判断因果性

k0
r0
上式两边取z变换得
y 1 y 2 0
N
M
Y z ak z k X z br z r
k0
r0
H z 只与系统的差分
M
所以
Hz
Y z X z

br z r
r0
N
ak zk
方程的系数、结构有 关，描述了系统的特 性。
则
Hz
Y z X z

1
1 z1 3z1 2z2

z
zz 1 1z 2

z z
2
求系统的零状态响应
Y z Hz X z
z

z

z
2
z2 z2 z2
所以 yzs n n 1 2nun
②从时域判断：
n 0 不是因果系统
n0
hn
0.51


0.52
Biblioteka Baidu
0.53


1 0.5

1 0.52

1 0.53


所以 hn 不稳定
n
1
ak zk
k0
M
1 zr z1
G
r 1 N
1 pk z 1
k 1
展成部分分式：（假设无重根）
zr : 零点 pk : 极点
因为
H
z
N

Ak z
k0 z pk

A0

N k 1
Ak z z pk
hn Hz
所以
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响 7 页
因为hn H z，所以可以从H z的零极点分布情况， 确定单位样值响应hn的特性
1.由零极点分布确定单位样值响应
2.离散系统的稳定性
3.系统的因果性
第
1．由零极点分布确定单位样值响应
8
页
M
br z r
H
z

r0 N
原点时 左半平面
ut 1
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
un z
z1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
第
2．离散系统的稳定性
12
页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必
定是有界的（BIBO)。
(2)稳定性判据
判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对
可和。

hn
n
从z域判断
H z z ，ROC : z 1
z1
h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。 极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（边 界稳定）。
第
例4
17
页
LTI系统，hn 0.5nu n，判断因果性、稳定性。
①从时域判断：u
n

1, 0,
第10章 Z-变换
The Z-Transform
III
10.7离散时间系统系统函数与Z域 分析
•单位样值响应与系统函数 •系统函数的零极点分布对系统特性的影响 •确定单位样值响应 •稳定性 •因果性
第
一．单位样值响应与系统函数 3 页
1.定义
M
Hz
Y z X z

br z r
n
判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内: z a, a 1 。
第
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
13
页
连续系统
离散系统
系统稳定的充 要条件
ht d t

hn
n
极点
例1
已知离散系统的差分方程为：
第
yn 3 yn 1 2 yn 2 xn xn 1，激励
6
页
xn 2nun, 求系统函数Hz及零状态响应 yzs n。
解： 在零状态条件下，对差分方程两边取双边z变换
Y z 3z1Y z 2z2Y z X z 1 z1
r0
N
ak zk
k0
2. h(n)和H(z)为一对z变换对
Zhn Hz
第
1．定义
4
页
线性时不变离散系统由线性常系 激励为因果序列
数差分方程描述，一般形式为 x 1 x 2 0
N
M
ak yn k br xn r
系统处于零状态
k0
Hz ：离散时间系统的系统函数。
第
2． h(n)和H(z)为一对z变换
5
页
(n)
h(n)
系统
若xn δn，则Xz 1
Zhn Hz ● 由Hz求hn: hn Z 1 Hz
●系统的零状态响应：
yzs n hn xn Y z Hz X z
解：
yn 0.2yn 1 0.24yn 2 xn xn 1
输出未超前于输入，
所以是因果系统。
第
例3 LTI系统hn un，判断因果性，稳定性。16 页
解：从时域判断
hn

un

1, 0,

hn
n0 n0
因果系统 不稳定系统
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
沿虚轴
第
3．系统的因果性
14
页
输出不超前于输入
系统因果性的判断方法：
时域： hn hnun
z域： 收敛域在圆外
第
例2
15
页
下面方程所描述的系统是否为因果系统？
yn 0.2yn 1 0.24yn 2 xn xn 1
决定了hn的特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。
A0 , Ak :与H(z)的零点、极点分布都有关。
极点位置与h(n)形状的关系
第
10
页
j Im z
1
O
1
Re z
第
利用z～s平面的映射关系
11
页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
hn

Z
1

A0


N k 1
Ak z z pk


A0
n
N k 1
Ak pk n un
第
由零极点分布确定单位样值响应(续)
9
页
N
hn A0δn Ak pk n un k 1
pk : Hz 的极点，可以是不同的实数或共轭复数，