CMOS石英晶振最优起振条件分析与电路设计(增益和nyquist)

CMOS石英晶振最优启振条件分析与电路设计摘要：本文基于自动控制原理，对Pierce CMOS晶振电路的启振条件作了详细的分析，对电路中影响石英晶振起振的各种寄生参数作了深入研究，结合Matlab对理论分析作了验证，并以15Mhz晶振为例，设计了一个保证晶振可靠起振的最优反相器，最后通过HSPICE模拟进一步验证了理论分析的正确性。

关键词：CMOS；石英晶振；启振条件The optimum start-up conditions analysis and Circuit design of CMOS Crystal OscillatorJiang Renjie(School of Computer Science, National University of Defense Technology)Abstract：This paper investigates the start-up conditions in Pierce CMOS crystal oscillator base upon the auto-control principle . The effect of oscillator start-up conditions caused by crystal circuit parasitics has been analyzed theoretically in detail. The result of theoretical analysis is verified using Matlab, and the optimum inverter which can guarantee circuit oscillate reliably has been designed for the 15Mhz crystal oscillator as an example. Finally, using Hspice simulation, the correctness of the theoretical analysis is verified further.Key words：CMOS, Crystal oscillator, Start-up conditionI . 引言在现代电子系统中，Pierce CMOS晶振电路，作为时钟发生器，得到越来越广泛的应用[1][2][8][10]。

基于CMOS反相器的石英晶体振荡器是一种常用的结构，然而，以前的分析直接从电路结构入手，没有把晶振电路作为一个控制系统来分析，也没有很好的关注晶振中寄生参数对振荡器起振的影响[8][10]，只是说明了反相器在某一尺寸可以起振，并没有说明怎样设计一个反相器，使其尺寸在一个范围内都能使晶振电路可靠起振，以及怎么使其快速起振。

晶振电路在固定偏置下，即使环路增益满足“巴克豪森准则”，振荡器似乎能够振荡，而实际上如果环路增益太大，电路也不能起振。

本文针对这些问题，把晶振电路从控制系统的角度，结合自动控制原理进行理论分析，详细说明了各种参数对电路性能的影响，得到使晶振电路起振的环路增益的范围，并结合Matlab 得到一个最优值，最后以15MHz晶振电路设计为例，在SMIC 130nm CMOS工艺下，通过Spice 模拟验证理论分析的正确性。

II . 原理石英谐振器简称晶体，是晶体振荡的核心原件，它由石英晶体片、电极、支架及其他辅助装置组成，是利用石英晶体的压电效应原理制成的电、机械振荡系统。

如图1是石英晶振的等效电路。

图1. 石英晶振等效电路Fig. 1. crystal equivalent circuit石英晶振由等效电阻R 0、等效电感L 0和等效电容C 0组成的串联振荡回路与静态电容C 3并联组成。

在等效电路中，L 0、C 0组成串联谐振电路，谐振频率为[5]：0f =(1)而L 0、C 0又与C 3组成并联谐振回路，谐振频率为：f ∞=(2)当工作频率0f f <时，晶体呈容性；当工作频率0f f f ∞<<时，晶体呈感性；而当工作频率f f ∞>时，晶体呈容性。

晶体在晶体振荡器主振级的振荡电路中呈现感性，即工作频率满足0f f f ∞<<。

如图2是常用的Pierce振荡器拓扑图。

图2. Pierce 石英振荡电路Fig. 2. Pirece crystal oscillator circuitPierce 振荡器电路用并联反馈电阻R f引进直流偏置。

在电路起振时，R f 使得反向器的V in ≈V out ≈V dd /2。

为了减小晶振上的负载电阻，这些偏置电阻在工艺和有源器件的特性允许的情况下要尽可能的大，当振荡频率为1MHz~~20MHz 时，R f 典型值为1MΩ~~10MΩ范围。

反相器提供了必要的增益并产生180°相移，电容C 1和C 2设置电路的反馈因子，结合晶振的感抗产生振荡所需的另外180°相移，在加上反相器提供的180°相移，只要电路环路增益满足“巴克豪森准则”[3]：00|()|1()180H j H j ωωO≥⎧⎪⎨∠=⎪⎩(3) 那么电路就会在0ω处起振。

这两个条件是必须的但还不充分，在存在温度和工艺变化的情况下为了确保振荡，典型地我们将选择环路增益至少两倍或三倍于所要求的值。

图2所示的振荡器的小信号模型如图3所示，这可以用来确定振荡器的起振条件。

跨导g m 取决反相器以及电路的偏置条件，电阻R 1和R 2分别表示总的输入输出阻抗。

电容C 1和C 2包括有源器件电容和电路产生寄生电容。

R 0、C 0和L 0构成晶振的等效电路。

电容C 3包括了有源器件的电容，但是主要取决于晶振的固有电容，R f 是偏置引入的电阻。

-图3. 石英振荡器小信号模型Fig. 3. Small-signal crystal oscillator←如图3，我们可以研究电路的稳定性条件，从受控电流源的输出端断开环路，引进一个测试电流i 流过反馈环路以计算环路增益。

