一元函数积分学
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数积分学总结
一元函数积分学总结引言积分是微积分学中的重要概念之一，它与微分一样具有重要的应用价值。
一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，其研究对象是一元函数的积分与求解。
本文将总结一元函数积分学的基本概念、性质、计算方法以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用一元函数的积分学知识。
一元函数积分的基本概念一元函数积分的基本概念包括不定积分和定积分。
不定积分是指对一元函数进行积分，得到的结果是一个与变量x相关的函数表达式。
定积分是指对一元函数在一个区间内进行积分，得到的结果是一个数值。
不定积分的性质不定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以利用不定积分的基本公式进行积分运算。
此外，不定积分还具有相应的积分表，包括多种函数的不定积分表和常见函数的不定积分表。
定积分的性质定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以通过分割区间，将定积分转化为多个小区间上的定积分，从而进行计算。
定积分还具有保号性、中值定理等重要性质，这些性质在实际应用中起到了重要的作用。
一元函数积分的计算方法一元函数积分的计算方法主要包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。
这些方法可以根据具体的积分问题选择合适的方法进行计算，从而简化计算过程。
换元积分法换元积分法是一种通过引入新的变量来进行积分的方法。
通过选择合适的换元公式，可以将原积分化简为简单的标准积分形式，从而进行计算。
分部积分法分部积分法是一种通过对被积函数进行分部积分来进行积分的方法。
通过选择合适的分配律，可以将原积分转化为两个函数的乘积的积分形式，从而进行计算。
有理函数积分法有理函数积分法是一种通过将有理函数进行部分分式分解来进行积分的方法。
通过分解成简单的分式形式，可以利用不定积分的基本公式进行计算。
有理函数积分法适用于有理函数的积分，可以将复杂的积分问题化简为简单的有理函数积分。
一元函数积分的应用一元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
一元函数积分学概论
一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。
一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。
定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。
计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。
不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。
换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。
分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。
三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。
反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。
总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
第四章一元函数积分知识点梳理
一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。
一元函数积分学公式
一元函数积分学公式在一元函数积分学中，最基本的积分公式是不定积分的基本公式和定积分的基本公式。
一、不定积分的基本公式：1.常数的积分公式：∫kdx = kx + C（其中，k为常数，C为任意常数）2.幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C（其中，n为不为-1的常数，C 为任意常数）3.指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C（其中，C为任意常数）4.三角函数的积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)*cot(x) dx = -csc(x) + C5.对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x， + C（其中，C为任意常数）二、定积分的基本公式：1.定积分的基本公式：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）2.牛顿—莱布尼兹公式：∫[a,b] f(x)dx = F(x)，[a,b] = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）此外，还有一些特殊的积分公式：1.分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx（其中，u(x)和v(x)是具有足够多次可导性的函数）2.替换法（换元积分法）：如果u=f(g(x)) 是g的一个原函数，则有∫f(u)du =∫f(g(x))g'(x)dx3.瑕积分的计算：当函数在积分区间上有瑕点时，可以通过分解为一般积分和瑕积分的和来计算。
4.反常积分：当函数在积分区间上不满足一些条件时，可以通过极限的概念来处理。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
第三章一元函数积分学
∴
原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则 u a , 于是
d u ln u u2 a2
u 2 a2 C1
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分, 将积分变量进行一 定的变换后, 积分表达式由于引进中间变 量而变为新的形式, 而新的积分表达式和 新的积分变量可直接由基本积分公式求 出不定积分来.
例如
想到基本积分公式
若令u＝４x, 把４x看成一个整体（新的积分变 量）, 这个积分可利用基本积分公式算出来
除法呢?
不 对, 例 如 f(x) g(x) x
３.２ 不定积分的计算
利用基本积分公式及不定积分的性质 直接计算不定积分, 有时很困难, 因此, 需要引进一些方法和技巧。下面介绍不 定积分的两大积分方法:
换元积分法与分部积分法
３.２ 不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.2 分部积分法 3.2.3* 有理函数积分简介 3.2.4* 积分表的使用
定义2: 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的 不定积分（indefinite integral）,记为
∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C
其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量 f(x)称为被积函数， C 称为积分常数 f(x)dx 称为被积表达式
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
一元函数积分学 不定积分 定积分 常数项级数 幂级数
一元函数积分学、不定积分、定积分、常数
项级数和幂级数
一元函数积分学包括不定积分、定积分、常数项级数和幂级数等内容。
1. 不定积分：一元函数的不定积分是指求出该函数在某个区间内的原函数，也就是求出一个原函数F(x)，使得F(x)在x轴上的积分等于f(x)，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
不定积分也称为原函数或不定积分函数。
2. 定积分：一元函数的定积分是指求出该函数在某个区间内的面积或曲线长度，也就是求出一个定积分值，表示为∫a b f(x)dx，其中a和b为积分区间的端点，f(x)为被积函数。
定积分也称为面积或曲线长度函数。
3. 常数项级数：常数项级数是指由若干个常数项相加组成的级数，一般形式为，其中c n表示第n项，n为自然数。
常数项级数在数学分析中有广泛应用，例如求解定积分的近似值、求解函数的极限等等。
4. 幂级数：幂级数是一类可以表示函数的无穷级数，一般形式为f(x) =，其中a_n为幂级数的系数，x为变量。
幂级数在数学分析中有广泛应用，例如求解函数的泰勒级数展开、逼近函数、函数的插值等等。
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C 为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
第三章 一元函数积分学
性质1
df ( x) f ( x) C d 即如果不考虑积分常数C, 积分号 与微分号
f ( x)dx
f ( x) C 或
重叠作用时,不论先后次序,都恰好相互抵消.
