高等数学向量代数与空间解析几何复习
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第五章 向量代数与空间解析几何 向量
既有大小又有方向的量
表示：→
-AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2
22z y x ++
2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→
a 模为1的向量。 3． 模 →
→→
⋅=++=
a a z y x a 2
22||
4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→
→
5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++=
a ⊥
b ⇔a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ）
6． 叉积、外积
|a ⨯b | =| a || b |sin θ= z
y x
z y x
b b b a a a k j i
a ⇔⨯ a ⨯b= -
b ⨯a ) ⇔
2
1
2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→
→
例1 1||,2||==→
→
b a ，→a 与→
b 夹角为3
π
，求||→
→+b a 。
解 22
||cos ||||2||2)()(||→
→→→
→→→→→→→→→→→
→++=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ
713
cos
12222=+⋅⋅⋅+=
π
例2 设2)(=⋅⨯c b a ，求)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+。
解 根据向量的运算法则
)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+
=)(])()[(a c c b a b b a +⋅⨯++⨯+
)(])[()(])[(a c c b a a c b b a +⋅⨯+++⋅⨯+= a c b a a c b a ⋅⨯+++⋅⨯=])[()()( a c b a c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()(
c b a c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a
例3 设向量k j i a +-=，k j i b 543+-=，b a x λ+=，λ为实数，试证：当模x
最小时，向量x 必须垂直于向量b 。 解 由k j i a +-=，k j i b 543+-=得50||,3||2
2
==b a ，12=⋅b a ，于是
b a b a b a x ⋅++=+=λλλ2||||)(||22222
25325650502432
2+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=λλλ 由此可知，当256-
=λ时，模||x 最小，因而⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=255,251,257
256b a x 故
0)5,4,3(255,251,257
=-⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⋅b x
所以，当模x 最小时，向量x 必须垂直于向量b 。
8． 向量的投影
Prj a b ＝|b |θcos 为向量b 在向量a 上的投影。a ·b ＝| a |Prj a b
空间平面与直线
空间平面
点法式方程：与定点),,(0000z y x p 连线和非零向量n ＝（a ，b ，c ）垂直的点的集合。
0)()()(000=-+-+-z z c y y b x x a 。
平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，n ＝（A ，B ，C ） 截距式方程：
1=++c z b y a x 三点式方程 01
31
31
312121
2111
=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 例1 求过)0,0,0(O ，)2,3,1(A ，)1,1,2(--B 点的平面方程
解（1）点法式 n ＝)7,5,1(1
12231--=--=⨯→
→→→
-→
-k
j i OB OA 。
则平面方程为0)0(7)0(5)0(=---+--z y x ，即075=+-z y x 。 解（2）设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，代入)0,0,0(O 得0=D 。
代入)2,3,1(A ，)1,1,2(--B 得⎩⎨
⎧=--=++0
20
23C B A C B A 解之得A C A B 7,5=-=
代入方程消去A ，得方程为075=+-z y x
例2 一平面通过点)3,2,1(，它在正x 轴，正y 轴上的截距相等，问此平面在三坐标面
上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小并写出此平面方程。 解 依题意设所求平面的截距式方程为
1=++c
z
a y a x ，由于点)3,2,1(在此平面上，故有
1321=++c a a ，解之3
3-=
a a
c 。
四面体之体积3
2133613
-⋅=-⋅⋅=a a a a a a V ，2
32)3()3(321---='a a a a V ，