首先，分析晶振等效电路以及R 3、C 3的等效阻抗，如下：003011()||||()f Z s R R L s C s C s=++ (4) 200002203000000003(1)(1)(1)f f R L C s R C s C R C s L C s R C s L C s R C s C ++=++++++ (5)现在我们可以通过计算环路传输函数来分析电路的稳定性，如图3，断开反馈环路，引入测试电流i ，则有：221121211||1||11||()||in R C sV R C sR Z s R C s C s=∙++ (6) out m in i g V = (7)()out m in i g VT s i i=-=- (8) 121122122211()()(1)(1)(1)(1)m g R R T s Z s R C s R C s R R C s R R C S =-++++++ (9)从传输函数可以看出，T(s)包含高Q 值复数零、极点对，加上两个负实数极点和一个负实数零点。

现在，可以用一些典型的晶振参数值代入函数，产生相应的波特图、根轨迹图、Nyquist （奈奎斯特）图，以分析振荡电路的是否能够起振。

III 、Matlab 分析式(8)是电路的传输函数T(s)，可以看出T(s)是g m 的线性函数，则可以得到归一化的传输函数()//m in T s g V i -=，g m 作为根轨迹图中变量，其变化范围为0~~+∞。

首先不考虑寄生参数R f 和C 3，且将反向器的输入电阻看成∞，用谐振频率为15MHz 典型的参数：L 0=11.25mH 、C 0=10fF 、R 0=25Ω、R 2=1K Ω、C 1=12pF 、C 2=15pF ，用Matlab 得到的根轨迹图如图4所示。

根轨迹法是分析和设计线性系统的定常控制系统的图解方法，它是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根在s 平面上变化的轨迹，如果闭环极点全部位于S 左半平面，则系统一定是稳定的，否则系统就不稳定，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关[4]。

从图4可见，在g m 变化的整个范围内，根轨迹在右半平面都存在，系统不稳定，所以电路不存在起振的问题。

图4.根轨迹图Fig.4. Root-locus diagram但是，忽略C 3只是理想情况。

为了电路能偏置在一个合理的工作点，R f 是必须的，下面来考虑实际情况，C 3=12pF 、R f =5M Ω、R 1=1020Ω，我们可以得到Matlab 分析结果如图5所示，其中图5(a)为根轨迹图。

从图5(a)可见，随着g m 增加，根轨迹会进入右半平面，电路会起振，但是随着g m 继续增大，根轨迹又会重新进入左半平面，系统会达到稳定，电路不能起振。

所以g m 只有在一个合适的范围之内电路才会起振。

从图5(c)Nyquist 也可以得到相应的结论，它包含负实轴上的点(-1/g m ,0)，从而也可以得到使得电路起振g m 的范围。

如图5(d)可以看到在频率为晶体谐振频率15MHz 时，相移达到了180°这个关键点，且增益的绝对值大于一，满足了巴克豪森准则，所以只要确定一个合理的g m ，电路就会起振。

当然，为了电路能够可靠的起振，我们希望g m 的范围越大越好，而实际上g m 的范围是由电路参数确定的，而现在15MHz 晶振的参数是确定的，经Matlab 分析可知，当R f 到达几兆欧姆时，对g m 范围的影响可以忽略，增大C 1、C 2都可以增大g m 的范围，但是电容太大，会影响振荡频率的精确度；而反相器输入输出电阻也是影响电路起振的重要因素。

所以下一节就是要通过Hspice 找到一个合理的反向器，使它的输入输出电阻及g m 能够使得电路能可靠起振。

(a)(b)(c)(d)图5. (a) 根轨迹图； (b) 根轨迹局部放大图；(c) Nyquist 图；(d) 波特图Fig.5. (a) Root-locus diagram (b) enlarged diagram of Root-locus (c)Nyquist diagram (d) Bode plotIV 、Spice 模拟用15MHz 晶振典型参数得到如图5(a)根轨迹图，随着g m 增大，根轨迹会进入右半平面，当g m 继续增大，根轨迹又会回到左半平面，因为根轨迹图中，左半平面系统是稳定的，右半平面系统是不稳定，而振荡电路是一个不稳定系统，所以需要根轨迹进入右半平面，此时临界点的g mmin = 1.36mA/V 和g mmax =36.5mA/V ，及当反相器的g m 在此之间时，系统就会发生振荡,但是为了使反相器能够快速起振，反相器的跨导应满足[2]：moptg=(10)确定了反相器g mopt的值，接下来就可以确定反相器的尺寸了。