点成圆
四点共圆的向量判定
四点共圆的向量判定向量作为一种数学表达方式，是广泛应用于大多数科学和工程领域的重要工具，它主要用于描述空间和物理的运动、变换等规律。
在学习中，学生们一般都需要学习到一些关于向量的知识，尤其是当四个点构成圆时，需要对向量进行判定。
首先，我们可以用两条直线将四点折成两个三角形，并用直角三角形定理判断每条直线的长度。
如果两个三角形的边长和相等，则表明四点构成的是一个圆。
其次，可以利用数学定理，如夹角定理，将四点构成的图形分解为两条直线段，再利用直角三角形定理计算每条直线段的长度。
如果计算出来所得的边长之和相等，则表明四点构成的图形是一个圆。
此外，利用向量的知识，可以建立向量关系图，把四点圆排列在一个坐标系中，再通过判断每个向量之间的关系，来判断四点是否构成了一个圆。
根据向量的知识，可以知道任意一个向量的末点都在圆的边界上，因此，任意两个向量的夹角都是相同的，利用这一知识也可以判断出四点是否构成了一个圆。
最后，可以利用几何分析的方法来判断四点是否构成一个圆。
比如，可以把四点投影到一个平面上，然后通过观察四点投影出的图形，如果确实是一个圆的话，就可以判断出四点构成的图形是一个圆。
以上就是四点共圆的向量判定的一般步骤，要想更准确地判断，可以具体看下每个步骤的实施方法：首先，需要利用直角三角形定理，计算两个三角形的边长之和是否相等，这样就可以判断四个点是否构成圆。
其次，可以利用夹角定理，将四个点构成的图形分解成两条直线段，再利用直角三角形定理计算每条直线段的长度，如果长度之和相等，则表明四点构成的是一个圆。
第三，可以利用向量的知识，建立向量关系图，然后判断每个向量之间的夹角是否相同，如果夹角相同，则表明四点构成的图形是一个圆。
最后，可以利用几何分析的方法，将四点投影到一个平面上，观察四点投影出来的图形，如果确实是一个圆的话，就可以判断出四点构成的图形是一个圆。
以上就是四点共圆的向量判定的一般步骤，利用这些步骤，我们就可以准确地判断四点是否构成了一个圆。
四点共圆的6种判定方法证明
四点共圆的6种判定方法证明
证明四点共圆有下述6种方法：
方法1：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。
方法2：把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆。
方法3：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
方法4：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
方法5：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成
的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。
方法6：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。
初中四点共圆的6种判定方法证明
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长方形绕中心点旋转形成的圆
长方形绕中心点旋转形成的圆在现实生活中，长方形绕中心点旋转形成的圆是一个常见的现象。
本文将从几个方面来解析这个简单而有趣的现象。
首先，我们来看看长方形绕中心点旋转形成圆的原理。
当长方形以其中心点为轴心旋转时，各个点离轴心的距离是相等的。
由于长方形的四个角都能绕轴心旋转，使得长方形的四个角都经过相同的轨迹，即形成了一个圆。
其次，我们着重分析一下形成圆的过程。
在旋转的过程中，长方形的边长保持不变，但是角度在不断变化。
当长方形旋转一周后，每个角度都变化了360度，而此时，绕中心点形成的轨迹正好是一个完整的圆。
值得一提的是，长方形绕中心点旋转形成的圆还具有一些特点。
首先，圆的直径等于长方形的对角线，这是因为对角线是长方形两个顶点之间的最长距离。
其次，圆的周长等于长方形的周长，因为长方形旋转一周后的周长仍然保持不变。
最后，我们可以通过一些实际例子来进一步验证这个现象。
例如，我们可以拿一个长方形铁丝模型，固定一个顶点并使其绕中心点旋转，然后观察模型在旋转过程中形成的轨迹。
我们会发现，轨迹确实是一个完美的圆。
综上所述，长方形绕中心点旋转形成的圆是一个有趣的现象，它不仅具有几何特点，还能通过实际例子进行验证。
通过了解这个现象，我们可以更好地理解圆的形成原理，加深对几何学的认识。
希望本文能够为读者对这个问题的理解提供帮助。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明证明四点共圆的方法如下：1、对角互补的四边形，四点共圆。
