2014“数学解题能力展示”读者评选活动五年级试题(有解析)

2014“数学解题能力展示”读者评选活动
复赛试题
小学五年级（2014年2月6日）
一、选择题（每小题8分，共32分）
1．一个最大的三位数除以一个整数，得到的商四舍五入保留一位小数后是2.5，除数最小是（ ）．
A ．400
B ．396
C ．392
D ．388
2．图中最大的正方形的面积为64，阴影部分的面积为（ ）．
A ． 28
B ．32
C ．36
D ．40
3．过年的时候，康康给客人倒啤酒，一瓶啤酒可以倒满4杯，球球倒酒的时候
总是每杯中有半杯泡沫，啤酒倒成泡沫的体积会涨成原来的3倍，那么球球倒啤酒时，一瓶酒可以倒（ ）杯．
A ．5
B ．6
C ． 7
D ．8
4．整数除法算式：a b c r ÷=，若a 和b 同时扩大3倍，则（ ）
． A ．r 不变 B ．c 扩大3倍 C ．c 和r 都扩大3倍 D ．r 扩大3
倍
二、选择题（每题10分，共70分）
5．算式8264462811111⨯⨯的计算结果是（ ）．
A ．9090909091
B ．909090909091
C ．10000000001
D ．100000000001
6．对于大于零的分数，有如下4个结论：①两个真分数的和是真分数；②两个真分数的积
是真分数；③一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；④一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．其中正确的有（ ）个． A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4
7．右面竖式成立时除数与商的和为（ ）．
A ．289
B ．351
C ．723
D ．1134
12
64
2
8．将一个数加上或减去或乘或除一个一位数（0不是一位数）视为一次操作，比如53可以
通过加3，除以7，除以8三次操作变成1． 那么2014至少经过（ ）次操作可变成1．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．我们定义像：31024、98567这样的五位数为位“神马数”，“神马数”是中间的数字最小，从中间往两边越来越大，且各位数字均不相同，那么，这样的五位数有（ ）个．
A ．1512
B ．3024
C ．1510
D ．3020
10．如右图所示，五边形ABCEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE
垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，CD :ED ＝3:2，那么，三角形ACE 的面积是（ ）平方厘米．
A ．1325
B ．1400
C ．1475
D ．1500
11．三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数
字和恰好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有（ ）个． A ．8 B ．6 C ． 4 D ．2
三、选择题（每题12分，共48分）
12．右图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会
再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A ．6
B ．7
C ． 8
D ．9
13．甲、乙两人从A 地出发，前往B 地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B 地
时，乙距离B 地还差100米．甲到达B 地后立即调头返回，两人在距离B 地60米处相遇，那么，A 、B 两地的距离（ ）米． A ．150 B ．200 C ．250 D ．300
14．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向
日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（ ）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）．
A ．6912
B ．6144
C ． 4608
D ．
4224
F
E
D
C B
A
15．老师把某两位数的六个不同因数分别告诉了A～F六个聪明诚实的同学．A和B同时说：我知道这个数是多少了．
C和D同时说：听了他们的话，我也知道这个数是多少了．
E：听了他们的话，我知道我的数一定比F的大．
F：我拿的数的大小在C和D之间．
那么六个人拿的数之和是（）．
A．141 B．152 C．171 D．175
2014“数学解题能力展示”读者评选活动
复赛试题
小学五年级参考答案
部分解析
一、选择题（每小题8分，共32分）
1．一个最大的三位数除以一个整数，得到的商四舍五入保留一位小数后是2.5，除数最小是（）
A．400 B．396 C．392 D．388
【考点】计算
【难度】☆☆
【答案】C
【解析】要使得除数最小，那么商就尽可能的大，因此商无限接近于2．54……；999除以2．54符合条件的结果是392．
2．图中最大的正方形的面积为64，阴影部分的面积为（）
A．28 B．32 C．36 D．40
【考点】几何
【难度】☆☆
【答案】A
【解析】最大的正方形可分为16个小正方形，而空白部分组成了9个小正方形，剩下的阴影部分为7个小正方形．因此阴影部分的面积为64÷16×7＝28
3．过年的时候，康康给客人倒啤酒，一瓶啤酒可以倒满4杯，球球倒酒的时候总是每杯中有半杯泡沫，啤酒倒成泡沫的体积会涨成原来的3倍，那么球球倒啤酒时，一瓶酒可以倒（）杯．
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】应用题
【难度】☆☆
【答案】B
