为函数可导, 就可写出其Taylor级数. 称即级数.无限次可导的函数, 在的定自然会有以下问题: 对于在点义域内或在点例1函数在点无限次可微 . 求得. 其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为. 仅在区间内有=. 而在其他点并不相等, 因为级数发散.那么, 在Taylor级数的收敛点, 是否必有和其Taylor级数相等呢? 回答也是否定的 .例2函数在点无限次可导且有因此其Taylor级数，在内处处收敛 . 但除了点外, 函数和其Taylor级数并不相等.另一方面, 由本章§1命题4推论2（和函数的性质）知：在点的某邻域内倘有,则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上, 我们有如下结论:⑴对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散, 即便在点在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂⑵若幂级数级数就是函数于是, 为把函数我们只能考虑其Taylor级数.3．函数的Taylor展开式：的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称若在点函数级数为函数点可展为幂级数. 当= 0 时, 称Taylor展开式为Maclaurin展开式. 通常多考虑的是Maclaurin展开式.4.可展条件:Th 1 ( 必要条件) 函数在点可展, 在点有任意阶导数 .有任意阶导数 . 则在区间Th 2 ( 充要条件) 设函数在点内等于其Taylor级数( 即可展)的充要条件是: 对,有. 其中是Taylor公式中的余项.展开为阶Taylor公式, 有.在点有任意阶导数, 且导函数所成函数列一致有界, 则函数可展.证利用Lagrange型余项, 设, 则有.展开函数ⅰ>按幂; ⅱ> 按幂.例3解,,.所以, ⅰ> .的Maclaurin展开式就是其本身.可见, 的多项式ⅱ>.二.初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式, 或直接展开, 或间接展开.. ( 验证对R，在1.区间.2. , ., .在内一致有界.可展是因为3. 二项式的展开式:为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;内展开为为不是正整数时, 可在区间对余项的讨论可利用Cauchy余项. 具体讨论参阅[1]P56.;时, 收敛域为时, 收敛域为.,利用二项式的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如取，.时, , .间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. ..事实上, 利用上述的展开式, 两端积分, 就有, .收敛, 因此, 在区间上该展开式成立.验证知展开式在点.5.由. 两端积分,有收敛, 因此该展开式在区间上成立.(这里验证知上述展开式在点应用了习题中第2题的结果,)例4 展开函数.解.例5 展开函数.解.习题课一. 求收敛区间或收敛域:例1 求幂级数的收敛区间 .例2 求幂级数的收敛域., 注意到, 有.解设时,收敛域为.二. 函数展开:例3 把函数展开成的幂级数 .解, ,, ;;, .的展开式比较.与.例4展开函数解,, .因此,，..例5展开函数解, ;因此, , .展开成的幂级数.例6把函数解,.而=, .三.函数展开式应用举例:1.做近似计算:,精确到.例7 计算积分.解因此, .上式最后是Leibniz型级数, 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 .为使,可取.故从第项到第项这前7 项之和达到要求的精度.于是.2. 利用展开式求高阶导数: 原理.例8 设证明对存在并求其值.解,.时, ,直接验证可知上式当时也成立 . 因此在内有,.函数作为的幂级数的和函数, 对存在, 且即四.幂级数求和:原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换和的展开式),借以求和.化为已知的函数展开式( 特别是化为函数例9求幂级数的和函数并求级数和Leibniz级数的和.的收敛域为, 设和函数为,则在解幂级数,注意到, 则对有.又在点连续, 于是在区间内上式成立. 即有, .取, 有., 有.取例10 求幂级数的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数的和函数以及数项级数的和.解该幂级数的收敛域为. 在内设.. 对,有现求.连续, 有.由因此, , .作代换, 有. ..例11 求幂级数的和函数.,设和函数为, 则有解法一收敛域为., .因此, =解法二, .例12求幂级数的和函数.解.例13 求数项级数的和.解该级数为Leibniz型级数, 因此收敛. 考虑幂级数, 其收敛域为. 设和函数为, 在内有, .,对有注意到, .于是, .。