2、外角等于内对角的四边形，四点共圆。
3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆。
4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
5、从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆6、把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆7、把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
、把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1、圆的概念、点与圆的关系
如图，圆O中点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上， 图中弦的条数为（ 3条 分别是： AB、BC、CE ）
B
E
D
A
O
C
B
A
C
E
O
D
CD为圆O的直径，∠EOD=72◦，AE交圆O于B,且AB=OC,则
D,BC=6cm,求OD的长。
D
解：因为O为AB的直径的中点， 又OD//BC 所以OD为∆ABC的中位线 得：OD=1/2BC BC=6cm 所以：OD=3cm
A
B
O
小结
弦
直径
圆
的
有
关
弧
概
半圆 优弧
弓形
优弧 弓形
两个圆
同心圆
念
劣弧
劣弧
弓形
等圆
等弧
点与圆的位置关系：
点到圆心的距离为d 半径为r
A
（7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（ √ ） （8）半径相等的两个圆是等圆。（ √ ）
A
B
如图，半径有：ＯＡ、OB、OC ，若∠AOB=60◦，
O
则∆AOB是 等边 三角形。如图，弦有 AB、BC、AC 。
C
如图，弧有： 弧AB、弧ABC、弧ACB、弧BC、弧BCA 、弧CAB、 弧AC，弧ACB,弧ABC,弧BCA它们一样么？
圆的概念与圆有关的概念：
A
所有到定点的距离到定点的距离是定长点所形成的
图形叫圆。 也可以说是定长围绕其一端的点旋转一
r
周形成的图形叫圆。
这个定点叫圆心。定长是半径。
四点共圆的6种判定
四点共圆的6种判定
在几何学中，我们了解到四点共圆（Four points on the same circle）是指满足给定四点能够围成一个圆形的结论。
目前存在许多不同的方法来判定一个给定的四点是否能围成一个圆形，其中最常用的有六种：
一、角平分线法：即把给定的四点连成两条边，然后计算这两条边的中点，如果这四个中点能够完成一个圆，则这四个点可以围成一个圆形。
二、垂线法：即绘制外切圆的圆心到直线ABC的三点的垂线，如果三点的垂线相交点在圆内，则四个点可以围成一个圆形。
三、外切圆法：即计算四边形的外接圆，如果外接圆的半径在最近的两段间符合要求，则四个点可以围成一个圆形。
四、三等分线法：即绘制每条边的三等分线，如果相交点都在边上，则四个点可以围成一个圆形。
五、两角平分线法：即把每条边的两个对角给定，并计算它们的中点，如果四个点能够完成一个圆，则四个点可以围成一个圆形。
六、垂直角平分线法：即计算每条边的垂直角平分线，如果相交点都在边上，则四点可以围成一个圆形。
四点共圆判定的方法由此可见，有多种途径可用于确定四点是否能够围成一个圆形，而且每种方法都有其特定优势，手动计算会比较复杂，只要用上数学公式和计算机几何处理程序，就可以完成自动判定。
中考压轴小专题1隐圆(动点轨迹成圆)
例题1：定点+定长
如图，点A 、B 的坐标分别为())
(2,0,0,2B A ,点C 为坐标平面内一点，BC=1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，当OM 最大时，求点M 的坐标。
例题2：定长+定角
如图，E、F分别为△ABC中AC、AB上的动点(点A、B、C除外)，连接EB，FC交于点P，BC=6．我们约定：线段BC所对的∠CPB，称为线段BC的张角．
(1)已知△ABC是等边三角形，AE=BF．
①求线段BC的张角∠CPB的度数；
②求点P到BC的最大距离；
③若点P的运动路线的长度称为点P的路径长，求点P的路径长．
(2)在(1)中，已知△A'BC是⊙P的外切三角形，若点A'的运动路线的长度称为点A'的路径长，试探究点A'的路径长与点P的路径长之间有何关系？请通过计算说明．。
圆的形成过程
圆的形成过程
在平面上取一个点作为圆心，然后取一个固定的距离作为半径，那么与圆心距离等于半径的所有点就构成了一个圆。
1.圆心确定：先在平面上确定一个点作为圆心，这个点是圆的中心，圆的其他特征都是以此点为基准进行描述的。