【解析】根据题意可知，1份的啤酒可以变成3份的泡沫．球球倒的啤酒一半是泡沫，那么我们可以把球球倒的每杯酒分成6份，那么每倒一杯酒只有4份．而一瓶啤酒可以
倒4杯共有4×6＝24份．球球倒的每杯酒为4份，她共可以倒的杯数为：24÷4＝6 ．
4．整数除法算式：a b c r
÷=，若a和b同时扩大3倍，则（）．A．r不变B．c扩大3倍C．c和r都扩大3倍D．r扩大3倍
【考点】计算
【难度】☆☆
【答案】D
【解析】被除数和除数同时扩大或者缩小相同的倍数商不变，但是余数相应的扩大或缩小相同的倍数．
二、选择题（每题10分，共70分）
5．算式8264462811111
⨯⨯的计算结果是（）．
A．9090909091 B．909090909091 C．10000000001
D．100000000001
【考点】计算
【难度】☆☆
【答案】D
【解析】根据11乘法的特征“两边一拉，中间相加”可得到结果D
6．对于大于零的分数，有如下4个结论：①两个真分数的和是真分数；②两个真分数的积是真分数；③一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；④一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．其中正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】数论
【难度】☆☆ 【答案】B
【解析】对于这种类型的题目，我们可以采取“反驳”的方法来做，找出每个不成立的案例来，
若找不到则正确． ①反例：11+=122，437+=555；④反例：133=224⨯，188
=5525⨯．
7．右面竖式成立时除数与商的和为（ ）
A ．289
B ．351
C ．723
D ．1134 【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】C
【解析】首先根据倒数第三行可以确定0A =，4B =；
再根据顺数第三行最后一位为1可以确定，第一行D 和C 的取值为（1，1）或（3，7）或（9，9）或（7，3），根据尝试只有（1，1）符合题意．再依次进行推理，可得商和除数分别为：142和581．
8．将一个数加上或减去或乘或除一个一位数（0不是一位数）视为一次操作，比如53可以通过加3，除以7，除以8三次操作变成1． 那么2014至少经过（ ）次操作可变成1 ．
126
42
02
41E
C
B A 60
D
2
21
1
26
113224408548
1
5
2
5282
4160120
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】B
【解析】2014要变成1就需要除以一个数，而除数只能是一位数，那么这个除数显然是越
大越好． 第一次操作2014+2=2016；第二次操作20169=224÷；第三次操作2248=28
÷； 第四次操作287=4÷；第五次操作44=1÷．
9．我们定义像：31024、98567这样的五位数为位“神马数”，“神马数”是中间的数字最小，
从中间往两边越来越大，且各位数字均不相同，那么，这样的五位数有（ ）个 ． A ．1512 B ．3024 C ．1510 D ．3020 【考点】排列组合 【难度】☆☆☆ 【答案】A
【解析】考察是计数问题中的排列组合．
0～9是个数中任意挑选5个都可以组成“神马数”，510109876
25254321
C ⨯⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯⨯种；
在被挑选的5个数中，最小的放中间，剩下的4个数进行组合，从中任意挑选2
个可以放在左边或者右边，2
4
6C =种； 在此一定要注意：4个数中任选2个放在左边然后再放到右边数的顺序改变了． 所以共有“神马数”252×6＝1512个．
10．如右图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE
垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE =．那么，三角形ACE 的面积是 （ ）平方厘米．
A ．1325
B ．1400
C ．1475
D ．1500 【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】A
【解析】作正方形ABCD 的“弦图”，如右图所示，
F
E
D
C B
A
假设CD 的长度为3a ，DE 的长度为2a ，
那么3BG a =，2DG a =，根据勾股定理可得2222229413BD BG DG a a a =+=+=，所以，正方形ABDF 的面积为213a ；因为CD EF =，BC DE =，所以三角形BCD 和三角形DEF 的面积相等为23a ； 又因为五边形ABCEF 面积是2014平方厘米，所以222136192014a a a +==，解得2106a =， 三角形ACE 的面积为：2255522a a a ⨯÷=
，即25
10613252
⨯=
11．三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰
好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有（ ）个 A ．8 B ．6 C ． 4 D ．2 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】C
【解析】考虑到一定会有进位，退位．设原数数字和为a ，则3-，+4定不是差7，否则无
法成为连续4个自然数．5÷说明末位为0或5，当末位为5时，3-，+4均不进位退位．当末位为0时，3-退位，符合．
所以3- 相当于数字和多6，6a +；+4相当于数字和多4，4a +；5÷ 相当于数字和2⨯，2a ⨯；2a ⨯、2a +、4a +连续，2a ⨯为7a +，5a +，3a +中的一个． 分类讨论得到25a a ⨯=+成立，所以5a =，数字和为5，尾数为0的有，500（舍弃），410，320，230，140，共4个．