说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
性质2 kf ( x)dx k f ( x)dx ,其中 k 为常数.
3 23 x 3 C. 2 4
x 例11 求 sin dx. 2 1 1 2 x 解 sin dx (1 cos x)dx (1 cos x)dx 2 2 2 1 1 dx cos xdx ( x sin x) C. 2 2 2 cot xdx . 例12 求
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数. ) (2) F ( x) C包括了 f ( x的所有原函数 .
证 (1) 对于任意常数C,
( F ( x) C ) F ( x) f ( x) x I ,
F ( x) C 是f ( x)在区间 I 内的原函数.
1 故 ln x 是 在 (,0) (0,) 上的原函数. x 注意 :关于原函数的三个问题：
一是原函数的存在性 二是原函数的个数 三是原函数之间的关系
原函数存在定理： 定理1 若 f ( x)在区间 I内连续，则f ( x) 在区间 I 内 必定存在原函数。 即连续函数一定有原函数. 定理2 设函数 F ( x)和 f ( x) 定义在同一区间 I内, 则 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
其中C为任意常数,称为积分常数.
2 ( x 2) dx. 例1 求
.
高等数学一元函数积分学
（四） 分部积分法
分析：(uv) uv uv
uv uv uv
uvdx (uv)dx uvdx
udv uv vdu 分部积分公式： udv uv vdu
例 7：求 x cos xdx
解：设u x,dv cos xdx d(sin x),v sin x
原式= xd(sin x) x sin x sin xdx
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
考试点津：
• 本讲出题在10分—18分之间，考点不多， 一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
2
a2
例 5：求 dx
x2 a2
(a 0)
解：设x a tan t
t
22
原式=
a sec2 t
a sect dt sectdt ln(sect tan t) C
由 x a tan t,得 tan t x ,sect x2 a2
a
a
所以
原式=ln
x2 a2 x a a C
例：计算
e
ex x
1
dx
2008年解答、8分
解：原式=
e
1 x
1
(ex
)dx
e
1 x
1
d
(e
x
)
1 ex 1
d(ex
1)
u ex 1 1 du ln u C ln ex 1 C
u
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一元函数积分学
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曲线的弧长
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曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由方程 y = f(x)(x ∈ [a, b]) 给出的，其中 f 具有连续导
数，那么它的弧长：
∫ b√
s=
1 + f′2(x)dx
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a
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一元函数积分学
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曲线的弧长
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曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由极坐标方程 r = r(θ)(θ ∈ [α, β]) 给出的，其中 r(θ)
具有连续导数，那么它的弧长：
∫ β√
s=
r2(θ) + r′2(θ)dθ
.
α
.Байду номын сангаас
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一元函数积分学
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曲线的弧长
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例 (求弧长)
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一元函数积分学
November 14, 2019 13 / 36
旋转体的体积
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旋. 转体的体积
设立体 Ω 是由图形：
{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
绕 x− 轴旋转一周得到，称为旋转体。它的体积：
∫b
V = π f2(x)dx
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a
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面积问题
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例.
.计算心脏线 r = a(1 + cos θ)(|θ| ≤ π) 围城的图形的面积。
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一元函数积分学
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面积问题
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例.
求摆线：
x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t)
的. 一拱与 x− 轴围城的图形的面积。
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一元函数积分学
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面积问题
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面. 积公式
曲线 r = r(θ) 与射线 θ = θ0, θ = θ1(0 ≤ θ0 < θ1 ≤ eπ) 围城的扇形
的面积： .
A
=
1
∫
θ1
r2(θ)dθ
2 θ0
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一元函数积分学
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一元函数积分学
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一元函数积分学
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一元函数积分学
1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
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例.
已知一个直圆柱体的底面半径为 R，一个斜面 π1 过底面圆周上的 一点，并且与底面 π2 成夹角为 θ，求圆柱体被 π1, π2 所截部分的 体. 积。
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一元函数积分学
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目录
1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
已知平行截面面积求体积
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体. 积公式
设立体 Ω 位于 x = a 与 x = b 之间。如果过 x 点垂直于 x− 轴的
平面截出 Ω 的图形的面积为 A(x)，那么：
∫b
V = A(x)dx
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a
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一元函数积分学
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已知平行截面面积求体积
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y
=
2 3
x
3 2
(x
∈
[1, 3])
r = a(1 + cos θ)(−π ≤ θ ≤ π)
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x2 a2
+
y2 b2
=
1(b
>
a
>
0)
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1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
一元函数积分学
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旋转体的体积
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例.
求椭圆
x2 y2 a2 + b2 = 1
绕. 着 x− 轴旋转一周所围的立体体积。
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一元函数积分学
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1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
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一元函数积分学
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1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
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一元函数积分学
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面积问题
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面. 积公式
设 y = f(x), y = g(x) 都是 [a, b] 上的连续函数，
f(x) ≤ g(x)(∀x ∈ [a, b])。考察由曲线 y = f(x), y = g(x) 以及直线
x = a, x = b 围城的图形的面积：
∫b
A = [f(x) − g(x)]dx
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a
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一元函数积分学
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1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
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一元函数积分学
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面积问题
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例.
.求由抛物线 y = x2 和直线 y = 3x 围城的图形的面积。
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一元函数积分学
November 14, 2019 5 / 36
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1. 定积分的应用 面积问题 面积问题（极坐标下的区域） 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
曲线的弧长
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曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由方程： x = x(t), y = y(t),
α≤t≤β
给出的，其中 x(t), y(t) 具有连续导数，并且 x′2(t) + y′2(t) ̸= 0，
那么它的弧长： .
∫ b√
s=
x′2(t) + y′2(t)dx
a
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一元函数积分学
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