2.半径确定：确定了圆心之后，再确定一个距离作为半径，半径是从圆心到圆上任意一点的距离，这个距离决定了圆的大小。
3.圆的绘制：使用圆规或者其他绘图工具，在平面上按照圆心和半径的位置绘制出圆的形状。
4.圆的性质：圆有许多重要的性质，如圆上任意两点之间的距离等于半径、圆上任意一点的切线垂直于半径等。
圆的知识点
圆的知识点1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径的长。
以点O为圆心的圆记作⊙O。
读作“圆O”。
（注意：圆指的是圆周，而非圆面）2、确定圆的两个条件是圆心和半径：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3、圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的所有点组成的图形。
4、圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形。
5、点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.点在圆外，即这个点到圆心的距离>半径;点在圆上，即这个点到圆心的距离=半径;点在圆内，即这个点到圆心的距离<半径;由以上性质可知:如果设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d,那么（1）点在圆外⇔d > r（2）点在圆上⇔d = r（3）点在圆内⇔d < r6、圆内一点到圆上的最小距离为沿圆心与该点的射线方向与圆相交的点与该点间的线段长度．7、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（注意：不能说直径是它的对称轴，而应该说直径所在的直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条。
）8、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
9、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
(注意：直径是弦，但弦不一定是直径；直径等于半径的2倍。
)10、由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
11、圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆12、半径相等，圆心不同的两个圆叫做等圆（同圆或等圆的半径相等）13、在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。
（长度相等的弧不一定是等弧）14、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至是可以是过圆心的直线）推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧。
找点 拉线 成圆--小学语文圆形阅读教学法初探
教法丨编辑师国俊找点拉线成圆—小学语文圆形阅读教学法初探单明芳临海市大洋中心校，浙江台州317000摘要：小学语文圆形阅读教学法，即在阅读教学中，顺应“圆"的本质属性展开的教学方法。
它有三个基本要素：点、线、圆；有三大基本策略：找“点”的途径与方法，拉“线”的途径与方法，成“圆”的途径与方法；有三大基本流程：找准一个“点”，拉开一条“线”，形成一个“圆”。
关键词：圆形；阅读教学；辐射一、找准一个“点”“点”，是圆形阅读教学法的首个基本要素。
找准一个“点”，是圆形阅读教学的起始，也是关键。
好的“点”要有高度、有宽度、有新意，还要小切口、大容量。
找“点”有不同的途径和方法，教师可择其优而用。
1.从题目中找题目,犹如文章眼睛。
有些题目有显性的“点”，可拿来即用。
如，《将相和》,既然有“租',必有“不和”。
抓住“和”字，教学可自然展开。
有些题目并没有显注“点”，可挖掘使用。
如：《池子与河流》,文中亥画了两个截然不同的艺术形象，一个贪图享受，一个乐于奉献，最终，两者的命运也截然不同。
教学中，可根据课题，挖掘出隐性的教学“点”，即“比一比”：池子与河流有什么不同？于是，教学就有了“三比”:”比生活方式的不同一比价值理念的不同一比人生结果的不同”。
2.从关键词中找关键词具有着极强的包含力、辐射力、表现力。
抓住关键词能起到牵一发而动全身的作用。
如《草船借箭》中有一个关键词“神机妙算”，诸葛亮“神机妙算”，算准了什么?一算天,二算地,三算人。
抓住“神机妙算”辐射全文教学,让课堂教学高潮迭起。
3.从重点句中找重点句，或高度凝炼课文内容，或直接揭示写作主旨，或巧妙设置矛盾冲突，或暗中铺就行文线索。