三、选择题（每题12分，共48分）
12．右图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以
图中的点为顶点的正三角形了．
A ．6
B ．7
C ． 8
D ．9 【考点】几何
I
H G
F
E
D
C
B
A
【难度】☆☆☆ 【答案】B
【解析】如图1所示，以A 为顶点可以组成变成为4、3、2、1的等边三角形，所以A 点必
须去掉，同理B 、C 也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O 、D 、E 、F ．因此共去掉7个点．
13．甲、乙两人从A 地出发，前往B 地，当甲走了100米时，乙走了50米，当甲到达B 地
时，乙距离B 地还差100米．甲到达B 地后立即调头返回，两人在距离B 地60米处相遇，那么，A 、B 两地的距离（ ）米 ． A ．150 B ．200 C ．250 D ．300 【考点】行程 【难度】☆☆☆ 【答案】C
【解析】如图所示，
甲从B 地调头返回的同时乙从E 出发，甲乙在F 处相遇共走了100米．假设单位时间t 内，甲走60米，乙走40米，那么甲走100米需要
1005
=603
t ；
甲和乙分别从C 、D 两地同时出发，
当甲到达B 地时，乙到达E ，甲比乙多行50米，所用的时间为：550(6040)2t ÷-=，甲从A 到B 共用时间为：5525
326
t t t +=，所以AB 两地的距离
为：25
60=2506
⨯（米）
．
14．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射
手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（ ）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）．
A
B
A C
F
E
D
C
B
A 乙
甲
A ．6912
B ．6144
C ． 4608
D ．4224 【考点】计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】D
【解析】染色问题．分情况讨论，
发现阴影六边形一圈是关键，中间选好1
4
4C =种后， 周围一圈3种植物，532⨯-（A F 、同色，相当于5个围一圈），5个围一圈4=32⨯-（4个围一圈），4个围一圈3=32⨯-（3个围一圈），3个围一圈=321=6⨯⨯ 中间一圈54332[3232321]66⨯-⨯-
⨯-⨯⨯=（） 有44662=4224⨯⨯（种）
15．老师把某两位数的六个不同因数分别告诉了A F 六个聪明诚实的同学．
A 和
B 同时说：我知道这个数是多少了．
C 和
D 同时说：听了他们的话，我也知道这个数是多少了．
E ：听了他们的话，我知道我的数一定比
F 的大． F ：我拿的数的大小在C 和D 之间．
那么六个人拿的数之和是（ ）
A ．141
B ．152
C ．171
D ．175 【考点】数论 【难度】☆☆☆☆ 【答案】A
【解析】（1）这个数的因数个数肯定不低于6个，因为若有1存在，拿到1的人永远不会知
道．假定这个数为N ，且拿到的6个数从大到小分别是A B C D E F 、、、、、． （2）有两个人同时第一时间知道结果，这说明以下几个问题：
F E
D C
B
A
第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在5099之间（也就是说A的2倍是3位数，所以A其实就是N）
第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果，但是具备以下条件：
1）这个数的约数少于6个，比如：有人拿到36，单他不能断定N究竟是36还是72．
2）这个数小于50，不然这个数就只能也是N了．
3）这个数大于33，比如：有人拿到29，那么他不能断定N是58还是87；这里有个特例是27，因为272=54
⨯，因数个数
⨯，因数个数不少于6个；273=81少于6个，所以如果拿到27可以判断N只能为54）
4）这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数．
最关键的是，这两人的数是2倍关系
但是上述内容并不完全正确，需要注意还有一些“奇葩”数：17、19、23也能顺利通过第一轮．
因此，这两个人拿到的数有如下可能：
（54，27）（68，34）（70，35）（76，38）（78，39）（92，46）（98，49）
（3）为了对比清晰，我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来：
（54，27，18，9，6，3，2，1）
（68，34，17，4，2，1）（×）
（70，35，14，10，7，5，2，1）
（76，38，19，4，2，1）（×）
（78，39，26，13，6，3，2，1）
（92，46，23，4，2，1）（×）
（98，49，14，7，2，1）
对于第一轮通过的数，我们用红色标注，所以N不能是68、76、92中的任意一个．之后在考虑第二轮需要通过的两个数．
用紫色标注的6、3、2、1，因为重复使用，如果出现了也不能判断N是多少，所以不能作为第二轮通过的数．
用绿色标注的14和7也不能作为第二轮通过的数，这样N也不是98．
那么通过第二轮的数只有黑色的数．
所以N只能是54、70、78中的一个．
我们再来观察可能满足E和F所说的内容：
（54，27，18，9，6，3，2，1）
（70，35，14，10，7，5，2，1）
（78，39，26，13，6，3，2，1）
因为F说他的数在C和D之间，我们发现上面的数据只有当70
F=，
N=的时候，7
在C D
、(10和5)之间，是唯一满足条件的一种情况．
又因为E确定自己比F的大，那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的．所以E拿到的是14（70
N=）．
所以70
N=，六个人拿的数之和为：70+35+14+10+7+5=141．。