高中物理运动的合成与分解的两个模型

运动的合成与分解的两个模型

一、绳杆连体模型

例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面各穿有一个小球，小球a 、b 间用一细直棒相连。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比b a v :v 。 解析：小球a 、b 沿棒的分速度分别为αcos v a 和αsin v b ，两者相等。 所以1:tan v :v b a α=

解题思路：对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以

当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳

联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两

物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体

沿绳方向的速度相等即可求出。

【举一反三】 如图2所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的

速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2

分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v 1

和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1 例2、如图4所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的

距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角

速度为ω，求此时物块M 的速率V m . 分析与解：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度V A 的方向与杆OA 垂直，在所考察时其速度大小为： V A =ωR

对于速度V A 作如图5所示的正交分解，即沿绳BA 方向和垂直于BA 方向进行分解，沿绳BA 方向的分量就是物块M 的速率V M ，因为物块只有沿绳方向的速度，所以 V M =V A cos β

由正弦定理知， 由以上各式得V M =ωHsin α. 练习： 1.如图6所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台

上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨

过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v . 2.如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.

当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.

图2

图3

A ω

3.一轻绳通过无摩擦的定滑

轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图8所示.试求：

（1）m 2在下滑过程中的最大速度.

（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.

4.如图9所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂

直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？

5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图10所

示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧

绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平

方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车

由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.

6.如图11所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面

上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并

从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中

（1）斜劈的最大速度.

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）

答案：

1.v =α

cos 10+v 2.v A =v B tan α;a A =a B tan α

3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C

点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即

21m 1v 12+2

1m 22v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有：

T cos ∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°

又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,

（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′

即:m 1g （AB AB H -+22）sin30°=m 2gH

利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =34

3m=2.31 m

4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， 图9 图10 图11 图8 图7

OS ′=L /cos60°.

选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际

速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得： v 1=v sin60°,v 2=v cos60°

又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°

vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL .

5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图13，即

v Q =v B 1=v B c os45°=22v B 于是重物的动能增为 E k2 =21mv Q 2=4

1mv B 2 在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和

重力做的功分别为

h =2H-H=（2-1）H

W G =-mgh =-mg （2-1）H

于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg （2-1）H =

4

1mv B 2-0 所以绳子拉力对物体做功W T =41mv B 2+mg （2-1）H 6.（1）A 加速下落，B 加速后退，当A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.

mg （h -r ）=2mv A 2+2mv B 2 ①

由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②

A 、

B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图

14所示。

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A 2=v B 2

即v A cos30°=v B sin30° ③

解得v A =2

)13(gr - v B =2

)13(3gr - 图12 图13

图14