抓住重点句教学，能起到“提领而顿，百毛皆顺”的作用。
⑴赵看一看有些文章开头有总起句，既开篇点题，又总领全文，还能设置悬念，勾起读者强烈的阅读兴趣，教师可信手拎来作为教学的支撑“点”。
⑵结尾找一^有些文章结尾有总结句,既总结全文内容，又点明文章主旨,还照应开头或题目。
4点共圆的证明
4点共圆的证明4点共圆是指在平面内，如果有4个点落在同一个圆周上，则它们构成的图形呈现出一种美妙的对称性。
这种几何特性不仅在数学中具有重要意义，而且在生活中也有着广泛的应用，例如在密码学中可以用来实现对称加密。
那么，如何证明4点共圆呢？下面我们来阐述两种证明方法。
证明方法一：利用垂直平分线步骤如下：1. 假设有4个点A、B、C、D在同一圆周上，圆心为O。
2. 利用向量叉积定义公式，求出向量AB和向量CD的叉积P，以及向量BC和向量AD的叉积Q。
3. 针对P和Q构建两条垂直平分线，分别交于点O。
4. 证明点A、B、C、D分别在O的周围，即可得出结论。
证明方法二：利用三角形面积步骤如下：1. 假设有4个点A、B、C、D在同一圆周上，圆心为O。
2. 利用三角形面积公式计算三个三角形的面积，分别为ABO、BCO、CDO。
3. 证明这三个三角形的面积相等，即可得出结论。
具体证明方法如下：（1）由于ABO、BCO、CDO是同一圆周上的三角形，因此它们的周长相等，即AB+BO+OA=BC+CO+OB=CD+DO+OC。
（2）根据带入法，我们只需要证明ABO面积等于BCO面积，以及BCO面积等于CDO面积即可。
（3）首先证明ABO和BCO面积相等。
因为这两个三角形的底分别是AB和BC，高相等且均为BO的高。
因此，它们的面积应该相等。
（4）然后证明BCO和CDO面积相等。
这两个三角形的底分别是BC 和CD，高相等且均为CO的高。
因此，它们的面积应该相等。
（5）综合以上两点，我们得出ABO、BCO、CDO三个三角形的面积相等，因此A、B、C、D四点共圆。
总结综上所述，我们利用垂直平分线和三角形面积两种证明方法，都可以证明4个点共圆。
这种几何特性在数学和实际生活中都有着广泛的应用，加深了我们对对称性的理解和认识。
五点共圆的判定
五点共圆的判定五点共圆的判定是数学中一个非常重要的概念，通常用于解决几何问题和证明几何定理。
如果五个点在同一圆内，那么它们的位置关系和性质就有很多特点，这些特点可以为我们分析和解决问题提供非常便捷的手段。
下面，我将为大家介绍三种判定五点共圆的方法。
方法一：欧拉定理法欧拉定理是指在任何三角形中，圆心、垂心和外心三个点共线（也就是说，它们在同一条直线上）。
如果我们已知五个点所构成的图形是一个五边形，那么我们可以通过欧拉定理推导出五点共圆的结论。
具体步骤如下：1、分别找出五个点所成的五条线段，构成一个五边形。
2、计算五边形的五个内角，并求出其中一个内角的对边为该五边形的直径长度。
3、取该直径的两个端点，并以这两点为圆心，以该直径的长度为半径画出一个圆。
4、如果五个点都在该圆内，那么这五个点就共圆了。
方法二：向量法向量法是判定五点共圆的另一种常用方法。
首先我们需要求出五个点之间的向量关系，然后利用向量运算中平面向量共线的性质来判断这五个点是否在同一圆内。
具体步骤如下：1、分别求出五个点的坐标表示法。
2、根据这五个点的坐标，求出任意两个点之间的向量并计算五个向量的叉积。
3、如果五个向量的叉积为0，那么这五个点就共圆了。
方法三：三角形面积法三角形面积法是判定五点共圆的第三种方法。
我们可以通过求出以五个点中的任意三个点组成的三角形的面积，并利用共圆性质中“以圆心为顶点的扇形面积等于其余两点所组成的三角形面积之和”的原理来判断这五个点是否共圆。
具体步骤如下：1、任选五个点中的任意三个点，以这三个点为顶点，求出该三角形面积。
2、以这三个点所在的圆心为圆心，以该三角形中最长边为半径画出一个圆。
3、用其余两个点构成两个三角形，以这两个三角形的面积之和作为参照系，比较其与以圆心为顶点的扇形面积的大小。
4、如果它们的面积相等，那么这五个点就共圆了。
综上所述，判定五点共圆是数学中的一个重要概念和技能，需要我们熟练掌握各种方法并在实际问题中应用。
四点共圆定理
四点共圆定理在几何学中，“四点共圆定理”是指任意四个点如果它们的距离满足一定的条件，就能够组成一个完美的圆形。
这个定理的原理是如果四个点的相邻的距离是相等的，那么这四个点就可以完美地组成一个圆形。
这个定理可以用来构建圆形的一些几何图形，也可以用来建立几何问题的解决方案。
四点共圆定理在古埃及、古希腊、古罗马以及印度古代科学家那里是已经被人知道的，并且经常被用于几何及建筑设计。
在建筑设计方面，它被用于砌筑建筑物，以及构建高层建筑物，如圆形的圆柱塔。
在数学领域，四点共圆定理可以用来确定一个圆的半径，以及一个圆的中心点的位置。
因此可以使用它来求解一些复杂的几何问题。
它还可以用于计算三角形的外接圆，以及计算正方形的外接圆，以及计算多边形的外接圆。
四点共圆定理对于建筑师和建筑学家来说是非常有用的，因为它可以帮助他们设计出完美的圆形建筑构造。
当然，建筑师还要考虑建筑物的外观、强度和稳定性等方面，因此，运用四点共圆定理有助于将理想的设计建成实体。
此外，四点共圆定理还可以用来绘制地图。
例如，在测量某一块空间所需要的土地面积时，可以利用这个定理来求出圆的面积。
此外，四点共圆定理也可以用来确定多边形的角度，以及计算它们的最大面积。
最后，四点共圆定理也可以用于求解物理学中的问题，例如求解重力及弹性力学中的问题。
首先，可以使用它来求解多边形的外力分布，然后求出物体的力学行为。
总之，四点共圆定理是一个非常有用的几何定理，无论是在几何学还是在建筑、物理学等科学领域，都有着广泛的应用。
几千年来，人们不断探索四点共圆定理，探索这个定理如何被应用在实践中，以及如何被用来求解更复杂的问题。
初中数学圆的知识点总结
初中数学圆的知识点总结圆定义：(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
(2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：(1)如定义(1)中，该定点为圆心(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。
(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。
(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径面积计算公式：1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π(d\2)平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方点、直线、圆和圆的位置关系1.点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
幼儿科学教案《点线成圆》
幼儿科学教案《点线成圆》通过游戏的方式，教会幼儿认识点，线条，以及圆形。
准备圆形道具，让幼儿充分理解圆形的概念。
然后让幼儿联想一下生活中哪些物品是圆形的，大家都踊跃的发言。
活动目的：1、通过游戏的方式，幼儿认识圆形(圆点和圆圈)。
2、发展幼儿动手操作的能力。
活动准备：圆镜，圆盘子，脸盆;圆形纸片若干，大、中、小圆圈各1只，幼儿每人一套大、中、小圆。
活动过程：一、实物演示1、(出示圆镜)这是什么?这面镜子是什么形状的?2、(出示圆盘)这是什么?这只盘子是什么形状的?盘子的口实什么形状的?出示脸盆(提问同上)。
3、教师：小朋友，我们周围有许多东西是圆形的，你们动脑筋想一想，平时看到过哪些东西是圆形的?(幼儿自由发言)。
教师小结：圆形的东西很多，在家里，在马路上，在幼儿园里，在许多地方我们都能看到。
二、图片演示1、出示图片：黑地板上贴有各种大小不同的彩色的圆形纸片。
教师：这里有许多漂亮的纸片，又红的，蓝的，绿的，黄的，小朋友看看他们都是什么形状的?这些圆形有大的，有小的，还有最小的呢。
(教师用手逐一指出)你们看看这些圆形像什么?2、出示图片：黑地板上贴有两个圆圈，红的大，黄的小。
问：这里有几个圆?那个大?那个小?(再出示最小的1个绿色的圆)现在这里有几个圆/?哪一个是最小的圆?(和幼儿一起说出大圆，小圆，最小的圆。
)教师：小朋友说得真好，这是大圆，我们就叫她大圆妈妈。
这是小圆，我们叫她小圆宝宝。
最小的圆呢，我们就叫她最小的圆宝宝。
(幼儿复述一遍)教师：大圆妈妈说话了，她说：“小圆小圆，我的好宝宝，我们来做游戏好吗?请到我的身边来，并排站好。
”小圆就滚呀滚，滚到大圆身边和大院并排站好。
圆妈妈又说：最小的圆宝宝快来呀，请你也打我的身边来，并排站好。
请一个小朋友帮小圆宝宝滚到妈妈身边去。
现在，3个院都靠在一起了。
教师：圆妈妈又说话了：小圆宝宝，你再过来一点，让我们手拉手，一起跳舞吧!最小的圆宝宝你也来与妈妈拉着手一起跳舞吧!请一位幼儿帮忙。
三点共圆证明方法
3点，只要不在一条线上，肯定共圆；
4点，定理：
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．
（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）
方法3
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)
方法5
证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．。